江西省贛州市龍南市2023-2024學年八年級下學期月考數(shù)學試題(含解析)

2023—2024學年度八年級下學期階段評估（一）數(shù)學

下冊第十六?十七章

說明：共有六個大題，23個小題，滿分120分，作答時間120分鐘.

一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

在每小題列出的四個備選項中只有一項是最符合題目要求的.請將其代碼填入

題后括號內(nèi).錯選、多選或未選均不得分.

1.下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.gB.底C."

D.曬

2.以下列長度的三條線段為邊，不能組成直角三角形的是（

A.1,石B.石，"，'5C.2,3,75D.9,40,41

3.若+則。的值是（）

A.GB.2括C.3D.9

4.在等腰直角三角形48。中，ZC=90°,/B,/C的對應邊長分別為a,b,c,

則下列式子成立的是（）

A.。2—。2=b2B.Z72=。2+C2C.c2=2b2D.b?=2。2

5.如圖，數(shù)軸上點/表示的數(shù)是-2,點5表示的數(shù)是0,力5于點5,且5。=2,以

點4為圓心，/C的長為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點。，則點。表示的數(shù)是（）

C.25/2-2D.>/2-1

6.如圖，一支鉛筆放在圓柱形的筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高為12cm.若

鉛筆的長為20cm,則這只鉛筆露在筆筒外面的長度/的取值范圍是（）

A.9cm</<12cmB.5cm</<8cmC.5cm<1<9cmD.12cm</<20cm

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

7.使代數(shù)式VT為有意義的x的取值范圍是.

8.試寫出一組勾股數(shù).

9.已知x,y是實數(shù)，且滿足y=Jx-2024+，2024-x,則—的值為.

10.如圖，一艘小船以15海里/時的速度從港口/出發(fā)，向東北方向航行，另一小船以8海

里/時的速度同時從港口/出發(fā)，向東南方向航行，離開港口2小時后，兩船相距海

里.

北

南

11.一切運動的物體都具有動能，其大小由兩個因素決定：物體的質(zhì)量和運動速度.已知動

能的計算公式是E=：加V2,其中E表示動能（單位：焦耳），加表示物體的質(zhì)量（單位：

k2k

千克），V表示物體的運動速度（單位：米/秒），現(xiàn)一個運動的物體的質(zhì)量是10千克，動能

是1000焦耳，則該物體的運動速度是米/秒.

12.如圖，有一塊直角三角形的菜地，記為測量得直角邊/C=4m,直角邊

BC=3m.現(xiàn)要將菜地擴充成等腰三角形且擴充部分是以/C為直角邊的直角三角形,

則擴充后的等腰三角形的周長為—.

三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(1)計算：V''8XV'72-72.

(2)如圖，在。8C中，4B=4C=13,BC=10,求。8C的面積.

14.已知a=J13+5/5,b=\'13—^5.求<72+上-2ab.

15.如圖，這是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1個單位長度、/在格點(小正

圖1圖2

(1)在圖1中作Rt^/BC,使8,C在格點上，且三邊的長為不相等的無理數(shù).

(2)在圖2中作一個面積為|的等腰直角三角形/尸。，P,0在格點上.

16.淇淇玩一個摸球計算游戲，在一個密閉的容器中放入四個小球，小球分別標有如圖所示

的數(shù).現(xiàn)從容器中摸取小球，規(guī)定：若摸取到白色球，就加上球上的數(shù)：若摸到灰色球，就

(2)若淇淇摸出全部的四個球，計算結(jié)果為x,嘉嘉說無的值與同屬于同類二次根式，你認

為嘉嘉的說法對嗎？并說明理由.

17.如圖，這是某推車的簡化結(jié)構(gòu)示意圖.現(xiàn)測得8C=2dm,CD=8dm,AD=16dm,

^5=18dm,其中/。與8。之間由一個固定為90。的零件連接（即44。8=90。），按照設計

要求需滿足BCLCD,請判斷該推車是否符合設計要求，并說明理由.

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，/,2,C,。四

點都在格點（小正方形的頂點）上，連接BC,CD.

（1）求48,3C和CD的長.

（2）仔細觀察（1）中的運算過程，在加+〃=6（?,〃為大于0的實數(shù)）的條件下，若代數(shù)式

Jnu+n；的值最小，直接寫出m,n的值.

