2024年中考數(shù)學復習：圖形的對稱、平移與旋轉(zhuǎn)（解析版）

知識必備11圖形的對稱、平移與旋轉(zhuǎn)

'易錯清單

易錯點：圖形經(jīng)歷多次旋轉(zhuǎn)時，要關(guān)注每次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)角，否則易于出錯.

【例1】如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線I上進行兩次旋轉(zhuǎn)，則點B在兩

次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是().

---------------ICi--------------

!!

----------------'---------!-----I

An

A.兀B.13兀C.25兀D.25

【解析】連接8。,8。首先根據(jù)勾股定理計算出BD長,再根據(jù)弧長計算公式計算出BB'BB"的長,然后再求和計

算出點8在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長即可.

連接

:48=5/。=12,

.：BD==13.

:.BD=yj52+122=13o

,_90.M3_13JT

JD￡>=--------------........

1802

=6H,

180

，點5在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是3+2學.

【答案】A

【誤區(qū)糾錯】此題主要考查了弧長計算,以及勾股定理的應用，關(guān)鍵是掌握弧長計算公式/=~

180

【變式1】.(2023?遼寧阜新?阜新實驗中學?？家荒?如圖，在平面直角坐標系中，。4=。耳，ZAOB,=120°,將

△4。與繞點。順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為120。的等腰三角形.第一次變

化后得到等腰三角形&OB2,點4(1,0)的對應點為4(-1,-6)；第二次變化后得到等腰三角形4。鳥，點4的對應

點為4；第三次變化后得到等腰三角形40紇，點4的對應點為A4(4,0)……依此規(guī)律，則第2023年等

腰三角形中，點為。23的坐標是()

20232023g、20232023后

C.D.

222，-2-

7

【答案】D

【分析】由題意，可得點4，約，%在第二象限，。片=1,。4=4,OB7=7,推出06。23=2023可得結(jié)論.

【詳解】解：1在平面直角坐標系中，。4=。耳=1，幺04=12。。，繞點。順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每

次變化后得到的圖形仍是頂角為120。的等腰三角形.

第一次變化后得到等腰三角形點4(1,0)的對應點為人(_1,e)，

22

(9A=OB2=J(-l)+(^)=2;

第二次變化后得列等腰三角形As。鳥，點4的對應點為4(-：，乎);

第三次變化后得到等腰三角形A4oa，點&的對應點為A,(4,0)；

由圖可知：

△4。4繞點。每次順時針旋轉(zhuǎn)120。，并且腰長增加1,

???旋轉(zhuǎn)三次完成一周，故點4，旦，B[,……在第三象限,

OBt=l,。4=4,OB1=7,...

.■.OB2023=2023,ZB2023OA023=120°,

Z-BimiOy=30°,

點B2023到y(tǒng)軸距離為W,到X軸距離為20230

22

.Rz202320234、

??。2023\?，2'

故選：D.

【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題等知識，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考常

考題型.

【變式2】.（2022?河南信陽?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A（l,0）,將線段作以下變換：以點

。為旋轉(zhuǎn)中心，將。4的長變?yōu)閮杀恫⒛鏁r針旋轉(zhuǎn)90。得到。4,連接A4;以點0為旋轉(zhuǎn)中心，將。4的長變?yōu)閮?/p>

倍并逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到。4,連接A&；……依此規(guī)律得到線段A4,則線段A4的長度為（）

A.3#>B.4A/5C.D.16下

【答案】c

【分析】先在圖上大致畫出變化的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得到答案.

根據(jù)題意：

OR=2OA=2,

O4=2OA,=4,

OAi=2O4=8,

OA4=2OA3=16f

在Rt。44中,

A4="42+042=芯+⑹=8A/5,

故選：C.

【點睛】本題考找規(guī)律，注意最后用勾股定理求解.

