河南省九師聯盟2024屆高三年級下冊5月聯考數學試題（含答案與解析）

河南省九師聯盟2024屆高三下學期5月聯考

數學

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={0，1，2,3},8={心=坨（*+2°時則A|B=（）

A.(0,1,2)B.{1,2,3)c.{0}D.{0,1}

2.若復數z=l+i,則—+1=()

Z+1

A.1B.75c還D.亞

55

3.在矩形ABCD中，AB=(1,2),AC=(x,0),則矩形ABC。的面積為（)

A5B.10C.20D.25

4.6人站成一排，其中甲、乙兩人中間恰有1人的站法有（）

A.240種B.192種C.144種D.96種

12

5.記_48。的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=3,b=C+3C+9，/A3C的平分線交邊

AC于點且比）=2,則Z>=()

A.2亞B.2幣C.6D.3幣

6.已知圓臺Q的上、下底面半徑分別為弓，2，且々=2。若半徑為出的球與。的上、下底面及側面均

相切，則Q的體積為（）

i—r-ZO7L兒

A.7A/3TIB.8A/3TIC.D.

7.已知函數/(x)=3sin12x-，4cos12X-￡|,將/*)的圖象向左平移卷個單位長度后，得到函數

g(x)的圖象.若毛，4是關于x的方程g(x)=a在0,]內的兩個不同的根，則sin['+X]+X2)=()

8.已知函數〃x)=G；2+(a—2)x—Inx,a>Q,若函數〃九)沒有零點，則。的取值范圍是()

<11

A.(1,+co)B,(2,+s)C.-,3D.(1,3)

12)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確是()

A.已知變量x,y的線性回歸方程9=O.3x—無，且9=2.8,則元=T

B.數據4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%分位數為11

C.已知隨機變量X?3(7,0.5),尸(X=左)最大，則上的取值為3或4

D己知隨機變量X?N(O,1),尸(X21)=。，則p(—i<x<0)=；—?

10.下列函數中，最小值為1的是()

A./(x)=sin4x+cos2xB./(x)=—------1--------------

sinx+1cosx+2

7

C./(%)=2sinx+2cosx+sinxcosx+—D./(x)=|sinx|+1cosx|

11.在平面直角坐標系xOy中，P為曲線￡:(/+丁2)3=8//(孫20)上任意一點，則()

人.￡與曲線沖=1有4個公共點：6.2點不可能在圓。：爐+丁2=2外

C.滿足x°eZ且為eZ的點尸有5個D.P到x軸的最大距離為生尼

9

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知/(x)為R上的奇函數，且/(x)+/(2—x)=0,當—1<%<0時，/(x)=2\則

/(2+log25)的值為.

13.已知P,。是拋物線C:y=8x上的兩個動點，A(2,4),直線AP的斜率與直線A。的斜率之和為4,

若直線尸。與直線/：%—y+l=O平行，則直線PQ與Z之間的距離等于.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，DC=V2AD=42AC=4-AB=4AF=4EC,且石尸交AC于點

G,現沿折痕AC將八位)。折起，直至折起后DCLBC,此時_￡FG的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙兩人進行射擊比賽，每場比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、乙每次至少打出8環(huán).根據統(tǒng)計資料可

知,甲打出8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為060.3,0.1,乙打出8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.7,0.2,0.1,

且甲、乙兩人射擊的結果相互獨立.

(1)在一場比賽中，求乙打出的環(huán)數少于甲打出的環(huán)數的概率；

(2)若進行三場比賽，其中X場比賽中甲打出的環(huán)數多于乙打出的環(huán)數，求X的分布列與數學期望.

16.如圖所示，在三棱錐P—ABC中，Q4與AC不垂直，平面平面ABC,PA±AB.

(1)證明：AB1AC-,

(2)若K4=PC=A6=AC=2,點M滿足=，求直線AP與平面A&0所成角的正弦值.

