新疆兵團第二師華山中學高二下學期期中考試數(shù)學（理）試題

20172018學年第二學期高二年級期中考試理科數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘，滿分：150分）命題教師：袁青選擇題（每題5分，共60分）1.設集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},則A∪B＝()A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2.若復數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中為的共軛復數(shù)，則z＝()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i3.命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”A．?x∈R，|x|＋x2<0B．?x∈R，|x|＋x2≤0C．?x0∈R，|x0|＋x02<0D．?x0∈R，|x0|＋x02≥0執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果是()A．5040B．4850C．2450D．25505.設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x＜1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.96.為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin2x的圖象上所有的點()A.向左平行移動eq\f(π,3)個單位長度B.向右平行移動eq\f(π,3)個單位長度C.向左平行移動eq\f(π,6)個單位長度D.向右平行移動eq\f(π,6)個單位長度7.已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為()A.4B.－4C.eq\f(9,4)D.－eq\f(9,4)8.六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種9.已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A．212 B．211C．210 D．2910.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋411.已知則不等式的解集為（） B．211 D．2912.在三棱錐PABC中，AB=BC=CP=1，平面PBC和平面ABC所成角為則三棱錐PABC外接球的體積為（）填空題（每題5分，共20分）13.設隨機變量且則___．若則________．15.已知定點Q(2，－1)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，動點P為拋物線上任意一點，當|PQ|＋|PF|取最小值時，P的坐標為________．16.已知函數(shù)則函數(shù)在上的所有零點之和為________．解答題（17,18,19，20,21每題各12分，22,23每題10分）17.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；(2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．18.如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，且平面，，與底面所成角為.（=1\*ROMANI）證明：平面平面；（=2\*ROMANII）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.19.某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者.把符合條件的1000名志愿者按年齡分組：第1組[20，25)，第2組[25，30)、第3組[30，35)、第4組[35，40)、第5組[40，45)，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取12名志愿者參加廣場的宣傳活動,應從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的條件下，該市決定在這12名志愿者中隨機抽取3名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的條件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3組的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望.20.在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2),左、右焦點分別是F1,F2.以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓E：eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1,P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.(ⅰ)求eq\f(|OQ|,|OP|)的值；(ⅱ)求△ABQ面積的最大值.21.設(1)若恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)設且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y＝g(x)上任意兩點，若對任意的a≤－1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍．請從第22,23題中選一題作答。22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為.（1）若a=1，求C與的交點坐標；（2）若C上的點到的距離的最大值為，求a.23.已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若關于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍.

高二理科數(shù)學期中考試參考答案選擇題15AACCC610DBBDD1112BA填空題13.0.314.15.16.三.解答題17.(1)等比數(shù)列{bn}的公比q＝eq\f(b3,b2)＝eq\f(9,3)＝3，所以b1＝eq\f(b2,q)＝1，b4＝b3q＝27.∴bn＝3n－1..............................................................................3分設等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．.......................................................................................6分(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.從而數(shù)列{cn}的前n項和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝eq\f(n（1＋2n－1）,2)＋eq\f(1－3n,1－3)＝n2＋eq\f(3n－1,2)...............12分18.【解析】（=1\*ROMANI）底面是平行四邊形，且,又平面，，面…平面平面.....................................................................................................5分（=2\*ROMANII）平面，與底面所成角為在中，在中，，故，設與相交于點，取的中點，連結，則平面，平面以分別為軸方向建立空間直角坐標系，...............................................7分，,，，設平面的法向量由得，取，則故平面的一個法向量為............................9分由得，取，則平面的一個法向量...................................................................................11分設平面與平面所成二面角為，且因為為銳角.