2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)2=造，則Z的共輾復(fù)數(shù)的虛部為（）

A.1B.iC.-iD.-1

2.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角a以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點（4,-3）,貝|cos（a-*）

的值為（）

3344

A.-HB.-C.TD.-

5555

3.（5分）設(shè)/是一條直線，a,0是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/〃a,/〃0,則a〃0B.若a_LB，l//a,貝卜_10

C.若/_La,Z±p,貝!]a〃0D.若。〃0,I//a,貝

4.（5分）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉在鱉I1A-8C。中，平

面BC。，BCLCD,且AB=BC=a）=l,則其內(nèi)切球表面積為（）

A.3TTB.V3TTC.(3-2V2)7TD.(V2-1)TT

5.（5分）已知等比數(shù)列｛斯｝的前幾項積為心，若巧>為>78,則（）

A.q<0B.ai<0C.T15<1<T16D.T16<1<T17

6.（5分）如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC-A出Ci中,。是431的中點，過2,C,。三點的平面

將該三棱柱截成兩部分，則頂點B1所在部分的體積為（

B

2V35V37V3

C.V3D.——

-66

—>—>—>—>

7.(5分)在△ABC中,P0是邊AB的中點，且對于邊A8上任意一點尸，恒有P8?PC2PoB-PoC,則4

ABC一定是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

8.（5分）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題:“已知一個三角形，求作一點，

使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120。時，所

求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角

大于或等于120。時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在△

ABC中，已知C="，AC=1,BC=2,且點M在AB線段上，且滿足若點P為的

—?—>—>—>T—>

費馬點，貝（JPA-PM+PM-PC+PA-PC=（）

4

A.-1B.C.D.

5

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）下列說法正確的是（）

…TTTTC7

A.右。||b,b\\cf則a||cB.|(a??c|<\a\\b\\c\

:,—>—>—>—>—>

C.右a1(b—c),則a-b=a-cD.(a?6)?6=a?(b)2

(多選)10.(5分)下列說法正確的是()

A.若久）=久+2cos（a）x+&3>0的最小正周期為n,則3=2

B.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,貝是“。>6”的充要條件

C.三個不全相等的實數(shù)a,b,c依次成等差數(shù)列，則2。，2b,2?？赡艹傻炔顢?shù)列

D.△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為2痣

（多選）11.（5分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直

角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，AB,C。是直角圓錐S。底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確

A.存在某條直徑CD,使得

1

B.若AB=2,則三棱錐S-AOO體積的最大值為二

C.對于任意直徑C。，直線AO與直線S3互為異面直線

D.若NABD=±則異面直線&4與CD所成角的余弦值是:

（多選）12.（5分）已知數(shù)列｛〃”｝中各項都小于2,磷+i—4即+1=嫌一3外，記數(shù)列｛斯｝的前九項和為數(shù),

則以下結(jié)論正確的是（）

A.任意m與正整數(shù)相，使得麗麗+120

B.存在ai與正整數(shù)機，使得

C.任意非零實數(shù)與正整數(shù)機，都有新+1＜麗

D.若m=l,則S2022C（1.5,4）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)

及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面

上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12

27r

的兩個同心圓上的?。ㄩL度單位為cm）,側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為可.若

某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為.

77"COSCOSCly

14.（5分）已知等差數(shù)列｛珈/圓=8,。9=8+泉則------------=

Jcosa6

15.（5分）如圖，在直三棱柱ABC-481C1中，BC=CCi=3,AC=4,AC±BC,動點P在△A181C1內(nèi)

（包括邊界上），且始終滿足8P_LA8i,則動點P的軌跡長度是.

—>7T—_—>_>_>

16.(5分)已知向量a,b的夾角為1且a?b=3,向量c滿足c=Aa+(1—2)b(0<2VI),且a,c=b?c,

記久=y=則/+/-xy的最大值為______________________.

I?l\b\

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)定義一種運算：(a,fa)—ac+bd.

(1)已知z為復(fù)數(shù)，且(3,z)[^]=7-3i,求團;

為實數(shù)，(譏；出支)匕騎]也是實數(shù)，將表示為無的函數(shù)并求該

(2)已知x,yy+s2%,2)-(1,S2y

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.(12分)今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大量的游客來象打

卡“北緯30度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地一一松蘭山旅游度假區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工

作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)了

(x)=40[Acosio(x+4)+月來刻畫.其中正整數(shù)x表示月份且x€[l,12],例如x=l時表示1月份，A

和左是正整數(shù)，3>0.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；

③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

(1)試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的y=/(無)的表達(dá)式；

(2)一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過160人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，

那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.

