2024年中考數學第一次模擬考試（揚州卷）全解全析

2024年中考第一次模擬考試（揚州卷）

數學?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，恰有一

項是符合題目要求的）

1.下列各數中，最小的數是（）

A.0B.|-7|C.（-2）3D.-32

【答案】D

【解析】解：由題意知，卜7|=7,（-2）3=-8,-32=-9,8<9

A-9<-8<0<7,即一3?<（-2）3<0<|-7|,

最小的數是-3"

故選：D.

2.下列計算正確的是（）

A.Ic^b-3a2b=—a2bB.a3-a4=an

C.（-2a2/?）3=-6a6b3D.（a+b）2=a2+b2

【答案】A

【解析】A項，2a2b-3a2b=-a2b,計算正確，故本項符合題意；

B項，原計算錯誤，故本項不符合題意；

C項，（-2a7y=一8一戶，原計算錯誤，故本項不符合題意；

D項，（a+Z?）2=/+2出;+〃，原計算錯誤，故本項不符合題意;

故選：A.

3.下面是由七巧板拼成的圖形（只考慮外形，忽略內部輪廓），其中軸對稱圖形是（）

【答案】C

【解析】解：A.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

B.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，故此選項合題意；

D.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：C.

4.實數a,b在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）

b

i.i?[1,1A

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.。+3<%+3D.—3a<—3b

【答案】D

【解析】解：由題意可得：-3＜匕＜-2,〃=2,所以

ab<0,a+b<0,a+3>b+3,-3a<-3b,

觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的;

故選：D.

5.2023年5月30日，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，成為我國航天事業(yè)的里程碑,某校對全校1500名學

生進行了“航空航天知識”了解情況的調查，調查結果分為4B,C,。四個等級（A：非常了解；b比較

了解；C：了解；D；不了解）.隨機抽取了部分學生的調查結果，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據統(tǒng)計圖

信息，下列結論不正確的是()

B.樣本中C等級所占百分比是10%

C.D等級所在扇形的圓心角為15。D.估計全校學生A等級大約有900人

【答案】C

【解析】解：A.；50+25%=200,即樣本容量為200,故選項正確，不符合題意;

20

B.樣本中C等級所占百分比是二義100%=10%,故選項正確，不符合題意；

200

20

C.樣本中C等級所占百分比是*X1OO%=1()%,。等級所在扇形的圓心角為

200

360°x(1-60%-25%-10%)=18°,故選項錯誤，符合題意；

D.估計全校學生A等級大約有1500x60%=900(人)，故選項正確，不符合題意.

故選：C.

6.如圖,等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,BA=BC,將BC繞點、B順時針旋轉<z(0°<?<90°),得到BP,

連接CP,過點A作A/7_LCP交CP的延長線于點X,連接AP,則下列結論不一定成立的是()

A.NBPC=NBCPB.ZBPH=ZBAHC.PA=PBD.AH=PH

【答案】C

【解析】解：根據旋轉的性質，結合A4=3C有3C=3P=54,

:.ZBCP=ZBPC,ZBPA=ZBAP,故A項正確；

AHLCP,ZABC=90°,

ZAHC=ZABC=90°,

」.A、B、C、“四點共圓,

ZBCH+ZBAH=180°,

ZBPC=NBCP,ZBPC+ZBPH=180°,

:.ZBPH=ZBAH,故B正確；

若PA=PB,PA=PB=AB,貝hBLB是等邊三角形，

顯然，在旋轉時，無法總是等邊三角形，故C錯誤；

ZBPA=ZBAP,

ZBPH-ZBPA=ZBAH-ZBAP,

:.ZHPA=/HAP,

:.AH=PH,故D正確，

故選：C.

7.安安同學在正三角形中放入正方形函W和正方形斯P”（兩個正方形不重疊），使得DE,EF在邊AB

上，點尸，N分別在邊CBC4上.下列說法正確的是（）

A.兩個正方形邊長和的最小值為］

B.兩個正方形的邊長差為3

C.兩個正方形面積和的最小值為49+27有

D.兩個正方形面積和的最大值為99-547^

【答案】D

【解析】解：如圖，連接NE、EP、PN,則/2VEP=9O。.

設正方形DEMN、正方形EFP”的邊長分別為以b(a>b),它們的面積和為S,則NE="z，PE=后,

：.PN2=NE、PE2=2/+2b2=2(a2+b2),

：.S=a2+b2=-PN2.

2

延長PH交ND于點G,則PG，ND,

在RtAPGN中,由勾股定理，PN-=PG1+GN-=（a+bf+（a-b）2.