（3）連接4。，求四邊形/8CD的面積.

19.課本再現(xiàn)

如圖1,我們稱該圖案為“趙爽弦圖“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形圍成一個大正方

形，中空的部分是一個小正方形，其中直角三角形的兩直角邊長為a,b（Z?>a>0）,斜邊

長為c.

(1)請利用圖1驗證勾股定理.

知識應用

(2)在圖1中，若c=15,b=12,求小正方形的面積.

(3)小明按圖2的方式把邊長為3cm和2cm的兩個正方形切割成5塊，按圖3的方式無縫

拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是.

20.一座吊橋的鋼索立柱ND兩側(cè)各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所示，小敏和小云想測

鋼索48的長度.她們測得為30。.由于8,。兩點間的距離不易測得，通過探究和

測量，發(fā)現(xiàn)恰好為60°,點8與點C之間的距離約為20m.已知8,C,。三點共線，

AD1BD,求鋼索N8的長，(結(jié)果保留根號)

五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)

21.如圖，有一塊長方形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出兩個面積分別

為20dm2和45dm2的正方形木板.

(1)截出的兩塊正方形木板的邊長分別為,.

(2)求剩余木料(即陰影部分)的面積.

(3)如果木工師傅想從剩余的木料中截出邊長為2dm的正方形木板，那么最多能截出

塊木板.

22.閱讀材料：在二次根式運算中，若兩個二次根式的乘積不含根號，則稱這兩個二次根式

互為有理化因式，其中一個二次根式是另一個二次根式的有理化因式，例如:

（行+3）（^-3）=則稱(5+3)與(5-3)互為有理化因式;3+應）匕-應）=1,

-4,

則稱G+點)與G一拒)互為有理化因式.因此，我們可以利用互為有理化因式的特征把

1_1X73一小

分母中的根號或根號中的分母化去,如國二萬玄=守'

這一過程叫做分母有理化.

(1)3+2班的一個有理化因式是.分母有理化：匚與

⑵已知，加+5-Jm-2=2,求-Jm+5+y/m-2的值.

f----廣+—/=尸+------1■…+/----/]°26+1）.

(3)計算:

U+>/2及+^73+2J2025+J2026J

六、解答題(本大題共12分)

23.一數(shù)學興趣小組探究勾股定理在折疊中的應用，如圖，將一張長方形紙片/3CD放在平

面直角坐標系中，點/與原點O重合，頂點8、。分別在x軸、y軸上，48=4,4D=3,P

為邊CD上一動點，連接3尸，將A3CP沿AP折疊，點C落在點。處.

(2)如圖2,當點P與點。重合時，沿8。將△BCD折疊得△8C￡>,與無軸交于點E,

求的面積.

(3)是否存在點P,使得點C'到長方形的兩條較長邊的距離之比為1:2?若存在，直接寫出點

P的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案與解析

1.D

【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件（①被開

方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式）是否同時滿足，同時滿足的就

是最簡二次根式，否則就不是.

【詳解】解：A、/=￥，被開方數(shù)里含有分母，不是最簡二次根式，故該選項不符合題

意；

B.眉=5=￥，被開方數(shù)里含有分母，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

C."=2被開方數(shù)里含有能開得盡方的因數(shù)；故本選項不符合題意；

D.炳符合最簡二次根式的條件；故本選項符合題意.

故選：D.

2.B

【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三

邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足

02+62=02,那么這個三角形是直角三角形.欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，

只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】解：A、（/［）+（也）=（回），故能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；

B、（存）+（/?）片（污），故不能構(gòu)成直角三角形，故B符合題意；

C、22+（萬）=32,故能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；

D、92+402=412,故能構(gòu)成直角三角形，故D不符合題意.

故選：B.

3.A

【分析】本題考查了二次根式的加法，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡.熟練掌握二次根式的

加法，利用二次根式的性質(zhì)進行化簡是解題的關鍵.

由題意知，岳=20a+B計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，，12=2jJ=a+JJ,

解得，a=W，

故選：A.