19.(12分)已知數(shù)列｛斯｝的前w項和為8，且S”=/+4〃-3.

(1)求｛麗｝的通項公式;

(2)記黑也,數(shù)列｛阮｝的前n項和為Tn,求Tn.

20.(12分)在△ABC中，內(nèi)角A,3都是銳角.

(1)若4=不c=2,求△ABC周長的取值范圍；

(2)sin2A+sin2B>sin2C,求證：sin2A+sin2B>1.

21.(12分)已知邊長為6的菱形ABC。，ZABC=把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構(gòu)成三

T1TT1T/Q7

棱錐81-AC。,且DE/DBI，CF=jCO,EF=豈.

(1)證明：ACLBiD；

(2)求二面角Bi-AC-D的大?。?/p>

(3)求EF與平面AB1C所成角的正弦值.

22.(12分)已知數(shù)列｛z｝中，微=1,當(dāng)〃，2時，其前"項和S"滿足：S：=a”(Sa-l),且SWO,數(shù)列

｛為｝滿足：對任意“6N*有旦+—+?--+—=(n-1)-2n+1+2.

Sis2sn

(1)求證：數(shù)列｛々｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛氏｝的通項公式；

(3)設(shè)6是數(shù)列｛/二-｝的前〃項和，求證：Tn<l，

D2n~Dn0

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)2=垣，則Z的共軌復(fù)數(shù)的虛部為（)

A.1B.iC.D.-1

l+3i=(l+3i)(l+2i)=.

【解答】解:-1+z

口芯二(l-20(l+2i)=

則，=一1—3其虛部為-1.

故選：D.

2.（5分）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，若角a以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點（4,-3）,則cos（a-芻

的值為（）

3344

A.一百B.一C.—FD.一

5555

【解答】解：由三角函數(shù)定義有sina=

所以cos（a—彳）=sina=一耳.

故選：A.

3.（5分）設(shè)/是一條直線，a,0是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/〃a,/〃0,則a〃0B.若支上&l//a,則/_L0

C.若/La,/±p,貝Ua〃BD.若a〃B，l//a,則/〃0

【解答】解：若/〃a,/〃仇則式〃0或a與0相交，故A錯誤；

若l//a,則仁0或/〃0或/與0相交，故8錯誤；

若/La,Z±p,則?！?,故C正確；

若a〃0,l//a,則/〃B或/u0,故。錯誤.

故選：C.

4.（5分）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉HA-8CO中，48，平

面BCD,BCLCD,且AB=BC=CD=1,則其內(nèi)切球表面積為（）

A.3nB.V3TTC.（3-2&）兀D.（a-1）兀

【解答】解：因為四面體ABC。四個面都為直角三角形,

A

4BJL平面BCDBC±CD,所以AB_LB。，ABLBC,BCVCD,ACLCD,

設(shè)四面體ABCD內(nèi)切球的球心為0,半徑為r,

]

則匕BCO=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD=3r（*^A71BC+LABD+i^ACD+S^BCD），

所以r=s'CD,因為四面體ABCD的表面積為SZBCQ=S^ABC+^LABD+^LACD+S^BCD=1+V2,

^ABCD

111

又因為四面體ABCD的體積匕BCO=@X2X1X1X1=G，

所以r=R1,所以內(nèi)切球表面積S=47rr2=（3-2V2）7r.

故選：C.

5.（5分）已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項積為〃，若乃〉乃>T8,則（）

A.qVOB.ai<0C.Ti5<l<Ti6D.T16<1<T17

【解答】解：因為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項積為Ln

若77>79>18,

故〃9>1,48V1；

所以Q「q8>l,所以〃1>0,0<^<1;

以^16=.。2,,1,,。15?。16=（08a9）8*^1,717=,02,016,。17=Qg”1,

故選：D.

