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四川省成都市2024屆高三下學(xué)期4月分推考試數(shù)學(xué)(理科)
模擬試題
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合。{…1叫(1)},集—M”3},則低N)c8=()
A.(°」)B.[°』C,0D.{°1}
2.設(shè)i為虛數(shù)單位,且z("i)=2,則三=()
A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1+i
3.若向量/滿足⑷=4,⑻=3,且②-3孫(22+司=61,則2在?上的投影向量為()
1-1-2-2-
——b--b-b--b
A.2B.3c.3D.3
耳
4.已知等比數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和為S",%+%=12且%,%+6,生成等差數(shù)列,則1為()
A.244B.243C.242D.241
5.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行,為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn),友愛(ài),互助,進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神,5名
大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館450開(kāi)展志愿服務(wù)工作.若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者,則當(dāng)甲不
去場(chǎng)館A時(shí),場(chǎng)館3僅有2名志愿者的概率為()
3213
A.5B.50C.11D.4
6.己知函數(shù)/(x)=ln(e+x)-ln(e-x),則“幻是()
A.奇函數(shù),且在(°3)上是增函數(shù)B.奇函數(shù),且在(°3)上是減函數(shù)
C.偶函數(shù),且在(°,e)上是增函數(shù)D.偶函數(shù),且在(°,e)上是減函數(shù)
JTT
xsin6+一歹一1=0q1八O--
7.“直線2與x+ycos6+l=0平行,,是“4,,的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
/y2
8.已知雙曲線"21僅>°'>°)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工,A為C的右頂點(diǎn),以
片修為直徑的圓與C的一條漸近線交于P,Q兩點(diǎn),且4,則雙曲線C的離心率為
()
V21
B.亍C.亞
x+--1
展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為(
B.-H
71
f(x)=3cosa)x+—()恒有/34/(2兀),且y(x)在
10.若函數(shù)上單調(diào)遞減,
則0的值為(
115H
A.6C.6D.不或6
11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中,E、尸分別為/8、2c的中點(diǎn),則下列說(shuō)法不
正確的是()
A.當(dāng)三棱錐4一8跖的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上時(shí),球。的表面積為5
275
B.異面直線與3尸所成角的余弦值為可
c.點(diǎn)尸為正方形44GA內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)。尸〃平面片跖時(shí),。尸的最小值為工
D.過(guò)點(diǎn)口、E、尸的平面截正方體44GA所得的截面周長(zhǎng)為3行+百
22
?.0nC:—r+-^-r-=l(tz>6>0)
12.若點(diǎn)尸既在直線/?x—V+2=°上,又在橢圓/b2上,°的左、右焦點(diǎn)
分別為打,巴,山閭=2,且/£時(shí)的平分線與/垂直,則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()
VioM叵Vw
A.2B.屈C.2或4D,而或2
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分
cos(a+2£)=9,tan(a+尸)tan1=-4
13.已知6,寫(xiě)出符合條件的一個(gè)角a的值為.
abA
14.在正三棱臺(tái)“8C-44G中,AB=2,>A(側(cè)棱與底面ABC所成角的正切
值為五.若該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球,則此正三棱臺(tái)的體積為.
15.已知函數(shù)/(x)=x3+"2+8滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,n都有
/(%〃)=/(初/(〃)+2/(加)+2/(〃)+2,則曲線尸/(》)在x=-l處的切線方程為.
16.在銳角03c中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為〃臺(tái)。的面積,且
2〃+/
2
2S=a-(b-Cy則be的取值范圍為.
三、解答題:本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為
必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.已知{“"}是公差不為零的等差數(shù)列,且%2,生成等比數(shù)列.
⑴求數(shù)列{氏}的通項(xiàng)公式;
⑵若見(jiàn)q+i,求他)的前1012項(xiàng)和A。。.
18.在直角梯形/BCD中,AD//BC,BC=2AD=2AB=2C,448c=90。,如圖(1).把
△/助沿2。翻折,使得平面48。,平面BCD.
(1)求證:CD±AB.
BN
(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°?若存在,求出BC的值;
若不存在,說(shuō)明理由.
19.正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型
隨機(jī)變量X,定義其累積分布函數(shù)為尸(x)=P(XWx).已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的A,
B,C三個(gè)元件組成,在電源電壓正常的情況下,至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常
運(yùn)行,電源及各元件之間工作相互獨(dú)立.