【變式3】.（2022?廣東中山?統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,BC=2,連接AC,以對角線AC為邊，

按逆時針方向作矩形ACG與，使矩形ACG4s矩形AOCB；再連接AG，以對角線AG為邊，按逆時針方向作矩

形AC。?紇，使矩形AC。282s矩形ACC內(nèi)，…，按照此規(guī)律作下去，則邊ACZM的長為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC,AC1，AC?的長，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得AC?儂.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，AB=1,BC=2,

：.ADA.DC,

AC=>JAB2+BC2=712+22=后■

:按逆時針方向作矩形AOCB的相似矩形ACG用，

矩形ACCA的邊長和矩形ADCB的邊長的比為石：2,

即AC:BC=V5：2,

依此類推，AC2022=^5X

故選：A.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律.

【變式4】.（2022?河南?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，OAi=OBi,NAjOBi=120。,將/出08/繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為120。的等腰三角形.第一次變化后得到等腰

三角形42。&,點4（1,0）的對應點為&卜L-6）；第二次變化后得到等腰三角形A3O83,點4的對應點為

As卜I，手］;第三次變化后得到等腰三角形4。氏，點4的對應點為4（4,0）……依此規(guī)律，則第2022個等

腰三角形中，點^2022的坐標是（）

A.(2022,0)B.(-2022,-2022^)

C.(-1011,101173)D.(-1011--101173)

【答案】D

【分析】利用循環(huán)的規(guī)律，找到第2022個等腰三角形與第一個循環(huán)的圖形的第幾個位置相同，再根據(jù)第一個循環(huán)

中的點坐標進行求值即可.

【詳解】解：由題意可知，旋轉(zhuǎn)規(guī)律為4次一個循環(huán)，

即第2022次為：505個循環(huán)余2,

?,?點史022位置與&相同，在第三象限，

（33勿

,.?以坐標為-5，,

...點&022坐標為-平，-2。2；叫即為卜1011,-1011百卜

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是坐標系與幾何圖形的規(guī)律問題，準確找到循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式5】.（2022.河北唐山.統(tǒng)考二模）第一次：將點A繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到A；

第二次：作點A關(guān)于x軸的對稱點4;

第三次：將點4繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到A3；

第四次：作點4關(guān)于x軸的對稱點4；

按照這樣的規(guī)律，點&儂的坐標是()

A.(—2,—3)B.(一2,3)C.(3,—2)D.(—3,2)

【答案】A

【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可.

【詳解】由題意可得：A(-2.3),4(-2,-3),4(3,-2),4(3,2),4(-2,3),

A2

4次一個循環(huán)，

2022+4=5052,

「?4()22坐標與4相同，即4()22坐標為(-2,-3),

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法.

【變式6】.(2022.四川成都.四川師范大學附屬中學?？寄M預測)如圖，在等腰RtAABC中，已知NAC5=90°,

AC=BC=1,且AC邊在直線。上.將AASC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點片，止匕時時=0；將位置①

的三角形繞點《順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點尸2,此時旬=1+0；將位置②的三角形繞點8順時針旋轉(zhuǎn)到位

置③，可得到點A,此時4月=2+0；…，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點心期為止，貝UAg022=.

【答案】1348+67472/67472+1348

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件得出4尸2=1+0,48=2+0,AP"=2+2&,AR=

3+2血，AP6=4+2&,每三個一組，進而找到規(guī)律即可.

【詳解】解：觀察圖形的變化可知：

API=42;

AP2=l+&；

APj=2+-y/2;

AR=2+20；

”5=3+2a；

AB=4+20=2(2+72);

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

APsn=n(2+72);

APsn+i—n(2+5/2)+72;

APin+2=n(2+0)+72+1.

；.AP2022=”674*3=674(2+及)=1348+6740.

故答案為：1348+67472.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，根據(jù)題意得出規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

【變式7】.(2022?山東濰坊?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一個等腰直角三角形A08,

ZOAB=90°,直角邊A。在無軸上，且49=1.將放AAOB繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到等腰直角三角形AQ2,

且4。=240,再將Rt^A。耳，繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到等腰直角三角形40B。，且40=24?！?，依此規(guī)

律，得到等腰直角三角形4。204121，則點芻儂的坐標是.