，即平面與平面所成二面角的余弦值為....................................12分19.解(1)由題意可知，第3組的人數(shù)為0.06×5×1000＝300，第4組的人數(shù)為0.04×5×1000＝200，第5組的人數(shù)為0.02×5×1000＝100，第3、4、5組共600名志愿者，故由分層抽樣的特點可知每組抽取的人數(shù)為：第3組eq\f(12,600)×300＝6，第4組eq\f(12,600)×200＝4，第5組eq\f(12,600)×100＝2，所以第3、4、5組分別抽取6人，4人，2人................................................................................4分(2)從12名志愿者中抽取3名共有Ceq\o\al(3,12)＝220種可能，第4組至少有一位志愿者被抽中有Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,8)＝164種可能，所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為P＝eq\f(164,220)＝eq\f(41,55).............................................8分(3)ξ的可能取值為：0,1,2,3,且P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(20,220)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(90,220)，p(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(90,220)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(20,220).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(20,220)eq\f(90,220)eq\f(90,220)eq\f(20,220)E(ξ)＝0×eq\f(20,220)＋1×eq\f(90,220)＋2×eq\f(90,220)＋3×eq\f(20,220)＝eq\f(33,22)...........................................................................................12分20..解(1)由題意知2a＝4,則a＝2,又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2),a2－c2＝b2,可得b＝1,所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1...........................................................................................5分(2)由(1)知橢圓E的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(ⅰ)設P(x0,y0),eq\f(|OQ|,|OP|)＝λ,由題意知Q(－λx0,－λy0).因為eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1,又eq\f(（－λx0）2,16)＋eq\f(（－λy0）2,4)＝1,即eq\f(λ2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)))＝1,所以λ＝2,即eq\f(|OQ|,|OP|)＝2..............................................7分(ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2).將y＝kx＋m代入橢圓E的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2由Δ＞0,可得m2＜4＋16k2,①則有x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2),x1x2＝eq\f(4m2－16,1＋4k2).所以|x1－x2|＝eq\f(4\r(16k2＋4－m2),1＋4k2).因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標為(0,m),所以△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|m||x1－x2|＝eq\f(2\r(16k2＋4－m2)|m|,1＋4k2)＝eq\f(2\r(（16k2＋4－m2）m2),1＋4k2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(m2,1＋4k2)))\f(m2,1＋4k2)).設eq\f(m2,1＋4k2)＝t,將y＝kx＋m代入橢圓C的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,由Δ≥0,可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1,因此S＝2eq\r(（4－t）t)＝2eq\r(－t2＋4t),故S≤2eq\r(3),當且僅當t＝1,即m2＝1＋4k2時取得最大值2eq\r(3).由(ⅰ)知,△ABQ面積為3S,所在△ABQ面積的最大值為6eq\r(3)...................................................12分21.(1)因為f(x)＝ex－a(x＋1)，所以f′(x)＝ex－a.由題意，知a>0，故由f′(x)＝ex－a＝0，解得x＝lna.故當x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)f(x)的最小值為f(lna)＝elna－a(lna＋1)＝－alna...........................................................3分由題意，若?x∈R，f(x)≥0恒成立，即f(x)＝ex－a(x＋1)≥0恒成立，故有－alna≥0，又a>0，所以lna≤0，解得0<a≤1.所以正實數(shù)a的取值范圍為(0，1]．...........................................................................................5分(2)設x1，x2是任意的兩個實數(shù)，且x1<x2.則直線AB的斜率為k＝eq\f(g（x2）－g（x1）,x2－x1)，由已知k>m，即eq\f(g（x2）－g（x1）,x2－x1)>m.因為x2－x1>0，所以g(x2)－g(x1)>m(x2－x1)，即g(x2)－mx2>g(x1)－mx1，因為x1<x2，所以函數(shù)h(x)＝g(x)－mx在R上為增函數(shù)，故有h′(x)＝g′(x)－m≥0恒成立，所以m≤g′(x)．而g′(x)＝ex－a－eq\f(a,ex)，又a≤－1<0，故g′(x)＝ex＋eq\f(（－a）,ex)－a≥2eq\r(ex×\f(（－a）,ex))－a＝2eq\r(－a)－a.而2eq\r(－a)－a＝2eq\r(－a)＋(eq\r(－a))2＝(eq\r(－a)＋1)2－1≥3，所以m的取值范圍為(－∞，3]．.......................................................................................12分22.【解析】（