河北省邯鄲市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)高考保溫?cái)?shù)學(xué)試題

河北省邯鄲市2024屆高三下學(xué)期高考保溫?cái)?shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

3

1.已知tana=：,。為第一象限角，則sine的值為（）

4

人3「4-34

A.-B.-C.--D.——

5555

2.命題“Vxw（l,y）,d—2%+l>0”的否定是（）

33

A.VA:G（-OO,1],^-2X+1>0B.VXG（1,+OO）,X-2X+1<0

C.3XG（-OO,1],^3-2X+1>0D.BXG（1,+CO）,%3-2X+1<0

3.（2尤2-gj的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

4.中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定：2024年4月3日，中國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級(jí)地震.已知地

震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+L5M,2011

年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，則它所釋放出來的能量約是中國(guó)臺(tái)灣

花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級(jí)地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

5.已知M,N是圓C：/+2y-3=0上的兩個(gè)點(diǎn)，且|的|=20,尸為MV的中點(diǎn)，。

為直線/：尤-y-3=0上的一點(diǎn)，則|尸。|的最小值為（）

A.2&B.72C.2-A/2D.72-1

6.某疾病全球發(fā)病率為0.03%,該疾病檢測(cè)的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為5%,

檢測(cè)的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為1%,則某人檢測(cè)成陽性的概率約為（）

A.0.03%B.0.99%C.1.03%D.2.85%

7.若函數(shù)〉=后8$3%+夕）（0>0,-兀<°<兀）的部分圖象如圖所示，/卜3,石），N0,-⑹

為圖象上的兩個(gè)頂點(diǎn).設(shè)NMON=6,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0<。<兀，則sin（e+°）的值為（）

「出+1D.^±1

22

22

8.已知雙曲線C：二-3=1（。>0/>0）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，月、F?分別為c的左、右焦點(diǎn),

ab

UULULlULl.?..

點(diǎn)P在雙曲線上，且尸軸，〃在/￡尸耳外角平分線上，且&.若|o閶=怩凹,

則雙曲線的離心率為（）

D.迪

A.后B.0C.2

3

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z,三是其共物復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）

A.z>z

B.若|z|=l,則卜+百一i|的最小值為1

C.z=-^L（z0）

D.若3+4i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p,qeR）的一個(gè)根，則q=5

10.如圖，將一塊邊長(zhǎng)為4m的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然

后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x=2m時(shí)，正四棱錐的側(cè)面積為4Gm?

B.當(dāng)x=2m時(shí)，正四棱錐的體積為遞n?

3

試卷第2頁，共4頁

C.當(dāng)尤=2鬲時(shí)，正四棱錐外接球的體積為坐工m，

6

D.正四棱錐的體積最大值為三晶3

27

11.定義在R上的函數(shù)〃尤)滿足：2/(x+l)/(y+l)=/(x-y)-/(^+y),且”2)=-1,

則下列結(jié)論正確的是()

A."0)=1B.(1,0)是的對(duì)稱中心

2024

C.尸(X)是偶函數(shù)D.=l

i=0

三、填空題

12.已知向量6=(4,2),若向量°在B上的投影向量為g"且。與6不共線，請(qǐng)寫出一個(gè)符

合條件的向量a的坐標(biāo).

13.記r為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和，若%+4=1,4品=7邑，貝.

14.若不等式InxW優(yōu)lna(a>l)恒成立，則。的取值范圍為.

四、解答題

15.已知函數(shù)"x)=ae*-xlnx.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)在(L〃l))處的切線方程；

⑵若〃元)為增函數(shù)，求。的取值范圍.

16.某人投擲兩枚骰子，取其中一枚的點(diǎn)數(shù)記為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x,另一枚的點(diǎn)數(shù)記為點(diǎn)尸的

縱坐標(biāo),，令事件A="x+y=7"，事件B="x為奇數(shù)”.

⑴證明：事件43相互獨(dú)立；

(2)若連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，求點(diǎn)尸在圓/+/=12內(nèi)的次數(shù)X的分布列與期望.

17.如圖，已知菱形ABCD和菱形ADEF的邊長(zhǎng)均為2,ZFAD=ZBAD=60°,BF=5

M、N分別為AE、80上的動(dòng)點(diǎn)，且學(xué)=處.

AEBD

⑴證明：MN〃平面EDC；

(2)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求平面腦棋與平面MND的夾角余弦值.

