四川省成都市2024屆高三年級下冊4月分推考試數(shù)學（理科）模擬試題（含答案）

四川省成都市2024屆高三下學期4月分推考試數(shù)學（理科）

模擬試題

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合。｛…1叫（1）｝,集—M”3｝,則低N）c8=（）

A.（°」）B.[°』C,0D.｛°1｝

2.設i為虛數(shù)單位，且z（"i）=2,則三=（）

A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i

3.若向量/滿足⑷=4,⑻=3,且②-3孫（22+司=61,則2在?上的投影向量為（）

1-1-2-2-

——b--b-b--b

A.2B.3c.3D.3

耳

4.已知等比數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，%+%=12且%，%+6,生成等差數(shù)列，則1為（）

A.244B.243C.242D.241

5.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名

大學生將前往3個場館450開展志愿服務工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不

去場館A時，場館3僅有2名志愿者的概率為（）

3213

A.5B.50C.11D.4

6.己知函數(shù)/（x）=ln（e+x）-ln（e-x）,則“幻是（）

A.奇函數(shù)，且在（°3）上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在（°3）上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在（°，e）上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在（°，e）上是減函數(shù)

JTT

xsin6+一歹一1=0q1八O--

7.“直線2與x+ycos6+l=0平行,，是“4，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

/y2

8.已知雙曲線"21僅>°'>°）的左、右焦點分別為耳，工，A為C的右頂點，以

片修為直徑的圓與C的一條漸近線交于P,Q兩點，且4,則雙曲線C的離心率為

()

V21

B.亍C.亞

x+--1

展開式中常數(shù)項為（

B.-H

71

f(x)=3cosa)x+—（）恒有/34/（2兀），且y（x）在

10.若函數(shù)上單調遞減,

則0的值為（

115H

A.6C.6D.不或6

11.在棱長為1的正方體中，E、尸分別為/8、2c的中點，則下列說法不

正確的是（）

A.當三棱錐4一8跖的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為5

275

B.異面直線與3尸所成角的余弦值為可

c.點尸為正方形44GA內一點，當。尸〃平面片跖時，。尸的最小值為工

D.過點口、E、尸的平面截正方體44GA所得的截面周長為3行+百

22

?.0nC:—r+-^-r-=l（tz>6>0）

12.若點尸既在直線/?x—V+2=°上，又在橢圓/b2上，°的左、右焦點

分別為打，巴，山閭=2,且/￡時的平分線與/垂直，則C的長軸長為（）

VioM叵Vw

A.2B.屈C.2或4D,而或2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

cos（a+2￡）=9,tan（a+尸）tan1=-4

13.已知6,寫出符合條件的一個角a的值為.

abA

14.在正三棱臺“8C-44G中，AB=2,>A（側棱與底面ABC所成角的正切

值為五.若該三棱臺存在內切球，則此正三棱臺的體積為.

15.已知函數(shù)/（x）=x3+"2+8滿足對任意的實數(shù)m,n都有

/（%〃）=/（初/（〃）+2/（加）+2/（〃）+2,則曲線尸/（》）在x=-l處的切線方程為.

16.在銳角03c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S為〃臺。的面積，且

2〃+/

2

2S=a-(b-Cy則be的取值范圍為.

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為

必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知｛“"｝是公差不為零的等差數(shù)列，且％2，生成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛氏｝的通項公式；

⑵若見q+i,求他)的前1012項和A。。.

18.在直角梯形/BCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2C,448c=90。，如圖(1).把

△/助沿2。翻折，使得平面48。，平面BCD.

(1)求證：CD±AB.

BN

(2)在線段BC上是否存在點N,使得AN與平面ACD所成角為60°?若存在，求出BC的值;

若不存在，說明理由.

19.正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布.對于一個給定的連續(xù)型

隨機變量X,定義其累積分布函數(shù)為尸(x)=P(XWx).已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的A,

B,C三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常

運行，電源及各元件之間工作相互獨立.