【答案】(-22%一2的)

【分析】根據(jù)題意得出3點坐標變化規(guī)律，進而得出點與。22的坐標位置，進而得出答案.

【詳解】解：AAOB是等腰直角三角形，0A=1,

\AB=OA=1,

\5(1,1),

將RtAAQB繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到等腰直角三角形4。線，且4。=2AO,

再將4。々繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到等腰三角形4。與，且40=24。？，依此規(guī)律,

每4次循環(huán)一周,4(2,-2),B式-4,-4),B3G8,8),B4a6,16),

2022+4=505……2,

???點與022與B2同在一個象限內(nèi)，

點/2(-2.，_2頌2).

故答案為：(_2?022,-22022).

【點睛】此題主要考查了點的坐標變化規(guī)律及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出8點坐標變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式8】.(2020?黑龍江齊齊哈爾.統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸

滾動并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形.第一次滾動后點4(0,2)變換到點4

(6,0),得到等腰直角三角形②；第二次滾動后點4變換到點4(6,0),得到等腰直角三角形③；第三次滾動

后點4變換到點4(10,4血)，得到等腰直角三角形④；第四次滾動后點4變換到點As(10+120,0),得到

等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個等腰直角三角形的面積是—.

【答案】2202。

【分析】根據(jù)4(0,2)確定第1個等腰直角三角形(即等腰直角三角形①)的面積，根據(jù)4(6,0)確定第1

個等腰直角三角形(即等腰直角三角形②)的面積，…，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論.

【詳解】：點4(0,2),

..第1個等腰直角三角形的面積32x2=2,

/A2(6,0),

6-2

..第2個等腰直角三角形的邊長為二2^2，

,.第2個等腰直角三角形的面積=；*2友*20=4=22,

：A4(10,4及),

..第3個等腰直角三角形的邊長為10-6=4,

?.第3個等腰直角三角形的面積=gx4x4=8=23,

則第2020個等腰直角三角形的面積是22020;

故答案為：22020.

【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化以及找規(guī)律，熟練掌握方法是關(guān)鍵.

【變式9】.(2023?四川廣安?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標系中，正方形Q4BC的頂點A,C分別在無軸，V

軸上，且49=1.將正方形。1BC繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，并放大為原來的2倍，使4。=240,得到正方形

0A用G，再將正方形。44G繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，并放大為原來的2倍，使4。=24。，得到正方形

OA與G，…，以此規(guī)律繼續(xù)進行下去，得到正方形。％23%)23C2O23,則點名。23的坐標為

【分析】先求出3(1,1),再按規(guī)律進行求解，找出4次循環(huán)一周坐標變化規(guī)律即可求解.

【詳解】解：：四邊形Q4BC是正方形，AO=i,

*e-AB=AO=19

5(1,1),

223344

4(2,-2),B2(-2,-2),B3(-2,2),B4(2,2),

由題意得：每4次循環(huán)一周，

2023+4=505……3,

點B2a23與星在同一個象限內(nèi)，

二.點/3(-2誣,22儂).

故答案為：(-22°23,22力.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，點的坐標循環(huán)規(guī)律探究問題，找出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式10].(2023?四川資陽?統(tǒng)考一模)已知矩形。1SC按如圖方式放置，且3(1,2),將矩形0ABe繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)90。至矩形0aBe處時，為第一次旋轉(zhuǎn)；將矩形繞點以順時針旋轉(zhuǎn)90。至矩形處時，為第

二次旋轉(zhuǎn)；將矩形繞點為順時針旋轉(zhuǎn)90。至矩形QA/2G處時，為第三次旋轉(zhuǎn)；…，按此規(guī)律，旋轉(zhuǎn)

2023次后,所得矩形中右上角頂點的坐標為.