6.（5分）如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC-ALBIG中，。是431的中點，過8,C,。三點的平面

將該三棱柱截成兩部分，則頂點B\所在部分的體積為（）

B

2V35遮7百

A.-----B.——C.V3D.——

366

【解答】解：如圖，取4G的中點E,連接DE,CE,又。是421的中點,

1

：.DE//B\C\,且。片=熟。,

又B1C3/BC,且BiCi=BC,

1

：.DE//BC,>DE=^BC,

...過8,C,。三點的平面截該三棱柱的截面為梯形8CEO,

.?所求體積為：U三度柱yiBC-ZiBiCi—'三度臺ZiOE-ABC

=1x2x2x^x2-1x(|xlxlx^+1x2x2x^+J苧xW)x2

=2舊一單=裳

oo

7.(5分)在△ABC中，Po是邊AB的中點，且對于邊A8上任意一點P,恒有PB?PC2P()8?P()C,則4

ABC一定是()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【解答】解：以AB所在直線為無軸，以的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)48=4,

貝I]A(-2,0),B(2,0),C(a,b),P(0,0),Po(x,0),

—>—>—?—>

所以PB=(2-x,0),PC=(.a-x,b),P0B=(2,0),P0C=(〃，b),

—>—>—>—>

因為恒有PB-PC2P()B-PoC，則(2-x)(a-無)2(2a,

整理得x2-(o+2)x'0恒成立，

故八=(a+2)2忘0,即a=-2,此時8AJ_AC,

所以/A=90°,

所以AABC為直角三角形.

故選：A.

8.(5分)十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題:“已知一個三角形，求作一點，

使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120。時，所

求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角

大于或等于120。時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在△

ABC中，已知C="，AC=1,BC=2,且點M在AB線段上，且滿足若點P為的

—>—>—>—>—>

費馬點，貝IJR4?PM+PM?PC+P4?PC=()

4

A.-1RC.D.-

5

7

【解答】解：因為CAC=1,BC=2,

所以由余弦定理可得=y/AC2+CB2-2AC-CBcosC=V7,

用向六…工田r曰ACAB日口,DACsinClx孚721

由正弦ZE理可得一^=「：，即sinB=a=F

sinBsinCABV7

又B為銳角，

所以cosB=V1—sin2B=

設(shè)CM=BM=x,則CM2=CB2+BM2-2CB-BA/cosC,

即—4+x2—'0』X,

解得％=竽，即8M=|他

所以AM=菅,

mile3c31?>/33^/3

則S/iAMc=耳S“BC=5x2x4^-x2x~2~='W~

22263.28

AM+CM-AC25+25-1

又cos/4MC=>0,

2AM-CM2X3V7X2V7

則NAMC為銳角,

所以△AMC的三個內(nèi)角均小于120°,

則P為三角形的正等角中心,

1TT2771T27T1TT27T

所以SMMC=^\PA\'\PM\sin^+^\PM\.\PC\sin^-+^\PA\■\PC\sin^

叵TTTTT7□F5

=^(\PA\-\PM\+\PM\-\PC\+\PA\-|PC|)=常，

TT—TT—A

所以|P4|?|PM|+\PM\■\PC\+\PA\-\PC\=I，

TT—T2-?-2->—2

所以P2-PM+PM-PC+PA-PC=\PA\■\PM\cos^7-r+\PM\■\PC\cos7^r+\PA\■\PC\cos7^r

〔一>—>—?—>

=~^(.\PA\■\PM\+\PM\'\PC\+\PA\■|PC|)

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.(5分)下列說法正確的是(

4TTTT――r—?—?r—>

A.右a||b,b\\c,則a||cB.|(a-fo)-c|<\a\\b\\c\

,,—>—>—>—>~’—>—>T-TTTD

C.右Q1(b—c),則a'b=a'cD.(a?b)?b=a,(b)2

—TTT——>—>—>

【解答】解：對于A,當(dāng)b=0時，滿足a||b,bile,不能得出aIIc,選項A錯誤;

對于B,|(a?b)c\=\(|a||b|cos<a,b>\c\)|^|a||h||c|,當(dāng)且僅當(dāng)a與力共線時取“=”，所以選項B

正確；

.—>―、—>—>―、―>—>~"->_>____

對于C,a1(b—c)時，a?(b—c)=0,即a,b=a,c,選項C正確；

TTTTT_>

對于。，（a?6A6是數(shù)乘向量，與b共線的向量，a?（6）2也是數(shù)乘向量，與a共線的向量，所以等式不成

立，選項。錯誤.

故選：BC.