(1)已知電源電壓X(單位：V)服從正態(tài)分布陽40,4),且X的累積分布函數(shù)為尸(x),求

尸(44)-尸(38).

(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間.已知隨機變量

T(單位：天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為

G(/)=11

1----

⑴設…＞0,證明：尸(7＞4口＞幻=尸(7＞「外；

(ii)若第"天元件A發(fā)生故障，求第〃+1天系統(tǒng)正常運行的概率.

附：若隨機變量/服從正態(tài)分布N(〃，/),則尸(*一川＜6=0.6827,尸(*-川＜2b)=0.9545,

P(\Y-JLI\＜3cr)=0.9973

20.己知拋物線氏「=4x的焦點為F,若O8C的三個頂點都在拋物線E上，且滿足

FA+FB+FC=0,則稱該三角形為“核心三角形”.

(1)設“核心三角形”5C，，的一邊所在直線的斜率為2,求直線AB的方程；

⑵已知08C是“核心三角形,，，證明："BC三個頂點的橫坐標都小于2.

f(x)=]nx+a

21.已知函數(shù)

⑴若/(x)之。恒成立，求a的取值集合;

sin-----+sin-------1—+sin——<ln2(nGN,)

(2)證明：?+1〃+22〃

(二)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

x=2coscr

22.己知曲線0的參數(shù)方程為L=Gsina為參數(shù))，直線/過點尸(°/).

(1)求曲線C的普通方程；

---------1--------------

⑵若直線/與曲線C交于A,8兩點，且2,求直線/的傾斜角.

選修4-5：不等式選講

”n/mNWr/(%)=*-2x-3|

23.已知函數(shù)''??.

(1)求不等式/(X)'5的解集；

⑵設函數(shù)g(x)=/(x)+B+"+2的最小值為加，若。＞01＞0且2a+6=加，求證:

4a2+b2>2

1.D

【分析】先表示出集合45,再由交集和補集的運算得出結果即可.

［詳解］集合4={乂/=1085(%_1)}={“1>1},集合3={蚱胃0?”3}={0,1,2,3},

集合Q/={x|x《l},所以(QZ)c3={0,1}

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求z,進而可得共朝復數(shù).

_2_2(l-i)

z-----------------=1—1

【詳解】由題意可得：1+i0+i)0-i),

所以z=1+i.

故選：D.

3.D

【分析】由向量數(shù)量積的運算律可得屋各=-6,再由投影向量的定義求￡在B上的投影向量.

—?―,―?—?―?2~~?―?-*2

【詳解】由(2”36)?(2〃+b)=4o—4a,b-3b=61,則￡*=-6,

a-bb-61727

------=—X—/?=—b

由Z在石上的投影向量IN⑸333_

故選：D

4.A

【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前〃項和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知,%+%=12且卬+%=2(%+6),

設等比數(shù)列的公比為九

2

貝I%+a］q=2%q+q+,得q=3,

.(T)

鼠=—廣3lzj^=i+35=244

S5a,(l-35)1-35

1-3

故選：A

5.B

150x-=100

【分析】首先得甲去場館B或C的總數(shù)為3，進一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概

率.

卜：+咨相=150

【詳解】不考慮甲是否去場館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為IJ,

甲去場館4民0的概率相等，所以甲去場館B或c的總數(shù)為3,

甲不去場館A,分兩種情況討論，

情形一，甲去場館3,場館3有兩名志愿者共有C；C；/；=24種；

情形二，甲去場館0,場館B場館C均有兩人共有C；C；=12種，

場館8場館A均有兩人共有C；=6種，所以甲不去場館A時，

24+12+64221

場館8僅有2名志愿者的概率為100~100~50.

故選：B.

6.A

【分析】求出函數(shù)的定義域，利用奇偶函數(shù)的定義及復合函數(shù)的單調性法則判斷即可.

