2024屆廣東省深圳市高考第二次調(diào)研考試（二模 ）數(shù)學 試題（學生版+解析版）

2024年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試

數(shù)學

2024.4

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼

處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知〃為正整數(shù)，且">2”,則（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.w>4

2.已知正方體ABC。-,過點A且以。4為法向量的平面為e,則戊截該正方體所得截面的形

狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.對于任意集合下列關系正確的是（）

AM飛NN=MNB.瘩%=屋N"）也”）

C.M飛NN=M'\ND.瘠N）=（MNM）國拜）

4.已知a>0,且awl,則函數(shù)y=log〃[x+:]圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn),三、四象限

2-

5.已知2=-----，其中i為虛數(shù)單位，則Z?（2—l）=（）

1+i'7

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

6.已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名(無并列情況)，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這

六名同學獲得的名次情況可能有()

A72種B.96種C.144種D.288種

2,2

7.P是橢圓C：=+3=1(a>6>0)上一點，耳、居是C的兩個焦點，PF[-PK=0,點、Q在

ab

/阜線的平分線上，。為原點，OQ〃P￡,且則c的離心率為()

A.1B.好C.&D.立

2332

8.設函數(shù)“*)=尤+6",g(%)=%+lnx,若存在X],4，使得/(%)=g(w)，則歸一的最小值為

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知相，”是異面直線，mua,nu。，那么()

A.當尸，或“_1_0時，a](3

B.當加//，，且〃//a時，alI(3

C.當tz_L，時，mL/3,或〃J_c

D.當a,夕不平行時，機與夕不平行，且〃與a不平行

10.已知函數(shù)/(x)=sintyx+acosaw(xwR,6y>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，則()

A.a=y/3

B.函數(shù)/[x—為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實數(shù)。，存在且唯一

D./(可是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

11.設函數(shù)/(%)=[司的函數(shù)值表示不超過尤的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標系中，函數(shù)y=/(x)的圖

象與圓(尤-f)2+(y+/)2=2/2(r>o)的公共點個數(shù)可以是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本X],馬的平均數(shù)為2,方差為1,則X；,門，X；的平均數(shù)為.

13.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為0,則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

14.己知△ABC中，tanO=3tanC,雙曲線E以B,C為焦點，且經(jīng)過點A,則E的兩條漸近線的夾角為

22

AC

；tan—ftan—的取值范圍為.

22

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15如圖，三棱柱ABC-AgG中，側(cè)面5片。0，底面ABC,且A5=AC,A^B^^C.

(1)證明：A4，平面ABC；

⑵若A4,=3C=2,NB4c=90°,求平面ABC與平面43cl夾角的余弦值.

16.己知函數(shù)/(x)=(ax+l)e1/'(x)是/(%)的導函數(shù)，且/'(%)—/(x)=2e”.

(1)若曲線y=/(x)在x=0處的切線為丫=區(qū)+6,求晨b的值；

(2)在⑴的條件下，證明：f(x)>kx+b.

17.某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)

現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這

兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標.已知在甲工廠提高質(zhì)量指

標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標的條件下，該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標”，事件5="該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知0<P(5)<I,證明：P(A|B)>P(A|B).

18.設拋物線C：必=2Q直線/：y=H+2交C于A,3兩點.過原點。作/的垂線，交直

線y=-2于點對任意ZeR,直線AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列.

(1)求C方程；

(2)若直線/'/〃，且/'與C相切于點N,證明：的面積不小于2&.

19.無窮數(shù)列環(huán),電，…，…的定義如下：如果”是偶數(shù)，就對〃盡可能多次地除以2,直到得出一

個奇數(shù)，這個奇數(shù)就是4；如果w是奇數(shù)，就對3〃+1盡可能多次地除以2,直到得出一個奇數(shù)，這個奇數(shù)

就是%.

(1)寫出這個數(shù)列的前7項；

(2)如果%,=根且4n=",求相，”的值;

⑶記％=/(〃)，“eN*，求一個正整數(shù)〃，滿足"/⑺</("〃))<</(〃/("))).