18.動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)/(1,0)的距離與它到直線x=4的距離之比為記點(diǎn)M的軌跡為曲線「.

若尸(不，兒)為r上的點(diǎn)，且%40.

(1)求曲線「的軌跡方程；

⑵已知4(-2,0),3(2,0),直線/交曲線「于兩點(diǎn)，點(diǎn)C在X軸上方.

①求證：kPA-kPB為定值；

②若的"=3心一直線/是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.

19.柯西是一位偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家，許多數(shù)學(xué)定理和結(jié)論都以他的名字命名，柯西不等式就

是其中之一，它在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的一般形式為：設(shè)

4，。2，%，…，…，2eR,則

(a；+?2H-----1~4：)僅：+￡H-----2+a2b2H-----1-anbn)當(dāng)且僅當(dāng)bt=0(7=1,2,…,w)或存

在一個(gè)數(shù)%,使得4=屹。=1,2,…，同時(shí)，等號(hào)成立.

(1)請(qǐng)你寫出柯西不等式的二元形式；

(2)設(shè)P是棱長(zhǎng)為血的正四面體A3CD內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)尸到四個(gè)面的距離分別為4、d2>

4、4，求42+4；+送+“：的最小值；

(3)己知無窮正數(shù)數(shù)列｛(｝滿足：①存在meR,使得4〈加?=1,2,…)；②對(duì)任意正整數(shù)

i、j(i手j)，均有,廣々17「.求證:對(duì)任意〃"，〃eN*,恒有機(jī)

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】利用商關(guān)系和平方關(guān)系可求答案.

【詳解】因?yàn)閠ana==3,所以s2in吧a=3=,

4coscr4

169

又因?yàn)閟iEe+cos2a=1,所以sin2a+§sin2a=1,sin2a=-；

3

因?yàn)閍為第一象限角，所以sina=g.

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.

【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，

所以命題“Vxe(l,+oo),爐_2%+1>0”的否定是lve(l,+oo),尤3一2彳+14().

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式當(dāng)r=4時(shí)，代入通項(xiàng)公式可得到答案.

r6r123r

【詳解】依題意有小=42元2廣］」)=(-l)x2-C；x-,r=0,l,,6,

令12—3r=0=>r=4,所以常數(shù)項(xiàng)為(—l)，x2?C：=60,

故選：A.

4.C

【分析】利用指對(duì)數(shù)的互化可得分別求兩次地震的能量，再應(yīng)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求地震能量

的倍數(shù).

【詳解】由題設(shè)，

日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震所釋放出來的能量g=10—,

中國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級(jí)地震所釋放出來的能量與WO""""",

F1rv4.8+1.5x9

所以直=所藥=1產(chǎn)工355.

故選：C.

5.B

答案第1頁，共17頁

【分析】先根據(jù)弦長(zhǎng)得出點(diǎn)P的軌跡，利用直線與圓的位置關(guān)系即可解決.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+(y-l)2=4,圓心C(O,1),半徑為2,

由|建V|=2近，可得|CP|="^=也,

所以點(diǎn)P在以C(0,1)為圓心，應(yīng)為半徑的圓上,

|0-1-3|

又點(diǎn)C到直線/：x-y-3=0的距離d=2V2,

所以歸。|的最小值為20-拒=0.

【分析】根據(jù)題意，某人檢測(cè)成陽性包含兩種情況：非患者檢測(cè)為陽性和患者檢測(cè)為陽性,

結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即可求解.

【詳解】由題意，未患病者判定為陽性的概率為1%,患病者判定為陽性的概率為95%,

所以某人檢測(cè)成陽性包含兩種情況：

①非患者檢測(cè)為陽性的概率為(1-0.3%)xl%=Q00997；

②患者檢測(cè)為陽性的概率為。3%*(1-5%)=0.00285,

所以某人檢測(cè)成陽性的概率為0.00997+0.00285=0.01282^1.03%.

故選：C.

7.A

【分析】首先由已知條件列出方程組求解得夕，再利用向量求出夾角凡最后求得sin?+0)

即可.

_T27rJr

【詳解】由圖可知，-=4,r=8=-,

答案第2頁，共17頁

71

CD=—

A/3COS（-3G+夕）=退4

由題意知<解得:

6cos（G+o）=-\/3

又因?yàn)樗?卜3,6）,ON=（1,-后），且NM0N=9,

OM-ON-6A/3

2月x2一2

5兀

因?yàn)??84兀，所以。=L.

