上海教育版數(shù)學(xué)七下《等腰三角形》教案

教學(xué)目標(biāo)1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性質(zhì)．3．等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)1．等腰三角形的概念及性質(zhì)．2．等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用．教學(xué)方法探究歸納法．教學(xué)過程Ⅰ．知識(shí)回顧，在前面的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形，探究了軸對(duì)稱的性質(zhì)，并且能夠作出一個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形關(guān)于某一直線的軸對(duì)稱圖形，還能夠通過軸對(duì)稱變換來(lái)設(shè)計(jì)一些美麗的圖案．這節(jié)課我們就是從軸對(duì)稱的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一些我們熟悉的幾何圖形．來(lái)研究：①三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？有的三角形是軸對(duì)稱圖形，有的三角形不是．那什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？滿足軸對(duì)稱的條件的三角形就是軸對(duì)稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱圖形．我們這節(jié)課就來(lái)認(rèn)識(shí)一種成軸對(duì)稱圖形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．導(dǎo)入新課同學(xué)們通過自己的思考來(lái)做一個(gè)等腰三角形．作一條直線L，在L上取點(diǎn)A，在L外取點(diǎn)B，作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)C，連結(jié)AB、BC、CA，則可得到一個(gè)等腰三角形．A點(diǎn)可以取直線L上的任意一點(diǎn)．按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現(xiàn)在同學(xué)們拿出自己準(zhǔn)備的硬紙和剪刀，按自己設(shè)計(jì)的方法，也可以用課本探究中的方法，剪出一個(gè)等腰三角形．按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學(xué)們?cè)谧约鹤鞒龅牡妊切沃校⒚魉难?、底邊、頂角和底角．有了上述概念，同學(xué)們來(lái)想一想．1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸．2．等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線．因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟?，所以把這兩條腰重合對(duì)折三角形便知：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線．同學(xué)們把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對(duì)稱軸，并看它的兩個(gè)底角有什么關(guān)系．它們是同一條直線．現(xiàn)在同學(xué)們來(lái)歸納等腰三角形的性質(zhì)．沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)現(xiàn)它兩旁的部分互相重合，由此可知這個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．等腰三角形的性質(zhì)：1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰三角形的對(duì)稱軸，得到兩個(gè)全等的三角形，從而利用三角形的全等來(lái)證明這些性質(zhì)．同學(xué)們現(xiàn)在就動(dòng)手來(lái)寫出這些證明過程）．（演示課件）[例1]如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度數(shù)．根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形內(nèi)角和為180°，就可求出△ABC的三個(gè)內(nèi)角．如果我們?cè)诮獾倪^程中把∠A設(shè)為x的話，那么∠ABC、∠C都可以用x來(lái)表示，這樣過程就更簡(jiǎn)捷．（課件演示）[例]因?yàn)锳B=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等邊對(duì)等角）．設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本P143練習(xí)1、2、3．練習(xí)如下圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù)．答案：（1）72°（2）30°如右圖，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標(biāo)出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度數(shù)，圖中有哪些相等線段？答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．如右圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù)．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）閱讀課本，然后小結(jié)．Ⅳ．課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)作了簡(jiǎn)單的應(yīng)用．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角），等腰三角形的對(duì)稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并掌握這些性質(zhì)，并且能夠靈活應(yīng)用它們．Ⅴ．課后作業(yè)（一）課本P149─1、3、4、8題．（二）1．預(yù)習(xí)課本．2．預(yù)習(xí)提綱：等腰三角形的判定．Ⅵ．活動(dòng)與探究如右圖，在△ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E．求證：AE=CE．過程：通過分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)．結(jié)果：證明：延長(zhǎng)CD交AB的延長(zhǎng)線于P，如右圖，在△ADP和△ADC中∴△ADP≌△ADC．∴∠P=∠ACD．又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可證：AE=DE．∴AE=CE．板書設(shè)計(jì)§14．3．1．1等腰三角形（一）一、設(shè)計(jì)方案作出一個(gè)等腰三角形二、等腰三角形性質(zhì)1．等邊對(duì)等角2．三線合一三、例題分析四、隨堂練習(xí)五、課時(shí)小結(jié)六、課后作業(yè)備課資料參考練習(xí)一、選擇題1．如果△ABC是軸對(duì)稱圖形，則它的對(duì)稱軸一定是（）A．某一條邊上的高;B．某一條邊上的中線C．平分一角和這個(gè)角對(duì)邊的直線;D．某一個(gè)角的平分線2．等腰三角形的一個(gè)外角是100°，它的頂角的度數(shù)是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C2．C二、已知等腰三角形的腰長(zhǎng)比底邊多2cm，并且它的周長(zhǎng)為16cm．求這個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)．解：設(shè)三角形的底邊長(zhǎng)為xcm，則其腰長(zhǎng)為（x+2）cm，根據(jù)題意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三邊長(zhǎng)為4cm、6cm和6cm．§14．3．1．2等腰三角形（二）第八課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)探索等腰三角形的判定定理．