廣西2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷試題及答案

2024年4月廣西高三模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于焦距的4倍，則該橢圓的離心率為（）

A.|B.立C.-D.巫

2244

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)離心率定義與基本量關(guān)系求解即可.

c1

【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,焦距2c,貝U2a=4x2c,即一=—.

a4

故選：C

2.i（6—7i）的共朝復(fù)數(shù)為（）

A.7+6iB.7—6iC.6+7iD.—6—7i

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)i（6-7i）,再利用共物復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閕（6—7i）=6i—7i?=7+6i,故復(fù)數(shù)i（6—7i）的共輾復(fù)數(shù)為7—6i.

故選：B.

3.把函數(shù)/（x）=cos5x的圖象向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）

A.y=cos（5^+1）B.y=cosl5x+j

D.y-cosf5x-^-

C.y=cos（5%-l）

【答案】A

【解析】

【分析】由圖象平移變換寫出解析式后判斷.

【詳解】由題意新函數(shù)解析式為丁=0^5(%+()=0?(5工+1).

故選：A.

4.已知/,〃z是兩條不同直線，名尸是兩個(gè)不同的平面，目lua;mu。，下列命題為真命題的是

）

A.若/「加，則epB.若ap,貝I]/p

若/_1_7”,貝！]/_1_，D.若a_L萬(wàn)，貝?。?m

【答案】B

【解析】

【分析】考查線與面，面與面之間位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握線面、面面等的位置關(guān)系及其性質(zhì)，再結(jié)合圖形分

析.

【詳解】如圖，當(dāng)///m時(shí)，a與萬(wàn)可相交也可平行，故A錯(cuò);

當(dāng)。//，時(shí)，由平行性質(zhì)可知，必有///尸，故B對(duì);

如圖，當(dāng)加時(shí)，///，或/口廿，故C錯(cuò)；當(dāng)。，萬(wàn)時(shí)，/,機(jī)可相交、平行，故D錯(cuò).

故選：B.

5.下列函數(shù)中，在(0,2)上單調(diào)遞增的是()

A./(%)=7-^-1B./(%)=三一2兀

C./(^)=~D./(%)=/

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,=其定義域?yàn)椋?,+8),不符合題意；

對(duì)于B,f(x)=x2-2x,在(0,1)上為減函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于C,/(%)=-,(0,2)上單調(diào)遞減，不符合題意；

X

1/、

對(duì)于D,〃％)=/=五，在(0,2)上單調(diào)遞增，符合題意；

故選：D.

3

6.已知軸截面為正方形的圓柱MM'的體積與球。的體積之比為一，則圓柱兒加r的表面積與。球的表面

2

積之比為()

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圓柱和球的體積公式，可得圓柱肱0'底面圓半徑廠和球。的半徑R相等，再利用

圓柱和球的表面積公式可解.

【詳解】設(shè)圓柱W底面圓半徑為「，球。的半徑為

nr2-2r3r33

則圓柱MW'的高為2r,由4兀N一而'一5,可得'=1，

R

3

所以圓柱W的表面積與O球的表面積之比為：兀=丁=士.

4兀火22R22

故選：B

7.己知x=0是函數(shù)/(x)=Y(x—的極小值點(diǎn)，則。的取值范圍為()

A.(-oo,0)B.C.(0,+oo)D/J+OO)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)極小值的定義，在x=0的左側(cè)函數(shù)遞減，右側(cè)函數(shù)遞增可得.

【詳解】由已知小』?。?3-=3吐爭(zhēng),

令r（%）=o得了=0或

°

由題意％=0是極小值點(diǎn)，則上。0,

3

若當(dāng)?<（）,則孑<x<0時(shí)，r（x）<0,“X）單調(diào)遞減，x>0時(shí)，/（光）>0,/（丈）單調(diào)遞增，

則尤=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，

若q〉0,則0<x<^時(shí)，r（x）<0,/（x）單調(diào)遞減，x<o時(shí)，f'（x）>0,/（x）單調(diào)遞增，

則x=0是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不合題意，

綜上，—<0,即〃<0.