VAD+DE+EF+BF=AB,即立a+a+b+且b=百+3,

33

??y/3ci+3a+3b+y/3b=3y/3+9，

：.（3+6）。+（3+@6=3（3+⑹，

：.a+b=3,故選項A、B不正確；

[5=：[32+（"6）[=：+的一6）二

①當（〃_爐=0時，即〃=6時，S最小.

**-S最小=gx32=：；故選項C不正確；

②當（〃—/?『最大時，S最大.

即當〃最大且。最小時，s最大.

?.?a+b=3,

由（2）矢口，a最大=34一3,匕最小=3—a最大=6-3』.

,,§最大=][9+（〃最大-b最小了]

=；x9+（34—3—6+3月『

=；x9+（6A/3-9）2]

=99-54百.故選項D正確；

故選：D.

8.如圖，在，ABC中，AC=BC=8,NACB=90。，點。、石分別為AG84的中點，點P從A點向。點

運動，點。在OE上，且。。=小，連接02,過點。作。。交A5與點尸，設點尸運動的路程為羽ACQF

的面積為則能反映,與x之間關系的圖象是（）

CB

A.

【答案】C

【解析】解：過點尸作FNLBC于點N,延長加交DE的延長線于點如圖,

點。、E分別為AC,48的中點,

DE」BC=4,DE//BC,

2

FNLBC,

:.MNIDE,

ZACB=90°,

二?四邊形CDAW為矩形，

:.MN=CD=-BC=4.

2

AC=BC=8,ZACB=90°,

/.ZB=45°.

FN^BC,

，ZNFB=45。,

ZEFM=ZNFB=45°.

.?._跖叩為等腰直角三角形，

:.ME=MF.

設ME=MF=m,

由題意得：PA=x,貝！|DP=4—九，

DQ=DP,

/.DQ=4—xf

.\QE=DE-DQ=4-(4-x)=x.

QFLCQ,

/.ZDQC+ZMQF=90°,

NDQC+NDCQ=90。,

:.ZDCQ=ZMQF.

NCDQ=NQMF=90。,

\DCQsMQF,

CD_MQ

.4m+x

,,~=9

4-xm

角畢得：m=4-x,

:.MF=4-x.

.\FN=MN-MF=x.

=

-SCQFS梯形CDEB-SCDQ-SQEF-SBCF,

\y=g(DE+BC)?CD3酉冷。。一^酉蹌石MF-g函CNF

=gx(4+8)x4-gx4(4一%)一；x%(4一x)-gx8%

1

—24—8+2%—2xH—x9—4x

2

=-x2+4x+16

2

192

=_(X-4)+8,

->0,

2

二拋物線的開口方向向上，頂點為(4,8)

由題意：x的取值范圍為：0VxV4,

.??當％=0時，y=16,當％=4時，y=8,

???y與X的函數圖象是以點(4,8)和(0,16)為端點的拋物線y=g(X-4)2+8上的一部分,

故選：C.

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）

9.計算：V9-2-'=.

【答案】2.5

【解析】解：g2T

=3—0.5

=2.5.

故答案為：2.5.

10.中國倡導的“一帶一路”建設將促進我國與世界各國的互利合作，根據規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總人口

約為4600000000人，這個數用科學記數法表示為.

【答案】4.6X109

【解析】解：4600000000用科學記數法表示為4.6x109.

故答案為：4.6xlO9.

11.若a—b=l,則代數式/一方2—26的值為.

【答案】1

【解析】解：???。一。=1，

a2-b2-2b

=^a+b^a-b^-2b

=a+b-2b

=a-b

=1,

故答案為：1.

12.如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到.ABC,

則tan/AC3的值是.

【答案】正

3

【解析】解：如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形,

???正六邊形對邊互相平行，且內角為120。,

/.FD=2FG=2EFxcos30°=g

設正六邊形的邊長為1,則CD=3,AD=2FD=2框,

?+/AE_AD_2遭

??tanNACB------------

CD3

故答案為：正.

3

13.如圖所示，扇形A03中，ZAOS=140°,點C為。4中點，Q4=8,。，47交&8于。，以OC為半

徑畫CE交于E，則圖中陰影部分面積為_______________.