6

”….（八、.（3K5兀\.3兀5兀3兀.5兀

所以sin，+0）=sin1=sin—cosFcos——sin——

、）46J4646

應(yīng).⑻（01_痣+0

「了JJX2-4-

故選：A

8.B

【分析】根據(jù)題意，由條件可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再結(jié)合條件可得PM垂直平分N%,從而可得

OM//FtN,再結(jié)合O&M4&N可得.。乙加F2PN,從而得到a,"c的關(guān)系，由雙曲

線離心率的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.

【詳解】如圖所示，不妨設(shè)尸在第一象限，延長(zhǎng)與6加交于點(diǎn)N,

22

因?yàn)槭?，x軸，月(c,o),將x=c代入雙曲線中，可得二一與=1,

a'b'

8(b2}

解得y=±幺，且尸在第一象限，則Pa—,

a<a)

UUUUUUL1

因?yàn)镸在/鳥尸耳的外角平分線上，且-?〃=(),

則F2M1PM,ZF2PM=ZNPM,

故PM垂直平分NB，PN6為等腰三角形，

b2

所以|P￡|=|PN|=?,/為N"中點(diǎn)，

因?yàn)镺,M分別為百入，叫的中點(diǎn)，

則為百瑞N的中位線，&OMUF\N,

答案第3頁，共17頁

=；陽N|=g（閨尸|+|PM）=；（閨尸|+|尸用），

由雙曲線的定義可得用4-忱閭=2a,則忻尸|=2a+|PB|=2a+J,

所以|0叫=；（忻P|+|P閭）=、2a+￡+￡]=a+￡,

乙乙、ac^t）C^L

又因?yàn)镺M//RN,貝IOF2MFXF2N,

因?yàn)閨O6卜陽M，所以O(shè)F2M,都是等腰三角形，

則ZMOF2=ZNF[F2=ZOMF2=ZF.NF2,

故。2…則黑=制,

又因?yàn)閨叫|=2|崢|=2|。詞=2c,

b2

貝整理可得2/=戶+勺，

b2ca

a

因?yàn)樨?c2",則2c2=c2-/

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的定義以及離心率的計(jì)算，難度較大，解答本

題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件得到OM〃6N,結(jié)合相似比以及雙曲線的定義，從而得到結(jié)果.

9.BC

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，模長(zhǎng)公式，復(fù)數(shù)相等，共輾復(fù)數(shù)等知識(shí)可求答案.

答案第4頁，共17頁

【詳解】對(duì)于A,復(fù)數(shù)(虛部不為0)不能比較大小，所以A不正確；

對(duì)于B,設(shè)2=。+歷，a,beR,由|z|=1可得/+從=1,設(shè)。=8$6/=5也6,

貝娛+6_力=仙+南+僅_1)2=J26cos0-2sin6+5

=j4sin(O+e)+5,當(dāng)sin(O+a)=-l時(shí)，卜+若-“取到最小值1,B正確；

對(duì)于C,設(shè)2=。+為，a,beR,\z^=cr+b2,zz=(^a+bi)(a-bi)=a1+b2,

所以歸:z彳，即z衛(wèi)(z/O)，C正確；

z

對(duì)于D,(3+4i)2+p(3+4i)+q=0(p,qeR),整理得(3p+q—7)+(24+4p)i=0,

所以3p+g-7=0且24+4p=0,解得°=-6,q=25,D不正確.

故選：BC

10.BCD

【分析】作出示意圖，對(duì)于A：可求得4S枷=8〃/判斷A；對(duì)于B：當(dāng)x=2時(shí)，P0=班,

可得丫=拽加判斷B；,設(shè)外接球的半徑為r,可得/■=：,進(jìn)而求得體積判斷C；可得

OE=|AB=1X,＜。=J4T2,可得1卡卜寧,利用利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可

求其最大值判斷D.

