浙江省湖州市2024屆高三年級上冊期末數(shù)學試題（含答案解析）

浙江省湖州市2024屆高三上學期期末數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合力={x|—l<x<4},B=[x]x<3},則()

A.{x\-l<x<3}B.{x|-l<x<4}C.{x\x<4}D.{M%<3}

2.已知復數(shù)z滿足(z-l)i=4+3i(i為虛數(shù)單位)，則z+^=()

A.8B.6C.-6D.-8

3.已知向量漏=太=(26,-2),則荏在就上的投影向量是()

(拒1][力1](61)(M-

122)[22)I22)[22)

4.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27,31,37,m,42,49；乙組：24,〃，

33,44,48,52,若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應相等，則

m+n=()

A.60B.65C.70D.71

5.已知?，兀，且3cos2a—sina=2,貝！J()

2tan(兀-夕)=字

A.cos(兀-a)=§B.

6.記S”是數(shù)列{%}的前〃項和，設甲：{%}為等差數(shù)列；設乙：s,/(%；%),貝1K)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

7.在正四棱錐尸-/BCD中，底面43。的邊長為2OP/C為正三角形，點分別

在尸8,2。上，&PM=2MB,PN=2ND,若過點4",N的截面交尸。于點0,則四棱

錐尸的體積是()

.276口4遍「2屈n癡

3399

8.已知函數(shù)/'(x)=e，T,g(x)=ax2,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=/(x),y=g(x)

試卷第1頁，共4頁

圖象均相切，則實數(shù)。的取值范圍是（）

2

A.B.C.D.—,+00

二、多選題

9.下列結(jié)論中正確的是（）

A.在2x2列聯(lián)表中，若每個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉?、?倍，則/的值不變

n(ad-be)2

Z2，其中幾=a￥bvc+d

(〃+b)(c+d)(a+c)?+d)

7

B.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N（3,4）,若《=2/7+3,則

C.在一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點（%,%）［=1,2,…/）都在直線

y=0.9x+1±,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為0.9

D.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件”表示為"第1枚為正面”，事件N表示為“兩枚

結(jié)果相同”，則事件是相互獨立事件

10.已知正數(shù)。,6滿足。（。+6）=1,下列結(jié)論中正確的是（）

A./+〃的最小值為2行一2B.2a+b的最小值為2

C.工+工的最小值為士AD.五-花的最大值為1

ab2

II.純音的數(shù)學模型是函數(shù)>=上出詡，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而

是許多個音的結(jié)合，稱為復合音.復合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為了

的基音的同時，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率

恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如27,3九4/等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，我們一

般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音函數(shù)是>=simc+gsin2x+；sin3x+-」m

工（尤）=sinx+Lsin2尤+,sin3x+…+』sin“x,則下列結(jié)論中正確的是（）

23n

A.X=7I:為力（x）的一條對稱軸B.力（X）的周期為2兀

C.力（x）的最大值為g+與D.￡（對關于點（兀,0）中心對稱

12.已知。為坐標原點，點4-2,-1）在拋物線C:/=_2加5>0）上，過點8（0,1）的直

線交拋物線C于尸，。兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準線方程為y=lB.直線與拋物線。相切

C.赤.而為定值3D.\BP\-\BQ\>\B^

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

13.已知的展開式中含一項的系數(shù)為8,則實數(shù)。=.

14.已知圓C的圓心在直線y=x+i上且與了軸相切，請寫出一個同時滿足上述條件的

圓的標準方程：.

15.已知一個圓臺的上、下底面半徑為a,b(a<b),若球O與該圓臺的上、下底面及側(cè)面均

相切，且球。與該圓臺體積比為三，則/=__________.

13b

16.已知雙曲線5-1=1(。>0,6>0)的左右頂點分別為48,點C滿足74=力存(2>1),

點尸為雙曲線右支上任意一點(異于點3),以ZC為直徑的圓交直線/P于點直線

8尸與直線CM交于點N.若N點的橫坐標等于該圓的半徑，則該雙曲線的離心率

是.