（二）能力訓(xùn)練要求探索等腰三角形的判定定理，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特征，發(fā)展空間觀念．（三）情感與價(jià)值觀要求通過對(duì)等腰三角形的判定定理的探索，讓學(xué)生體會(huì)探索學(xué)習(xí)的樂趣，并通過等腰三角形的判定定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，加深對(duì)定理的理解．從而培養(yǎng)學(xué)生利用已有知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)等腰三角形的判定定理及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)探索等腰三角形的判定定理．教學(xué)方法講練結(jié)合法．教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，那么滿足了什么樣的條件就能說一個(gè)三角形是等腰三角形呢？這就是我們這節(jié)課要研究的問題．Ⅱ．導(dǎo)入新課同學(xué)們看下面的問題并討論：思考：如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠A=∠B．如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？現(xiàn)在我們把這個(gè)問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？[師]為什么它們所對(duì)的邊相等呢？同學(xué)們思考一下，給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明．[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如圖）．求證：AB=AC．證明：作∠BAC的平分線AD．在△BAD和△CAD中∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB=AC．在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也是相等，也就說這個(gè)三角形就是等腰三角形．也就是如何來(lái)判定一個(gè)三角形是等腰三角形．（演示課件）等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．通過幾個(gè)例題來(lái)初步學(xué)習(xí)等腰三角形判定定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用．（演示課件）[例2]求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．這個(gè)題是文字?jǐn)⑹龅淖C明題，我們首先得將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如圖）．求證：AB=AC．（演示課件，括號(hào)內(nèi)部分由學(xué)生來(lái)填）證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對(duì)等邊）．已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角對(duì)等邊）．[例3]如圖（1），標(biāo)桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它的中點(diǎn)C向地面上與點(diǎn)B距離相等的D、E兩點(diǎn)拉兩條繩子，使得D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，繩子CD和CE要多長(zhǎng)？這是一個(gè)與實(shí)際生活相關(guān)的問題，解決這類型問題，需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型．本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，求腰長(zhǎng)的問題．解：選取比例尺為1：100（即為1cm代表1m）．（1）作線段DE=4cm；（2）作線段DE的垂直平分線MN，與DE交于點(diǎn)B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）連接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的長(zhǎng)，就可以算出要求的繩長(zhǎng)．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本P1451、2、3．1．如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分別計(jì)算∠1、∠2的度數(shù)，并說明圖中有哪些等腰三角形．答案：∠1=72°，∠2=36°．等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD．2．如圖，把一張矩形的紙沿對(duì)角線折疊．重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？答案：是等腰三角形．因?yàn)?，如圖可證∠1=∠2．3．如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD．答案：證明：∵OA=OB，∴∠A=∠B．又∵AB∥DC，∴∠A=∠C，∠B=∠D．∴∠C=∠D．∴OC=OD（等角對(duì)等邊）．（二）補(bǔ)充練習(xí)：如圖，在△ABD中，C是BD上的一點(diǎn)，且AC⊥BD，AC=BC=CD．（1）求證：△ABD是等腰三角形．（2）求∠BAD的度數(shù)．答案：（1）證明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．又∵AC=AC，BC=CD，∴△ACB≌△ACD（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．∴△ABD是等腰三角形．（2）解：由（1）可知AB=AD，∴∠B=∠D．又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，AC=CD．∴∠D=∠DAC（等邊對(duì)等角）．在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，∴2（∠BAC+∠DAC）=180°．∴∠BAC+∠DAC=90°，即∠BAD=90°．（鼓勵(lì)學(xué)生思考其他解法）Ⅳ．課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們主要探究了等腰三角形判定定理，并對(duì)判定定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用作了一定的了解．在利用定理的過程中體會(huì)定理的重要性．在直觀的探索和抽象的證明中發(fā)現(xiàn)和養(yǎng)成一定的邏輯推理能力．Ⅴ．課后作業(yè)（一）課本P149─2、4、5、9、13題．（二）預(yù)習(xí)．Ⅵ．活動(dòng)與探究[探究1]等腰三角形兩底角的平分線相等．過程：利用等腰三角形的性質(zhì)即等邊對(duì)等角，全等三角形的判定及性質(zhì)．結(jié)果：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分線．求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）．∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，∴△BDC≌△CEB（ASA）．∴BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．[探究2]等腰三角形兩腰上的高相等．過程：同探究1．結(jié)果：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分別是△ABC的高．求證：BE=CF．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）．又∵BE、CF分別是△ABC的高，∴∠BFC=∠CEB=90°．在△BFC和△CEB中，∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，∴△BFC≌△CEB（AAS）．∴BE=CF．[探究3]等腰三角形兩腰上的中線相等．過程：同探究1．結(jié)果：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分別是兩腰上的中線．求證：BD=CE．