2024什

2024年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試

數(shù)學

2024.4

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼

處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知a為正整數(shù)，且">2”,則（）

A.n=lB.n=2C.n=3D.n>4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列探討該數(shù)列單調(diào)性即得.

"219

［詳解］令〃〃=吩,〃￡N*,顯然a［=—,a2=l,a3=—,

/+2〃+1/+2〃+1

<a<a=\,

當〃之4時，-J"?22<—z---------<1，即％nA

a,2ftn+n〃+3〃

因此當〃24時，n2<2%

所以〃為正整數(shù)，且r>2〃，有〃=3.

故選：C

2.已知正方體ABC。-,過點A且以為法向量的平面為a,則a截該正方體所得截面的形

狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【解析】

【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到。巴，平面故平面。即為平面AC。1，得到

截面的形狀.

【詳解】連接ACAD,,CDy,BD,

因為33]，平面ABC。，ACu平面ABC。，

所以34LAC,

又四邊形ABC。為正方形，所以

又BB[CBD=B,平面BBQ,

所以AC，平面8月。，

因為用Du平面3耳。,

所以ACLgD,

〔

同理可證明AD11BD,

因A，AC-A,AD],ACu平面ACDt,

故BQ1平面ACDX,

故平面a即為平面AC。1，

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

B

故選：A

3.對于任意集合M,N,下列關系正確的是（）

A.MdM6=MNB.瘩NWN)=(“WM」(%NN)

C.MNN=M'\ND.%("N)=(M皿丫—N)

【答案】B

【解析】

【分析】利用韋恩圖進行判斷即可得到結(jié)果.

對于A：如圖所知，gNN為區(qū)域①，所以Mu與UNN=",故A錯誤;

對于B：U^CN）為區(qū)域①和③；（樂口/町為區(qū)域③，（般/V）為區(qū)域①，則

（魏MSVN）也為為區(qū)域①和③；兩邊相等,故B正確；

對于C：（礪出"）為區(qū)域①，A/c與uzN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為McN）,故C錯誤;

對于D：5UN（MCN）為區(qū)域①和③；而（說為區(qū)域③，（即口/V）為區(qū)域①，所以

（魏N"）C（WNN）為空集，所以D錯誤；

故選：B.

4.已知。＞0,且awl,則函數(shù)y=log〃1x+L）的圖象一定經(jīng)過（

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)y=log]x+:]過（0,—1）點，分類可解.

【詳解】當x=0時，y=\oga-=-l,

a

則當。時，函數(shù)圖象過二、三、四象限;

則當a>1時，函數(shù)圖象過一、三、四象限;

所以函數(shù)y=log/x+:）的圖象一定經(jīng)過三、四象限.

故選：D

2-

5.已知z=---,其中i為虛數(shù)單位，則z-（z-l）=（）

1+i

A.1+iB.1-iC.—1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算可得z=l-i，進而W=l+i，結(jié)合復數(shù)的乘法計算即可求解.

22(1-i)

【詳解】由題意知,=l-i

l+I-(l+i)(l-i)

所以z=l+i,

miUz(z-l)^(l+i)(l-i-l)=l-i.

故選：B

6.已知某六名同學在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這

六名同學獲得的名次情況可能有（）

A.72種B.96種C.144種D.288種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計數(shù)原理計算即可.

【詳解】由題意，丙可能是4,5,6名，有3種情況，

若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種，

若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是C；A：=72種，

所以所有符合條件的可能是72+72=144種.

故選：C.

22

7.P是橢圓C：=+與=1(a>6>0)上一點，耳、工是C的兩個焦點，PFi.PF；=0,點Q在

ab

/耳尸居的平分線上，。為原點，OQ〃P￡,且則C的離心率為()

A.1B.旦C.逅D.也

2332

【答案】C

【解析】

【分析】設|W|=m，歸閶=〃，由題意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程組得到含。的齊次方

程求解離心率即可.