Clo2

4G

ol~~cBtAlOfX

【答案】(3036,1)

【分析】根據(jù)題意得出每次旋轉(zhuǎn)后矩形中右上角頂點的坐標變化規(guī)律，進而得出旋轉(zhuǎn)2023次后，所得矩形中右上

角頂點的坐標，進而得出答案.

【詳解】解：???四邊形0ABe是矩形，且3(1，2)，

AOC=BA=\,AO=BC=2,

???第一次將矩形CMBC繞右下角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形。出80,且A4=4。=2,OCt=OC=l,

第二次再將矩形繞右下角頂點用順時針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形。片G，且4。=<%>+30+44=4…，依此

規(guī)律可得每旋轉(zhuǎn)4次后矩形中右上角頂點的位置重復出現(xiàn)，即(3,1),(4,2),(6,1),(7,2),(9,1),(10,2),(12,1),(13,2)

又2023+4=5053,

旋轉(zhuǎn)2023次后，所得矩形中右上角頂點的橫坐標為(505+1)x6=3036,縱坐標為1,

即(3036,1)

故答案為(3036,1).

【點睛】此題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，得出矩形中右上角頂點的坐標變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【變式11].(2022?湖北黃岡?校聯(lián)考模擬預測)如圖，在平面直角坐標系xQy中，為等腰三角形，

AC=AS=5,BC=8,點A與坐標原點重合，點C在x軸正半軸上，將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得

到使得點B對應點用在x軸上，記為第一次旋轉(zhuǎn)，再將4月。繞點與順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到

44G，使得點4對應點為在X軸上，以此規(guī)律旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點坐標為.

【分析】過點A作于點。，根據(jù)AB=AC=5,BC=8,得至UBr>=Cr)=gBC=4,推出=辦笈一加=3,

根據(jù)4(9,3),4(18,0),4(18,0),4(27,3),4(36,0),A(36,0),A(45,3),...,得到每3次是一個循環(huán)組，根

據(jù)2023+3=674-1,得到右⑵在豎直方向的位置與A1的位置相同，縱坐標為3,第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點的橫

坐標為674x18+9=12141,得到第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點坐標為(12141,3).

【詳解】過點A作于點。，

\"AB=AC=5,8c=8,

：.BD=CD=^BC^4,

AD=VAB2-BD2=3,

由題意4(9,3),4(18,0),A(18,0),4(27,3),4(36,0),A(36,0),A(45,3),...,

每3次是一個循環(huán)組，2023+3=674…1,

/.右叱在豎直方向的位置與4的位置相同，縱坐標為3,

/.第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點的橫坐標為674x18+9=12141,

...第2023次旋轉(zhuǎn)后鈍角頂點坐標為(12141,3).

故答案為(12141,3)

【點睛】本題主要考查了等腰三角形在坐標軸上無滑動的滾動，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一

的性質(zhì)，勾股定理，熟練運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究滾動的循環(huán)組的規(guī)律，運用得到的規(guī)律解答.

'考試清單

軸對稱圖形（共2小題）

1.（2023?云南）中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣.下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（）

鼻S中國

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

3、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

D,不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，熟知：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

這個圖形叫做軸對稱圖形.這條直線是它的對稱軸.

2.（2023?衡陽）下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）

rA

El_

二

r一

E_

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線

叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：A、B,。選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，所以不是軸對稱圖形；

C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

二.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標（共4小題）

3.（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示.若A,

3兩處桂花的位置關(guān)于小路對稱，在分別以兩條小路為x,y軸的平面直角坐標系內(nèi)，若點A的坐標為（-6,2）,則

點3的坐標為（）

c.(2,6)D.(2,-6)

【分析】關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案.

【解答】解：若A,3兩處桂花的位置關(guān)于小路對稱，在分別以兩條小路為無，y軸的平面直角坐標系內(nèi)，若點A

的坐標為(-6⑵，則點B的坐標為(6,2).

故選：A.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：(1)關(guān)于x軸

對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；(2)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù).