3

故選：A.

8.在研究變量無(wú)與，之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)（%,%）,（%，%），，

（七,%），（6,28）,（0,28）,利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=曰工+寫，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)（6,28）和

5

（0,28）誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為亍=4工+加，且Z%=140則機(jī)=

（=1

（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】由回歸方程的性質(zhì)求出即可.

【詳解】設(shè)未剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)前的無(wú)。的平均數(shù)分別為五亍，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)前的羽V的平均數(shù)分別為

工,,y，

因?yàn)閆弘=140所以y^=~z~=28,

i=i5

則P=止2=變?

44

又這兩對(duì)數(shù)據(jù)為（6,28）,（0,28）,

_1

所以y=—x（140+56）=28,

所以尤=\（7xy-166）=3,

p-r-,u—7x-6-028一口.,

所以x'=------------=---------=>m=16

54

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找到剔除前后的平均數(shù).

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若集合M和N關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）

MIN1

AAf={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|X?<1},N={x|x>-1}

C.M={尤|y=lgx},N={y|y=e*+5}

D.M={(尤,y)|V=y2},N={(x,y)|y=無(wú)}

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)Venn圖可知NM,依次判定選項(xiàng)即可.

【詳解】根據(jù)Venn圖可知NM,

對(duì)于A,顯然NM,故A正確；

對(duì)于B,4={x|-l<x<l},N={x[X>—1},則故B錯(cuò)誤;

對(duì)于CAf={刀|x>0},N={y|y>5},則NM,故C正確；

對(duì)于D,M={(x,y)|y=x,或丁=—%},N={(x,y)|y=%},

則NM,故D正確.

故選：ACD

10.已知，RC內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,A,c,0為的重心，cosA=g,AO=2,則()

11

AAO=-AB+-ACB.ABAC<3

44

C.—ABC的面積的最大值為3指D.。的最小值為26

【答案】BC

【解析】

【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運(yùn)算得=+即可判斷A,此式平方后結(jié)合基本不等式，向

量的數(shù)量積的定義可求得AUUU3L?AUUUCL，I,用-I卜I-。\的最大值，直接判斷B,再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理

判斷CD.

【詳解】。是一ABC的重心，延長(zhǎng)A。交于點(diǎn)。，則。是中點(diǎn)，

AO=|AD=|X1(AB+AC)=|AB+|AC,A錯(cuò)；

由A0=gA8+gaC得A6+AC=3AO,所以

9AO'=(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB?AC22網(wǎng)|AC|+2AB-AC,

又494。=|45|,。卜054=：,耳,。卜BPJABHAC^SAB-AC

所以2x5A8-AC+2AB?ACwgxZ?，所以AB-AC<3，當(dāng)且僅當(dāng)卜用=時(shí)等號(hào)成立，B正確；

W15,當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=|AC|時(shí)等號(hào)成立，sinA=Vl-cos2A=^，

SABC=||AB||Ac|sinA<|xl5x^^=3V6，C正確；

由9AO=(AB+AC)2=AB+AC+2AB.AC得\AB[+\AC[=36-2AB-AC=36-||AB||AC|,

所以/=Z?2+c2-2ZjccosA=|AB|2+|Ac|2-2|AB|.|Ac|cosA==36-||AB||Ac|>36-|xl5=24,

aN2a，當(dāng)且僅當(dāng)[4耳=,。時(shí)等號(hào)成立，所以a的最小值是26，D錯(cuò).

故選：BC.