(1)已知電源電壓X(單位:V)服從正態(tài)分布陽(yáng)40,4),且X的累積分布函數(shù)為尸(x),求
尸(44)-尸(38).
(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間.已知隨機(jī)變量
T(單位:天)表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命,且服從指數(shù)分布,其累積分布函數(shù)為
G(/)=11
1----
⑴設(shè)…>0,證明:尸(7>4口>幻=尸(7>「外;
(ii)若第"天元件A發(fā)生故障,求第〃+1天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率.
附:若隨機(jī)變量/服從正態(tài)分布N(〃,/),則尸(*一川<6=0.6827,尸(*-川<2b)=0.9545,
P(\Y-JLI\<3cr)=0.9973
20.己知拋物線氏「=4x的焦點(diǎn)為F,若O8C的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線E上,且滿足
FA+FB+FC=0,則稱該三角形為“核心三角形”.
(1)設(shè)“核心三角形”5C,,的一邊所在直線的斜率為2,求直線AB的方程;
⑵已知08C是“核心三角形,,,證明:"BC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于2.
f(x)=]nx+a
21.已知函數(shù)
⑴若/(x)之。恒成立,求a的取值集合;
sin-----+sin-------1—+sin——<ln2(nGN,)
(2)證明:?+1〃+22〃
(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一
題計(jì)分.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
x=2coscr
22.己知曲線0的參數(shù)方程為L(zhǎng)=Gsina為參數(shù)),直線/過(guò)點(diǎn)尸(°/).
(1)求曲線C的普通方程;
---------1--------------
⑵若直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn),且2,求直線/的傾斜角.
選修4-5:不等式選講
”n/mNWr/(%)=*-2x-3|
23.已知函數(shù)''??.
(1)求不等式/(X)'5的解集;
⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+B+"+2的最小值為加,若。>01>0且2a+6=加,求證:
4a2+b2>2
1.D
【分析】先表示出集合45,再由交集和補(bǔ)集的運(yùn)算得出結(jié)果即可.
[詳解]集合4={乂/=1085(%_1)}={“1>1},集合3={蚱胃0?”3}={0,1,2,3},
集合Q/={x|x《l},所以(QZ)c3={0,1}
故選:D
2.D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求z,進(jìn)而可得共朝復(fù)數(shù).
_2_2(l-i)
z-----------------=1—1
【詳解】由題意可得:1+i0+i)0-i),
所以z=1+i.
故選:D.
3.D
【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得屋各=-6,再由投影向量的定義求£在B上的投影向量.
—?―,―?—?―?2~~?―?-*2
【詳解】由(2”36)?(2〃+b)=4o—4a,b-3b=61,則£*=-6,
a-bb-61727
------=—X—/?=—b
由Z在石上的投影向量IN⑸333_
故選:D
4.A
【分析】首先根據(jù)條件求公比,再代入等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,即可求解.
【詳解】由題意可知,%+%=12且卬+%=2(%+6),
設(shè)等比數(shù)列的公比為九
2
貝I%+a]q=2%q+q+,得q=3,
.(T)
鼠=—廣3lzj^=i+35=244
S5a,(l-35)1-35
1-3
故選:A
5.B
150x-=100
【分析】首先得甲去場(chǎng)館B或C的總數(shù)為3,進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概
率.
卜:+咨相=150
【詳解】不考慮甲是否去場(chǎng)館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為IJ,
甲去場(chǎng)館4民0的概率相等,所以甲去場(chǎng)館B或c的總數(shù)為3,
甲不去場(chǎng)館A,分兩種情況討論,
情形一,甲去場(chǎng)館3,場(chǎng)館3有兩名志愿者共有C;C;/;=24種;
情形二,甲去場(chǎng)館0,場(chǎng)館B場(chǎng)館C均有兩人共有C;C;=12種,
場(chǎng)館8場(chǎng)館A均有兩人共有C;=6種,所以甲不去場(chǎng)館A時(shí),
24+12+64221
場(chǎng)館8僅有2名志愿者的概率為100~100~50.
故選:B.
6.A
【分析】求出函數(shù)的定義域,利用奇偶函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷即可.