四、解答題

17.記"的內(nèi)角4民C的對邊分別是a,6,c,已知°=百,

3

sin5sinC=w，siiL4sin(B-C)+si“sin(C-4)=sinC(sin^-sinC)

(1)求角A的大小;

(2)求的面積.

18.已知數(shù)列｛。J的前〃項和為S,，數(shù)列｛"｝為等差數(shù)列，且滿足

%=Tg+a=°，E=2緣+〃(〃eN).

⑴求數(shù)列｛%｝和低｝的通項公式；

c

(2)若q=4c”=c2nA+=2?+a“，求數(shù)列匕｝的前In項和%.

19.如圖，在多面體/8CDEF中，四邊形48C。為平行四邊形，且

BD=-CD=1,BD_LCD.DE1平面ABCD,S.DE=-BF=區(qū)DE〃BF.點H,G分別為

22

線段。C,所上的動點，滿足?！?EG=〃0<4<2).

試卷第3頁，共4頁

(1)證明：直線GH〃平面8C/；

(2)是否存在彳，使得直線GH與平面NE廠所成角的正弦值為運？請說明理由.

14

20.杭州第19屆亞運會，是繼1990年北京亞運會、2010年廣州亞運會之后，中國第三

次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.2023年9月23日，杭州亞運會開幕式隆重

舉行.某電商平臺亞運周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當晚7點前登錄該直播間的前N名觀

眾設置了兩輪“慶亞運、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統(tǒng)獨立、隨機地從這N

名觀眾中抽取15名幸運觀眾，抽中者平臺會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這N名觀

眾始終在線,記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總?cè)藬?shù)為X(幸運觀眾總?cè)藬?shù)不重復計數(shù),

例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為1人).

(1)己知小杭是這前N名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為g,求N的值；

⑵當尸(X=20)取到最大值時，求N的值.

21.已知橢圓C:5+《=l(a>b>0)過點/(TO),且離心率為g.過點的直

線交。于尸，。兩點(異于點A).直線/尸,/。分別交直線x+2y-9=0于兩點.

(1)求證：直線/尸與直線的斜率之積為定值；

(2)求A/WN面積的最小值.

22.已知函數(shù)［(x)=lnox+(辦>0).

(1)是否存在實數(shù)。，使得函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；

⑵若函數(shù)“X)存在極大值/，極小值N,證明：M+N<-4.(其中e々2.71828是自

然對數(shù)的底數(shù))

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】由并集的概念即可得解.

【詳解】因為/=W-lVxV4},3={x|無<3},所以438=3X44}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共軌復數(shù)的概念求解即可.

【詳解】因為(z-l)i=4+3i,

解得z-l=-4+23i=3-4i,即z=4-4i,

i

所以z+彳=4-4i+4+4i=8,

故選：A

3.A

【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.

【詳解】劉在就上的投影向量為

故選：A

4.D

【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.

【詳解】因為甲組：27,31,37,m,42,49；乙組：24,",33,44,48,52,

由6x30%=1.8,得第30百分位數(shù)是第2個數(shù)據(jù)，故31=〃，

由6x50%=3,得第50百分位數(shù)是第3與4個數(shù)據(jù)平均值37+二m竺=33二+^44,解得〃z=40.

22

所以m+n=71.

故選：D.

5.B

【分析】利用余弦的二倍角公式結(jié)合C的范圍求出Sinc=g,進而得到余弦值和正切值，結(jié)

合誘導公式求出答案.

【詳解】由題意得3(l-2sin20-sin。=2,

答案第1頁，共17頁

解得sina=一工或sin】='

23

,所以sina=',

又兀

3

sinaV2

則coscr=_Jl—sin2a=-，tana=-----=-----

3cosa4

,、6

所以cos（兀-a）=-cosa-~~~，tan（7r-a）=-tana=

sinf--J=cosa=--,cosf--J=sina=-,

U）3U）3

故ACD錯誤、B正確.