17.已知數列｛%｝的前〃項和為S“，q=l,g=3,Sn+l+Sn_1=2(S；J+1)(?>2)

(1)求s〃；

(2)若S=4"C0S5+1)兀,求數列也}前1012項和62.

an,an+\

22

18.已知雙曲線E:二―二=l(tz>Q,b>0)的右焦點為F,左、右頂點分別為M,N,點P(x0,y0)(x0牛土a)

ab

是E上一點，且直線PM,尸N的斜率之積為g.

b

(1)求一的值；

a

(2)過戶且斜率為1的直線/交E于A,B兩點，O為坐標原點，C為右上，點，滿足

OC=WA+OB^ABC的面積為2，求E的方程.

19.已知函數/(%)=alnx+L(a。0).

(1)若/(x)>a對xe(0,+oo)恒成立，求。的取值范圍；

(2)當。=3時，若關于x的方程內>)=———+4%+/,有三個不相等的實數根毛，巧，W，且西<

x2

/<%3，求b的取值范圍，并證明：%3-Xj<4.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合4={0，1，2,3},8={加=聯-/+20必,則4B=()

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{0}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】先求函數y=lg(-V+20x)的定義域，再根據對數函數的單調性求出其值域，最后利用集合的交

集定義即得.

【詳解】對于y=lg(—人+20為,由一爐+20%>()可得0<%<20,

又因-X?+20x=-(x-10)+100,故得0<-爐+20%<100,

則有l(wèi)g(—V+20x)V2,故5=(—a,2],則AB={0,1,2).

故選：A.

2.若復數z=l+i，則；+1=()

z+1

AA.1BR.7/57cC.-2-遙-----nL).--------

55

【答案】D

【解析】

【分析】利用復數的四則運算先化簡‘+1,再求其模長即得.

Z+1

2+2i_(2+2i)(2—i)62.

【詳解】+1=—+—i

Z7T2+i(2+。(2-。55

故選:D.

3.在矩形A3CD中,AB=(1,2),AC=(x,0),()

A.5B.10C.D.25

【答案】B

【解析】

【分析】求出AO=(尤—1,—2),利用益.明=0求出尤的值，即可求得|AD|,結合|45|=0，即可求

得答案.

【詳解】由四邊形A3CD為矩形，得4。=3。=4^一/止=(X-1,-2)；

由AB.A￡)=0，得1x(%—l)+2x(—2)=0,解得x=5,從而AD=(4,—2),

所以|45|=6，|AD|=同，所以矩形A3CD的面積為有x而=10.

故選：B.

4.6人站成一排，其中甲、乙兩人中間恰有1人的站法有()

A.240種B.192種C.144種D.96種

【答案】B

【解析】

【分析】先排甲乙，再選一人排在甲乙中間，最后進行全排列即可得.

【詳解】先對甲、乙兩人進行排列有A；種，然后從剩下的4人中選1人站甲、乙兩人中間有C；種，

最后將甲、乙和中間的那個人看成1個元素，與其他3個元素進行全排列有A：種，

所以不同的站法有A；C；A：=192種.

故選：B.

12

5.記；ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知a=3,b=c+3c+9，/ABC的平分線交邊

AC于點。，且皮）=2,則Z?=（）

A.2加B.2幣C.6D.3百

【答案】D

【解析】

1771

【分析】根據題意，利用余弦定理求得cos3=-得到3=可，結合SMBCMSOBD+SABCD，列出方

程求得c=6,再利用余弦定理，即可求解.

【詳解】因為4=3及Z;2=02+3c+9，可得力2=+°2+ac,

〃242_序1

由余弦定理得cos3=巴士——=

2ac2

2n

又由0<5<兀，所以3=—,

3

因為工的。=S4ABD+S^BCD，即gacsinNABC=gB￡）-（a+c）sinZAB￡），解得c=6,

24_

由余弦定理得廿=62+32-2x6x3xcos—=63,即6=3?.

故選：D.

6.已知圓臺Q的上、下底面半徑分別為弓，4，且4=2。若半徑為出的球與。的上、下底面及側面均

相切，則Q的體積為（

26兀287r

A.7百兀B.8后D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據圓臺的軸截面圖，利用切線長定理結合圓臺和球的結構特征求解小2，然后代入圓臺體積公

式求解即可.