【詳解】如圖，設歸耳|=加，歸閭=〃，延長交「工于4

由題意知0Q〃P耳，。為4耳的中點，故A為P鳥中點，

m-}-n=2a

m—n=2bm=a+b

故有1療+/=4c2化簡得即《

m+n~2an-a-b

711

b+—n=—m

I22

代入機2+〃2=4,得++（〃_人）2=4,,

即4+/=2。2,由/=6一。2所以2a2=3。2,

所以e2=2,e=圓.

33

故選：C.

8.設函數(shù)/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在X1,巧，使得/(%)=8(%2)，則%-9|的最小值為

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得/(%)=/(ln%)，即可得到構(gòu)造函數(shù)/z(x)=lnx—x,求導

得其最值，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得/(%)=g(%2)，即％+e』=々+ln%，

所以％+e*1=e瓜也+In,

又r(x)=l+e”>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增，

即/(%)=/(ln%2)，所以占=111工2，

-V|

且阮-x2|=|lnx2-eI=|lnx2-x2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+co),

11-y

則〃(x)=——1=-其中x>0,

XX

令"(x)=0,貝!|%=1,

當xe(0,1)時,//(x)>0,則/z(x)單調(diào)遞增,

當xe(l,+oo)時，〃(x)<0,則/z(x)單調(diào)遞減,

所以當x=l時，人⑺有極大值，即最大值，

所以⑴=一1,,(刈21,

所g-刃皿=帆々-%2L=H=L

故選：B

【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了函數(shù)同構(gòu)問題以及導數(shù)求最值問題，結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)求

導即可得到結(jié)果.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知機，〃是異面直線，mua,nu/3,那么()

A.當或“時，aL/3

B.當根//分，且〃//a時，alI/3

C.當。時，m±j3,或〃J_a

D.當a,夕不平行時，機與夕不平行，且w與a不平行

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關系，結(jié)合選項依次判斷即可.

【詳解】A：當加_L力，mua時，a1(3；

當〃_1_0，時，aL/3,故A正確；

B：當機//，，〃//a時，又以”為異面直線，所以。//〃，故B正確；

C：當。時，由mUtz,得加//，或機與夕相交；

當。，小時，由〃u，，得〃//a或九與a相交，故c錯誤；

D：當名萬不平行時，可能“2//分或機與/，〃//a或九與a相交，故D錯誤.

故選：AB

10.已知函數(shù)/(x)=sintyx+acosaw(xwR,6y>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，則()

A.a=^/3

B.函數(shù)/［尤一仁

為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實數(shù)。，存在且唯一

D./（可是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值及/（。）>0求出。，由/1求出。的

取值，再根據(jù)周期確定。的值，即可得到函數(shù)解析式，即可判斷.

、,a1

【詳解】因為/(x)=sinox+acoscox=Ja?+1sin(a)x+(p\(其中sm0=/、cos(P=—r^=),

+)yla2+lJ/+1

又了(x)max=Ja?+1=2,解得a—±^3，

又/（0）=a>0,所以a=6,故A正確;

71

則y(%)=sin?ox+V3cosox=2sin|a)x+—,

3

716971Tt①71

又/2sin——+—1,即sin——+—

4343

冗〃)JT571.

結(jié)合圖象可知絲+'=H+2E/￡Z,所以G=2+8左#WZ,

436

2兀兀

又工〉工,—〉一

所以co2,解得0<@<4,所以G=2,故C正確;

24

口〉0

所以/（x）=2sin12x+|J，則/［x—=2sin21x—6卜三二2sin2x為奇函數(shù)，故B錯誤；

/（%）是周期函數(shù)，且最小正周期7=弓=兀，故D正確.

故選：ACD

11.設函數(shù)/（%）=［司的函數(shù)值表示不超過了的最大整數(shù)，則在同一個直角坐標系中，函數(shù)y=/（x）的圖

象與圓（尤-r）2+（y+r）2=2/（r>0）的公共點個數(shù)可以是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題意確定圓心坐標和半徑，易知該圓過原點，作出函數(shù)/⑴在xe[-3,3)的圖象，結(jié)合圖形分析,

即可求解.