故選：B

6.C

【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式、等差數(shù)列定義以及充要條件的定義即可得解.

【詳解】若｛%,｝為等差數(shù)列，則數(shù)列m｝的前〃項和為S,="(%；'),

若數(shù)列｛%｝的前n項和為S"=,

則時，a=S-S"(%+%)(〃FQ+%)J+叫一好】兒」

""i222

所以q+(w-2)a?-(“-I”1]=0,%+[n-3)an_x-(w-2)a?_2=0,

兩式相減得a“+4,-2=2%T,an一%=%-%，

所以｛%｝為等差數(shù)列；

綜上所述，甲是乙的充要條件.

故選：C.

7.D

【分析】連接AD,交NC于。，連接/。，交尸。于G,根據(jù)題意，尸G=2G。，得G為△尸NC

重心，得。為尸C中點，進而得尸CJ./。，和尸C,血W,得尸C,平面/MQN,再利用棱

錐得體積公式，即可求解.

【詳解】如圖：

答案第2頁，共17頁

連接8。，交/C于點O,連接PO,相交于點G,

因為尸M=PN=2ND,所以MN//BD,所以尸G=2GO,故G為AP/C的重心，所

以。為/C中點.

又因為△尸/C為正三角形，所以尸C，/。.

因為四棱錐尸-4BCD是正四棱錐，所以8O_L/C,BD1PO,AC,尸。u平面E4C,且

ACcPO=O,所以3。，平面P/C.

尸Cu平面尸/C,所以尸C_L8D,XBD//A4N,所以尸C_LAGV.

AQ,71^￥（3平面/"。雙，AQr\MN=G,

所以尸C,平面/MQN.

因為43=2,

所以ZC=8O=2后，MN=-BD=,AQ=^AC=A,PQ=\AC=y[2,

3322

所以七一,緲=:*!/0何'尸0=!*&X蟲乂血二次.

32639

故選：D

8.A

【分析】設函數(shù)y=/（x）,了=8（》）的切點坐標分別為（花戶。，（乙,渥），根據(jù)導數(shù)幾何

意義可得!=三=，結(jié)合題意可知方程;=二有兩個不同的實根，則設〃（"=之，求導

4ae'4aeex

答案第3頁，共17頁

確定其單調(diào)性與最值情況，即可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題意可知：

設函數(shù)/(x)=e"T上的切點坐標為,函數(shù)g(x)=ax2上的切點坐標為(工2，。4),

Xj—1

且/'(力=4，g'(x)=2"，則公切線的斜率卜一=2辦2,可得％=3一，

2a

則公切線方程為了-11=爐1尤-占)，

xax

代入(2，l)得辦；-e，［T=才―(x2-xj,

若總存在兩條不同的直線與函數(shù)了=/(尤)，V=g(x)圖象均相切，則方程；=占有兩個不

4ae

同的實根，

設，(x)=g，則〃'(X)=?，

令〃(x)>0,解得X<1；令〃(x)<0,解得x>l；

則%(x)在(-8,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+8)單調(diào)遞減,可得〃(尤)“(1)=」,

e

且當x趨近于-8時，,⑺趨近于-必當x趨近于+8時，人⑴趨近于0,

F

可得0<!<1，解得a>［，故實數(shù)0的取值范圍為

4ae4<4J

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：涉及公切線問題一般先設切點坐標，根據(jù)切線相同得到方程組，將雙變

量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程，再參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題，即可求出參數(shù)的取值范圍.

9.BD

【分析】根據(jù)獨立性檢驗的公式，可得判定A不正確；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定B正確；

答案第4頁，共17頁

根據(jù)相關性的定義，可判定C不正確；根據(jù)獨立事件的判定方法，可判定D正確.