【詳解】如圖，設Q的上、下底面圓心分別為a,o2,則。的內切球的球心。一定在aa的中點處.

設球。與O的母線A8切于M點，則OM=OO[=(X)2=6

AM=rx,BM=r2,所以48=4+馬=34?過A作AG_LBO2，垂足為G,

則3G=々-4=6，由AG?=AB2_BG2,得12=(3/])?-片=8片，所以片=|＞，4=6,

所以Q的體積為g|■兀+6兀+J|?兀?6兀]x2G=7j§7i.

故選：A.

7.已知函數/(x)=3sin12x-，4cos12x-￡|,將了⑺的圖象向左平移看個單位長度后，得到函數

g(x)的圖象.若毛，%是關于x的方程8(工)=口在0,]內的兩個不同的根，則sin[3+X]+X2)=()

3344

A.--B.-C.一一D.-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡〃x),根據圖象的平移變換可得g(x)的表達式，再結合題意利用正弦函數的

7T

對稱性可得%+馬二萬+0，即可求得答案.

【詳解】/(x)=3sin]2x-jj-4cosf2x-j71j=5sinf2x-兀^-(p\,

33

471、

其中。為輔助角，sin,cos夕=

貝UgOO=/1%+￡)=5sin21%+171)—三71一夕=5sin(2x-cp),

63

■Jl

當xe0,—時，2x_(pe[~(p,Tt_cp\,~(p€-川7l-(PEr4

jr

因為為，巧是關于x的方程g（x）=a在0,-內的兩個不同根,

2x,-(p+2%,-CD7C71

所以—------=—=-^^+%=]+夕,

22

因此sin[鼻+X]+%I=sin(兀+夕)=-sin夕=一4

5

故選：C.

8.已知函數/'(xluar2+(a-2)x-lnx,。＞0,若函數了（九）沒有零點，則〃的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B,（2,+oo）C.-,3D.（1,3）

12）

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件，利用導數求出函數/（九）的最小值，再對該最小值的符號分類討論即得.

【詳解】函數/（X）的定義域為（0,+8），求導得

r(x)=2ax+(a-2)--=2#+("-2)1=(以—1)(2"+1),

當1寸，/'（尤）＜0,當xe：,+＜?，，/,（%）＞0,故函數/（%）在上遞減，在

上遞增,

則當X」時，函數/(%)取得最小值/，］=q，+lna.

若a＞l,則/(x)之/仔［=9+lna〉0+0=0,從而"％)沒有零點，滿足條件;

kaja

n—1J1L5￡_ll4>0-l+lne=0,

若由于/——+ln〃<0+0=0,+n

a⑷162

故由零點存在定理可知/(x)在上必有一個零點，不滿足條件.

所以。的取值范圍是(1,+e).

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于將零點的存在性問題轉化為極值點的符號問題，屬于較為常規(guī)的問題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.已知變量x,y的線性回歸方程亍=0.3尤一無，且歹=2.8,則元=T

B.數據4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%分位數為11

C.已知隨機變量X~3(7,0.5),尸(X=左)最大,則左的取值為3或4

D.已知隨機變量X~N(0,l),P(X21)=。，則P(—1＜乂＜0)=；—夕

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據回歸直線方程必過樣本中心點(五亍)求出無，即可判斷A,根據百分位數計算規(guī)則判斷B,根

據二項分布的概率公式及組合數的性質判斷C,根據正態(tài)曲線的性質判斷D.

【詳解】對于A：因為回歸直線方程必過樣本中心點(五亍)，

所以2.8=0.3工—亍，解得元=T，故A正確；

對于B：因為10x75%=7.5,所以75%分位數為從小到大排列的第八個數，即為14,故B錯誤；

對于C：因為X~8(7,0.5),所以P(X=左)=&＞＜］，，(0V左K7且左eN),

由組合數的性質可知當左=3或％=4時C：取得最大值，則當左=3或％=4時P(X=A)最大，故C正確;

對于D：因為X~N(O,1)且尸(X?l)=p,

所以尸(X<—1)=尸(X21)=p,

則P(-l<X<0)=P(T；X<1)=：口_p(x<-1)-P(X〉1)]=g—p,故D正確.