4.C

【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵.根據(jù)題意，可得。為斜邊，a,b

為直角邊，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：???在等腰直角“8C中，ZC=90°,/A,AB,/C的對應邊分別是a,b,c,

.?.c為斜邊，為直角邊，

a2+b2=c2,a=b,

???C2=2a2=2bl,

故選：C.

5.C

【分析】此題考查了用數(shù)軸上的點表示實數(shù)的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識和勾股

定理進行求解.先運用勾股定理求得線段NC的長，再計算出此題結(jié)果即可.

【詳解】由題意得，/C=QAB2+BC。=J（-2-0。+22=2、5,

?,?AC=AD=2垃,

.?.點。表示的數(shù)2JI-2,

故選：C.

6.B

【分析】本題考查了勾股定理的實際應用，關鍵是把實際問題抽象成數(shù)學問題，分別考慮兩

種極端情況，問題即解決.當鉛筆不垂直于底面放置時，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒

部分的最小長度；考慮當鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度是露出的

最大長度；從而可確定答案.

【詳解】解：當鉛筆不垂直于底面放置時，由勾股定理得：J122+92=15（cm）,

則鉛筆在筆筒外部分的最小長度為：20-15=5（cm）；

當鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度為20-12=8（cm）,

即鉛筆在筆筒外面最長不超過8cm,

所以這只鉛筆露在筆筒外面的長度/的取值范圍是5cmV”8cm.

故選：B.

7.x>-l

【分析】本題考查了二次根式有意義：被開方數(shù)為非負數(shù)，據(jù)此列式計算，即可作答.

【詳解】解：?.?代數(shù)式47有意義，

/.x+7>0,

x>-7

故答案為：x>-7.

8.3、4、5（答案不唯一）.

【詳解】解：最常見的勾三股四弦五，勾股數(shù)為3,4,5.

故答案為：3、4、5（答案不唯一）.

9.1

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，負整數(shù)指數(shù)爆，代數(shù)式求值.解題的關鍵在于

求解x的值.由y=yfx-2024+,2024-6,可知x=2024,貝i]y=0,代入計算求解即可.

【詳解】解：:x,y是實數(shù)，且滿足y=Jx—2024+J2024—x,

Jx-2024>0

"[2024-x>0，

解得：x=2024,

則y=o,

xy=2O24o=1,

故答案為：1.

10.34

【分析】本題考查了勾股定理的應用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是關鍵.根據(jù)方位

角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角，然后根據(jù)路程=速度x時間，得兩條船分別走了30

海里和16海里，再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離.

【詳解】解：設兩艘船航行2小時后分別到達3、C的位置，連接3C,如圖所示：

兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，

.-.ABAC=90°,

兩小時后，兩艘船分別行駛了15x2=30（海里），8x2=16（海里）,

根據(jù)勾股定理得：7302+162=34（海里），

即離開港口2小時后，兩船相距34海里.

故答案為：34.

11.10、5

【分析】本題主要考查了算術平方根和二次根式的應用，解題的關鍵是根據(jù)題目中給出的等

'巴,然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

式變形為"=

m

【詳解】解：???￡機=10千克，E=1000焦耳,

k2k

2E^-(米/秒),

...v=12x1000=10

m

故答案為：ioj，.

12.16m或(o+2?5)m或竺m.

3

【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理的應用，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意

熟練應用勾股定理是解題關鍵.

由勾股定理可得48=5m,則由題意可分當/B=4D=5m時，當A4=3。=5m時和當

DA=DB,然后分別求解即可.

【詳解】解：在RtZ\4BC中，兩直角邊NC=4m,SC=3m,

-'-AB=^AC2+BC2=5m>

則根據(jù)題意可分①當4B=/D=5m時，如圖所示：

???DC=ylADi-ACi=3m，

:.BD=DC+BC=6m,

則△NaD的周長為：AD+AB+BD=5+5+6=l6m；

②當A4=2D=5m時，如圖所示:

，DC=BD—BC=2m,

?/ACABD,AC=4m,

AD=4AC?+℃=2>/5m，

則△73。的周長為：胡+/。+8。=5+26+5=(0+26)111；

③當時，如圖所示:

設DC=xm,則4D=D3=(3+x)m,

???AC人BD,

DC2+AC2=AD2,AC=4m,

即X24-42=(3+x)2,

7

解得；x=,

6

725

,.AD=3+-=—

66

2525p40

故人ABD的周長為：AD+BD+AB=一+--b5=-m.