4.(2023?懷化)在平面直角坐標系中，點尸(2,-3)關(guān)于X軸對稱的點P，的坐標是()

A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(2,3)

【分析】根據(jù)關(guān)于無軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù).即點尸(x,y)關(guān)于無軸的對稱點P'的

坐標是(尤,-y)，進而得出答案.

【解答】解：點尸(2,-3)關(guān)于x軸對稱的點P的坐標是(2,3).

故選：D.

【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握關(guān)于x軸對稱點的坐標特點是解題關(guān)鍵.

5.(2023?聊城)如圖，在直角坐標系中，AABC各點坐標分別為A(-2,1),8(-1,3),C(-4,4).先作AABC關(guān)于x軸

成軸對稱的△ABC】，再把△ABC1平移后得到△a&c?.若與(2/)，則點&坐標為()

A.(1,5)B.(1,3)C.(5,3)D.(5,5)

【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出4，與，G的坐標，根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出&的坐標.

【解答】解：A(-2,l),B(-l,3),C(-4,4)關(guān)于X軸對稱的點的坐標為4(—2,-1),4(-1,一3),G(-4,T),

又?.打(2」)，

平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位,

.?.點為坐標為(-2+3,-1+4),即(1,3).

故選：B.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，坐標與圖形變化-平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性

質(zhì)和平移的性質(zhì).

6.(2023?金華)如圖，兩盞燈籠的位置A,3的坐標分別是(-3,3),(1,2),將點3向右平移2個單位，再向上平

移1個單位得到點8'，則關(guān)于點A,8的位置描述正確的是()

y"

?A

@f

Ox

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于原點。對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

【分析】根據(jù)平移規(guī)律確定日的坐標即可得出結(jié)論.

【解答】解：點夕由點2(1,2)向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到

此時夕坐標為(3,3).

二A與笈關(guān)于y軸對稱.

故選：B.

【點評】本題考查了點的平移規(guī)律以及點的對稱性，掌握規(guī)律輕松解答，屬于基礎(chǔ)題型.

三.作圖-軸對稱變換(共1小題)

7.(2023?安徽)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C,。均為格點(網(wǎng)格線

的交點).

(1)畫出線段關(guān)于直線。對稱的線段4月；

(2)將線段9向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A與，畫出線段&&；

(3)描出線段上的點M及直線CD上的點N,使得直線垂直平分AB.

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可；

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)畫出圖形即可；

（3）根據(jù)線段垂直平分線的作法畫出圖形即可.

【解答】解：（1）線段A片如圖所示；

（2）線段A區(qū)如圖所示；

（3）直線即為所求.

【點評】本題考查了作圖-軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是

先從確定一些特殊的對稱點開始的.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì).

四.利用軸對稱設(shè)計圖案（共1小題）

8.（2023?泰州）書法是我國特有的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，其中篆書具有象形特征，充滿美感.下列“?！弊值乃姆N篆書圖案

中，可以看作軸對稱圖形的是（）

A喃B福C*D覬

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線

叫做對稱軸進行分析即可.

【解答】解：A,B,。選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，所以不是軸對稱圖形；

C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖

形；

故選：C.

【點評】本題考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

五.翻折變換（折疊問題）（共5小題）

9.（2023?浙江）如圖，已知矩形紙片ABCD,其中AB=3,3C=4,現(xiàn)將紙片進行如下操作：

第一步，如圖①將紙片對折，使的與DC重合，折痕為EF,展開后如圖②；

第二步，再將圖②中的紙片沿對角線班?折疊，展開后如圖③；

第三步，將圖③中的紙片沿過點E的直線折疊，使點C落在對角線上的點H處，如圖④.則D”的長為（）

【分析】過點“作于點G,根據(jù)勾股定理求得BD=5,由折疊可知BE=CE=團=，8C=2,

2

ZC=ZEHM=90°,CM=HM,進而得出=ZEBH=ZEHB,利用等角的余角相等可得/皿0=,

13

則DM=,于是可得。河="70=CM=-CD=—，由等腰三角形的性質(zhì)可得DH=2DG，易證明AMGD^ABCD,

22

利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，過點M作于點G,

四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4,

,-.AB=CD=3,NC=90°,

在RtABCD中，BD=y/BC2+CD2=742+32=5,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BE=CE」BC=2,ZC=ZEHM=90°,CE=EH=2,CM=HM,