故選：ACD

10.下列函數中，最小值為1的是()

A./(x)=sin4x+cos2xB.f(x)=——----1---------

sinx+1cosx+2

7

C.f(x)=2sinx+2cosx+sinxcosx+—D./(x)=|sinx|+1cosx|

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A選項，把原式轉化為二次型函數/(x)=(sin2x-+；來求最值；

對于B選項，需要用到不等式證明中的代換1法即可；

對于C選項，需要把原式中的sinx+cosx換成/,這樣又轉化為二次型函數丁=萬(/+2)2+1來求最值；

對于D選項，遇到絕對值問題用平方思想，把原式化為/2(x)=l+|sin2x|即可判斷.

【詳解】對于A,f(x)=sin4x+cos2%=sin4%-sin2%+1=^sin2x-+j，其最小值為q，故A錯

誤；

對于B,f(x)=~-+—~-=；(~-+—--V(sin2x+1)+(cos2x+2)1

smx+1cosx+24vsinx+1cosx+2JLV1v/J

1八cosx+2sinx+1、1八八cosx+2sinx+1,

41sinx+1cosx+2)4Vsinx+1cosx+2

當且僅當sin2i=l，cos?x=0時等號成立，故B正確；

、r~r~t2—1

對于C.設，=sinx+cosx,ZG[-V2,A/2],則sinxcosx=----，

t2-171

所以y=2/+;一+萬=5?+2）2+1,

當"-四時，JU=4-20,故C錯誤；

對于D,/2（x）=l+|sin2x|>l,又/（x）?0,

k冗

所以當sin2x=0,即》=《-,keZ時，f（^）min=1，故D正確.

故選：BD.

11.在平面直角坐標系xOy中，尸為曲線￡:（/+丁2）3=8x2/（孫20）上任意一點，則（）

A.E與曲線孫=1有4個公共點：6.尸點不可能在圓。：/+）；2=2外

C.滿足x°eZ且為eZ的點尸有5個D.P到x軸的最大距離為生色

9

【答案】BD

【解析】

【分析】聯立方程（f+yy=8/y2與移=1即可判斷A；利用基本不等式即可判斷B；結合B選項即

/\32222

tn3

可判斷C；由（爐+V）-8%歹得/+y--，設7〃=W'n='則關于的方程4+n=2mn

有非負實根，設/（⑼=加一2山〃+/?,利用導數即可判斷D.

32

【詳解】聯立方程（必+/）=8x/與%>=1,解得x=1,y=1或x=—1,y=-1,

所以E與曲線沖=1有2個公共點，A錯誤；

/22、2

由（必+>]=8/丁2<8",得％2+,2<2,

I2J

當且僅當尤2=V=1時，取等號，故B正確；

由B知闖<、歷，故滿足/eZ且為eZ的點P僅有（―1,—1）,（0,0）與（1,1）,共有3個，故C錯誤；

+

由（％y）=8%y得％2+,2=2戶“,設加n_yi,

則關于m方程加3+〃3=2加〃有非負實根，

設J(m)=m3-2mn+n3,f\m)=3m2-2n,顯然/'(㈤在［0,+8)上單調遞增,

2n

由/'(771)=0,得加=~~，則/(加)極小值二f<0,解得〃3〈主，即上，

27.27

所以|y區(qū)手，且等號可取到，D正確.

故選：BD.

【點睛】關鍵點點睛：利用基本不等式得出爐+產<2是判斷BC的關鍵.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知/(x)為R上的奇函數，且/(x)+/(2—x)=0,當—1<%<0時，f(x)=2x,則

/(2+log25)的值為

4

【答案】一-##-0.8

5

【解析】

【分析】由題設條件可得"了)的周期為2,應用周期性、奇函數的性質有42+log?5)=-/(log2d

根據已知解析式求值即可.

【詳解】由題設，“2-尤)=-/(尤)=/(-*),故/(2+x)=/(x),即〃尤)的周期為2,

4

且一l<log2M<0,

1-d

所以/(2+1。825)=—2嗎，=—二.