Je-x>0
【詳解】若函數(shù)/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)有意義,則[e+x>0,解得_e<x<e,
即函數(shù)“X)的定義域?yàn)?-e,e),
因?yàn)?(r)=ln(er)Tn(e+x)=_[ln(e+x)-ln(e-x)]=-/⑴,所以函數(shù)仆)是奇函數(shù),
/(x)=ln(e+x)-ln(e-x)=In|e+—|=ln|-1+及|
函數(shù)Ve-xj,
猶二]?2e
因?yàn)楹瘮?shù)“一一十三在(°,。)上遞增,函數(shù)>=ln"在定義域上遞增,
所以函數(shù)/(、)在(°,e)上是增函數(shù).
故選:A
7.B
【分析】根據(jù)兩條直線平行,對(duì)應(yīng)方程系數(shù)的關(guān)系求解,分兩個(gè)方面判斷即可.
xsin^H—y—1=0/■)1八
【詳解】若直線2與x+ycos9+l=0平行,
。一
-s-in--=---2--w—1
易得:sinew0,cos6w0,故:1COS6^1,
Ill71IF
jsin0cos6=5,5sin2。=萬(wàn),sin2。=1,29=5+2kli(kGZ),<9=—+kn{kGZ)
0=-
得不到4,故不是充分條件;
八兀sin。2T.八I1八
0=-------=-------w——xsind+—y-l=0.八
反之,當(dāng)4時(shí)Icos。l成立,故直線2與x+ycos6n+l=0平行,
是必要條件;
.I71
xsin^+—y-l=0[0=—
故“直線2"與x+ycosOn+l=n°平行,,是“4”的必要不充分條件,
故選:B.
8.C
71
【分析】聯(lián)立圓與漸近線方程,得到尸(0/),0(-“,一6),進(jìn)而得到,利用直線斜
率得到方程,求出6=2。,得到離心率.
【詳解】由題意得,以月月為直徑的圓的方程為/+/=',/(凡°),
.b
y=±—x
漸近線方程為。,
x2+y2=c2
.b
y=-x
聯(lián)立〔。,解得X=±〃,
不妨令P(Q'b),Q(~a,-b),
ZOAP=-
故2
ZPAQ=—ZOAQ=—--=-
因?yàn)?,所以424
-b-0
所以七°=tan—=1
-Q—Cl4,解得6=2a,
_c
故離心率a
9.B
x+二"c:(x+4)r-i)'(x+gj
【分析】將x看成一個(gè)整體,得到,再展開(kāi)X2得到
4-r-3m=0,分別取值得到答案.
1
-
【詳解】將X工+T2看成一個(gè)整體,展開(kāi)得到:
X
(X+F)"'
X的展開(kāi)式為:
、.一2mcm4-r-3m
?%=C4_rx
取4一/一3加=0
當(dāng)機(jī)=0時(shí),r=4系數(shù)為:C4XCQx(-l)4=1
當(dāng)相=1時(shí),r=1系數(shù)為:C:xC;x(一『=-12
常數(shù)項(xiàng)為172=71
故答案選B
1
xH—7
本題考查了二項(xiàng)式定理,將X看成整體展開(kāi),再用一次二項(xiàng)式展開(kāi)是解題的關(guān)鍵,計(jì)算
較為復(fù)雜.
10.D
兀1
r2TIOH—=2kjtco=k—
【分析】由題意可得當(dāng)x=2兀時(shí),JUI取得最大值,所以3,可求出6,
斗,3
再由3I6J2,求出。的范圍,即可得出答案.
-27i6y+—=2kn
【詳解】由題意可得當(dāng)》=2兀時(shí),/(町取得最大值,所以3,
co=k--
6,kGZ
由/(%)在[]可上單調(diào)遞減,得§16j~2,
511511
CD———CD———
所以°<。<2.所以6或6.經(jīng)檢驗(yàn),6或6均滿足條件.
故選:D.
11.D
【分析】對(duì)于A:轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球分析運(yùn)算;對(duì)于B:根據(jù)異面直線夾角分析運(yùn)算;
對(duì)于C:根據(jù)面面平行分析判斷;對(duì)于D:根據(jù)平行關(guān)系求截面,進(jìn)而可得周長(zhǎng).