【詳解】對于A中，若2x2的列聯(lián)表中的每個數(shù)字變成原理的2倍，

m2_2"(2ax2d-2bx2c?n(ad-be?_______

人,(2a+26)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2力(a+.(c+@(a+0(6+)'

此時犬變?yōu)樵淼?倍，所以A錯誤；

對于B中，在隨機變量J服從正態(tài)分布N(3,4),若J=2〃+3,則。所以

B正確；

對于C中，若所有樣本點=都在直線沖0.9x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)完全

相關，所以這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為1,所以C不正確；

對于D中，分別拋擲2枚相同的硬幣，事件M表示為“第1枚為正面“，事件N表示為“兩枚

結(jié)果相同”，可得尸(M)=g,尸(N)=g,P(MN)=；,可得P(MN)=P(M)P(N),所以事件

是相互獨立事件，所以D正確.

故選：BD.

10.AC

【分析】根據(jù)。(。+6)=1可得即可代入選項中，結(jié)合基本不等式求解AB,利用

a

導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性求解最值即可求解C,根據(jù)。,6的范圍即可判斷D.

【詳解】由。(。+方)=1可得,一。=6,

a

對于A,a2+b2=a2+|^--?J=2?2+4-2>2V2-2,當且僅當2。2=5時，即

a=￡b=啦-◎時取等號,故A正確，

對于B,2a+b=2a+--a=a+—>2,當且僅當“=’時，即a=1時等號成立，但止匕時b=0,

aaa

故等號取不到，故B錯誤，

11111

__1__———(______------------

對于c,aba￡_aa(l-叫，記

a

/(a)=a(l-a2)(l>a>0),<(a)=(1-a2)-2a2=1-3a2,

當0<a<g,f'(a)>0,/(a)單調(diào)遞增,當亨<a<1,f(a)<0,/(a)單調(diào)遞減,

答案第5頁，共17頁

故"人=/圖=孚,

111a3A/3

故，+彳=3—若的最小值為：=受,故c正確，

Qb。（1-Q）2省2

對于D,由于工-。=b〉OnO<a<l,b>0,4a-4b<1,故人-新的最大值不可能為L

a

故D錯誤，

故選：AC

11.BCD

【分析】根據(jù)力（r+2無片力（x）可判斷選項A；根據(jù)析（x+2兀）=龍a）可判斷選項B；利

用導數(shù)研究函數(shù)的最值的方法及三角恒等變換即可判斷選項C；根據(jù)工（-x+2兀）+工G）=0

可判斷選項D.

【詳解】因為力（x）=sinx+；sin2x,

1.

f（-x+2兀）=sin（一x+2兀）+—sin2（-％+2兀）=-sinx——sin2x=-f（x）,

222

所以力（-x+27i）w人（x）,

則X=7t不為力（X）的一條對稱軸，故選項A不正確;

因為力（x+2兀）=sin（x+27i）+；sin2（x+2兀）=sinx+；sin2x,

所以力（X+2兀）=力3,

則力（X）的周期為2兀，故選項B正確;

因為力（x）=sinx+；sin2x+gsin3x

所以/（%）=cosx+cos2x+cos3x

=cosx+cos2x+cos（2x+x）

=cosx+cos2x+cos2xcosx-sin2xsinx

=cosx+cos2x+cos2xcosx-2sin2xcosx

=cos2x+2cos2xcosx

=cos2x（l+2cosx）

答案第6頁，共17頁

又因為力（x+2兀）=sin（x+27c）+gsin2（x+27c）+gsin3（x+27i）=f3（x）

所以力（X）的周期為2兀.

故只考慮函數(shù)/（x）在［0,2可上的最大值即可.

令4（x）＞0,得：0＜x＜：或］＜x＜，或］＜x＜：或］＜》＜2兀；

令丑）＜。,得：卜/或者*、后或詈、號

所以函數(shù)之卜）在）2兀3兀5兀4兀和2兀］上單調(diào)遞增；在兀2兀3兀5兀

34434'344

和m上單調(diào)遞減.