4

故答案為：一

13.己知產，。是拋物線C:丁=8x上的兩個動點，A(2,4),直線AP的斜率與直線A。的斜率之和為4,

若直線PQ與直線/：x—y+1=0平行，則直線PQ與I之間的距離等于.

【答案】巫

2

【解析】

【分析】設出直線尸。的方程，聯立曲線，可得與縱坐標有關韋達定理，借助韋達定理轉換題目條件計算可

得直線尸。所過定點，或結合直線PQ與直線/：%-y+l=。平行可得具體方程，后借助平行線間的距離公

式計算即可得..

【詳解】法一：

顯然直線的斜率不為0,故可設尸。：％=陽+乙

,fy2=8%,,

由<，可得y-8my-St-0,

x=my+t

如圖，設尸(%,%),Q(x2,y2),則為+%=8私%為=-8,

所以△>0=>64m2+32。>0=>2m2+/>0，

%-4=X-4=8

“。r.2?I

所以2(%+%)+16=%%+4(%+%)+16,則%%=—2(%+丫2)，

即/=2相，直線「。：X=沖+2機=m(y+2),故直線尸。恒過定點(0,-2).

故當直線P。與直線x—y+l=。平行時，

兩直線之間的距離等于定點(0,-2)到直線x-y+1=0的距離，

g,=|0-(-2)+l|=3V2

法二:

由題意，設PQ:x-y+ni=0,

,y=Sx

由<，得zy9-8y+8加=0,

x-y+m-Q

由A=64-32加>0,解得機<2.

(2\(2、

設尸,Q卷,％,則%+%=8,%%=8加，又A(2,4),

IX)I8)

一…--4-88_8(%+%+8).16

所以“P他yt_2y^_2J1+4%+43V2+4(H+%)+16m+6>

88

由題意，*—=4,解得〃?=-2,故兩平行直線之間的距離為11—[2)|=上叵.

m+6yj22

故答案為：逑.

2

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，DC=41AD=41AC=4>AB=4AF=4EC,且ER交AC于點

G,現沿折痕AC將八位)。折起，直至折起后的。此時二EFG的面積為.

【答案】B

4

【解析】

【分析】根據題意，證得即LAB和5c±AC,得到平面2AC,得到平面2AC，平面ABC,

過點E,尸作AC的垂線EM,FN,證得EM上NF,結合EF=EM+MN+NF，求得但同=6,利用

余弦定理和三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，折起前，EF-AB=(ED+DA+AF)-AB=ED-AB+DA-AB+AF-AB

=3x4cos7r+2V2x4cos—+Ix4cos0=0,所以EF_LAB,

4

在直角一AFG中，可得尸G=A尸tan45°=1，

又由EG=FG=1,因為。又因為。。="4。=包。=4,則ADLAC,

由AD//3C,所以BC±AC,

因為ACcC0=C,，。,4。匚平面。4。，則3cl平面2AC,

又因為BCu平面ABC,則平面QAC，平面ABC,

分別過點E,尸作AC的垂線EM,FN,垂足分別為點M,N,則EM工MN,MN工NF,

因為平面2ACc平面ABC=AC,且EMu平面"AC，所以石版，平面ABC,

又因為FNu平面ABC,所以

由EF=EM+MN+NF，

-2-2-2-211?,/—

可得所=EM+MN+NF=-+2+-=3,所以但同=43,

在EFG中,可得cosNEGb=F+F—（^）2=—工，

2x1x12

因為NEG/e（O,兀），所以ZEGE=0,所以S=，xlxlx@=3.

3EFG224

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙兩人進行射擊比賽，每場比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、乙每次至少打出8環(huán).根據統(tǒng)計資料可

知，甲打出8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為060.3,0.1,乙打出8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.7,0.2,0.1,

且甲、乙兩人射擊的結果相互獨立.

（1）在一場比賽中，求乙打出的環(huán)數少于甲打出的環(huán)數的概率；

（2）若進行三場比賽，其中X場比賽中甲打出的環(huán)數多于乙打出的環(huán)數，求X的分布列與數學期望.