【詳解】對(duì)于A:三棱錐片一2£尸的外接球即為以8片、BE、8尸為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球,
BE=BF=-
因?yàn)榘?=12
R=-JB.B2+BE2+BF2=-.Il+-x2=—
可得外接球的半徑22,44,
S=4TT7?2=—
所以外接球的表面積2,故A正確;
BF=-
對(duì)于B:因?yàn)镈RBB\,則異面直線與87所成角為尸,且2
口金c。山B、F=2=正
B、F=JBB;+BF2=
可得42,所以B.F5
275
所以,異面直線02與3尸所成角的余弦值為甘,故B正確;
對(duì)于C:取44、42、GA的中點(diǎn)河、°、N,連接NM、MN、QN、DN,,
由題意可得:AEHB\M,AE=B、M,貝產(chǎn)仍附為平行四邊形,所以及£
因?yàn)樗倪呅?用GD為正方形,M、N分別為44、的中點(diǎn),則4M//RN,
AXM=D、N
所以,四邊形7VM為平行四邊形,所以,MN"g,MN=g,
又因?yàn)?。//"a,40=4。,可得MN//4D,MN=AD,
則“腦VD為平行四邊形,所以AM//DN,可得B\E〃DN,
因?yàn)槎陁平面瓦環(huán),ON<z平面為即,則ON〃平面耳即,
因?yàn)?4〃CG,44]=CG,則四邊形"4G。為平行四邊形,則"〃4Q,
因?yàn)镋、尸分別為48、3c的中點(diǎn),則EF//4C,同理可得QN//4G,則所〃4G,可得
QN//EF,
因?yàn)镋Fu平面片0N<Z平面片£尸,則”〃平面片£尸,
因?yàn)镺NIQN=N,DN、QNu平面DNQ,所以平面0N0〃平面片跖,
CXTQN=-A.C.=—
則點(diǎn)P在線段”上,可得22,
DQ=QN=1DD;+DN=]
所以當(dāng)點(diǎn)P為線段0N的中點(diǎn)時(shí),DP1QN,
JDQ2-(-QN)=逑
。尸取到最小值,且最小值為'12J4,故c正確;
DiNG
對(duì)于D:連接/c、4G,
因?yàn)镋、F為AB、8C的中點(diǎn),則跖〃/C,
又因?yàn)?4〃CG,N4=CC],則/4GC為平行四邊形,可得/C//4G,
則所//4G,
過(guò)作KL//&G,設(shè)AZn44=K,KZn
DtB?=L,則.〃所,
可得必=幽,g=BG,
連接KE、LF,設(shè)K£n44=G,L「nCC]=",連接〃G、D[H,
可得過(guò)點(diǎn)〃、E、尸的平面截正方體力3C。-44GA所得的截面為五邊形以舊。。,
22
-7CFG/]=2/G=—
因?yàn)锳4-Z力氣Ljrd一4/則]3,HC{=2CH=—3,
D八心G=Dn,Hu=-----G「E口=H口F口=--£F=—y/2
可得}3,6,2,
V2
2,故D錯(cuò)誤;
方法點(diǎn)睛:解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題,其通法是作出截面,將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾
何問(wèn)題求解,其解題思維流程如下:
(1)定球心:如果是內(nèi)切球,球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑;如果是外接球,球心到
接點(diǎn)的距離相等且為半徑;
(2)作截面:選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素
以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的;
(3)求半徑下結(jié)論:根據(jù)作出截面中的幾何元素,建立關(guān)于球的半徑的方程,并求解.
12.B
【分析】過(guò)點(diǎn)耳、為分別作耳/垂直直線/于點(diǎn)N、M,由/可根的平分線與/垂直
可得HPN=ZF…M,即可得叫尸N與AGPM相似,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得相似比,從
而可求出歸耳IP聞,結(jié)合橢圓定義即可得長(zhǎng)軸長(zhǎng).
【詳解】過(guò)點(diǎn)耳、月分別作々N、垂直直線/于點(diǎn)N、M,
作/耳尸耳的平分線PH與x軸交于H,
由閨段=2,故耳(TO)、£。,0),
II|—1+2|
則?1即26件唔二容
由尸》口且「〃為/母”的平分線,故NF\PH=2FFH,
故5PN=NFFM,
又片N_L/、F2M11故*PN與△耳PM相似,
4i
F{NNPPRF=i
F2MMPPF?3V23
故2
由/:x-y+2=0,令y=0,則x=-2,
故直線/與x軸交于點(diǎn)G(-2,°)
\F{N\NP\
由即T百兩=3
故M[=*M=?Kl=|w-
叼Iff3710
附=PTW+E
44
故
由橢圓定義可知,四網(wǎng)明=2。故”乎乎3
故選:B.