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等邊對(duì)等角）．又∵CD=AC，BE=AB，∴CD=BE．在△BEC和△CDB中，∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，∴△BEC≌△CDB（SAS）．∴BD=CE．板書設(shè)計(jì)§14．3．1．2等腰三角形（一）一、等腰三角形的判定定理──等角對(duì)等邊二、等腰三角形判定定理的應(yīng)用三、隨堂作業(yè)四、課時(shí)小結(jié)五、課后作業(yè)備課資料墻上釘了一根木條，小明想檢驗(yàn)這根木條是否水平．他拿來(lái)一個(gè)如下圖所示的測(cè)平儀，在這個(gè)測(cè)平儀中，AB=AC，BC邊的中點(diǎn)D處掛了一個(gè)重錘．小明將BC邊與木條重合，觀察此時(shí)重錘是否通過A點(diǎn)．如果重錘過A點(diǎn)，那么這根木條就是水平的．你能說明其中的道理嗎？答案：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，等腰三角形ABC底邊BC上的中線DA應(yīng)垂直于底邊BC（即木條），如果重錘過點(diǎn)A，說明直線AD垂直于水平線，那么木條就是水平的．根據(jù)是平面內(nèi)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．§14．3．2．1等邊三角形（一）第九課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條件及其推理證明過程．（二）能力訓(xùn)練要求1．經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維．2．經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)．（三）情感與價(jià)值觀要求1．積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．2．在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．教學(xué)重點(diǎn)等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明．教學(xué)難點(diǎn)1．等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明．2．引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題．教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)法．教具準(zhǔn)備多媒體課件，投影儀．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境我們?cè)谇皟晒?jié)課研究證明了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，我們知道，在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形──三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形．回答下面的三個(gè)問題．（演示課件）1．把等腰三角形的性質(zhì)用到等邊三角形，能得到什么結(jié)論？2．一個(gè)三角形滿足什么條件就是等邊三角形？3．你認(rèn)為有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？把你的證明思路與同伴交流．（教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間）Ⅱ．導(dǎo)入新課探索等腰三角形成等邊三角形的條件．如果等腰三角形的頂角是60°，那么這個(gè)三角形是等邊三角形．這個(gè)結(jié)論的證明對(duì)學(xué)生來(lái)說可能有一定的難點(diǎn)，難點(diǎn)是意識(shí)到分別討論60°的角是底角和頂角兩種情況．這是一種分類討論的思想，教師要關(guān)注學(xué)生得出證明思路的過程，引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題，并有意識(shí)地向?qū)W生滲透分類的思想方法今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判定定理；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，我們?cè)谧C明這個(gè)定理的過程中，還得出了三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．下面就請(qǐng)同學(xué)們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論．已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B，∴BC=AC（等角對(duì)等邊）．又∵∠A=∠C，∴BC=AC（等角對(duì)等邊）．∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．我們由等腰三角形的性質(zhì)和判定方法就可以得到．（演示課件）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．有了上述結(jié)論，我們來(lái)學(xué)習(xí)下面的例題，體會(huì)上述定理．（演示課件）[例4]如圖，課外興趣小組在一次測(cè)量活動(dòng)中，測(cè)得∠APB=60°，AP=BP=200m，他們便得出一個(gè)結(jié)論：A、B之間距離不少于200m，他們的結(jié)論對(duì)嗎？分析：我們從該問題中抽象出△APB，由已知條件∠APB=60°且AP=BP，由本節(jié)課探究結(jié)論知△APB為等邊三角形．解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．于是∠PAB=∠PBA=∠APB．從而△APB為等邊三角形，AB的長(zhǎng)是200m，由此可以得出興趣小組的結(jié)論是正確的．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本P147練習(xí)1、2．1．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？它有幾條對(duì)稱軸？它們分別是什么線段？答案：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，它們分別是三個(gè)角的平分線（或是三條邊上的中線或三條邊上的高線）．2．如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，圖中有哪些與BD相等的線段？答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．（二）補(bǔ)充練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，∠B和∠C的平分線相交于D，BD、CD的垂直平分線分別交BC于E、F，求證：BE=CF．證明：連結(jié)DE、DF，則BE=DE，DF=CF．由△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，從而∠DEF=60°．同理∠DFE=60°，故△DEF是等邊三角形．DE=DF，因而BE=CF．Ⅳ．課時(shí)小結(jié)這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，并對(duì)這個(gè)結(jié)論的證明有意識(shí)地滲透分類討論的思想方法．這節(jié)課我們學(xué)的定理非常重要，在我們今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用．Ⅴ．課后作業(yè)（一）課本P149─5、6、7、10題．（二）預(yù)習(xí)．Ⅵ．活動(dòng)與探究探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB、AC上分別截取AD=AE．△ADE是等邊三角形嗎？試說明理由．過程：通過分析、討論，讓學(xué)生進(jìn)一步了解等邊三角形的性質(zhì)及判定．結(jié)果：已知：三角形ABC為等邊三角形．D、E為邊AB、AC上兩點(diǎn)，且AD=AE．判斷△ADE是否是等邊三角形，并說明理由．解：△ADE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．板書設(shè)計(jì)§14．3．2．