A

11.已知定義在R上的函數(shù)/（九）滿足/（2+X）—/（2—x）=4x.若〃2x—3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱,

且/（0）=0,則（）

A./（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱

B.函數(shù)g（x）=/（x）—2］的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱

C.函數(shù)g（x）=/（x）—2x的周期為2

D./（1）+/（2）++/（50）=2499

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)A,根據(jù)函數(shù)圖象的變換性質(zhì)判斷即可；對(duì)B,由題意計(jì)算g（2+x）—g（2—力=0即可判

斷；對(duì)C,由A可得g（x）=g（-x）,由B可得g（—x）=g（x+4）,進(jìn)而可判斷C；對(duì)D,由

/（2+力一〃2—力=4結(jié)合/0）=0與/⑺的對(duì)稱性可得〃0）,/（1）,〃2）,〃3）,進(jìn)而

g（O）,g⑴,g（2）,g（3）,結(jié)合C中g(shù)（x）的周期為4求得g（l）+g（2）++g（50）,進(jìn)而可得

/（l）+/（2）+L+/（50）.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)椤?%—3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,1）對(duì)稱，則/（1—3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（4,1）對(duì)稱，

故/（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱，故A正確；

對(duì)B,g（2-x）=/（2-x）-2（2-x）=/（2-x）+2x-4,

g（2+x）=/（2+x）-2（2+x）=/（2+x）-4-2x,

又/（2+x）—/（2—x）=4x,故g（2+x）—g（2—x）=/（2+x）—/（2—x）—4x=0.

即g（2+x）=g（2-x）,故g（x）=/（x）—2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故B正確；

對(duì)C,由A,/（2+%）=2-/（-%）,M/（2-x）=2-/（x）,

又因?yàn)?(2+x)—/(2—x)=4x,故[2—〃一切一[2—/(切=4尤，

即/(l)—/(—x)=4%,故/(%)—2x=/(—%)—2(—x),即g(尤)=g(—九).

由B,g(-%)=g(x+4),故g(x)=g(—x)=g(x+4),故g(x)=/(x)-2x的周期為4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由/(0)=0,/(%)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，且定義域?yàn)镽,則/(1)=1,/⑵=2,

又/(2+x)_/(2—x)=4x,代入％=1可得〃3)—/⑴=4,則/⑶=5,

又g(x)=〃x)—2x,故g(o)=/(o)=o,g(l)=/(l)-2=-l,g(2)=/(2)-4=-2,

g(3)=/(3)-6=-l,又g(x)的周期為4,g(4)=/(0)=0.

則g⑴+：g⑵++g(50)=12x[g⑴+g⑵+g(3)+g(4)]+g⑴+g(2)

=12x(-4)-l-2=-51.

即/⑴―2+/(2)—4++/(50)-100=-51,

則/⑴+/(2)++/(50)=2+4+..+100-51=50><^+100^-51=2499,故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出g(l),g(2),g(3),g(4),結(jié)合周期性以及g(x)的定義

即可順利得解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.智慧農(nóng)機(jī)是指配備先進(jìn)的信息技術(shù)，傳感器、自動(dòng)化和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)，對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)械進(jìn)行數(shù)字化和智能

化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動(dòng)育秧機(jī)和自動(dòng)插秧機(jī).正值春耕備耕時(shí)節(jié)，某智慧農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃新購(gòu)2臺(tái)自動(dòng)育

秧機(jī)和3臺(tái)自動(dòng)插秧機(jī)，現(xiàn)有6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)和5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)可供選擇，則共有

種不同的選擇方案.

【答案】150

【解析】

【分析】利用乘法原理，結(jié)合組合知識(shí)求解.

【詳解】第一步從6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)選2臺(tái)，第二步從5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)選3臺(tái)，由乘法原理可

得選擇方案數(shù)為C1C；=150,

故答案為：150.

13.已知sin2。=sin2a，則tan]a+

【答案】1或-3

【解析】

【分析】由已知可得sina=0或sina=2cosa,從而可求出tan[a+；]的值.

【詳解】由siYa=sin2a可得sin2a=2sinacosa，所以sina=0或sina=2cosa,

即tan。=0或tana=2,

,（兀）tan67+11

當(dāng)ttana=0時(shí)，tancc+—=----------=I

I4）I-tana

,,（7t]tana+1。

當(dāng)tana=2時(shí)，tan^+—=----------=-3,

〈4）l—tana

故答案為：1或-3.