【詳解】用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器如圖所示：

對(duì)于A：當(dāng)x=2時(shí)，即AB=2,由題意可得.ABP的邊AB上的高為2,

所以側(cè)面面積為4s神=4x；x2x2=8加2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)x=2時(shí)，由題意可得側(cè)面斜高尸E=2,OE=^AB=\,

可得尸O=/^=G，所以V=；SABo/°P=gx2x2x0=半1113,故B正確;

對(duì)于C：當(dāng)x=2V^時(shí)，RJOE=—AB=5/3,PO=C4-3=1,

答案第5頁，共17頁

正四棱錐外接球的球心M在直線P。上，設(shè)外接球的半徑為,,

則”_1）2+（卡）2=/，解得r=工,所以正四棱錐外接球的體積為

23326

故c正確；

對(duì)于D：-^nOE=-AB=-x,PO=.4--x2,

22V4

222

V=1-SABCD^OP=^xxxxx^4-^x=尤2/_圣=1xV16-X,

令f=J16-de（0,4），貝|J/⑺=g（16-r）,求導(dǎo)得廣⑺=，（16-3產(chǎn)），

令廣⑺=0,則!（16—3?）=0,解得/=迪，

當(dāng)fe（0,半），/"）＞0,?。ㄩ?4）,f'（t）＜0,

所以國(guó)3,此時(shí)工=苧時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：BCD.

11.ABD

【分析】令x=y=l,求出/（。）=1可判斷A；令x=l,y=-x,可判斷B；若尸（力是偶函

數(shù),則/'（r）=7'（x）,利用/"+x）=「（I）,得到了'（X）的周期為2,的周期也為

2,產(chǎn)生矛盾可判斷C；由/（x+4）=-〃x+2）=〃x）,所以〃x）的周期為4,賦值法求出

/（1）,/（3）,利用周期性求值可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,令x=y=l,可得2/（2）/（2）=/（0）—"2）,因?yàn)椤?）=-1,

所以“0）=1,故A正確；

對(duì)于B,令x=l,y=-x,可得2/（2）/。一同=/。+力一〃1一無），

即/（l+x）+/（l-x）=0,所以（LO）是〃x）的對(duì)稱中心，故B正確；

對(duì)于c若于（X）是偶函數(shù),則m（x）,

因?yàn)椤╨+x）+〃l一尤）=。，所以尸（1+”=尸。一x）,/（-%）=/（2+^）=/（%）,

從而得到「（力的周期為2,〃x）的周期也為2,

而〃。）=1￥/（2）=-1,故C錯(cuò)誤；

答案第6頁，共17頁

對(duì)于D,由C得〃x+4)=—/(x+2)=/(x),所以的周期為4,

令無=y=0,得2/(1)/(1)=〃0)-〃0)=0,得/⑴=0,

令x=2,y=l,得2〃3)〃2)=/(1)-43)=0,43)=0,

所以/(。)+/(1)+/(2)+43)=1-1=。，所以

2024

S/(0=2024x0+/(2024)=/(0)=l,故D正確.

i=0

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解題是利用特殊值法，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.

12.(1,3)(答案不唯一)

a-bb1,

【分析】根據(jù)題意，得到求得進(jìn)而可寫出一個(gè)向量，得到答案?

【詳解】由向量8=(4,2),可得向量忖=而，

1a-bb1.

因?yàn)橄蛄縜在6上的投影向量為5匕，可得向=可得分6=10，

設(shè)a=（羽y）,可得4x+2y=10,取x=l,y=3,

此時(shí)向量a與向量b不共線，故a=(L3).

故答案為：(1,3)(答案不唯一).

13.—

16

【分析】由等比數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由題意可得4X1,

可得4“1一074（1一”

解得“2=；，

由4s6=7SZ，

\-q1-q

22

又4+々4=1，BPaxq+a2q=1,所以〃1+2=2,

同理%+%=2，%+火=,，a,+a10=-,0,1+^=—,

24816

因S]2=%+Cl?+Q3+〃4+。5+。6+〃7+。8+。9+%0+1+。12，

答案第7頁，共17頁

bi、rcc1IIII63

所以Si2=2+ld----1----1----1----=——.

122481616

故答案為：

16

14.ee,+oo

【分析】借助》二1。8〃、與>=優(yōu)的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱性，先討論y=與>=優(yōu)的

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.

【詳解】不等式lnxW"lna(〃>l)恒成立，

即不等式叱4o,恒成立，

ma

即不等式log.XW優(yōu)恒成立，

先求解y=10gli%與y=的相切的情況.