1等邊三角形（一）一、探索等邊三角形的性質(zhì)及判定問題：一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便成為等邊三角形二、等邊三角形的性質(zhì)及判定三、應(yīng)用例題講解四、隨堂練習(xí)五、課時(shí)小結(jié)六、課后作業(yè)備課資料等腰三角形（含等邊三角形）的性質(zhì)與判定．性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形的三個(gè)角都相等，且每個(gè)角都是60°三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形參考例題1．已知，如圖，房屋的頂角∠BAC=100°，過屋頂A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù)．解：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）．∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=40°（三角形內(nèi)角和定理）．又∵AD⊥BC（已知），∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）．∴∠BAD=∠CAD=50°．2．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD．求證：DB=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，且BD是中線，∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°．∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．3．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形（已知），∴∠A=∠B=∠C（等邊三角形各角相等）．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形（三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形）．§14．3．2．2等邊三角形（二）第十課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1．探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明直角三角形中有一個(gè)角為30°的性質(zhì)．2．有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．（二）能力訓(xùn)練要求1．經(jīng)歷“探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明”的過程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系．2．培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力．（三）情感與價(jià)值觀要求1．鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲．2．體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．教學(xué)重點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明．教學(xué)難點(diǎn)1．含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明．2．引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題．教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)法．教具準(zhǔn)備兩個(gè)全等的含30°角的三角尺；多媒體課件；投影儀．教學(xué)過程Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境我們學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們先來(lái)看一個(gè)特殊的直角三角形，看它具有什么性質(zhì)．大家可能已猜到，我讓大家準(zhǔn)備好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢？問題：用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說說你的理由．由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？Ⅱ．導(dǎo)入新課（讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到，通過實(shí)際操作探索出來(lái)的結(jié)論，還需要給予證明）其中，圖（1）是等邊三角形，因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以AB=AC，又因?yàn)镽t△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．圖（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等邊三角形．圖（1）是等邊三角形．由此能得出在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系。在直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半．定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD．證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，則∠B=60°．延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD（如下圖）∵∠ACB=60°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．∴BC=BD=AB．這個(gè)定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗山堑奶厥庑?，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系，下面我們就來(lái)看一個(gè)例題．（演示課件）[例5]右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長(zhǎng)？分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點(diǎn)，所以DE=AB．解：因?yàn)镈E⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知BC=AB，DE=AD，所以BD=×7.4=3.7（m）．又AD=AB，所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m．[例6]等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2a，求腰上的高．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的長(zhǎng)．分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個(gè)外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）．Ⅲ．隨堂練習(xí)（一）課本練習(xí)Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？邊AB與BC之間有什么關(guān)系？答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．（二）補(bǔ)充練習(xí)1．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD=AB．證明：在Rt△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB．在Rt△BCD中，∠B=60°，∴∠BCD=30°．∴BD=BC．∴BD=AB．2．已知直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)銳角的2倍，這個(gè)角的平分線把對(duì)邊分成兩條線段．求證：其中一條是另一條的2倍．