22

14.已知耳,工分別是雙曲線E：^--匕=1的左、右焦點(diǎn)，M是石的左支上一點(diǎn)，過工作角平

412

分線的垂線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|ON|=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解.

22

【詳解】雙曲線土—匕=1的實(shí)半軸長(zhǎng)為4=2,

412

延長(zhǎng)居N交直線叫于點(diǎn)H,由題意有|“引=|八隼|M/|=W瑞

又O是耳心中點(diǎn)，所以10M=g閨M=—周）=g（|M段一["H|）=a=2,

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在等差數(shù)列｛4｝中，%=6,且等差數(shù)列｛4+4+J的公差為4.

（1）求生0；

2

⑵若女,=」一+41，數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S”，證明：Sn<2n+2n+~.

anan+\8

【答案】（1）%。=22；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的求出公差d,再求得首項(xiàng)%后可得通項(xiàng)公式；

（2）由裂項(xiàng)相消法及等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式求得和Sn后可證結(jié)論.

【小問1詳解】

設(shè)｛?！埃墓顬閐，則（4+1+。“+2）一（％1+4+1）=。.+2一％,=2〃=4，d=2,

又出=6,所以％=6-2=4,

所以a”=4+2（"-1）=2"+2,/=22.

【小問2詳解】

,1,LI1、”

由（]）得人=--------------F4"=一（---------------）+4”,

"45+1）5+2）4n+1n+2

所以s〃="+K系i2-一c2c1

^±^=2H+2H4<2n"+2n+—

284(“+2)8

16.為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng)，某村干部在本村的村民中進(jìn)行問卷

調(diào)查,將他們的成績(jī)（滿分:100分）分成7組：[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100].

整理得到如下頻率分布直方圖.

頻率

（1）求。的值并估計(jì)該村村民成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）從成績(jī)?cè)冢?0,40）,［80,90）內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再?gòu)倪@6人中任選3人，記這3

人中成績(jī)?cè)冢?0,90）內(nèi)的村民人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.005；64.5

（2）分布列見詳解；E（X）=2

【解析】

【分析】（1）由頻率和為1,可求。的值，再由平均數(shù)計(jì)算公式求解；

（2）根據(jù)分層抽樣可確定X的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.

【小問1詳解】

由圖可知，10（34+0.01+0.015+0.03x2）=1,

解得a=0.005,

該村村民成績(jī)的平均數(shù)約為

(35+45+95)x0.05+(55+65)x0.3+75x0.15+85x0.1=64.5；

【小問2詳解】

從成績(jī)?cè)冢?0,40）,［80,90）內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人,

0.05

其中成績(jī)?cè)冢?0,40）的村民有6x=2人,

0.05+0.1

成績(jī)?cè)冢?0,90）的村民有4人,

從中任選3人，X的取值可能為1,2,3,

廠2廠1?/-i22-1

p(x=l)=^=|,P(X=2)=^=|,P(X=3)=巖=(，

則X的分布列為

X123

131

P———

555

17.如圖，在四棱錐P—A6CD中，平面平面ABCD,底面ABC。為菱形，ZABC=60，

AB=?PA=42PB=2,E是CD的中點(diǎn).

(1)證明：平面尸3C1平面Q4E.

(2)求二面角O—AP—石的余弦值.

【答案】(1)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)取AB中點(diǎn)。，連接OROC,證明平面ABCD,分別以6HOCO尸為蒼％z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，用空間向量法證明面面垂直；

(2)用空間向量法求二面角.

【小問1詳解】

取A3中點(diǎn)。，連接OROC,如圖，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且NA5c=60。，所以A5C和八4。。都是正三角形，又E是CD中點(diǎn)，

所以O(shè)CLABAELCD,OC=—AB=V3.從而有OC//AE,

2

又CE//AO,所以AOCE是矩形.