【答案】86+8萬

【解析】解：如圖，連接。。

CD1.OA,AC=OC=-OA=4,OA=OD=8,

2

_________oc1

:.CD^ylOD2-OC2=473，sinZCDO=-

:.ZCDO=30°,NCO0=6O。，

.../BOD=ZAOB-ZAOD=140°-60°=80°,

??S陰影=S扇形。8。+S叢0cD~S扇形。CE

80。??8140。.萬.42

360。~360°

=8\/3+871

故答案為：873+871.

14.十八世紀法國的博物學家C?布豐做過一個有趣的投針試驗.如圖，在一個平面上畫一組相距為d的平

77

行線，用一根長度為/（/<4）的針任意投擲在這個平面上，針與直線相交的概率為可以通過這一試驗

Tia

來估計兀的近似值.某數學興趣小組利用計算機模擬布豐投針試驗，取/=得到試驗數據如下表：

試驗次數15002000250030003500400045005000

相交頻數4956237999541123126914341590

相交頻率0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180

可以估計出針與直線相交的概率為（精確到0.001）,由此估計無的近似值為（精確到Q01）.

【答案】0.3183.14

【解析】解：根據試驗數據得：當試驗次數逐漸增大時，相交頻率接近于0.318,

:?相交的概率為。318；

d

2

—=0.318,

7id

-=0.318,

71

解得：萬。3.14,

故答案為：0.318；3.14

15.2023年5月8日，C919商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產大飛機正式起步.12時31分航班抵達

北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中高級別的禮儀）.如圖①，在一次“水

門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分.如

圖②，當兩輛消防車噴水口A、2的水平距離為80米時，兩條水柱在物線的頂點”處相遇，此時相遇點H

距地面20米，噴水口A、2距地面均為4米.若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口4、B'

到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點"'距地面________米.

圖①圖②

【答案】19

【解析】解：由題意可知:

A（-40,4）、3（40,4）、“（0,20）,

設拋物線解析式為：y=a?+20,

將A（-40,4）代入解析式y(tǒng)=浸+20,

解得:。=焉

V2

."=-------+20,

100

消防車同時后退10米，即拋物線＞=-京+20向左（右）平移10米,

+102

平移后的拋物線解析式為：（^）+20,

-100

令x=0,解得：y=19,

故答案為：19.

16.如圖，在正方形ABC。中，點E是邊8c上的一點，點尸在邊CD的延長線上，且BE=DF,連接E尸

交邊4。于點G.過點4作47_1跖，垂足為點M,交邊C。于點N.若BE=5,CN=8,則線段AN的

長為______

【答案】4>/34

【解析】解：如圖：連接AE、AF.EN,

四邊形ABCC是正方形

設AB=BC=CD=AD=a,ZB=ZADF=90°,

在△AfiE與△AD尸中，

AB=AD

■ZB=ZADF

BE=DF

:.AABE^AADF（SAS）,

:.AE=AF,

.,.△AEF是等腰三角形，

又?AMYEF,

.〔AN垂直平分EF

/.EN=FN=DN+DF=CD—CN+DF=a—8+5=a—3,

又，BE=5,

EC=BC-BE=a-5,

在RtAECN中，EN2=EC2+CN2,

.-.(a-3)2=(6Z-5)2+82,

解得a=209

.\AD=20fDN=CD-CN=20-8=12,

在心YMW中，AN2=AD1+DN2,

AN=>JAD2+DN2=A/202+122=4A/34，

故答案為：4734.

17.如圖，菱形OABC的邊OC在y軸，點B在第一象限，且/3=60。，將這個菱形向右平移2個單位得到

k

菱形OABC(點X和A對應).若反比例函數y=—(%w0)的圖象恰好經過點4,3,則％的值為.

x

yk

\BB,

【答案】拒

【解析】解：延長54交x軸于點M,過點8作BNLy軸，垂足為N,如圖所示:

%

c^Kc^],

OMo'x

在Rt3NC和用一OM4中，

BC=AO

BN=OM

:,RtBNC^RtOMA{HL),

:.AM=CN,

Zfi=60°,

,\ZOAM=60°,

:.ZAOM=30°,

設菱形OABC的邊長為m,則A*,

??.點B的坐標為,

???菱形向右平移2個單位得到菱形OAQC,

???y=A(左NO)的圖象恰好經過點A，，B,

X

.,鄧g、\63

..k=xy=(^-m+2)x—m=mx3ml

解得：m=28,

3

,V333^23^312r-

22449

故答案為：

18.如圖，ABC為直角三角形，ZACB=90°,AC=1,BC=3,。是AB邊上的中點，將"CB繞著點

A逆時針旋轉，使點C落在線段CD上的點E處，點B的對應點為e，邊EF與邊交于點G,則。G的

長是______

【答案】3M

26

【解析】解：如圖，過點C作C//LAD于過點。作DNJL砂于N,

F

BC=y/AC2+BC2=71+9=710，

AD是5C邊上的中線,

，AD=CD=BD=—

2

:.ZDAC=ZDCA,

ZBAC=90°=ZCHA,

.\ZDAC+ZACH=9Q°=ZDCA+ZB,

，NB=/ACH,

sinB=sinZACH=—=—

ACBC

…ACAC1x1回

AH=----------=—==,

BCVioio

nACAH1

tanB=tanNACA/=---=----=—

ABCH3

，…"邛

.將,ABC繞著點C逆時針旋轉,

：.CE=AC=\,ZCEF=ZBAC=90°9

AH=AE=—,NCEH+ZDEN=90。，

10

"E=3杵仁巫一巫①亞

2101010

,ZCEH+ZHCE=90°f

..ZHCE=ZDENf

又.ZCHE=ZDNE=90°,

:ACEHSAEDN,

CEHE

法一麗

叵

1

.=lo~

-3加DN'

10

3

:.DN=—,

10

NCEG=NDNG,ZDGN=ZCGE,

:./\CGE^Z\DGN,

3

DGDN飛3,

CG-CG-T-10

CG+￡>G=CO=—,

2

.nr_3^0

26

故答案為：可.

26

三、解答題(本大題共10小題，共96分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(8分)

(1)計算：V4-+11-2cos45°|-(3.14-7t)°；(2)解方程：(x+3j=2x+6.

【解析】解：(1)原式=2—9+1—2x1—1=一7+忘一1一1=近一9；

(2)(x+3『=2x+6,

(X+3)2=2(X+3),

(X+3)2-2(X+3)=0,

+3)(x+3-2)=0,

%+3=0或x+l=0,

..%=—3,=-1.

20.(8分)先化簡："+2+1+普］再從-lVa42的整數中選取一個你喜歡的。的值代入求值.

Va-2J2a-4

【解析】解：P+2+^-^^L

Va-2j2a-4

(〃+2)(a-2)31a+1

、a—2Q—2,2Q—4

/—1。+1

〃—22a—4

+2(Q-2)

a—2a+1

=2<3—2

在-14aW2范圍內的整數為TO,1,2,

,..當。=-1或4=2時，分式無意義，

??67~0!3^a=1,

當a=0時，原式=-2,

當(7=1時，原式=2-2=0.

21.（8分）課間休息，數學李老師提前來到了教室，準備上數學課，看到了上節(jié)物理課在黑板上留下的一

個電路圖（如圖所示），就囑咐班級的值日生擦黑板時把電路圖留下.上課時，李老師問班級的物理課代表:

“此電路圖下，小燈泡何時發(fā)光”，物理課代表回答：“在開關S1閉合的情況下，再閉合s2,s3,S4中的任意

一個開關，小燈泡就會發(fā)光”，物理課代表的回答得到了全班同學的認可.接下來，李老師提出了如下的數

學問題:

（1）在開關S3閉合的情況下，隨機閉合S1,邑，S,中的一個開關，能夠讓小燈泡發(fā)光的概率為

（2）當隨機閉合邑，S3,S,中的兩個開關時，請用畫樹狀圖或列表的方法求出能使小燈泡發(fā)光的概率.

【解析】（1）所有等可能的情況有3種：S3,邑閉合；5，S3閉合，S3,S,閉合，

其中小燈泡發(fā)光的情況有1種：S-S3閉合，

則尸（小燈泡發(fā)光）=|;

故答案為：—;

（2）解：設S］、S2、S3、S4分別用1、2、3、4表示,

畫樹狀圖得:

開始

/N/N/N/N

234134124123

「共有12種等可能的結果，能夠讓燈泡發(fā)光的有6種結果,

???能夠讓燈泡發(fā)光的概率為：

故答案為：

22.（8分）陽光營養(yǎng)餐公司為學生提供的300g早餐食品中，蛋白質總含量占8%,包括一份牛奶，一份谷

物食品和一個雞蛋.一個雞蛋的質量約為60g,谷物、牛奶和雞蛋的部分營養(yǎng)成分見下表:

項目谷物（每100g）牛奶（每100g）雞蛋（每100g）

蛋白質（g）9.03.015

脂肪（g）32.43.65.2

碳水化合物（g）50.84.51.4

（1）求每份該種早餐中谷物食品和牛奶各多少g?