Je-x>0

【詳解】若函數(shù)/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)有意義，則[e+x>0,解得_e<x<e,

即函數(shù)“X)的定義域為(-e,e),

因為/(r)=ln(er)Tn(e+x)=_[ln(e+x)-ln(e-x)]=-/⑴，所以函數(shù)仆)是奇函數(shù),

/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)=In|e+—|=ln|-1+及|

函數(shù)Ve-xj,

猶二]?2e

因為函數(shù)“一一十三在(°，。)上遞增，函數(shù)>=ln"在定義域上遞增，

所以函數(shù)/(、)在(°，e)上是增函數(shù).

故選：A

7.B

【分析】根據(jù)兩條直線平行，對應方程系數(shù)的關系求解，分兩個方面判斷即可.

xsin^H—y—1=0/■)1八

【詳解】若直線2與x+ycos9+l=0平行，

。一

-s-in--=---2--w—1

易得：sinew0,cos6w0,故：1COS6^1,

Ill71IF

jsin0cos6=5,5sin2。=萬,sin2。=1,29=5+2kli（kGZ）,<9=—+kn{kGZ）

0=-

得不到4,故不是充分條件；

八兀sin。2T.八I1八

0=-------=-------w——xsind+—y-l=0.八

反之，當4時Icos。l成立，故直線2與x+ycos6n+l=0平行，

是必要條件；

.I71

xsin^+—y-l=0[0=—

故“直線2"與x+ycosOn+l=n°平行,，是“4”的必要不充分條件，

故選：B.

8.C

71

【分析】聯(lián)立圓與漸近線方程，得到尸（0/），0（-“，一6）,進而得到,利用直線斜

率得到方程，求出6=2。，得到離心率.

【詳解】由題意得，以月月為直徑的圓的方程為/+/=',/（凡°）,

.b

y=±—x

漸近線方程為。，

x2+y2=c2

.b

y=-x

聯(lián)立〔。，解得X=±〃，

不妨令P（Q'b），Q（~a，-b）,

ZOAP=-

故2

ZPAQ=—ZOAQ=—--=-

因為4,所以424

-b-0

所以七°=tan—=1

-Q—Cl4,解得6=2a,

_c

故離心率a

9.B

x+二"c：(x+4)r-i)'(x+gj

【分析】將x看成一個整體，得到,再展開X2得到

4-r-3m=0,分別取值得到答案.

1

-

【詳解】將X工+T2看成一個整體，展開得到:

X

(X+F)"'

X的展開式為:

、.一2mcm4-r-3m

?%=C4_rx

取4一/一3加=0

當機=0時，r=4系數(shù)為：C4XCQx(-l)4=1

當相=1時，r=1系數(shù)為：C：xC；x(一『=-12

常數(shù)項為172=71

故答案選B

1

xH—7

本題考查了二項式定理，將X看成整體展開，再用一次二項式展開是解題的關鍵，計算

較為復雜.

10.D

兀1

r2TIOH—=2kjtco=k—

【分析】由題意可得當x=2兀時，JUI取得最大值，所以3，可求出6,

斗,3

再由3I6J2,求出。的范圍，即可得出答案.

-27i6y+—=2kn

【詳解】由題意可得當》=2兀時，/(町取得最大值，所以3,

co=k--

6,kGZ

由/(%)在［］可上單調遞減，得§16j~2,

511511

CD———CD———

所以°＜。＜2.所以6或6.經檢驗，6或6均滿足條件.

故選：D.

11.D

【分析】對于A：轉化為長方體的外接球分析運算；對于B：根據(jù)異面直線夾角分析運算;

對于C：根據(jù)面面平行分析判斷；對于D：根據(jù)平行關系求截面，進而可得周長.