2

:.BE=EH=2,

為等腰三角形，ZEBH=ZEHB,

NEBH+ZHDM=90。，

ZEHB+ZDHM=9G0,

:.ZHDM=ZDHM,

.?.ADHM為等腰三角形，DM=HM,

13

:.DM=HM=CM=-CD=~,

22

MG工BD,

:.DH=2DG,ZMGD=ZBCD=90°,

ZMDG=ZBDC,

/.AMGD^ABCD,

3

DGDMnnDG9

CDBD35

/.DG=—,

10

9

:.DH=2DG=—.

5

故選：D.

【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，

根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)推理論證出DM=以此得出點M為8的中點是解題關(guān)鍵.

10.（2023?襄陽）如圖，在AABC中，=，點。是AC的中點，將5CD沿BD折疊得到ABED,連接若

。石_LAB于點尸，5c=10,則AF的長為_2&U_.

【分析】取中點連接AH,作DGJ_5C,DM工BE,設(shè)EF=a,由折疊的性質(zhì)得到4。=8=。石=%,

得到cos/ABC=cosN型，從而推導出。=生，由三角形中位線定理得到BG=",從而推導出

%2

NEMD=\CGD{AAS},得到四邊形MBGD是正方形，DG=y,AH=\5,最后利用勾股定理解答即可.

【解答】解：取3c中點連接過點。作3c于點G,DM,能于點

A

設(shè)EF=a，AD=CD=DE=x,則DF=x—a.

AB=AC,

:.AB=2x,ZABC=ZACB,BH=HC=5.

又由折疊得=石D,BE=BC=10,

:.ZABC=ZBED,

RHFF

cosZABC=cosZBED,即——=——，

ABEB

5a

—=—，

2x10

解得：a="，

X

“25

Dr=x—a=x,

x

D是AC中點，DGLBC,

DG是AzAHC的中位線，

:.CG=-CH^~,

22

/.BG=—,

2

由折疊知NDEN=NDCG,ED=CD,

在AfiWD和ACGD中，

ADEM=Z.DCG

<ZDME=ZDGC,

ED=CD

\EMD三ACGD(AAS),

:.DG=MD.

DELAB,

二/EFB=90。,

:.ZDEB+ZEBF=9(r.

又ZCAH+ZACB=90°,S.ZACB=ZDEB,

:.ZEBF=/CAH,

..ZEBF-^-ZABC=90°,

ZDMB=ZMBG=ZBGD=90°

，四邊形MBGD是正方形，

DG=BG=—,

2

:.AH=2DG=15.

在RtAAHC中，AH2+HC2=AC2,

.-.152+52=(2x)2,

解得：x=亞，

2

,_R_3?即⑺.5Mm一3M

..Q—"x/lO,x—a--------,即AD---------,Dr---------,

222

在RtAAFD中，AF=4AD2-DF2=2A/10.

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)邊長，根據(jù)勾股定理列方

程求解.

11.(2023?遼寧)如圖，在三角形紙片ABC中，AB^AC,々=20。，點。是邊BC上的動點，將三角形紙片沿AD

對折，使點3落在點8處，當8O_L8C時，/BAD的度數(shù)為_25?；?15。_.

【分析】分兩種情況，一是點夕在直線5c的下方，則48/泗=90。，所以NAZW=NAD8=135。，則

ZBAD=1SQ0-ZB-ZADB=25°；二是點8在直線3c的上方，貝！IZADR=ZADB=45°,所以

ZBAD^180°-ZB-ZADB=U5°,于是得到問題的答案.