71V211V212y/2,3兀12724兀

又因為人------F—+—X——=—+,<——+--，---力-

2--23223342334

力（2兀）=0

所以力（x）的最大值為：+與，故選項C正確;

因為，（1）=si11^+—sin2x+—sin3xH-----F—sinwx,

fn（-x+2兀）=sin（—x+27i）+；sin2（-x+27i）+；sin3（-x+27i）d----F—sinw（-x+27i）

1.

=-sinx----sinnx

n

所以工（f+2兀）+＜（x）=0,

則力（無）關于點（兀,0）中心對稱，故選項D正確.

故選：BCD

12.ABD

【分析】選項A,由點4（-2,-1）在拋物線上，代入方程待定系數(shù)，求出拋物線C方程，則

得到準線方程；選項B,利用導數(shù)求出切線斜率，與直線NB斜率相同即可說明相切；選項

C,設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，將麗?麗坐標化韋達定理代入可證；選項D,利

用弦長公式用（1+〃）卜匐表示，再代入韋達定理，結(jié)合判別式A＞0得出的公的范圍，即可

判斷得出答案.

【詳解】對于A：因為點-2,-1）在拋物線C：/=_2處（？＞（））上，

答案第7頁，共17頁

貝ij4=2p,解得p=2,

所以拋物線C：/=-外，

其準線為>=1,故A正確；

對于B：令=

貝lj/'(x)=x,可得/(一2)=1,勤=^^=1，

即拋物線在/點處切線斜率與直線斜率相同，

所以直線與拋物線C相切，故B正確；

對于C：由題意可知，直線尸。斜率存在，

設直線PQ的方程為〉=Ax+l,Pa，M),Q(X2，%),

聯(lián)立方程二:，消去V得：/+4而+4=0,

可得A=1642—16>0,得公>1,

且［再+迎=T左

［西'2=4'

UUTUU1T(W2\

XX

因為OP.O0=XjX2+乃力=12+I-才JI-才J

22

=占%+2=4+1=5,故C錯誤；

16

對于D：由題意可知忸=(_2-0)2+(-1-1)2=8,

因為忸尸卜忸°|=川+左2卜「0|.卜「0卜Q+左2監(jiān)2卜4(+為),

則忸斗忸9=4(1+F)>8,

所以忸斗忸0|>|網(wǎng)2,故D正確.

故選：ABD.

答案第8頁，共17頁

【分析】根據(jù)題意得到(1-XA的展開式的通項公式，再由條件列出方程即可得到結(jié)果.

【詳解】因為(1-x)4的展開式的通項公式為(-

則展開式中含/項的系數(shù)為(一1)七；一“T)3c：=8

解得。=3

故答案為:3

14.(x+1)2+j2=1(答案不唯I,+(y-a-1)~=a2(aeR))

【詳解】因為圓C的圓心在直線＞='+1上，不妨設其圓心C(a,a+D(aeR),

又因為圓C與V軸相切，則半徑為「=時，

所以圓C的標準方程為(x-a)2+(y-"l)2=/(aeR),

取。=一1,則一個同時滿足上述條件的圓的標準方程為(x+1尸+/=1.

故答案為：(x+l)2+_/=l(答案不唯一，(x-a)2+(j-a-l)2=a2(aeR))

1

⑹J

【分析】作出圓臺的軸截面，然后根據(jù)題意可求出圓臺的母線長，從而可求出圓的高，進而

可求出圓臺的體積.

【詳解】作出圓臺的軸截面，如圖所示：￡為切點，。廠為圓臺的高.