【詳解】對于A：三棱錐片一2￡尸的外接球即為以8片、BE、8尸為鄰邊的長方體的外接球,

BE=BF=-

因為班1=12

R=-JB.B2+BE2+BF2=-.Il+-x2=—

可得外接球的半徑22，44,

S=4TT7?2=—

所以外接球的表面積2,故A正確;

BF=-

對于B：因為DRBB\,則異面直線與87所成角為尸，且2

口金c。山B、F=2=正

B、F=JBB;+BF2=

可得42,所以B.F5

275

所以，異面直線02與3尸所成角的余弦值為甘，故B正確;

對于C：取44、42、GA的中點河、°、N,連接NM、MN、QN、DN,,

由題意可得：AEHB\M,AE=B、M,貝產仍附為平行四邊形，所以及￡

因為四邊形4用GD為正方形，M、N分別為44、的中點，則4M//RN,

AXM=D、N

所以，四邊形7VM為平行四邊形，所以，MN"g,MN=g,

又因為/。//"a，40=4。，可得MN//4D,MN=AD,

則“腦VD為平行四邊形，所以AM//DN,可得B\E〃DN,

因為耳￡u平面瓦環(huán)，ON<z平面為即，則ON〃平面耳即，

因為/4〃CG,44]=CG,則四邊形"4G。為平行四邊形，則"〃4Q,

因為E、尸分別為48、3c的中點，則EF//4C,同理可得QN//4G,則所〃4G,可得

QN//EF,

因為EFu平面片0N<Z平面片￡尸，則”〃平面片￡尸，

因為ONIQN=N,DN、QNu平面DNQ,所以平面0N0〃平面片跖，

CXTQN=-A.C.=—

則點P在線段”上，可得22,

DQ=QN=1DD；+DN=]

所以當點P為線段0N的中點時，DP1QN,

JDQ2-(-QN)=逑

。尸取到最小值，且最小值為'12J4,故c正確；

DiNG

對于D：連接/c、4G,

因為E、F為AB、8C的中點，則跖〃/C,

又因為/4〃CG,N4=CC],則/4GC為平行四邊形，可得/C//4G,

則所//4G,

過作KL//&G,設AZn44=K,KZn

DtB?=L,則.〃所，

可得必=幽，g=BG,

連接KE、LF,設K￡n44=G,L「nCC]="，連接〃G、D[H,

可得過點〃、E、尸的平面截正方體力3C。-44GA所得的截面為五邊形以舊。。,

22

-7CFG/]=2/G=—

因為A4-Z力氣Ljrd一4/則]3,HC{=2CH=—3,

D八心G=Dn,Hu=-----G「E口=H口F口=--￡F=—y/2

可得}3,6,2,

V2

2,故D錯誤;

方法點睛:解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾

何問題求解，其解題思維流程如下:

（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到

接點的距離相等且為半徑;

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素

以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的;

（3）求半徑下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

12.B

【分析】過點耳、為分別作耳/垂直直線/于點N、M,由/可根的平分線與/垂直

可得HPN=ZF…M,即可得叫尸N與AGPM相似，結合點到直線的距離可得相似比，從

而可求出歸耳IP聞，結合橢圓定義即可得長軸長.

【詳解】過點耳、月分別作々N、垂直直線/于點N、M,

作/耳尸耳的平分線PH與x軸交于H,

由閨段=2,故耳(TO)、￡。，0),

II|—1+2|

則?1即26件唔二容

由尸》口且「〃為/母”的平分線，故NF\PH=2FFH,

故5PN=NFFM,

又片N_L/、F2M11故*PN與△耳PM相似,

4i

F{NNPPRF=i

F2MMPPF?3V23

故2

由/：x-y+2=0,令y=0,則x=-2,

故直線/與x軸交于點G(-2，°)

\F{N\NP\

由即T百兩=3

故M[=*M=?Kl=|w-

叼Iff3710

附=PTW+E

44

故

由橢圓定義可知，四網(wǎng)明=2。故”乎乎3

故選：B.

關鍵點睛：本題關鍵在于作出片N、垂直直線/于點N、M,再將/月尸月的平分線與

/垂直這個條件轉化為/耳=從而得到相似三角形，結合點到直線距離公式及

但周=2得到照［圈的值.

2兀

13.3(答案不唯一)

12

cos(a+B)cosB=—sin(a+Q)sinB=——

【分析】根據(jù)題目條件得到6和'3,從而求出

cosa=cosF(a+S}-S~\=---=

LJ632,進而求出角。的值.