【答案】（1）0.3

(2)分布列見解析；0.9

【解析】

【分析】(1)根據題意，得到事件包括：甲打出9環(huán)乙打出8環(huán)，甲打出10環(huán)乙打出8環(huán)或9環(huán)，結合相

互獨立事件的概率計算公式，即可求解；

(2)根據題意，得到變量X的可能取值為0』,2,3,得到X~8(3,0.3),求得相應的概率，列出分布列,

求得數學期望.

【小問1詳解】

解：設乙擊中的環(huán)數少于甲擊中的環(huán)數為事件4

則事件A包括：甲打出9環(huán)乙打出8環(huán)，甲打出10環(huán)乙打出8環(huán)或9環(huán)，

則P⑷=0.3x0.7+0.1x(0.7+0.2)=0.3.

【小問2詳解】

解：由題可知X的所有可能取值為0』,2,3,

由(1)知在一場比賽中，甲打出的環(huán)數多于乙打出的環(huán)數的概率為0.3,則乂~8(3,0.3),

所以尸(X=0)=(1—0.3)3=Q343,P(X=1)=C；X0.3X(1—0.3)2=0.441,

P(X=2)=C；x032x(1—0.3)=0.189,P(X=3)=0.33=0.027,

所以隨機變量X的分布列為：

X0123

p0.34304410.1890.027

所以期望為E(X)=3X0.3=0.9.

16.如圖所示，在三棱錐尸—ABC中，E4與AC不垂直，平面平面ABC,PA±AB.

P

(1)證明：ABJ.AC；

(2)若B4=PC=A3=AC=2,點M滿足「B=3P"，求直線AP與平面AQ0所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵昱.

4

【解析】

【分析】(1)由平面？AC,平面ABC,再作PDJ_AC,可證明平面ABC,從而可得

PD±AB,又因為上4LAB,所以可證明A31平面APC，即可證明AB1AC；

(2)利用(1)以A為坐標原點建立如圖坐標系，利用等邊三角形B4C和等腰直角三角形ABC,很快標

(222百、

出各點的空間坐標，對于點M滿足PB=3PM，可用向量線性運算求出A"=，最后利用空

(333?

間向量法來解決直線AP與平面ACM所成角的正弦值.

【小問1詳解】

證明：在平面APC中，過點P作AC的垂線，垂足為。.

因為平面K4c，平面ABC,且平面PAC'平面ABC=AC,P￡>u平面APC,

所以2平面ABC.又因為ABu平面APC,所以

又PAPD=P,P￡>u平面APC,Blu平面APC，

所以A3/平面APC，又ACu平面APC,故AB1AC.

【小問2詳解】

由(1)以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z,

則A(0,0,0),5(2,0,0),P(0,l,g),0(0,2,0),故尸8=(2,-1,一代),AC=(0,2,0),

又因為PM=；尸3=［弓，—

3333

21_昱、’222回

所以AM=AP+PM=(O,1,J^)

+~'二'_

333

7

’2226、

即AM=

〔333)

設平面ACM的一個法向量m=（x,y,z）,

m-AC=2y=0,

則222r令z=l，則初=(一6,0,1).

m-AM=—x+—y+—，3z=0,

333

又因為AP=（0,1,、行），設直線AP與平面ACM所成角為6,

，?八I/Ac\ImAr_也

則sin0=cos<m,AP)\=一^?_8

|m|AP-2^2-V

所以直線AP與平面ACM所成角的正弦值為走

4

17.己知數列｛a“｝的前”項和為S“，q=l,g=3,Sn+1+Sn_x=2(S?+1)(?>2)

（1）求s.；

⑵若優(yōu)=4〃COS5+『求數列也｝的前1012項和62.

an'an+l

2

【答案】⑴Sn=n

【解析】

【分析】（1）根據求和的定義，整理可得數列的遞推公式，結合等差數列的基本概念，可得答案;

（2）由（1）整理通項公式，利用裂項相消，可得答案.