（2）該公司為學生提供的午餐有A、8兩種套餐（每天只提供一種），見下表:

套餐主食肉類其他

A150g85g165g

B180g60g160

為了平衡膳食，公司建議控制學生的主食和肉類攝入量，在一周內，每個學生主食的攝入量不超過830g,

肉類攝入量不超過410g,每個學生一周內午餐可以選擇A、8套餐各幾天（一周按5天計算）？

【解析】（1）解：設每份該種早餐中谷物食品有用，牛奶有龍.依題意，列方程組為

9%x+3%y+60xl5%=300x8%

%+y+60=300

x=130

解得

j=110

A:=130,y=ll。，

答：每份該種早餐中谷物食品有130g,牛奶nog。

（2）解：設每個一周里共有。天選擇A套餐，則有（5-〃）天選擇3套餐.

150a+180(5-a)<830

依題意，得

85。+60(5-a)<410

1?

解得TWaV”.

a=3或。=4,

當a=3時，5-。=2,

當〃=4時，5-a=l,

???每個學生一周內午餐可以選擇A套餐3天，選擇3套餐2天;或每個學生一周內午餐可以選擇A套餐4天，

選擇5套餐1天.

23.（10分）如圖，在YABCD中，以點A為圓心，AM的長為半徑作弧，交AB,AD于點M,N,分別以

點M,N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P,連接”并延長，交BC于點、E,在上截

取DF=BE.

（1）求證：AE=CF；

（2）四邊形MC產能否為矩形？若能，請?zhí)砑右粋€條件；若不能，請說明理由.

【解析】（1）證明：：YASCD,AAB=CD,NB=ND,

又「DF=BE,

AABE^ACDF(SAS),

AE=CF；

（2）解：四邊形AEC尸不能成為矩形，理由如下：

若四邊形AECP為矩形，貝UNE4P=90。，

由作圖可知，AE平分13AD,

Z.ZBAD=2ZEAF=2x90°=180°,與ZBAD<180°矛盾,

四邊形AECF不能成為矩形.

24.（10分）如圖，已知ABC中，AB=AC,以A5為直徑的圓。交3c于。，交AC于E.

（1）若止1AC,求證：DF為。的切線.

(2)若DF為。的切線，AE=4,cosA

【解析】（1）解：如圖：連接AD,0D,

??,為圓。直徑,

???AD1BC,

?：AB=ACf

：.BD=CD,

,:AO=OB,

：.OD//AC,

DF1AC,

???DFLOD,

；?DF為。的切線.

(2)解：如圖：連接BE,

???A3為。的直徑，

???BE1AC,

2

?AE=4,cosA=—,

???AB=10f

?*-BE=VAB2-AE2=V102-42=2>/21，

VAB=AC,ADIBC.

：.ABAD=ACAD,BD=CD,

,,BD=DE，

:.OD工BE,

?：DF為。的切線,

:.ODLDF,

DF//BE,

：.CF=EF,

25.（10分）火災是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會發(fā)展的主要災害之一，消防車是消防救援的主要

裝備.圖1是某種消防車云梯，圖2是其側面示意圖，點。，B,。在同一直線上，。?？衫@著點0旋轉,

為云梯的液壓桿，點。，A,C在同一水平線上，其中3?？缮炜s，套管03的長度不變，在某種工作狀

態(tài)下測得液壓桿AB=3m,ABAC^53°,NDOC=37°.

圖1圖2

⑴求20的長.

（2）消防人員在云梯末端點。高空作業(yè)時，將3。伸長到最大長度6m,云梯。0繞著點。順時針旋轉一定的

33

角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m,求云梯。。旋轉了多少度.（參考數據：sin37。。工，tan37°?-,

54

44

sin53°,tan53°?,sin64°?0.90,cos64°?0.44）

53

【解析】（1）解：如圖，過點2作3ELOC于點E,

在Rt&WE中，/A4c=53。，AB=3m,

412

/.BE=AB-sinZBAE=3xsin53°?3x—=一,

55

在Rt3OE中，4BOE=37°,BE*,

BF

,：sinZBOE=——,

OB

12

T=4

5

(2)解：如圖，過點。作。尸，OC于點尸，旋轉后點。的對應點為。我過點。幽乍O'GLOC于點G,過

點。作DHDG于點X,

在中，OD=OB+BD=4+6=10,ZDOF=31°,

3

￡>F=Or>sin37°?10x-=6m,

D'G=D'H+HG=3+6=9m,

在RtDOG中，OD'=10m,D'G=9m,

℃Q

sinZD,OG=——=—,

D'O10

ND'OGa64°,

：./DOD=64?！?7。=27。，即云梯0。大約旋轉了27。.