[詳解]cos(a+2/?)=cos[(0+夕)+川=cos(a+)cos/_sin(a+/)sin/?

故cos(a+6)cosp-sin(a+尸)sinP=~

sin(a+/)sin/?

=-4

tan(a+〃)tan/=-4即cos(a+/3)cosP

故sin(a+〃)sin/=—4cos(a+/)cos[3

5cos(a+J3)cos/3=—cos(a+/?)cos(3=—

故6,即6,

2

卬sin(a+/?)sin/?=一4cos(a+￡)cos/3=-—

21

則cosa=cos[(a+/)—/」=cos(a+夕)cos夕+sin(a+/?)sin(3

32,

可取3

2TI

故3

7后

14.12

【分析】取BC和4G的中點分別為p,Q,上、下底面的中心分別為02,設4A=x

內切球半徑為r,根據(jù)題意求出側棱長以及°?尸，°?,再根據(jù)切線的性質及等腰梯形

BB&C和梯形AAXQP的幾何特點列方程組求出半徑即可.

【詳解】如圖，取BC和4a的中點分別為P,Q,

上、下底面的中心分別為°、°?,

設內切球半徑為r,因為tan///a=亞，棱臺的高為2r,

AAt=BB、=Cq=J(2r)2+伊rj=后

所以

。"》"4所與,同理強邛x

因為內切球與平切，切點在2°上,

所以加盟尸十°比不（、+2）①,

2

②,

2-xJ(X+2)2

6r2

"I-?12

由①②得

\2

PQ2=（2r）2+----------X

36J

在梯形"4°尸中，③，

r-h=2r=

由②③得2-x=j6r,代入得x=l,則棱臺的高3,

展“旦旦4+回.X而-------=7立---------

442312

所以棱臺的體積為J

故答案為.E

【分析】構造函數(shù)g(x)=/3+2,將已知等式轉化為g(皿)=g(〃?)g(〃)，再利用賦值法求

得g(0)與g⑴，進而求得6,再利用利用導數(shù)的幾何意義即可得解.

【詳解】因為/(加")=/(")/(〃)+2/(加)+2/(〃)+2,

所以/(相")+2=(/(加)+2)(/(〃)+2)

設8(工)=/(工)+2=/+辦2+6+2

則g6m)=g(m)g6).

令加=〃=0,則g(o)=g2(o),則g(o)=o,或g(o)=l,

若g(°)=i,則由g(o)=g㈣g(0),")=1,顯然不成立，

所以g(o)=o,即6+2=0,則6=-2

令加=1,則g(〃)=g0)g(〃)，由于g(")不恒為0,

故g°)=L即l+i+b+2=l,貝九。=0,

此時“x)=x3一2,經檢驗，滿足要求，

則/(-1)=-3,r(x)=3一,所以r(-1)=3,

所以曲線V=/(x)在x=-l處的切線方程為y+3=3(x+l),即3*7=0.

故=0

16.

【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得sin/+2cos/=2,再根據(jù)同角關系式可得

b43

——=--------1—

s'/,然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得。5tanC5,結合條件可得

bbb2+c21

——=t------=t—

tanC取值范圍，進而求得c的取值范圍，令c,則bet,然后由對勾函數(shù)的單調

性即可求出.

【詳解】在“8C中，由余弦定理得。2=/+。2_2加《?/,

S=—besin/

且?3c的面積2,

由2S="—（b—c^,得AcsinZ=26c-26ccosZ,化簡得sinZ+2cosZ=2,

7T

22A—\聯(lián)立得

又N°',sin^4+cosySsin?4-4sinZ=0,

sin/=一

解得5或sin/=°（舍去），

bsin5sin（力+C）sinAcosC+cosAsinC4十3

所以。sinCsinCsinC5tanC5,

因為必BC為銳角三角形，

<C<冗兀

0fB=rc-A-C<---A<C<-

所以2,所以22

tanC>tan|-^4|=-J—=----b

所以0）tanA4,所以tanC13人所以c

bJ35）b2+c2bc1

設展;其中七'旬，所以be一1+廠"7,

由對勾函數(shù)單調性知上單調遞減，在上單調遞增,

334534

c/=-y=—t=-y=—

當f=l時，y=2；當5時，15.當3時，.15,

/2,肖3口當

所以L15人即be的取值范圍是L15人

故答案為.