答案第9頁，共17頁

圓臺的母線AD=DE+AE=a+b,AF=———-b-a

2

所以圓臺的高￡R=^IAD2-AF2=4a+bf-（b-af=14ab

球O的半徑r==，石，由球。與該圓臺體積比為尚得：

3

=。，整里得：3a2-10/+3/=0

1

—(ri：a1+7rb2+7rab)-2

3

方程兩邊同除/，解得/或3（舍去）

b3

故答案為：g

16.V2

【分析】設C（f,0）（"a）,設N［等,yj,尸伍.），由題意可得L?ev=T,再根據(jù)

進一步求出關系式，進而可求得力，々的關系式，再根據(jù)點P在雙曲線上得出。1,c的關系,

即可得解.

【詳解】由題意，設C&0?>a）,

/(-a,0),3(a,0),貝！］|NC|=a+f,

則設等,必［網(wǎng)馬,為），

因為以/C為直徑的圓交直線AP于點M,所以即4PLNC,

所以右一=

所以k』p,kCN

x2+aa-tx2+a2y1

因為尸,5,N三點共線,

力-2%

所以左m=kpN,即x,—aa+tt-a>

2

%二t-a次二］

所以

x2+ax2-a2y{t-a

即222=1，

%2-a

答案第10頁，共17頁

222222

因為點P在雙曲線0-A=l上，所以答一冬=1,所以只=&2+等,

ababb

￡￡一一

所以只一〃22C^y\2/，

aH--------z—a

b2

故答案為：4i-

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得“、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關于。、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

17.(1)-

(2)—

4

【分析】(1)利用兩角差的正弦展開結(jié)合正余弦定理角化邊求解；

(2)由正弦定理結(jié)合面積公式求解.

【詳解】(1)sirU(sin5cosc-cosHsinC)+sin5(sinCcos/-cosCsiiL4)=sinCsinS-sin2C

由正弦定理可得：abcosC-accGsB+bccGsA-abcosC=bc-c2

bccosA-accosB=bc-c2,

答案第11頁，共17頁

由余弦定理：6J+c?"+d-=bc-J,

2bclac

化簡得：b2+c2-a2=bc,

所以COS。=b+0———,^4G(0,7T),

2bc2v7

所以N=三;

(2)由正弦定理：-^-=—=^-=2,

SIIL4sinBsine

所以be=4sin5sinC=3,

|7[r|1,..3373

貝USc=—besmA=—x——=---

2224

18.2〃+l,bn=n?

(2)耳=4-2〃+2+2/+5〃.

【分析】(1)求出/d即得數(shù)列抄〃｝的通項公式，利用凡與S”的關系求出數(shù)列｛4｝的通項

公式；

(2)求出。2小=-2〃+2〃+1,再利用分組求和求數(shù)列｛g｝的前2〃項和耳.

【詳解】(1)解：令〃=i，d=2%+4=1,

令〃=2,Sz=242+62=%+%,又出+4=。，所以"一"=一1二一"，即d=l.所以4二〃，

Sn=2(1n+n,①Si=2。1+”1,(心2).②

兩式相減得4=2%-2a,i+1,/.%=一1二:=2,(n22),

即｛%-1｝是公比為2的等比數(shù)列，且%-1=-2,

所以%-1=-2；.%=-2"+1.

(2)解:由。2,=C2?-l+bl，。2”+1=C2n+an可得。2用=-2"+2

C=C=C

2n-12n-3~+2,C2n-32n-5~+2,??-C3=C]—2+2.

累力口可得C2,T=-2"+2〃+1,

=(G+°3+°5+…+C2n-l)+(C2+C4+C6+'"+C2n)

答案第12頁，共17頁

w

=(C1+c3+c5H---FC2n_j)+(Cj+1+c3+1+c5+1H---FC2n_j+1)=2(Cj+C3+C5H---FC2n-1)+>

而C]+C3+c$+…+<?2h_|=-(2’+2-+…+2")+(3+5+…+2n+1)

=2-2"+】+/+2〃，

+22

T2n=4-2"+2n+5n.

19.(1)證明見解析

(2)存在，理由見解析

【分析】(1)以。為原點，分別以DC,DB,DE方向為％%z軸建立如圖所示空間直角坐標系,

證明而與平面&C尸的法向量垂直即可證；

(2)由線面角的向量法求線面角后可得結(jié)論.