【解答】解：當點》在直線3c的下方，如圖1,

BDVBC,

:.ZBDB'=9QO,

ZADB+ZADB=360°-90°=270°,

?將三角形紙片沿AD對折，使點3落在點夕處，

ZADB'=ZADB=-x270°=135°,

2

ZB=20°,

.-.ZBAD=180°-ZB-ZADB=180°-20°-135°=25°；

當點8在直線3C的上方時，如圖2,

B'D±BC,

二4￡＞夕=90°,

?將三角形紙片沿對折，使點3落在點8處，

ZADB'=ZADB=-x90°=45°，

2

ZBAD=1800-ZB-ZADB=180°-20°-45°=115°,

故答案為：25?；?15。.

圖2

圖1

【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，正確地求出NE4笈的度數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

12.（2023?徐州）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,C4=CB=3,點。在邊3c上.將AACD沿AD折疊，使點C

落在點C處，連接3C,則3C的最小值為_3后-3_.

【分析】由折疊性質(zhì)可知AC=AC'=3,然后根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系可進行求解.

【解答】解：ZC=90°,C4=CB=3,

AB=yjAC2+BC2=3A/2,

由折疊的性質(zhì)可知AC=AC=3,

BC..AB-AC,

.,.當A、C'、3三點在同一條直線時，3C'取最小值，最小值即為BC'=AB-AC=3&-3,

故答案為3衣-3.

【點評】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角形的三邊不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角形

的三邊不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?成都）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交于點D,過。作DE/ABC交AC于點

E,將ADEC沿1折疊得到ADEF,ZJF交AC于點G.若生=2,則tanA=±區(qū).

GE3-7一

【分析】過點G作GM_LDE于A/,證明ADGESACGD,得出DG2=GExGC,根據(jù)AO//GW,得挺=也=1,

EGEM3

設(shè)GE=3左，AG=lk,EM=3n,DAf=7〃，則EC=DE=10〃，在RtADGM中，GM2=DG2-DM2,RtAGME

39

中GM2=GE2-EM2,貝i|DG2-DM2=GE2-EM2,解方程求得n=-k,貝!IEM=-k,GE=3k,用勾

44

股定理求得GM,根據(jù)正切的定義，即可求解.

【解答】解：過點G作GW_LOE于如圖，

CD平分NACB交于點D,DE//BC,

:.N1=N2,Z2=Z3,

:.Z1=Z3,

ED=EC9

將NDEC沿DE折疊得到ADEF,

N3=N4,

/.Z1=Z4,

又，ZDGE=/CGD,

??.\DGEs'CGD,

.DGGE

CG-BG?

:.DG?=GExGC,

ZABC=90°,DE/IBC,

.\AD±DE,

:.AD//GM,

AGDM八…//

GEEM

AG7

,---=一，

GE3

DM_7

一而一"

設(shè)GE=3k,EM=3n,則AG=7左，DM=1n,

:.EC=DE=10n,

DG2=GExGC=3kx(3k+lOn)=9k2+3Okn,

在RtADGM中，GM2=DG2-DM2,

在RtAGME中，GM2=GE2-EM2,

DG2-DM2=GE2-EM2,

即9左2+3Okn-(In)2=(3k)2-(3n)2,

解得：n=—k,

4

9

:.EM=-k,

4

GE=3k,

GM=y/GE2-EM

故答案為：迎.

7

【點評】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握

以上知識是解題的關(guān)鍵.

六.胡不歸問題（共1小題）

14.（2023?湘西州）如圖，O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點3作BE,AC于點E,點尸為線段

3E上一動點（點P不與3,E重合），則+的最小值為6.

2--------

E

B

【分析】過點尸作連接CO并延長交回于點尸，連接AO,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的

性質(zhì)得到。4=05=4,CF±AB,然后利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到OE=」Q4=2,進而求出

2

BE=BO+EO=6,然后利用。尸+!5尸=。尸+尸。..。尸代入求解即可.