【詳解】由。T)2+(y+f)2=2/(/>()),得該圓心為億T),半徑為衣,

易知該圓過原點，由/(%)=[劃，當xe[—3,3)時,

—3,—3Wx<—2

-2,-2<x<-l

—1,—1Vx<0

得/⑴='作出函數(shù)1的圖象,如圖，

1,1<%<2

2,2<x<3

由圖可知，當0</<4時，圓與函數(shù)/(丈)的圖象有2個交點,

2

當。=工時，圓與函數(shù)/(X)的圖象有1個交點，

2

當;時，圓與函數(shù)JS)的圖象有2個交點，

當;<三]時，圓與函數(shù)7⑺的圖象有4個交點，

根據(jù)圓與函數(shù)/(x)的對稱性，后續(xù)交點情況類比即可.

故選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于理解取整函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想分析圓與函數(shù)”尤)

圖象交點的個數(shù).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本X],x小￡的平均數(shù)為2，方差為1,則奸，X；,后的平均數(shù)為

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題意知，、+%+%=2,所以石+々+退=6,

由?—2）2+（%12）2+（三一2）2=1,得X；+尤+*=15,

所以X；+君=5.

3

故答案為：5

13.已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1,底面半徑為J5,則該圓錐的表面積為.

注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個公共點的球，稱為圓錐的內(nèi)切球.

【答案】87r

【解析】

【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.

【詳解】由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：

設圓錐高為〃，母線長為/,

則在三角形SO1口中有必+/=/,即在+2=尸①,

又由SDOSO[B得囚=上工,即/=0（〃一1）②,

rI

所以由①②得/=3應,/?=4,

所以圓錐的表面積為S=S底+S=兀廠2+兀力=2兀+6兀=8兀.

故答案為：871.

14.已知△ABC中，tan—=3tan—,雙曲線E以B,C為焦點，且經(jīng)過點A,則E的兩條漸近線的夾角為

22

AC

；tan—ftan—的取值范圍為.

22

【答案】①.y②.與+8

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足M的位置，再由tanO=3tanC得到雙曲線中

22

仇c的關系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)tanO=3tanC對所求式進行化簡，再根據(jù)基本不等式求得范

22

圍即可.

【詳解】如圖所示，設雙曲線的實軸長為2“，虛軸長為2b,焦距為2c.

設」ABC的內(nèi)心為/,過點/向三邊作垂線，垂足分別為

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，IAP|=|AN1,15Pl=|I,ICM|=|CN|,

又因為雙曲線E以bC為焦點，且經(jīng)過點A,

所以MC―仙邳=2a,即||?UV|+|C7V|-|AP|-|BP||=||OV|-|BP||=||CM|=2a,

因為tan&=3tanC,所以8>C,所以|AC|>|A3|,

22

所以點A在雙曲線的左支上，所以ICM|-19|=2a.

而|CM|+|5M|=2c,

所以|CM\=c+a,|BM|=c-a,

所以“為雙曲線的左頂點.

…BMICMI

所以tan—二---=,tan—=-----

2MBc-a2MCc+a

rrc

所以——=3——,即一二2,

c-ac+aa

所以2=6,漸近線的傾斜角為g,

a3

7T

所以兩條漸近線的夾角為

BCC

1—tan-tan—1—3tan2—c個

…AJT-(B+C)122=_______2=]1_3￡

又因tan-=tan---=一^BC.C.C412

一一tan-----t-a-n——Ftan—4tan—4tan一—

22222

AC11C

ll,rtan—Ftan—=-------\—tan—

所以22。42

4tan一

2

11Cy/3

二匚I、-----77—tan—>—

所?以c423-

4tan—

2

故答案為：—

【點睛】關鍵點點睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關鍵點在于根據(jù)tanO=3tanC作

22

出三角形的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進行求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，三棱柱A3C-A與￡中，側(cè)面底面ABC,且A5=AC,AXB^\C.

(1)證明：平面ABC；

⑵若例=BC=2,ZBAC=90°,求平面ABC與平面夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵四.

5

【解析】

【分析】(1)取BC的中點M,連結(jié)MA、MAX,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得5C1平面

\MA,進而由AAB]B得用8八BC,再證明用5JL平面ABC即可得證.

(2)建立空間直角坐標系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于48的垂面，從而得出二面角的

平面角再進行求解即可.