關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵在于作出片N、垂直直線/于點(diǎn)N、M,再將/月尸月的平分線與
/垂直這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為/耳=從而得到相似三角形,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及
但周=2得到照[圈的值.
2兀
13.3(答案不唯一)
12
cos(a+B)cosB=—sin(a+Q)sinB=——
【分析】根據(jù)題目條件得到6和'3,從而求出
cosa=cosF(a+S}-S~\=---=
LJ632,進(jìn)而求出角。的值.
[詳解]cos(a+2/?)=cos[(0+夕)+川=cos(a+)cos/_sin(a+/)sin/?
故cos(a+6)cosp-sin(a+尸)sinP=~
sin(a+/)sin/?
=-4
tan(a+〃)tan/=-4即cos(a+/3)cosP
故sin(a+〃)sin/=—4cos(a+/)cos[3
5cos(a+J3)cos/3=—cos(a+/?)cos(3=—
故6,即6,
2
卬sin(a+/?)sin/?=一4cos(a+£)cos/3=-—
21
則cosa=cos[(a+/)—/」=cos(a+夕)cos夕+sin(a+/?)sin(3
32,
可取3
2TI
故3
7后
14.12
【分析】取BC和4G的中點(diǎn)分別為p,Q,上、下底面的中心分別為02,設(shè)4A=x
內(nèi)切球半徑為r,根據(jù)題意求出側(cè)棱長(zhǎng)以及°?尸,°?,再根據(jù)切線的性質(zhì)及等腰梯形
BB&C和梯形AAXQP的幾何特點(diǎn)列方程組求出半徑即可.
【詳解】如圖,取BC和4a的中點(diǎn)分別為P,Q,
上、下底面的中心分別為°、°?,
設(shè)內(nèi)切球半徑為r,因?yàn)閠an///a=亞,棱臺(tái)的高為2r,
AAt=BB、=Cq=J(2r)2+伊rj=后
所以
。"》"4所與,同理強(qiáng)邛x
因?yàn)閮?nèi)切球與平切,切點(diǎn)在2°上,
所以加盟尸十°比不(、+2)①,
2
②,
2-xJ(X+2)2
6r2
"I-?12
由①②得
\2
PQ2=(2r)2+----------X
36J
在梯形"4°尸中,③,
r-h=2r=
由②③得2-x=j6r,代入得x=l,則棱臺(tái)的高3,
展“旦旦4+回.X而-------=7立---------
442312
所以棱臺(tái)的體積為J
故答案為.E
【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/3+2,將已知等式轉(zhuǎn)化為g(皿)=g(〃?)g(〃),再利用賦值法求
得g(0)與g⑴,進(jìn)而求得6,再利用利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】因?yàn)?(加")=/(")/(〃)+2/(加)+2/(〃)+2,
所以/(相")+2=(/(加)+2)(/(〃)+2)
設(shè)8(工)=/(工)+2=/+辦2+6+2
則g6m)=g(m)g6).
令加=〃=0,則g(o)=g2(o),則g(o)=o,或g(o)=l,
若g(°)=i,則由g(o)=g㈣g(0),")=1,顯然不成立,
所以g(o)=o,即6+2=0,則6=-2
令加=1,則g(〃)=g0)g(〃),由于g(")不恒為0,
故g°)=L即l+i+b+2=l,貝九。=0,
此時(shí)“x)=x3一2,經(jīng)檢驗(yàn),滿足要求,
則/(-1)=-3,r(x)=3一,所以r(-1)=3,
所以曲線V=/(x)在x=-l處的切線方程為y+3=3(x+l),即3*7=0.
故=0
16.
【分析】利用三角形面積公式與余弦定理,可得sin/+2cos/=2,再根據(jù)同角關(guān)系式可得
b43
——=--------1—
s'/,然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得。5tanC5,結(jié)合條件可得
bbb2+c21
——=t------=t—
tanC取值范圍,進(jìn)而求得c的取值范圍,令c,則bet,然后由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)
性即可求出.