又AB=6PA=?PB，所以=432,所以即.._R43是等腰直角三角形，

所以00=^43=1,PO±AB,

2

又因?yàn)槠矫鍾IB，平面ABCD,平面平面ABCD=AB,POu平面A43,

所以PO1平面ABCD,

分別以O(shè)A,OC,OP為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則3(1,0,0),尸(0,0,1),C(O,6o),A(-l,0,0),￡(-1,73,0),。(—2,6,0),

PB=(1,0,-1),PC=(0,6,-V),PA=(-1,0,-l),PE=(-1,V3,-1),PD=(-2,6-1),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量是m=(x,y,z),則

PB-m=x—z=0

取y=i得根=（6』,G）,

PC-m=y/3y-z=0

設(shè)平面Q4E的一個(gè)法向量是：=(%,%,z。)，則

PA-n=-x0-z0=0

取/o=A/3得〃=石）,

PEn=-x0+A/5yo-z0=。

加?〃=3+0—3=0，所以根_L〃，

所以平面PBC/平面PAE；

【小問2詳解】

設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量是/=(〃,"c),

PD,t——2〃+y/3b—c=0

則＜，取b=1得，=(6,1,一6)，

PA，t——a—c—0

設(shè)二面角。一AP—石的大小為6,由圖知。為銳角,

t-n|3+0+3|_V42

所以cose=k（）s%,“=

77x76—7

2

18.設(shè)拋物線C:y=2Px(P>0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)尸到圓E：(x+31+產(chǎn)=1上一點(diǎn)的距離的最大值為

6.

(1)求拋物線C的方程.

(2)設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸(2,4),A,5是拋物線C上異于點(diǎn)尸的兩點(diǎn)，直線PAM與〉軸分別相交于

M,N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)。)，且。是線段的中點(diǎn)，試判斷直線A3是否經(jīng)過定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐

標(biāo)；若不是，說明理由.

【答案】(1)=8%

(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—2)

【解析】

【分析】⑴點(diǎn)尸到圓E上點(diǎn)的最大距離為環(huán)|+1,即。+3+1=6,計(jì)算即可;

(2)由已知設(shè)/(。,㈤,N(0,-m)，求得則Q4,PB方程，聯(lián)立以與拋物線。的方程求得A點(diǎn)坐標(biāo),

同理可得8點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線A3的方程得出結(jié)果.

【小問1詳解】

點(diǎn)尸到圓E上點(diǎn)的最大距離為忸典+1,即々+3+1=6,得。=4,

故拋物線C的方程為/=8x.

【小問2詳解】

4--in4+祖

設(shè)M(O,m),N(O,—根)，則Q4方程為y=+PB方程為y=F^x—m,

聯(lián)立A4與拋物線C的方程可得y——回y+&L=o,即(y—4)1v--^|=0,

4-m4-mI4-m)

4y2m

因此A點(diǎn)縱坐標(biāo)為力=---m--,代入拋物線方程可得A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4=譚A=7A—J

4—mo、(4—m)

2m4zn2m4m

則A點(diǎn)坐標(biāo)為--------------，同理可得8點(diǎn)坐標(biāo)為--------

((4—加)4-mJ((4+m)4+m

7

因此直線AB的斜率為k==I'一'

xA-xBm

4m16—m212m2

代入B點(diǎn)坐標(biāo)可以得到AB方程為y+---------x--------------

4+m加21(4+mf,

]6—加2

整理可以得到y(tǒng)=%-2,因此AB經(jīng)過定點(diǎn)(0,-2).

m

19.定義：若函數(shù)/(尤)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)RQ滿足曲線y=/(x)在尸和。處的切線重合，則

稱P,Q為曲線y=/(%)的“雙重切點(diǎn)”，直線P。為曲線y=/(%)的“雙重切線”.