【詳解】(1)如圖，以。為原點，分別以。方向為x/，z軸建立坐標系.

C(2,0,0),3(0,1,0),/(-2,1,0),￡(0,0,6),尸(0,1,26).

5C=(2,-1,0),SF=(0,0,2A/3),2E=(2,-1,V3),EF=(0,1,V3),

設平面BC廳的法向量為4=(x1,j1,z1),

2e—必=0

則由BC,%=0,BF?〃]=(),<取斗=1得々=(1,2,0).

2后=0

因為DC=EF=2,EG=DH=2,所以)=°反，豆存二,詼

22

解得"(4O,O),G,O,*6+；"M=2,-p

答案第13頁，共17頁

所以?GH=0,且GH（Z平面BCF,所以GHII平面BCF

7

（2）設平面4E7的法向量為幾2

2X-%+色z?-0

2,解得心（百，百,一1）.

則由AE-n2=O,EF-n2=0,*

y2+V3Z2=0

瘡

所以sin8=|cos,2,GH，卜&+G

A/7-A/2A2+3A+3~\A

解得4=1.

20.(1)45

(2)22

【分析】⑴記“小杭被抽中”為事件A,“小杭第i次被抽中”為事件4（，=1,2）,可知

A=AlA2+A^2+AxA2,利用獨立事件的概率公式可得出關于N的等式，解之即可；

「5「10

（2）求得尸（X=20）=,解不等式幺包21,解出N的取值范圍，即可得解.

aN

【詳解】（1）解：記“小杭被抽中”為事件A,“小杭第i次被抽中”為事件4（，=1，2）.

15N-155_

P(4)=P(44)+P(/W)+P困22=

NN9

整理可得N?-54N+405=0,即（N-9）（N-45）=0,

又因為NN15且NeN*,解得N=45.

（2）解：“X=20”表示第一次在N個人中抽取15個，

第二次抽取的15個人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10個人在第一次抽取的15

人中，

「15「5010「5「10「5010

P（X=20）=。％機=5養(yǎng),記心=學和，

由

必=L=（"14）!N!5!.-20）

4-5!（N-19）!15!?2-15）（V+1）!^-15!）

答案第14頁，共17頁

3-14）2>]

（N+1）（N-19）-

解得NW21.5,又NeN*,所以N=22時，尸（X=2O）取最大值.

21.（1）證明見解析

【分析】（1）列出關于。，c的方程組，求得，后再求出6得橢圓方程，設尸（士,必）,Q,％）,

3

直線的斜率分別為左，月，設直線2。為x=（y+/,代入橢圓方程應用韋達定理得必%,

%+%,計算上并代入韋達定理的結(jié)論可證；

（2）設％=；/2=《，貝此4=-9,由直線/尸,/。方程求得的縱坐標，從而求得|九CV|,

/v|K?

計算A到直線MN的距離，計算出AMVW面積，再轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)后，利用判別式法求得

最值.

￡_V|4=3____

【詳解】（1）由題意得~a~~T，解得，,所以6=J32_6=鄧>

。二3

所以橢圓C的方程為工+匕=1,

93

設尸（西,必）,。@2，%）,直線/尸,/。的斜率分別為匕,七,

2+3/=9

一3X

設直線?。為'=與橢圓聯(lián)立＜3，

X=ty+2

t2+3）y2+3ty-^-=Q,

3t

M+%=-7+3

所以

271

%為=-4?+3

代入可得心心=-§,

答案第15頁，共17頁

所以直線/P與/。的斜率之積為定值-，

1112

(2)設公廠,。2=廠，則區(qū)=-9,又點/(-3,0)到直線X+2尸9=0的距離是4=下，

x+2y-9=01212

解得PM=同理%=\y.

x=txy-3

12129

所以|M2V|=1+