【小問1詳解】

取BC的中點連結(jié)血伍、MAX.

因為AB=AC,43=4。，所以3C_LAM,BC±A^M,

由于AM,AMu平面AM4,且AMCAM=M,

因此平面4始，

因為AAu平面AM4,所以5C，A]A,

又因為AAB]B,所以用8人BC,

因為平面平面ABC，平面BBCCC平面A5C=5C,且gBu平面所以平面

ABC,

因為AA耳3,所以44J.平面42c.

【小問2詳解】

法一：因為NB4c=90。，且BC=2,所以鉆=4。=夜.

以AB,AC,AA]所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,

則A（0,0,2）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,Ct（0,V2,2）.

所以43=（四,0,—2）,AC=（0，后，一2）,AG=（o,^,o）.

/、m-AB=0亞玉_24二0

設平面ABC的法向量為機=（菁,％,zj,貝葉.可得《

\m-\C-042yl-2zx=0

令4=1,則"7=(四,應,1b

/、n-AB=0y[lx2-lz2-0

設平面4BG的法向量為〃=（%,為，Z2），則

〃?AG=o、隹“

令Z2=l,則元=(3,0,1),

\m-n\3—叵

設平面AXBC與平面ABQ夾角為。，則cos。==亍一尸—,

\m\\n\V5XV35

所以平面\BC與平面A.BC.夾角的余弦值為叵.

5

法二：將直三棱柱ABC-4與。1補成長方體A&DC—.

連接G。，過點C作CP，G。，垂足為P，再過P作垂足為0,連接CQ,

因為3￡）上平面CDD|G，且CPU平面CDAG，

所以BDLCP,

又因為CP，C]D,由于BD,。1。匚平面42。a，且3。QD=D,

所以CP_L平面ABOG，則_CPQ為直角三角形，

由于平面A8OC，所以A8LCP,

因為CP，尸。＜=平面。尸。，且“PQ=P,所以451.平面CPQ,

因為CQu平面CPQ,所以CQ，4B,

則NCQP為平面ABC與平面ABC的夾角或補角,

在ABC中，由等面積法可得。0=粵,

因為PQ=AG=0，所以cosNC0P=些=史，

CQ5

因此平面ABC與平面夾角的余弦值為叵.

5

16.已知函數(shù)/(%)=(依+1心，/'(%)是/(%)的導函數(shù)，M/,(x)-/(x)=2ex.

(1)若曲線y=/(x)在x=0處的切線為>=履+6,求上6的值；

⑵在⑴的條件下，證明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,b=l；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，求導可得。的值，再由導數(shù)意義可求切線，得到答案；

(2)設函數(shù)g(x)=(2x+l)e、-3x-1,利用導數(shù)研究函數(shù)g(無)的單調(diào)性從而求出最小值大于0,可得證.

【小問1詳解】

因為/(x)=(ar+l)e*,所以/f(x)=(ar+a+l)e',

因為/'(X)—〃x)=2e1所以q=2.

則曲線y=f(x)在點x=0處的切線斜率為/'⑼=3.

又因為/(0)=1,

所以曲線>=/(尤)在點x=0處的切線方程為丁=3x+1,

即得左=3,b=l.

【小問2詳解】

設函數(shù)g(x)=(2x+l)e"-3xT,xeR,

則/(x)=(2x+3)e、-3,

設7z(x)=g，(x),則”(x)=e*(2x+5),

所以，當x〉—g時，〃(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增.

又因為g'(0)=0,

所以，x>0時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

—■|<x<0時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

又當x<—g時，g'(x)=(2x+3)e“—3<0,

綜上g(x)在(-8,O)上單調(diào)遞減，在(O,+。)上單調(diào)遞增，

所以當x=0時，g(x)取得最小值g(o)=o,

即(2x+l)e、-3x-1N0,

所以，當xeR時，/(x)>3^+l.

17.某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)

現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這

兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%.