（多選）10.（5分）下列說法正確的是（）

A.若/（x）=久+2cos（a）x+5），3>0的最小正周期為冗，則3=2

B.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,貝UUA>B''是"a>b”的充要條件

C.三個不全相等的實數(shù)a,b,c依次成等差數(shù)列，則2。，2\2。可能成等差數(shù)列

D.△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為

【解答】解：對于A,f(x)=sin3x+2cos(3x+5)=(1—V3)sina)x+cos(ox=V5—2V^sin(a)x+(p),

其甘中++tan（p=匚1忑=一一1+2V-3,

若/（x）的最小正周期為IT,則3="=2,選項A正確；

對于5,ZVIBC中，得出〃>兒充分性成立，也能得出A>5,必要性成立，是充要條件，

選項B正確；

對于C,若2%2b,2c成等差數(shù)列，則2?26=2。+2。，所以2=2。"+2?！?所以a-b=c-b=0,即a=

b=c,所以選項。錯誤；

對于D,△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為2as直觀圖=2&x4—=

2V6,選項D正確.

故選：ABD.

（多選）11.（5分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直

角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，AB,C。是直角圓錐S。底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確

的是（）

A.存在某條直徑CD,使得AD，S￡）

1

B.若AB=2,則三棱錐S-AOO體積的最大值為二

C.對于任意直徑C。，直線與直線S3互為異面直線

D.若48。=看則異面直線&4與CZ）所成角的余弦值是手

【解答】解：對A選項，：在底面的射影為CD而C。與夾角始終為銳角,

與不垂直，.?.根據(jù)三垂線定理可知與不垂直，A選項錯誤;

對8選項，若42=2,則三棱錐S-40。的高為SO=1,

11

當(dāng)AOLDO時，三角形AOD的面積取得最大值為-x1x1=-，

22

111

此時三棱錐S-AOD體積取得最大值為-x-x1=-，二與選項正確；

326

對C選項，C。是直角圓錐S。底面圓的兩條不同的直徑，

/.根據(jù)異面直線的判定定理可知：

對于任意直徑CD,直線與直線SB互為異面直線，；.C選項正確；

對。選項，若=*則NAO￡）=等設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,

：.SA?OD=（。4-0S）-0D=0A,0D-0S-0D

7T丁2—>—>

=rxrxcos可—0=工,又易知|S4|=/r,\OD\=r,

T—>SA-ODr

cos<SA,OD>—i_V2

\SA\\0D\岳*4'

V2

異面直線SA與。所成角的余弦值是7’...O選項正確.

故選：BCD.

（多選）12.（5分）已知數(shù)列｛〃〃｝中各項都小于2,碎+i-4即+1=嫌一3斯，記數(shù)列｛斯｝的前項和為品,

則以下結(jié)論正確的是（）

A.任意41與正整數(shù)相，使得所麗+120

B.存在m與正整數(shù)如使得%n+i〉4aM

C.任意非零實數(shù)ai與正整數(shù)tn,都有am+i<am

D.若m=l,則>2022W（1.5,4）

【解答】解：對于選項A：因為W+1-4a九+1=忌一3a九，

所以（。〃+1-4）Cln+l=-3）（In，

整理得即+1=(『)『,

an+l-4

所以利利+1=(廝-3呼>0,故選項A正確；

%+1-4

對于選項3：不妨設(shè)/(%)=%2-4%,

2

因為成+1-4an+i=W-4([an)>(|an)-4(|an),

可得/(冊+1)之/(4%0，

而/(x)=2x-4=2(x-2),

當(dāng)xV2時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以對于任意正整數(shù)小都有即+iw'an，故選項B錯誤；

對于選項C：由A可知所有同號，

①當(dāng)。1=0時，對于任意正整數(shù)%都有所=0；

②當(dāng)0<tzi<2時，0〈a〃V2,a"1-4劭+1=若-3?！ā祮嵋?所,

所以/(即+1)>/(即)，

又函數(shù)，(%)在(-8,2)上單調(diào)遞減，

所以對于任意正整數(shù)%都有即+1〈即；

③當(dāng)a\<0時，a"1一4Q〃+I=an—3所>磷一4劭，

所以/(a〃+i)<f(an),

又函數(shù)f(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，

所以對于任意正整數(shù)〃，都有念+1>即，故選項C正確；

對于選項。因為對于任意正整數(shù)小都有冊+14弓的1，

37

當(dāng)〃1=1時，(-)〃I

4

o1_<3\2022o

所以S2022W》腎(_)k1=巴=4)-(-)2022]<4,

41-44

因為當(dāng)m=l時，OVGIWL

又6—4及+2=0,

解得42=2-V^>2，

所以S2022>S2>本

則&022G（1,5,4）,故選項D正確;

故選：AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)

及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面

上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12

271

的兩個同心圓上的?。ㄩL度單位為cm）,側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為可.若

某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為12V2.