663

綜上所述，擴充后的等腰三角形/8D的周長為16m或《0+26)m或

(o+2V0m或手m.

故答案為：16m或

13.(1)12^/2;(2)60

【分析】本題主要考查了二次根式乘除混合運算，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關

鍵是熟練掌握運算法則和勾股定理，數(shù)形結(jié)合，作出輔助線.

(1)根據(jù)二次根式乘除混合運算法則進行計算即可；

(2)過點/作8c于點。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BO=CD=L3C=5,根據(jù)勾股

2

定理求出/。=，4比一8〃2=而7行7=12,最后根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】解：(1)通又配3

=j8x72+2

=v^288

=12^2;

(2)過點/作于點。，如圖所示：

在中，根據(jù)勾股定理得：

AD=4AB-BDz=4132-52=12,

...S=18CX/0=L10X12=60.

△4BC22

14.20

【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，先求出

a-b=2^5,然后將以+拉一2岫變形為(。-6>,整體代入求值即可.

【詳解】解：“=5/11+6，b=y^-y/5,

:.a-b=7布+邪-岳+邪=2軍,

+bi-2ab=(a-。=vV5)=20.

15.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了格點作圖，勾股定理及其逆定理，三角形面積的計算，解題的關鍵

是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握勾股定理.

(1)根據(jù)要求，結(jié)合勾股定理作圖即可；

(2)作直角邊長為的等腰直角三角形即可.

【詳解】(1)解：如圖，-3C即為所求作的三角形.

AB=y/12+h=V2,AC=A/22+22=272，3c=也+北=廂，

5)+(應)=io=C,To),

???/8C為直角三角形；

(2)解：如圖，即為所求作的三角形.

Q

AP=AQ=712+22=BPQ=J12+32=M,

...(/5)+(/5)=10=Qio),

.?.△/p。為等腰直角三角形，

...s=lxN/5x,/5=-.

-APQ22

16.(1)73

(2)嘉嘉的說法對，理由見詳解

【分析】本題考查了根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式加減混合運算.

(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)運算即可；

(2)二次根式加減混合運算法則計算即可.

【詳解】(1)解：依題意，得屈一;用=2、回一=

(2)解：嘉嘉的說法對，理由如下：

依題意，得癡一;、/力+、后-2^|=*+<6-v'6=后,

■:回,=4幣,與、§是同類項，

故嘉嘉的說法對.

17.該推車符合設計要求，理由見解析

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，解題關鍵是正確運用逆定理.

首先根據(jù)勾股定理求出=68,然后根據(jù)勾股定理的逆定理得即可得答案.

【詳解】-：AD=\6Am,/8=18dm,AADB=90°

?-?BDi=AB2-AD2=324-256=68

???BC=2dm,CD=8dm,

???J3C2+CZ>2=4+64=68

BC2+CD2=BD2

：,BCLCD

???該推車符合設計要求.

18.(1)4B=而,BC=2r,CD=3五

(2)加=〃=3

⑶14

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出“2,3C和。。的長即可;

(2)觀察解析(1)的運算過程和結(jié)果，得出答案即可；

(3)利用割補法求出四邊形的面積即可.

【詳解】(1)解：AB=712+52=J26,

BC=722+42=聞=2<5,

CD=V32+32=V18=3V2；

(2)解：觀察(1)中的運算結(jié)果可知，>V'20>718,當山+〃=6時，加與〃的值越

接近時，Jm2+口2的值越小，

.?.當加="=3時，+m最小.

(3)解：S=5x5-—xlx5--x2x4--x3x3=14,

tsa^ABCD222

即四邊形/BCD的面積為14.

19.(1)見解析；(2)9；(3)Jllcm

【分析】本題主要考查了勾股定理的幾何證明，利用勾股定理進行計算，算術平方根的應用,

解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合.

(1)根據(jù)大正方形的面積的兩種表示方法=四個直角三角形的面積+小正方形的面積，列

式證明即可；

(2)先根據(jù)勾股定理求出。=9,然后根據(jù)正方形的面積公式求解即可；

(3)根據(jù)兩個圖形的面積相等，求出圖3中大正方形的面積，然后再求出邊長即可.