(1)從混合放在一起的零件中隨機抽取3個，用頻率估計概率，記這3個零件中來自甲工廠的個數(shù)為X,

求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標.已知在甲工廠提高質(zhì)量指

標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標的條件下，該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設事件A="甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標”，事件3="該大型

企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知0<P(5)<I,證明：P(A|B)>P(A|B).

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)設出甲乙兩廠的零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知X服從二項分布，寫出分布列和期望

即可.

(2)因為在甲工廠提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提

高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即。(3|力>網(wǎng)司可，化簡變形即可證

得.

小問1詳解】

設甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件，

事件"混合放在一起零件來自甲工廠"，事件N="混合放在一起零件來自乙工廠“，事件C="混合放

在一起的某一零件是合格品”，

則尸P(N)=^—,

m+nm+n

P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)

rnri

=94%X------+98%X=97%,

m+nm+n

計算得3加二〃.

所以「(河)="-=二

m+n4

X的可能取值為0,1,2,3,

13

E(X)=3x-=-,

V'44

心。)=鳴1號叱叱聯(lián))Y.

P(X=2)"此24*P(X=3)=C」［)V-

所以，X的分布列為：

X0123

272791

P

64646464

【小問2詳解】因為在甲工廠提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在

甲工廠不提高質(zhì)量指標的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，

所以P（冏A）＞P（同孫

p（硝P（M）

即可Rif

因為P（A）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P（AB）P（A）.

因為P0）=1—P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以尸尸（A））＞（尸（5）-尸（AB））尸（A）.

即得尸（AB）＞尸（A）尸（5）,

所以尸（AB）-尸（4^）尸（3）＞尸（4）「（3）-P（AB）尸（5）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因為1-P（B）=P⑻,P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P回＞P（B）P（AB）.

因為0〈尸（5）＜1,O＜P（B）＜1,

所以尸（叫尸（碉

所以M所.

即得證尸（A忸）＞P（A同.

18.設拋物線C：爐=2Q（p＞0）,直線/：y=H+2交C于A,8兩點.過原點。作/的垂線，交直

線y=-2于點M.對任意keR,直線AM,AB,BM的斜率成等差數(shù)列.

（1）求C的方程；

（2）若直線/'/〃，且/'與C相切于點N,證明：_AMN面積不小于2夜.

【答案】（1）%2=4〉；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，分左=0與左W0代入計算，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理代入計算，再

由等差中項的定義列出方程，即可得到結(jié)果；

（2）方法一：聯(lián)立直線/'與拋物線的方程，表示出A3中點E的坐標，再由點N,E三點共線可得

面積為面積的結(jié)合三角形的面積公式代入計算，即可證明；方法二：聯(lián)立直線/'與拋物線的方

程，再由A=0,得〃=-42,點N（2匕左2）,即可得到直線MN與無軸垂直，再由三角形的面積公式代入

計算，即可證明.

【小問1詳解】

設點A（XI，K）,5（%,%），

由題可知，當左=0時，顯然有心用+左而=°；

當左W0時，直線0M的方程為丁=—點M（2左2）.

k

聯(lián)立直線A8與C的方程得犬-20fcc-4/?=O,A=4p2左2+16p〉0,

所以石+%=2pk,王犬2=—42，

因為直線AM,AB,8M的斜率成等差數(shù)列,

+上±1=2左

所以

石-2kx2-2k

即空|，（bq+4）（X—2左）+（仇+4）（七一2左）

+y=2%2=2k,

玉—2K/-2k

化簡得2伍2+2）（%+電—4左）=0.

將為+%=2pk代入上式得2（產(chǎn)+2）（2p4-4左）=0,

則P=2,

所以曲線C的方程為d=4>

（法一）設直線/'：y^kx+n,聯(lián)立C的方程，得爐―4依—4〃=0.

由A=0,得〃=—二，點N（2左#2）,

設AB的中點為E,

_2k,%+%=+々）+

因宥4=2左2+2,則點網(wǎng)2左,2加+2）.

22

因為我+2—2=讓

2

所以點M,N,E三點共線，且點N為ME的中點，

所以△AMN面積為△ASM面積的’.

4

2女2+4

記△AMN的面積為S,點又（2左,一2）到直線A5：fcv—y+2=0的距禺d=/=,