【詳解】在“8C中,由余弦定理得。2=/+。2_2加《?/,
S=—besin/
且?3c的面積2,
由2S="—(b—c^,得AcsinZ=26c-26ccosZ,化簡(jiǎn)得sinZ+2cosZ=2,
7T
22A—\聯(lián)立得
又N°',sin^4+cosySsin?4-4sinZ=0,
sin/=一
解得5或sin/=°(舍去),
bsin5sin(力+C)sinAcosC+cosAsinC4十3
所以。sinCsinCsinC5tanC5,
因?yàn)楸谺C為銳角三角形,
<C<冗兀
0fB=rc-A-C<---A<C<-
所以2,所以22
tanC>tan|-^4|=-J—=----b
所以0)tanA4,所以tanC13人所以c
bJ35)b2+c2bc1
設(shè)展;其中七'旬,所以be一1+廠"7,
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
334534
c/=-y=—t=-y=—
當(dāng)f=l時(shí),y=2;當(dāng)5時(shí),15.當(dāng)3時(shí),.15,
/2,肖3口當(dāng)
所以L15人即be的取值范圍是L15人
故答案為.
643
——=--------1--
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得c5tanC5,進(jìn)而
可以求解.
*.⑴%=2〃-1
2024
⑵一2025
【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)即可得解;
(2)由裂項(xiàng)相消法可求出前1012項(xiàng)和.
【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列{""}的公差為d,
又1=1則〃2=%+"=1+"%=4+4d=1+4d
因?yàn)闉?外,%成等比數(shù)列,所以婚=%9,
即(l+d)2=lx(l+4d)
得d?-2d=0,
又因?yàn)椋?」是公差不為零的等差數(shù)列,所以d=2,
即〃“=%+(〃_l)d=1+(〃-l)x2=2n-l
(2)由(1)知
b,=(-D"+1=(-D"+1sYq=(T)"+彳占+3
an-an+i(2n-l)-(2n+l)\2n-l2n+\
^1012=bi+b2+&+"+…+4ou+篇12
1
+…++
2021/K/+短
12024
2025—2025
18.(1)證明見(jiàn)解析
BN1
⑵存在點(diǎn)N,此時(shí)2C4
【分析】(1)利用余弦定理和勾股定理可證明°工平面43。,再由線面垂直的性質(zhì)即可得
CD1AB.
(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量即可求得結(jié)果.
【詳解】(1)因?yàn)?D//3C,”C=2AD=2AB=26,4B_LBC,
可得AD=/3=拒,BD=ylAB2+AD2=2,
、/noc…,CD=J22+(272^1-2x2x25/2cos45o=2
又因?yàn)閆D3C=//DB=45。,可得VV/,
所以必+DC?,則CD_L8D,
因?yàn)槠矫嫫矫?cD,平面/5Dc平面BCD=50,且CZ)u平面2CZ),
所以C£?l平面N5D,
又因?yàn)?8u平面
所以C。-8;
(2)因?yàn)镃01平面/&),且5Ou平面4B。,所以CDLBD,
如圖所示,以點(diǎn)。為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
可得/(1,0,1),8(2,0,0),C(0,2,0),£>(0,0,0),
所以函=(0,-2,0),^5=(-1,0,-1)
n-CD=-2y=0
<
設(shè)平面4CD的法向量為五=G,%z),則[n-AD=-x-z=0
令x=i,可得y=o,z=-i,所以元=(L°,T),
假設(shè)存在點(diǎn)N,使得"N與平面所成角為60。,
設(shè)麗=2團(tuán),(其中0W條1),則N(2-2424,0),4N=(1-24,24,-1),
,卜?麗11-2/1+116
所以同期J(1一2幾)2+(2猶+(一16&2,
A---
整理得8萬(wàn)+24-1=0,解得一7或一一5(舍去),
BN_1
所以在線段8C上存在點(diǎn)N,使得/N與平面/CO所成角為60。,此時(shí)於一1.
19.(1)0.8186
7
⑵(i)證明見(jiàn)解析;(ii)16.
【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可結(jié)合產(chǎn)(%)=P(X〈x)的定義求解,
(2)(i)根據(jù)條件概率的計(jì)算公式集合尸&)=P(xWx)的定義以及G(r)的定義域即可求解,
(ii)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
【詳解】(1)由題設(shè)得尸(38<*<42)=0.6827,尸(36<X<44)=0.9545,
所以尸(44)一尸(38)=P(XW年3萍38)=P(40X44)+P(38X40)
=1x(0.6827+0.9545)=0.8186
(2)(i)由題設(shè)得:
p(T、tIT、,、—“)C(T>MP(T>tJ1-P(70)1-G(G
12
?P(T>t2]P(T>t2)l-P(T<t2)l-G(/2)
P(T>4_,2)=1_?(74乙一:2)=1-G(4-:2)=4'2F
?