643

——=--------1--

關鍵點點睛：本題關鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得c5tanC5,進而

可以求解.

*.⑴%=2〃-1

2024

⑵一2025

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項即可得解;

(2)由裂項相消法可求出前1012項和.

【詳解】(1)設等差數(shù)列｛""｝的公差為d,

又1=1則〃2=%+"=1+"%=4+4d=1+4d

因為為,外,%成等比數(shù)列，所以婚=%9,

即(l+d)2=lx(l+4d)

得d?-2d=0,

又因為｛"」是公差不為零的等差數(shù)列，所以d=2,

即〃“=%+(〃_l)d=1+(〃-l)x2=2n-l

(2)由(1)知

b,=(-D"+1=(-D"+1sYq=(T)"+彳占+3

an-an+i(2n-l)-(2n+l)\2n-l2n+\

^1012=bi+b2+&+"+…+4ou+篇12

1

+…++

2021/K/+短

12024

2025—2025

18.(1)證明見解析

BN1

⑵存在點N,此時2C4

【分析】(1)利用余弦定理和勾股定理可證明°工平面43。，再由線面垂直的性質即可得

CD1AB.

(2)以。為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得結果.

【詳解】(1)因為"D//3C,”C=2AD=2AB=26,4B_LBC,

可得AD=/3=拒，BD=ylAB2+AD2=2,

、/noc…,CD=J22+(272^1-2x2x25/2cos45o=2

又因為ZD3C=//DB=45。，可得VV/,

所以必+DC?,則CD_L8D,

因為平面平面3cD,平面/5Dc平面BCD=50,且CZ）u平面2CZ）,

所以C￡?l平面N5D,

又因為/8u平面

所以C。-8；

（2）因為C01平面/&）,且5Ou平面4B。，所以CDLBD,

如圖所示，以點。為原點，建立空間直角坐標系，

可得/（1,0,1）,8（2,0,0）,C（0,2,0）,￡>（0,0,0）,

所以函=（0,-2,0）,^5=（-1,0,-1）

n-CD=-2y=0

<

設平面4CD的法向量為五=G，%z）,則［n-AD=-x-z=0

令x=i,可得y=o，z=-i,所以元=（L°，T）,

假設存在點N,使得"N與平面所成角為60。，

設麗=2團，（其中0W條1）,則N（2-2424,0）,4N=（1-24,24,-1）,

,卜?麗11-2/1+116

所以同期J（1一2幾）2+（2猶+（一16&2,

A---

整理得8萬+24-1=0,解得一7或一一5（舍去），

BN_1

所以在線段8C上存在點N,使得/N與平面/CO所成角為60。，此時於一1.

19.（1）0.8186

7

⑵（i）證明見解析；（ii）16.

【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可結合產（%）=P（X〈x）的定義求解,

(2)(i)根據(jù)條件概率的計算公式集合尸&)=P(xWx)的定義以及G(r)的定義域即可求解,

(ii)根據(jù)獨立事件的概率公式求解即可.

【詳解】(1)由題設得尸(38<*<42)=0.6827,尸(36<X<44)=0.9545,

所以尸(44)一尸(38)=P(XW年3萍38)=P(40X44)+P(38X40)

=1x(0.6827+0.9545)=0.8186

(2)(i)由題設得：

p(T、tIT、,、—“)C(T>MP(T>tJ1-P(70)1-G(G

12

?P(T>t2]P(T>t2)l-P(T<t2)l-G(/2)

P(T>4_，2)=1_?(74乙一：2)=1-G(4-：2)=4'2F

?

所以尸(丁>小丁>才2)=尸(丁>「才2).