因?yàn)楹瘮?shù)y=log。％與y=優(yōu)的圖象關(guān)于直線丫=*對(duì)稱，

所以切點(diǎn)一定在直線y=x上，且切線斜率為1,

假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,不)

則*=X。①

由y=優(yōu)求導(dǎo)得yr=ax\na,

所以a'"lna=l,即a?②

ma

由①②得%=々湎=-^—,

Ina

J_i

所以a與=a[na=*g“e==-----,

e=xIna

所以e=J—,所以lna=,，解得“一2，

Inaea~e

因?yàn)楫?dāng)a>l時(shí)，

指數(shù)函數(shù),的導(dǎo)數(shù)y'=a〔na遞增，

對(duì)數(shù)函數(shù)產(chǎn)bg〃％的導(dǎo)數(shù)y'=一J—遞減，

xlna

如圖：

答案第8頁，共17頁

y=logaxx

因此可得：

當(dāng)時(shí)，沒有公共點(diǎn)，

當(dāng)〃一￡，有1個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)?

結(jié)合圖象可知：當(dāng)〃之盛時(shí)，不等式1。丸龍工優(yōu)恒成立，

-1A

即若不等式恒成立，則。的范圍為ee,+。.

_7

-1\

故答案為：ee,+a>

,7

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題求解的關(guān)鍵是把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)圖象與直線

)=%公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

15.(l)(e-l)x-y+l=O

⑵

【分析】(1)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為((無)上。在xe(O,+?)上恒成立，構(gòu)造函數(shù)

gG)=W"(x>。)，即。之8口).，求導(dǎo)即可得到其最值，從而得到結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=ev-xlnx,即〃l)=e,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e),

又因?yàn)開f(x)=e，—如x—1,則廣⑴=e-l,

由直線的點(diǎn)斜式方程可得y-e=(e-l)(x-l),

答案第9頁，共17頁

化簡(jiǎn)可得(e—l)x—y+l=O.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=ae"-xlnx定義域?yàn)?0,+e),J=L/,(A：)=aeT-(l+lnx),

為(0,+巧上增函數(shù)等價(jià)于尸⑺20在xe(0,E)上恒成立，

由尸(x)NO可得aW坐空，令g(x)=^U(x>0),

ee

所以只需aNg(x)a，求導(dǎo)可得g'(x)=ef[1Inx],

^/z(x)=--1-lnx,貝！J,(%)=一-y--<0,

xxx

即M力是(o,+8)上的減函數(shù),又砌=0,

故％=1是"(X)的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)X￡(0,1)時(shí),/z(x)>0,g<%)>0,g(x)遞增，

當(dāng)x￡(1,+00)時(shí),h^x)<0,g，(x)<0,g(x)遞減,

故當(dāng)X=1時(shí)，g(x)取得極大值且為最大值，g⑴=4

所以即。的取值范圍是一,+°°].

eLe)

16.(1)證明見解析，

(2)分布列見解析，期望為;.

【分析】(1)要證明事件43相互獨(dú)立的充要條件是尸(A5)=尸(A)-P(B),所以先要去求出

111

P(A)=-,P(B)=N，P(AB)=—,然后再根據(jù)充要條件加以判斷；

(2)先求出拋擲這兩枚骰子一次，滿足點(diǎn)尸在圓尤2+/=12內(nèi)的概率，然后根據(jù)連續(xù)拋擲

三次，說明即可用二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算分布列和求出期望.

【詳解】(1)證明：由題意可知尸點(diǎn)的坐標(biāo)有36種，其中事件A所包含的基本事件有

(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6種，所以尸

3oo

1Q1

事件3所包含的基本事件有18種，所以P(8)=9=4,

362

31

積事件AB有。,6),(3,4),(5,2),共3種，所以P(A8)=^=K，

答案第10頁，共17頁

滿足P(AB)=P(A>P(B),所以事件A、8相互獨(dú)立;

(2)點(diǎn)尸在圓Y+y2=12內(nèi)的基本事件有：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共

6種，

所以點(diǎn)P在圓Y+丁=12內(nèi)的概率為三:4,

366

由題意可知，3,1

p(x=0)=c?胃=2

5I275

P(x=i)=c；

216)

5

p(X=2)=C：I嗜

3

5

P(X=3)=C；

所以，X的分布列為

X0123

12575151

P

216216216216

所以E(X)=3x[="

62

17.(1)證明見解析

⑵姮

65

【分析】(1)先證明M7V〃EG,由線線平行得出線面平行;

⑵先根據(jù)出的長(zhǎng)最小求出嚶=器的比值’再由建立坐標(biāo)系求出平面“仍與平面

MND的夾角余弦值.