(1)直線y=x—g是否為曲線/(x)=gx2—2x+21nx的“雙重切線”，請(qǐng)說明理由；

"ex+1,x<0,

(2)已知函數(shù)g(x)=<4求曲線y=g(x)的“雙重切線”的方程；

6—,x>0,

⑶已知函數(shù)/z(x)=cosx,直線p。為曲線y=〃(x)的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值

k15

為k\,k2,,k〃,若勺>右>匕?=3,4,5「?,,〃)，證明：yL<—.

K?o

【答案】(1)不是，理由見解析；

(2)y=x+2；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)為1的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出過兩切點(diǎn)的切線方程，比較可得；

(2)求出導(dǎo)數(shù)g'Q),利用其單調(diào)性可設(shè)切點(diǎn)為P(X],%),Q(X2，%)，且不40<%2,寫出兩切線方程后由

斜率相等，縱截距相等聯(lián)立，求得切點(diǎn)坐標(biāo)后可得切線方程；

(3)設(shè)左1對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為(％,COSXi)，a',COS王')，不<龍1'，上2對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為(尤2，COS為2),(無(wú)Acos")，

x2<<由導(dǎo)數(shù)幾何意義得左]二—sin%[=-sinx'，匕=-sinx=-sinx；,由周期性,只需研究

7T

一兀VW<石<一萬(wàn)的情形，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，只需考慮％1+%/=兀，%2+%2'=3兀情形，在此條件下

3兀

求得勺=4.二，

上2COSx2v

2-1

不滿足勺=—c；s/=_sin』,即cos玉二(百一』)sin』，構(gòu)造函數(shù)二(%)二以光九十》一百

兀-2%]2sinx2

TTS1E

(-7T<X<--),則尸(再)=0,由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，從而得出X1縮小的范圍一兀所以

26

八

571COSXL1

-n<x7<xl<——，證明則。<——<l,再由不等式的性質(zhì)可證結(jié)論.

-6cosx2

【小問I詳解】

不是，理由如下：

22

由已知了'(九)—x—2H—,由f\x)=x—2—=1解得再=1,&二2,

XX

33

又/(1)=—m/⑵=21n2—2,不妨設(shè)切點(diǎn)為尸(1,—萬(wàn))，Q(2,21n2-2),

35

在點(diǎn)P處的切線的方程為丁+^二%―1,即y=%—5，

在點(diǎn)Q的切線方程為y_21n2+2=%_2,即y=x—4+21n2與直線y=x_g不重合,

所以直線y=x-1不是曲線=2x+21nx的“雙重切線”.

【小問2詳解】

ex+1,%<0

由題意g'(x)=l4，函數(shù)y=e㈤(x<0)和y=2(x〉0)都是單調(diào)函數(shù)，

—,x>0X-

則可設(shè)切點(diǎn)為尸(七,%),。(々，%)，且占40<%2，

x+1x+1

所以在點(diǎn)P處的切線的方程為y-e'=e'(x-x1),

在點(diǎn)。的切線方程為丁一(6-3)==(1一％2)，

所以"44,消去巧得e-a-1)-4e；"+6=o,

T1+1

e(l-x1)=6--

x2x2

設(shè)“x)=e*+i(x-l)-4ei("+1)+6(%)°)，

則?x)=xe.㈤—2?"包=￡°包[立品釗—2]<0,所以'(》)是減函數(shù)，

又/(—1)=0,所以/(x)=0在尤40時(shí)只有一解x=—1,

+1)

所以方程e?i(X1-l)-4e^,+6=0的解是西=T，從而訪=2,

在點(diǎn)P(-LD處切線方程為y-l^x+1,即y=x+2,

在點(diǎn)Q(2,4)處的切線方程為y-4=x-2,即y=x+2,

所以“雙重切線”方程為y=x+2；

【小問3詳解】

證明：設(shè)41對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為（X],COS%）,（X1',COSX；），玉VX；，女2對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為（X2，COS%2）,（%2'