所以尸(丁>小丁>才2)=尸(丁>「才2).
P(r>?+l|T>n)=P(r>l)=l-P(T^l)=l-G(l)=-
(ii)由⑴得4,
j_
所以第"+1天元件B,C正常工作的概率均為I.
為使第"+1天系統(tǒng)仍正常工作,元件B,C必須至少有一個(gè)正常工作,
1-(1--)2=—
因此所求概率為416.
20.⑴2x_yT=0
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)設(shè)NB的方程為>=2x+/,聯(lián)立拋物線方程,得到兩根之和,兩根之積,根據(jù)
尸(1,。)及成+麗+元=0得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2+,,-2),代入拋物線方程,求出1=-1,得到
直線方程;
(2)設(shè)直線8c的方程,聯(lián)立拋物線方程,得到兩根之和,兩根之積,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(3-4/—2〃,-4"),代入拋物線方程,得到"5一",由根的判別式得到〃>-近所以
m2<-
2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)4〃/<2,同理可證另兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)也小于2.
【詳解】(1)設(shè)直線的方程為>=2x+f,與j?=4x聯(lián)立得/-2y+2f=0,
1
由A=4-8t>0得2,
設(shè)/(國(guó),必則%+%=2,必%=2/,
所以西+x2=^(yI+y2-2t)=l-t
由題意知尸(L°),
因?yàn)樘K+而+正=6,或=(占-1,必),麗定=(工3-1,%),
所以(占+x2+x3-3,yI+y2+%)=(0,0),
卜1+%2+工3=3卜3=3-(1-。=/+2
所以卜+%+%=0,故/=-2
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2+',-2),代入拋物線E的方程得:4=4(2+。,解得,=-1,
1
t<-
滿足條件2,
所以直線班的方程為2x7-1=0.
(2)證明:設(shè)直線8c的方程為》=即+",與V=4x聯(lián)立得/一4町-4〃=0,
2
A=16(m+?)>0,所以=4m,y2y3=-4n
所以/+當(dāng)=m(%+%)+2n-4m2+2n
2
(xl+x2+x3=3\x1=3-4m-2n
由⑴知、+%+%=。,所以1%=-4加,
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為6-4療-2〃,-4加)
3.
又點(diǎn)A在拋物線「=4x上,所以16蘇=4(3-4療-2"),所以"-萬(wàn)一2,
21
1m<一79
又">一相,所以2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)3-4%-2〃=4"<2,
同理可證,B,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也小于2.
所以"BC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于2.
方法點(diǎn)睛:圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法:
(1)幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用幾何法來(lái)解決;
(2)代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再
求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.
21.(IM
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/G)的最小值,轉(zhuǎn)化恒成立條件列不等式可求。的取值集合;
In2>----1------------1------------F???H------
(2)利用小問(wèn)(1)構(gòu)造不等式,賦值結(jié)合累加法證明〃+1"+2〃+32”,再
結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和不等式性質(zhì)即可證明結(jié)論.
【詳解】(1)由題可知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?/p>
a_x-a
,''y=令八x)=。,得』,
由x,"x),((無(wú))列表如下
X(O,a)a3+8)
f(x)-0+
/'(x)遞減極小值遞增
/(x)mm=/S)=lna-a+l,
因?yàn)椤愫愠闪ⅲ?/p>
所以InQ-q+lO,ae(0,+oo).
令g(x)=lnx-x+1,貝uxx,
由x,g(x),g'(x)列表如下
X(o」)1(l,+8)
g(x)+0-
g'(x)遞增極大值遞減
又Q£(0,1),g(〃)=lnQ-Q+l<g(l)=0
aG(l,+oo),g(〃)=lna-a+l<g(l)=0
???“=1,故a的取值集合為{1}.
⑵由⑴可知,當(dāng)。=1時(shí),/w-0,
lnx+--l>0lnx>l--=——-
即X,XX,
y
/.ln(x+1)>----
X+1(當(dāng)x=°時(shí),"=”成立),
x=—(HGN+)
令〃,
十+i]>+=-L
)177+1\+n11
+1In>-->----
n則nn+1n+1,
由累加法可知
1
>--
n+\
1
In(2+n)-ln(?+l)>
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