P(r>?+l|T>n)=P(r>l)=l-P(T^l)=l-G(l)=-

(ii)由⑴得4,

j_

所以第"+1天元件B,C正常工作的概率均為I.

為使第"+1天系統(tǒng)仍正常工作，元件B,C必須至少有一個正常工作,

1-(1--)2=—

因此所求概率為416.

20.⑴2x_yT=0

(2)證明見解析

【分析】(1)設NB的方程為>=2x+/,聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)

尸(1,。)及成+麗+元=0得到點C的坐標為(2+，，-2),代入拋物線方程，求出1=-1,得到

直線方程；

(2)設直線8c的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出點A的坐標為

(3-4/—2〃,-4")，代入拋物線方程，得到"5一"，由根的判別式得到〃>-近所以

m2<-

2,所以點A的橫坐標4〃/<2,同理可證另兩個頂點橫坐標也小于2.

【詳解】(1)設直線的方程為>=2x+f,與j?=4x聯(lián)立得/-2y+2f=0,

1

由A=4-8t>0得2,

設/（國,必則%+%=2,必％=2/,

所以西+x2=^（yI+y2-2t）=l-t

由題意知尸（L°）,

因為蘇+而+正=6,或=（占-1,必），麗定=（工3-1,%）,

所以（占+x2+x3-3,yI+y2+%）=（0,0）,

卜1+%2+工3=3卜3=3-（1-。=/+2

所以卜+%+%=0,故/=-2

即點C的坐標為（2+'，-2）,代入拋物線E的方程得：4=4（2+。，解得，=-1,

1

t<-

滿足條件2,

所以直線班的方程為2x7-1=0.

（2）證明：設直線8c的方程為》=即+",與V=4x聯(lián)立得/一4町-4〃=0,

2

A=16(m+?)>0,所以=4m,y2y3=-4n

所以/+當=m(%+%)+2n-4m2+2n

2

（xl+x2+x3=3\x1=3-4m-2n

由⑴知、+%+%=。,所以1%=-4加,

即點A的坐標為6-4療-2〃,-4加）

3.

又點A在拋物線「=4x上，所以16蘇=4（3-4療-2"）,所以"-萬一2,

21

1m<一79

又">一相，所以2,所以點A的橫坐標3-4%-2〃=4"<2,

同理可證，B,C兩點的橫坐標也小于2.

所以"BC三個頂點的橫坐標均小于2.

方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

（2）代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再

求這個函數(shù)的最值或范圍.

21.（IM

（2）證明見解析

【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)/G）的最小值，轉化恒成立條件列不等式可求。的取值集合；

In2>----1------------1------------F???H------

（2）利用小問（1）構造不等式，賦值結合累加法證明〃+1"+2〃+32”，再

結合正弦函數(shù)性質和不等式性質即可證明結論.

【詳解】（1）由題可知函數(shù)/（X）的定義域為

a_x-a

,''y=令八x）=。，得』,

由x,"x）,（（無）列表如下

X(O,a)a3+8)

f(x)-0+

/'(x)遞減極小值遞增

/(x)mm=/S)=lna-a+l,

因為°恒成立，

所以InQ-q+lO,ae(0,+oo).

令g(x)=lnx-x+1,貝uxx,

由x,g(x),g'(x)列表如下

X（o」）1(l,+8)

g(x)+0-

g'(x)遞增極大值遞減

又Q￡(0,1),g(〃)=lnQ-Q+l<g(l)=0

aG(l,+oo),g(〃)=lna-a+l<g(l)=0

???“=1,故a的取值集合為{1}.

⑵由⑴可知，當。=1時，/w-0,

lnx+--l>0lnx>l--=——-

即X,XX,

y

/.ln(x+1)>----

X+1(當x=°時,"=”成立),

x=—(HGN+)

令〃,

十+i]>+=-L

)177+1\+n11

+1In>-->----

n則nn+1n+1,

由累加法可知

1

>--

n+\

1

In(2+n)-ln(?+l)>