期末專題09 圓錐曲線壓軸綜合（附加）（40題）（解析版）-備戰(zhàn)期末高二數學

期末專題09圓錐曲線壓軸綜合（附加）（精選40題）一、單選題1．（21-22高二上·湖北武漢·期末）已知實數x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】實數，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因為實數，滿足，所以當時，，其圖象是位于第一象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分（含點），當時，其圖象是位于第四象限，焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，其圖象不存在，當時，其圖象是位于第三象限，焦點在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點到直線的距離所以，結合圖象可得的范圍就是圖象上一點到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當曲線上一點位于時，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設與其圖像在第一象限相切于點，由因為或（舍去）所以直線與直線的距離為此時，所以的取值范圍是．故選：B．【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上任意兩點間的距離公式為；（2）點到直線的距離公式：點到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.2．（21-22高二上·重慶·期末）已知圓與軸的交點分別為點是直線上的任意一點，橢圓以為焦點且過點，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意易得橢圓的半焦距，然后求得點關于直線的對稱點為，由，此時橢圓的離心率取得最大值求解.【詳解】圓與軸的交點分別為，，不妨令點，，橢圓的半焦距．設點關于直線的對稱點為，，解得，．如圖所示：連接交直線于點，此時有最小值，此時的最小值為，當長軸長最小時，橢圓的離心率取得最大值，即．又，橢圓的離心率的取值范圍為，故選：A3．（21-22高二上·浙江湖州·期末）已知雙曲線，過其右焦點作漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點A.已知為原點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖象，結合漸近線方程得到，，進而得到，結合漸近線的斜率及角度關系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過點F作FB垂直于點B，交于點A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C4．（21-22高二上·貴州遵義·期末）已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題干條件得到，設出，利用雙曲線定義表達出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D5．（22-23高二上·山東煙臺·期末）已知直線過雙曲線的左焦點，且與的左?右兩支分別交于兩點，設為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點差法得，由條件知直線的傾斜角為傾斜角的兩倍，代入兩直線的斜率關系式即可求得的斜率.【詳解】設,由均在上，為的中點，得，則，∴，∴，設直線的傾斜角為，則，不妨設為銳角，∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線的傾斜角為，則.∴，∴，解得，∴由對稱性知直線的斜率為.故選：D【點睛】中點弦定理：直線與橢圓（雙曲線）交于兩點，中點為，則有，（為坐標原點）此題解答過程中中點弦定理起了核心作用，通過中點弦定理建立了與的關系，另一方面通過是以為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關系，從而得到所求直線的斜率.6．（22-23高二上·浙江臺州·期末）已知雙曲線的左頂點為，過的直線與的右支交于點，若線段的中點在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設線段的中點為，雙曲線的右頂點為，連接，則可得，然后在中利用余弦定理求得，則，從而可表示出，代入雙曲線方程化簡可求出離心率.【詳解】設線段的中點為，雙曲線的右頂點為，左右焦點為，連接，因為線段的中點在圓上，所以，所以≌，所以，因為，所以，在中，由余弦定理得，因為，所以，所以，過作軸于，則，所以，所以，得，所以，，所以，所以離心率，故選：A

【點睛】關鍵點點睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是由題意求得，然后在中利用余弦定理求出，從而可表示出點的坐標，考查數形結合的思想和計算能力，屬于較難題.7．（22-23高二下·浙江·期末）雙曲線右焦點為，離心率為，，以為圓心，長為半徑的圓與雙曲線有公共點，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓的方程，聯立方程組，由得出的范圍，從而得解.【詳解】由題意，右焦點，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，，聯立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點，所以，即，結合，化簡為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當時，取得最小值.故選：A【點睛】解決本題關鍵是曲線與曲線的位置關系，用聯立方程組的方法，其中化簡是個難點.二、多選題8．（21-22高二下·廣東汕尾·期末）已知拋物線：，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4【答案】ABD【分析】選項A：由點在準線上，可求出，從而可判斷；選項B：設直線與拋物線方程聯立，由韋達定理可判斷；選項C：設，分別求出，方程，根據方程結構可判斷；選項D：先同C求得直線的方程，再表達出的面積關于的表達式，進而求得面積的最大值即可【詳解】對A，易知準線方程為，∴，：，故選項A正確.對B，設直線，代入，得，當直線與相切時，有，即，設，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項B正確.對C，設，，其中，.則：，即.代入點，得，同理可得，故：，故.