26.(10分)2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，任務取得圓滿成功.航模店看準商

機，同樣花費320元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多4個且每個“天宮”模型成本比每個“神舟”模型

成本少20%.

（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

（2）該航模店計劃購買兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，“天宮”模型的售價為25元.設

購買，，神舟,，模型。個，售賣這兩種模型可獲得的利潤為w元，

①求w與。的函數關系式（不要求寫出a的取值范圍）；

②若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的一半，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以

獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【解析】（1）解：設“神舟”模型成本為每個x元，則“天宮”模型成本為每個。-20%）尤=0.8x（元），

根據題意得：-320=^3。-04,

解得x=20,

經檢驗，x=20是原方程的解，

0.8X=16（T￡）,

答：“神舟”模型成本為每個20元，“天宮”模型成本為每個16元；

（2）解：①設購買“神舟”模型。個，則購買“天宮”模型（100-。）個，

貝||w=（35-20）?+（25-16）（100-a）

=2a+900,

W與a的函數關系式為vv=6a+900；

②???購進“神舟”模型的數量不超過“天官”模型數量的一半，

aV§（100-a）,

解得

w=6a+900,6>0,

.,.當x=33時，

w最大=33x6+900=1098（元）；

答：購進“神舟”模型33個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤1098元.

27.（12分）綜合與實踐

數學活動課上，數學老師以“矩形紙片的折疊”為課題開展數學活動：將矩形紙片A3CD對折，使得點4D

重合，點8,C重合，折痕為EF,展開后沿過點8的直線再次折疊紙片，點A的對應點為點N,折痕為

圖(2)圖(3)

⑴如圖⑴若AB=BC,則當點N落在E尸上時，8尸和3N的數量關系是,尸的度數為

思考探究:

⑵在=的條件下進一步進行探究，將跳W沿8N所在的直線折疊，點M的對應點為點卜.當點M'

落在C。上時，如圖(2),設BN,分別交跖于點J,K.若的，=4,請求出三角形R/K的面積.

開放拓展:

(3)如圖(3),在矩形紙片43co中，AB=2,AD=4,將紙片沿過點B的直線折疊，折痕為點A的

對應點為點M展開后再將四邊形沿8N所在的直線折疊，點A的對應點為點P,點〃的對應點為

-4-=72-1)

點連接。尸,DP,若尸C=PD,請直接寫出A"的長.(溫馨提示:“=2-6，

V2+1

【解析】(1)解：由折疊得：AB=BN,BF=CF,ZBFN=90°,

AB=BC,

.\BF=-BN

2f

:.ZBNF=30°,

/.ZNBF=90°-30°=60°,

故答案為：BF=《BN,60°；

(2)由折疊得：BM=BM',

四邊形ABC。是矩形，

.\ZA=ZC=90°f

AB=BC,

RtAABM^RtACBM^HL),

:.AM=CM,,ZABM=ZCBMr,

/.ZABM=ZMBN=ZNBM'=/CBM',

NFBJ=45。，

?.ABQ是等腰直角三角形，

「四邊形ABCD是矩形，AB=BC,

?.矩形ABCD是正方形，

\AD=CD,?D90?,

\DM=DMr=4,

?.MM，=4叵，

AM=MN=MN=CM',

\CMr=2y/2,

BC=CD=4+2啦,

?.BF=FC=2+^2f

f

FK//CMf

\BK=KMf,

\FK=-CM,=yf2,

2

*7是等腰直角三角形，

,.BF=FJ=；BC=2+也,

?./K=2+&-0=2,

?&BJK=1-J7C-BF=1X2X(2+A/2)=2+A^；

(3)如圖，過點P作PG,3c于G,PHLCD于",

圖⑶

PC=PD,

:.DH=CH=-CD=-AB=1,

22

ZPGC=ZPHC=ZBCH=90°,

四邊形尸GC〃是矩形，

??,PG=CH=1,

由折疊得：BN=BP=AB=2,ZNBP=ZABN,

RtABPG中，ZPBG=30°,

90°-30°

...ZABN=ZNBP=-----------=30°,

2

延長M0',BP交于L,

RtABNL中,BN=2,ZNBL=30°,

5cV3273

/.NL—2x—=------,

33

RtZXMPL中，ZMLP=90°-30o=60°,

.?.NPA/Z=30。,

設*x,貝!]MZ=2x,MT=6