【詳解】(1)延長(zhǎng)4V交直線QC于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

答案第11頁，共17頁

因?yàn)榱庑蜛BC。，所以AB〃OG,

bzBNAN

所以——=——，

BDAG

AMBN

又7F=茄’

所以槳=*，所以MN//EG,

AEAG

因?yàn)镸NU平面EDC,后Gu平面EDC,nMNIIEG,

所以MV//平面EDC.

(2)取AD的中點(diǎn)。，連接PO,BO,FD,BD,

因?yàn)榱庑蜛BC。和菱形AD￡F的邊長(zhǎng)均為2,ZFAD=ZBAD=60°,

所以R9=BO=JL

且歹OJ.AD,BOLAD,

又FOBO=O,FOu平面FOB,BOu平面FOB,

所以AD_L平面/03,

又BF=^,所以△F03為等邊三角形,

取3。中點(diǎn)a,連接FH,則切JLO3,

由平面得AD_LEF/,

又FHLOB,AD±FH,OBAD=O,

所以FH_L平面ABO,

所以以。4所在直線為x軸，02所在直線為y軸，過。作平行于EH的直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖：

答案第12頁，共17頁

E

J2G〕

,B(0,^,0),一司，

了

‘57

設(shè)黑嚏=

貝llAM=AAE，BN-ABD，

(Q3、

貝iJM-32+1,—A,-A,N

(22)

MN=(2A-l,-—A+>j3,--A

22

顯然彳=；時(shí)〃乂的長(zhǎng)最小，

此時(shí)｛一駕,o]MN=jo,f,q

r3

AM=6DN=

設(shè)平面M7VA的法向量為加=（%，M，zJ,平面腦VD的法向量為〃=（%2，%/2），

m-AM=0

則

m?MN=0

363c

-----XH--------y,H-----Zi=0

214141

即

A/33.

一y一4=o

I414

答案第13頁，共17頁

令解得4=1,再=1,則相=（1,百小，

nDN

n-MN=O

1百

—XH-----%=。

2o2*42

即＜

百3

z=0

U——%——42

令y2=6,解得Z2=l,%2=-3,則”=卜3,6,1),

設(shè)平面加\幺與平面的夾角為。,

m-n1___V65

貝UcOSe=|cOS/n，T=

H.同A/5XV13-65

即當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，平面AW1與平面MM）的夾角余弦值為叵.

65

尤2V2

18.⑴-匕=1

43

⑵①證明見解析；②定點(diǎn)（1,0）

【分析】（1）根據(jù)求軌跡方程的方法列式化簡(jiǎn)即可求得.

（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，結(jié)合尸（七,為）為「上的點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)即可求得定值.

②直線/：”=四+乙根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式和條件上m=330，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，的值,

從而確定定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】（1）設(shè)M（x,y）,動(dòng)點(diǎn)〃到定點(diǎn)p（l,。）的距離與它到直線尤=4的距離之比為:，

則J（xT『+y2化簡(jiǎn)得《+二=1,

|x-4|243

22

所以M的軌跡曲線r的軌跡方程?+]=i.

22（y2A

（2）①尸&,%）為「上的點(diǎn)，則配+生=1,y；=31-于，

4314J

=^<>yl

因?yàn)?（—2,0）,3（2,0）,則L?臉3（定值），所以

%+2X-2_4=;

Q4

答案第14頁，共17頁

kpA，kpB為定值.

②直線/恒過定點(diǎn)(1,0),理由如下：

31

由①知，kAD-kBD=--,因?yàn)樽?。=3攵AC，所以“

22

設(shè)直線/：x=+:―+^-=1,

將直線/與曲線「聯(lián)立方程得(3療+4b2+6研y+3?—12=0,

則X+A=36/n￥-4(3m2+4).(3r2-12)>0,

因?yàn)锳(—2,0),3(2,0),配=三萬，b=*，

所”上.k=^1_________2^______1

所以皿AL占+2尤?=+2一(陽口+2)(陽++2)=一4'

即(m2+4)%為+俄6+2)(%+%)+0+2)2=0,

所以3"+4)(/一%-療功+2)16(