【詳解】(1)證明：???大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積，

C2=(Z?-a)2+4x；a6

=Z>2-2ab+。2+2ab

=62+。2,

:.a2+bi=c2.

(2)由勾股定理得a=y/c2—b2=1152-122=9，

?.小正方形的面積S=(12-9)2=9.

(3)大正方形的面積為：32+22=9+4=13(cm：

大正方形的邊長：x/i3cm.

20.20V3m

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關鍵是

數(shù)形結(jié)合，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NA4C=//CO-N48r>=30。，得出N34c=N4BC,

根據(jù)等腰三角形的判定得出4c=2C=20m,再根據(jù)勾股定理求出

AD=yjAC2-CD2=1073m,最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可.

【詳解】解：Q^ABD=30°,ZACD=60°,

ABAC=ZACD-ZABD=30°,

ABAC=NABC,

，/C=BC=20nl.

QADLBD,ZACD=6Q°,

ZCAD=90°-60°=30°,

:.CD=~AC=Wm,

2

根據(jù)勾股定理，^AD=JAC2-CD2=1O^m,

在中，ADYBD,ZABD=30°,

AB=2AD=206m.

答：鋼索的長度是20鬲.

21.⑴2、為dm,3行dm

(2)10Gmz)

(3)2

【分析】本題考查的是二次根式的應用；

(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，可得答案；

(2)利用長方形的面積減去兩個正方形的面積即可得到答案；

(3)先計算剩余木條的長為26(dm),寬為3A-2、,3=7'5dm,再利用2x2<2r<2x3,

75>2,從而可得答案.

【詳解】(1)解：、，甌=2、，&lm,<45-3<15dm,

故答案為：2、，5dm,345dm；

(2)解：矩形的長為2、?(dm),寬為36-205=7'5dm,

???剩余木料的面積=2/x6=10(dm2),

(3)解：矩形的長為2、行(dm),寬為3喬-2喬=瘋皿,

??12x2<2>/5<2x3,45>2,

最多能截出2塊木板.

故答案為2.

22.(1)3-2、叵；-1-X./2

7

⑵2

(3)2025

【分析】此題考查了分母有理化，正確選擇兩個二次根式，使它們的積符合平方差公式是解

答問題的關鍵.

(1)根據(jù)題干信息找出3+2點的有理化因式，按照分母有理化的方法求解即可；

(2)先求出[m+5->fm-2)(加+5+yJm-2)=7,再根據(jù)y/m+5--2=2計算即可得

到結(jié)果;

(3)原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：3+2職的一個有理化因式是3-2JI;

1

-l-y/2.

l-x/2

(2)解:

=m+5-(m-2)

=m+5—m+2

=7,

又,**y/m+5-yfm-2=2,

2\lm+5+\lm-2)=7,

=2026-1

=2025.

23.(1)點尸的坐標為［|,3

嗚

/或(4一

(3)點P的坐標為4J弋

【分析】此題考查了勾股定理與折疊問題，坐標與圖形，解題的關鍵是根據(jù)題意分情況討

論.

(1)首先根據(jù)勾股定理求出m=+=5,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

BC'=BC=AD=3,PC=PC,NPC'B=NC=90。,設PC'=PC=x,貝ij

DP=DC-PC=4-x,在RtADPC'中，利用勾股定理得到(4一=2?，求出

335

PC'=PC=~,得到。夕=4一5=彳，進而可求出點尸的坐標；

(2)首先根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到。E=設DE=BE=a,則

77

AE=AB-BE=4-a,在RS4DE中，根據(jù)勾股定理求出得到然后利用

OO

三角形面積公式求解即可；

(3)過點C作石尸~LC￡＞交CD于點￡,交48于點?根據(jù)題意得到￡尸=40=3,然后分

兩種情況討論：C'E:CN=1:2和C'￡:CN=2:1,分別根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】(1)???AB=4,AD=3,ZDAB=90°

BD=-JAD2+AB2=5

?.?將ABCP沿3P折疊，點C落在點C，處

...BCr=BC=AD=3,PC=PC,ZPCB=ZC=90°

??.DC=BD-BC=2

設PC'=PC