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內(nèi)蒙古自治區(qū)平煤高級(jí)中學(xué)新高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知點(diǎn)P不在直線l、m上,則“過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.對(duì)于函數(shù),若滿(mǎn)足,則稱(chēng)為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.5.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,則的一條對(duì)稱(chēng)軸是()A. B. C. D.7.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點(diǎn),其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線的方程為()A. B. C. D.8.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位9.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,是的中點(diǎn),則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.10.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.3611.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,命題:,的否定是()A., B.,C., D.,12.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圖(1)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2)),其中,則的值是______.14.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15.在直角坐標(biāo)系中,某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則的解析式為_(kāi)__________.16.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(12分)已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng),,.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn),,求的取值范圍.19.(12分)已知圓上有一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形為平行四邊形,線段的垂直平分線交于點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與軸分別交于兩點(diǎn),求證:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn),并求出面積的最大值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,且為正三角形.(1)求點(diǎn),的極坐標(biāo);(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求的最大值.21.(12分)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】點(diǎn)不在直線、上,若直線、互相平行,則過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過(guò)點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?,函?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.3、A【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出的范圍.【詳解】由題意得有四個(gè)大于的不等實(shí)根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因?yàn)椋?dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因?yàn)?,所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn),需且.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.4、D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、B【解析】

作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題,得,由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性.7、A【解析】

設(shè),,利用點(diǎn)差法得到,所以直線的斜率為2,又過(guò)點(diǎn),再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設(shè),∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過(guò)點(diǎn),∴直線的方程為:,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題,解題方法是“點(diǎn)差法”,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為,再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為,根據(jù)圖像:,,故,即,,,取,得到,函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.9、C【解析】試題分析:設(shè)的交點(diǎn)為,連接,則為所成的角或其補(bǔ)角;設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為,則,所以,故C為正確答案.考點(diǎn):異面直線所成的角.10、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.11、D【解析】

根據(jù)命題的否定的定義,全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題求解.【詳解】因?yàn)椋?,是全稱(chēng)命題,所以其否定是特稱(chēng)命題,即,.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由可得,再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?,所以,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值公式的靈活運(yùn)用的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求出向量和夾角的余弦值,再由公式即得.【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),那么向量和夾角為,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積,解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.14、【解析】

設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時(shí),的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此的圖象為因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.15、【解析】

結(jié)合題意先畫(huà)出直角坐標(biāo)系,點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn),采用排除法最終可確定為點(diǎn),再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn),其中點(diǎn)與已有的兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù),舍去;若為點(diǎn)則點(diǎn)與點(diǎn)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或小于,不可能為,因此點(diǎn)也舍去,只有點(diǎn)滿(mǎn)足題意.此時(shí)點(diǎn)為最大值點(diǎn),所以,又,則,所以點(diǎn),之間的圖像單調(diào),將,代入的表達(dá)式有由知,因此.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題16、1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個(gè)位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.點(diǎn)評(píng):本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解;(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類(lèi)討論進(jìn)行求解【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),令,解得或,當(dāng)或時(shí),,則單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),所以在上無(wú)零點(diǎn);(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,①若,即,則是的一個(gè)零點(diǎn);②若,即,則不是的零點(diǎn)(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因?yàn)?所以①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增。又,所以(?。┊?dāng)時(shí),在上無(wú)零點(diǎn);(ⅱ)當(dāng)時(shí),,又,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),令,得,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查運(yùn)算能力,考查分類(lèi)討論思想18、(1)(2)【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,用坐標(biāo)表示出,得到,所以,代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】(1)設(shè),,則,設(shè),由得.又由于,化簡(jiǎn)得的軌跡的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,與的方程聯(lián)立,消去得,,設(shè),,則,,由已知,,則,故直線.,令,則,由于,,.所以,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】此題考查軌跡問(wèn)題,橢圓和直線相交,注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧,屬于較難題目.19、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)先畫(huà)出圖形,結(jié)合垂直平分線和平行四邊形性質(zhì)可得為一定值,,故可確定點(diǎn)軌跡為橢圓(),進(jìn)而求解;(Ⅱ)設(shè)直線方程為,點(diǎn)坐標(biāo)分別為,聯(lián)立直線與橢圓方程得,,分別由點(diǎn)斜式求得直線KA的方程為,令得,同理得,由結(jié)合韋達(dá)定理即可求解,而,當(dāng)重合交于點(diǎn)時(shí),可求最值;【詳解】(Ⅰ),所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓,且長(zhǎng)軸長(zhǎng),半焦距,所以,軌跡的方程為.(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),與曲線無(wú)交點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,點(diǎn)坐標(biāo)分別為.直線與橢圓方程聯(lián)立得消去,得.則,.直線KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點(diǎn)為.不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的上方,則.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓的定義求橢圓的方程,橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題,屬于中檔題20、(1),;(2).【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,即得解;(2)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.將此代入曲線的方程,可得點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,所以的最大值為,即得解.【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,為正三角形,所以點(diǎn)在曲線上.又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是,從而,點(diǎn)的極坐標(biāo)是.(2)由(1)可知,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,B的直角坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.將此代入曲線的方程,有即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.,所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合,考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化,參數(shù)方程的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情

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