【解答】解：設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為30,圓心角為耳■的扇形,

設(shè)該圓錐的底面半徑為r,所以2s等x30,可得r=10,

因此該圓錐的高為h=V302-102=20V2,

2TT

故側(cè)面展開圖是半徑為12,圓心角為/■的扇形的圓錐的

高為—h=-x20V2=8V2,

305

因此若某幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，

則該幾何體的高為20魚-8V2=12V2.

故答案為：12迎.

14.（5分）已知等差數(shù)列｛〃〃｝,“8=8,。9=8+等，則1

Jcosa6

【解答】解：等差數(shù)列｛斯"48=8,%=8+泉

所以公差d=ag-〃8=半

cosa5+cosa7cos（a6"）+cos（a6+^）2cosa6cos^

則------------=---------------------=-----------=1.

COSCl^COSCL^COSCL^

故答案為：1.

15.（5分）如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，BC=CCi=3,AC=4,AC±BC,動點尸在△A1B1C1內(nèi)

（包括邊界上），且始終滿足則動點P的軌跡長度是不

【解答】解：在直三棱柱ABC-中，BC=CCi=3,AC=4,ACLBC,建立如圖所示的坐標(biāo)系,

由題意可知A(4,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),B\(0,3,3),設(shè)尸(尤，y,3),

—>—>

則8尸=(x,>-3,3),ABr=(-4,3,3),BP±ABif

可得：-4x+3y-9+9=0,即4x-3y=0.

直線A1B1的方程:3x+4y=12,管｝沈;之，可得許關(guān),尸翁

?,3648

所以。（萩

動點尸的軌跡為線段CYD,長度為：J（養(yǎng)產(chǎn)+（北/12x5_12

7T—>——T—>T—T->—>

16.(5分)已知向量a,b的夾角為1且a?b=3,向量c滿足c=Aa+(1—A)Z)(0<2<1),且a?c=b,c,

''’127

記K=y=則？+丁2-孫的最大值為二

⑷\b\一8一

TT—TTT

【解答】解：設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,

TT—T冗TT

?：a?b=\a\\b\cos-^=3,\a\\b\=6,

:向量c滿足c=Aa+(1-Z)/?(O<2<1),

；.C在線段AB上，

設(shè)NAOC=a,則^BOC=5-a,

TT

T71

則％=^-=^-=|c|cosa,y=?cos(w—a),

⑷\b\

3—233^2no0-—?>9ot—>o27r—-?TC

/.―\c\<-x(―^-)x+y-xy=\c\zcosza+\c\zcos(2—a)—\c\cosa??cos(w—cr)

=\c\2[cos2a+cosa+^-sina')2—cosa(^cosa+孚sina)]

=囪2(cos2a+|cos2a+^-sinacosa+|sin2a~^cos2a-^-smacosa)

向2,

TTTTTT

在△ABO中，由余弦定理有：|4B|2=|a『+叫2-2|可四的縈

=\a\2+\b\2-\a\\b\>2\a\\b\-\a\\b\=\a\\b\=6,

：.\AB\>V6,當(dāng)且僅當(dāng)向=|小時等號成立,

TT~T->T->——

■:a?c=b?c,/.（a—6）-c=0,/.BAIOC,

117r

:.S^OAB=^\AB\x\OC\=^\OA\x\OB\sin^,

器w*孥，即向〈竽，

\^DIVO乙乙

??.x2+y2-孫=!|c|2<|x（竽）2=條

27

故答案為：—.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）定義一種運算：（a,6）=ac+bd.

（1）已知z為復(fù)數(shù)，且（3,為［M=7-3。求|z|；

(2)已知x,y為實數(shù)，(y+sin2x,2)-(1,sin?%)；爵,也是實數(shù)，將y表示為x的函數(shù)并求該

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【解答】解：(1)設(shè)2=。+從，由題意可得，

z

(3,z)[A]=3Z+4Z=3(a+bi)+4(a-bi)

=rla-bi=l-3i,故。=1,b=3,

所以|z|=VTo；

(2)由題意可得，

原式=2y-sinx+(y+sin2x-2V3sin2x)i是實數(shù)，

所以y+sin2x-2V3sin2x=0,

即y=-sin2x+2V3sin2x

=V3(1-cos2x)-sin2x

=-2sin(2x+1)+V3,

所以當(dāng)2Arr+*<2x+<2mi+,kEZ時，

sin⑵+亨)單調(diào)遞減，此時函數(shù)y單調(diào)遞增，

77-77T

解得Y2kji+左€Z,

即單調(diào)增區(qū)間為區(qū)兀+各E+居](%Z).