2

【解答】如圖所示，過點P作連接8并延長交AB于點方，連接AO

AABC是等邊三角形，BELAC,

...ZABE=ZCBE=-ZABC=30°,

2

O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4,

..OA=OB=4,CFLAB,

:.ZOBA=ZOAB=30°,

ZOAE=ZOAB=-ABAC=30°,

2

BE，AC,

OE=—OA=2,

2

BE—BO+EO—6,

PDLAB,NAB石=30。，

PD=-PB,

2

CP+-BP=CP+PD..CF

2

+的最小值為CF的長度，

2

AABC是等邊三角形，BELAC,CF±AB,

:.CF=BE=6,

：.的最小值為6.

2

故答案為：6.

【點評】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上知識點.

七.利用平移設(shè)計圖案（共1小題）

15.（2023?郴州）下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）

【分析】根據(jù)平移的定義逐個判斷即可.

【解答】解：由平移定義得，平移只改變圖形的位置，

觀察圖形可知，選項3中圖形是由圖形。通過平移得到，

A,C,D均不能由圖形。通過平移得到，

故選：B.

【點評】本題考查了平移的性質(zhì)的應用，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

A.生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象（共1小題）

16.（2023?金昌）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后,

黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水車博覽園是百里黃河風情線上的標志性景

觀，是蘭州“水車之都”的象征.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的輻條（圓的半徑）長約為6米，輻條

盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水流沖動水車輪刮板時，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗

依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉(zhuǎn)150。上升至輪子上方3處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木

槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀水）轉(zhuǎn)動到3處（倒水）所經(jīng)過的路程是5萬米.（結(jié)果保留%）

【分析】根據(jù)弧長公式直接代入數(shù)值求解.

【解答】解：十=150。乃＞＜6=5]（米）.

180°

故答案為：5萬.

【點評】本題主要考查了學生對弧長公式的掌握情況，難度不大，認真計算即可.

九.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共6小題）

17.（2023?無錫）如圖，AABC中，440=55。，將AABC逆時針旋轉(zhuǎn)&（0。＜a＜55。），得到AADE,DE交AC于

F.當￡=40。時，點。恰好落在上，此時小芯等于（）

A

A.80°B.85°C.90°D.95°

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NS4C=NZME,ZBAD=ZCAE^40°,AB^AD,NC=NE,由等腰三角形的性質(zhì)可

求NB=70。，由三角形內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：.?將AABC逆時針旋轉(zhuǎn)1（0。＜]＜55。），得到AADE,

.-.ZBAC=ZDAE,ZBAD=ZCAE=40°,AB=AD,NC=NE,

二/3=70°,

:.ZC=ZE=55°,

ZAFE=180°—55°-40°=85°,

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?天津）如圖，把AABC以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到AADE,點、B,C的對應點分別是點。，E,且點

E在3C的延長線上，連接瓦〉則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZCAE=ZBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NABC=NADE,ZBAD=ZCAE,由三角形內(nèi)角和定理可得N3ED=Na4D=NCAE.

【解答】解：如圖，設(shè)的＞與助的交點為O,

把MBC以點A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到AADE,

:.ZABC=ZADE,ZBAD=ZCAE,

又-ZAOB=ADOE,

ZBED=ZBAD=Z.CAE,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?通遼）如圖，將AA5c繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AADE,旋轉(zhuǎn)角為。（0。<2<180。），點8的對應點D恰好落

在3c邊上，若Z）K_LAC,ZCAD=24°,則旋轉(zhuǎn)角夕的度數(shù)為（）

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NB=NADE=66。，AB=AD,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解.

【解答】解：DEYAC,NC4D=24。,

.-.ZADE=66°,

將AA5C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到MDE,

:.ZB=ZADE=66°,AB=AD,

:.ZB=ZADB=66°

ZBAD=48°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.（2023?張家界）如圖，AO為N54C的平