陜西省西安市83中學(xué)高三3月份模擬考試新高考數(shù)學(xué)試題及答案解析

陜西省西安市83中學(xué)高三3月份模擬考試新高考數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是A． B．C． D．2．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得成立的概率為等差數(shù)列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．113．已知當(dāng)，，時(shí)，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定4．閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定6．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]7．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．848．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像9．直三棱柱中，，，則直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．10．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線過(guò)的上頂點(diǎn)，且與橢圓相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，若，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．11．過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程是（）．A． B． C． D．12．已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的一條對(duì)稱(chēng)軸是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為_(kāi)_____________．14．函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________________.15．工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．16．展開(kāi)式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）2019年入冬時(shí)節(jié)，長(zhǎng)春市民為了迎接2022年北京冬奧會(huì)，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開(kāi)展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專(zhuān)業(yè)的評(píng)估機(jī)構(gòu)對(duì)他們的鍛煉成果進(jìn)行評(píng)估打分（滿(mǎn)分為100分）并且認(rèn)為評(píng)分不低于80分的參與者擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率在不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系？擅長(zhǎng)不擅長(zhǎng)合計(jì)男性30女性50合計(jì)1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）19．（12分）2018年反映社會(huì)現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動(dòng)，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上治療一類(lèi)慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和銷(xiāo)量（萬(wàn)盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361013151821銷(xiāo)量（萬(wàn)盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時(shí)，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類(lèi)不同的劑型，，，并對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，當(dāng)?shù)谝淮螜z測(cè)合格后，才能進(jìn)行第二次檢測(cè)．第一次檢測(cè)時(shí)，三類(lèi)劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測(cè)時(shí)，三類(lèi)劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立，設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后，，三類(lèi)劑型合格的種類(lèi)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），，，．20．（12分）如圖，四邊形中，，，，沿對(duì)角線將翻折成，使得.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，是矩形，的頂點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)（的長(zhǎng)度滿(mǎn)足需求）.設(shè)，，，且滿(mǎn)足.（1）求；（2）若，，求的最大值.22．（10分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）=f（x），且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義，對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）=f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù)．2、D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長(zhǎng)度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長(zhǎng)度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數(shù)列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間長(zhǎng)度為6，使得成立的的范圍為，區(qū)間長(zhǎng)度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有長(zhǎng)度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題目.3、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，求得可得為增函數(shù)，又，，時(shí)，根據(jù)條件得，即可得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，則，即為增函數(shù)，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．4、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律，得出運(yùn)算的周期性，確定跳出循環(huán)時(shí)的n的值，進(jìn)而求解的值，得到答案.【詳解】由題意，，第1次循環(huán)，，滿(mǎn)足判斷條件；第2次循環(huán)，，滿(mǎn)足判斷條件；第3次循環(huán)，，滿(mǎn)足判斷條件；可得的值滿(mǎn)足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律，所以當(dāng)時(shí)，跳出循環(huán)，此時(shí)和時(shí)的值對(duì)應(yīng)的相同，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問(wèn)題，其中解答中認(rèn)真審題，得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.5、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題．6、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求，，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，解可得，，，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

化簡(jiǎn)到，根據(jù)定義域排除，計(jì)算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)的直線為不在定義域內(nèi)，故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?，故不可能為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱(chēng)，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9、A【解析】

設(shè)，延長(zhǎng)至，使得，連，可證，得到（或補(bǔ)角）為所求的角，分別求出，解即可.【詳解】設(shè)，延長(zhǎng)至，使得，連，在直三棱柱中，，，四邊形為平行四邊形，，（或補(bǔ)角）為直線與所成的角，在中，，在中，，在中，，在中，，在中，.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.10、D【解析】

求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由，得出，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件，圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、A【解析】過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為，故選．12、D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)最小時(shí)，的值最小.設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.14、【解析】

令，則，恰有四個(gè)解.由判斷函數(shù)增減性，求出最小值，列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個(gè)解.有兩個(gè)解，由，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得.設(shè)的負(fù)根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于難題.15、60【解析】分析：首先將選定第一個(gè)釘，總共有6種方法，假設(shè)選定1號(hào)，之后分析第二步，第三步等，按照分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可以求得共有10種方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，求得總共有種方法.詳解：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，在解題的過(guò)程中，需要逐個(gè)的將對(duì)應(yīng)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，所以利用列舉法將對(duì)應(yīng)的結(jié)果列出，而對(duì)于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會(huì)均等的，從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.16、4【解析】

由題意可得項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.【詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)O，連接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，則=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O?平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為=()，則，即，代入坐標(biāo)得，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為=（），則，即，代入坐標(biāo)得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）（2）填表見(jiàn)解析；不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長(zhǎng)方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.【詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為.完善列聯(lián)表如下：擅長(zhǎng)不擅長(zhǎng)合計(jì)男性203050女性104050合計(jì)3070100，對(duì)照表格可知，，不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算小長(zhǎng)方形的高，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關(guān)系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來(lái)確定結(jié)果；（2）求出藥品的每類(lèi)劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后，，三類(lèi)劑型合格的種類(lèi)數(shù)為，服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類(lèi)劑型經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后合格的概率分別為，，，由題意，，.【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解，考查二項(xiàng)分布的期望，是中檔題.20、（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連.可證得，，于是可得平面，進(jìn)而可得結(jié)論成立．（2）運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連.∵，∴．又，∴.在中，，∴．又，∴平面，又平面，∴.（2）解法1：取的中點(diǎn)，連結(jié)，∵，∴,又，∴．又由題意得為等邊三角形，∴，∵，∴平面．作，則有平面，∴就是直線與平面所成的角．設(shè)，則，在等邊中，．又在中，，故．在中，由余弦定理得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為．解法2：由題意可得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則在直角三角形中，可