18.(12分)今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大量的游客來象打

卡“北緯30度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地一一松蘭山旅游度假區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工

作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)/

(x)=40[ACOS3(X+4)+用來刻畫.其中正整數(shù)x表示月份且無日1,12],例如尤=1時表示1月份，A

和左是正整數(shù)，3>0.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；

③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

(1)試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的y=/(x)的表達(dá)式；

(2)一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過160人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，

那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.

【解答】解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12.

由此可得，T="=12,得3=?

COO

由規(guī)律②可知，f(%)max=f(8)=40(Acos2ir+Z)=4QA+40Z,

f(x)min—f(2)=40(Acosn+fc)=-40A+40K

由7(8)-f(2)=80A=160,得A=2；

又當(dāng)x=2時，f(2)=40[2cosco(2+4)+幻=80?cosn+40女=40,

解得k=3.

綜上可得，f(x)=80cos(々+穹)+120符合條件.

63

(2)由條件，80cos&+空)+120>160,

6$

——/兀’27T、、1rrt.i—,TC-IT27T7T__

可有1cos(-x~\—5-)>5，則2kn—5xH—5-V2A7TC+亨，左t￡Z,

63，3633

.*.12^-6<x<12fc-2,jtEZ.

VxG[l,12],xGN*,當(dāng)左=1時，6cxe10,

故x=7,8,9,即一年中的7,8,9三個月是該地區(qū)的旅游“旺季

19.（12分）已知數(shù)列｛“"｝的前"項和為品，S.Sn=r^+4n-3.

（1）求｛斯｝的通項公式;

(2)t己bn=，數(shù)列｛為｝的前n項和為Tn,求Tn.

【解答】解：（1）由8=/+4〃-3,

可得〃=1時，ai=Si=5-3=2,

當(dāng)〃22時，an=Sn~Sn-1=〃2+4九-3-(〃-1)2-4(〃-1)+3,

化簡可得劭=2幾+3(G2),

所以斯=\n_1;

(2n+3,n>2且nCN*

卜_2n+5_2n+5_11

2222,

〃SnSn+1(n+4n—3)(n+6n+2)n+4n—371+6714-2

可得力尸工-工+工—工+...+_1__________1_=1_____1_=泊+6九.

29918n2+4n—3n2+6n+22n2+6n+22n2+12n+4

20.(12分)在△ABC中，內(nèi)角A,3都是銳角.

(1)若4=上c=2,求△ABC周長的取值范圍；

(2)sin2A+sin2B>sin2C,求證：sin2A+sin2B>1.

24V3

【解答】解：（1）由正弦定理有:

sinAsinBsinC

?.a=-~sITLA,b=~~sITLB,

??a+b=-—sitiAH—~sinB

4V5..,4>/3.,2n八

——-sinA4—2-—A)

=2y/3sinA+2cosA=4sin(A+卷)，

???內(nèi)角A,5都是銳角，

/TT

0<A<2nn

,,_??一<L4V—,

0<9^-71<；62

13Z

n7127r

A-<4+-<一，

363

sin(A+.)W(-^,1],

?，?a+bG(2^/3/4],

「?a+b+ce(2+2,y/3/6],

???△ABC周長的取值范圍為(2+2g,6]；

222

(2)VsinA+sinB>sinC>

由正弦定理得：4zW>c2,

_2

由余弦定理：cosC=——2^——

VCE(0,IT),???C為銳角,

VA,3都是銳角，

sinA>sin(^—B)=cosB>0,

sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,

:.sin2A+sin2B>l.

21.(12分)已知邊長為6的菱形ABC。，ZABC=J,把AABC沿著AC翻折至△明(?的位置，構(gòu)成三

—1TT1T127

棱錐81-AO),S.DE=CF=|CD,EF=豈.

(1)證明：AC±BiD；

(2)求二面角Bi-AC-D的大小；

(3)求EF與平面AB1C所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：取AC中點。，連接。31,0D,

因為菱形A8CDZABrC=

所以△ACB1,△ACD為等邊三角形，

所以O(shè)Bi_LAC,ODLAC,

又因為。由，ODcffiOB\D,OBiQOD^O,

所以4。_1面0B1D,

因為BiOu面。81。，

所以AC_LB1D

所以FE=FB1+B]E=CB1-CF+^BrD=CB1-^CD+^(CD-CBJ=1CD+^CB1,

―>-i->-i->-i->-i―>―>1―>2

平方得，F(xiàn)E2=+^CB1)2=京0￡