【小問1詳解】

當“22時，因為S.+I+SRT=2（S.+1）,所以S“+「S”=S”—S“T+2,

即氏+I-4=2-又。2—4=2,所以｛4｝是首項為1,公差為2的等差數列，

n(n-V)d12n(n-l)2

所以=na1+=〃x1H---------=n.

22

【小問2詳解】

由(1)知，an=1+2(〃—l)=2n—l,

,4〃cos(〃+l)兀4〃

b---------------------------cos(n+1)兀=[--—+—--|cos(n+l)7i,

(2n-l).(2n+l)(2"-12n+l)

1,“為奇數,

而cos(〃+l)所以+配+

[-1,九為偶數,1012=4+4+4+d+10^1011+4oi2

1

+----------F

2019自+3山-小直

20252025

18.已知雙曲線E:5―5=1（。〉0]〉0）的右焦點為F,左、右頂點分別為M,N,點P（x0,%）（玉,豐土a）

ab

是E上一點，且直線PM,PN的斜率之積為

b

（1）求2的值；

a

（2）過尸且斜率為1的直線/交E于A,B兩點，。為坐標原點，C為“上一點，滿足

OC^AOA+OB^ABC的面積為2A，求E的方程.

【答案】（1）2=好

a5

【解析】

【分析】⑴根據析（為,為）（/W±a）是E上一點得到尤=.（第—"2）,再結合直線尸M,PN的斜率之

a2

積為工即可得到2=且；

5a5

（2）由（1）得到直線/的方程，然后聯立直線和雙曲線方程，根據OC=2OA+O3得到

%=4王+%2

3，根據點C為E上一點得到（2石+々）2—5（/1%+%）2=5必，再結合雙曲線方程和韋達

%=孫+%

定理化簡得到力2+44=0,解方程得到2,最后根據.ABC的面積列方程，解方程得到b即可得到雙曲

線的方程.

由？（%,為）（/w±。）是E上一點，得毛一耳=1,即北二巴士5,

aba"

人君-6)

由M(—a,0)及N(a,0),得為為/="，

22

X?！猀冗0+QXQ—/x^-aa

由直線PM,PN的斜率之積為工，得＜=所以2=好.

5a5a5

【小問2詳解】

由(1),得E的半焦距c=Jq2+爐=向,直線/：y=x—病.

兀2_5y2=5b2

聯立彳'廠得4f-10^^+35尸=0，

y=x-yJ6b

△=(—10瘋)2—4x4x35/〉o.

5&b

石+々=2

則

35b2

石％=^~

設。心（項，為），由℃“加+。5,得］；：：：；：；

由CE上一點,得只—5*=5^2,則（2石+龍2）2-5（/1%+%）2=5/，

化簡，得彳2（片_5y；）+（后一5y；）+22（西無2-5%,2）=5人2，

又在E上，則x；-5y；=5b~,x；一5婕=5b~,

2

又有-Sy%=-5(X]_遍＞)=-4X]X,+5娓1＞山+x2)-30Z?=

22

—35必+75必-30廿=IQb，即有5必力+5必+20Ab~=5b，

整理，得;[2+44=0,解得2=0或2=—4.

當2=0時，OC=OB，則3與C重合，不合題意，故4=—4.

)35b2小

|AB|=A/2|%；-x2\=+x2)--4%j-x2=\/2-4x----=15b

4

|-4x1+x2+4y1-y2-V6Z?|

點C(-4玉+x2,—4%+%)到直線y=x-&b的距離為d=

V2

=4#＞b,

V2V2

所以ABC的面積S=』d|AB|=Lx@x4j^=2jI?b2,

22

由.ABC的面積為2A，得2年b?=2岳,解得尸=1，故E的方程為三―y2=i.

【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯立直線與圓錐曲線方程，消元并結合韋達定

理，運用弦長公式、點到直線距離公式、斜率公式、向量坐標運算進行轉化變形，結合已知條件得出結果.

19.已知函數/O)=oln尤+,(4#0).

X

(1)若/(x)>a對xe(0,+8)恒成立，求。的取值范圍；

11

(2)當。=3時，若關于x的方程/(%)=-