故選項C不正確.對D，同C，切線方程：；：，代入點有，，故直線的方程為，即，聯立有，則，故，又到的距離，故，故當時的面積小值為，故D正確；故選：ABD9．（21-22高二下·江蘇南京·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點作直線交該雙曲線于和兩點，則下列結論中正確的有（

）A．該雙曲線的焦點在哪個軸不能確定B．該雙曲線的離心率為C．若和在雙曲線的同一支上，則D．若和分別在雙曲線的兩支上，則【答案】BC【分析】求出的值，可得出雙曲線的方程，可判斷A選項；求出雙曲線的離心率，可判斷B選項；利用弦長公式可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，若雙曲線的焦點在軸上，則，可得，且有，解得，則雙曲線的方程為，其焦點在軸上；若雙曲線的焦點在軸上，則雙曲線的標準方程為，則，可得，且有，無解，A錯；對于B選項，，，，所以，雙曲線的離心率為，B對；對于CD選項，當直線不與軸重合時，設直線的方程為，設點、，聯立可得，則，解得，由韋達定理可得，，，，.若和在雙曲線的同一支上，則，可得，則，C對；若和分別在雙曲線的兩支上且直線不與軸重合時，，可得，則，若直線與軸重合，則、分別為雙曲線的兩個頂點，則，故當和分別在雙曲線的兩支上時，，D錯.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：本題CD選項中求弦長的最值，解題的關鍵在于建立弦長與某參數的函數，利用函數的基本性質求解.10．（21-22高二下·廣東·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，點P是雙曲線C右支上異于頂點的一點，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則C．若P為焦點關于雙曲線C的漸近線的對稱點，則C的離心率為D．延長交雙曲線右支于點Q，設與的內切圓半徑分別為、，則【答案】ABD【分析】由點在雙曲線上及斜率公式即可判斷A選項；設出，表示出，由A選項中斜率之積即可判斷B選項；利用點關于直線對稱求出點坐標，代入雙曲線即可求出離心率，即可判斷C選項；先判斷出內切圓圓心的橫坐標為，再借助勾股定理即可判斷D選項.【詳解】由題意知，，設，對于A，若雙曲線C為等軸雙曲線，則，則，又，則，A正確；對于B，設，則，由A選項知，即，又，，故，解得，即，B正確；對于C，易得雙曲線的漸近線方程為，若P為焦點關于雙曲線C的漸近線的對稱點，則有，解得，代入可得，即，解得，則C的離心率為，C錯誤；對于D，設的內切圓與分別切于三點，由切線長定理知，則，又，可得，則和重合，即的內切圓圓心的橫坐標為，同理可得的內切圓圓心橫坐標也為，則軸，且，作于，則即為切點，作于，則，，，在中，可得，即，整理得，D正確.故選：ABD.11．（21-22高二下·重慶沙坪壩·期末）已知拋物線過點，過點的直線交拋物線于，兩點，點在點右側，若為焦點，直線，分別交拋物線于，兩點，則（

）A． B．C．A，，三點共線 D．【答案】AC【分析】設直線方程聯立拋物線方程消參，利用定義表示出，然后由韋達定理和解不等式可判斷A；用坐標表示出，利用韋達定理表示后，由m的范圍可判斷B；設直線NF，借助韋達定理表示出P點坐標，同理可得Q點坐標，然后由斜率是否相等可判斷C；根據M和P的橫坐標關系，結合AN斜率可判斷D.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為設設過點的直線方程為，代入整理得：則，，即或又由定義可知，，所以，故A正確；所以又，故B錯誤；記設直線NF方程為，代入整理得：則，，同理可得因為，，所以A，，三點共線，C正確；因為，，所以由上可知，直線AM的斜率，所以，所以，D錯誤.故選：AC【點睛】12．（21-22高二下·浙江臺州·期末）設雙曲線的左右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與交于?兩點，且，則的離心率可以為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】當直線與雙曲線交于兩支時，設過的切線與圓相切于點，從而可求得，過點作于點，由中位線的性質求得，在中，可求得，利用雙曲線的定義可得的關系，再由離心率公式求解即可，當直線與雙曲線交于同一支時，同理可求得離心率【詳解】當直線與雙曲線交于兩支時，設過的切線與圓相切于點，則，因為，所以，過點作于點，所以∥，因為為的中點，所以，，因為，為銳角，所以，所以，所以，所以，因為，所以，化簡得，所以，所以離心率為，當直線與雙曲線交于一支時，記切點為，連接，則，過作于，則，所以，因為，所以為銳角，所以，所以，，所以,所以，化簡得，所以，所以離心率為，綜上，雙曲線的離心率為或，故選：BD13．（22-23高二下·遼寧朝陽·期末）已知拋物線，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點【答案】BD【分析】根據為準線上的點列方程，解方程即可得到可判斷A；利用導數的幾何意義得到過點，的切線斜率，可得到，為方程的解，然后利用導數的幾何意義和韋達定理得到，即可判斷B；利用韋達定理和斜率公式求即可判斷C；聯立和得到，同理可得，即可得到直線的方程為，可判斷D.【詳解】因為為準線上的點，所以，解得，故A錯；根據拋物線方程得到，則，設切點坐標為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項得，所以，故C錯；由B選項得，又，聯立得，同理得，所以直線AB的方程為，恒過點，故D正確．故選：BD．

【點睛】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數法：參數解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與，的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.14．（22-23高二下·安徽·期末）形如的函數是我們在中學階段最常見的一個函數模型，因其形狀像極了老師給我們批閱作業(yè)所用的“√”，所以也稱為“對勾函數”．研究證明，對勾函數可以看作是焦點在坐標軸上的雙曲線繞原點旋轉得到，即對勾函數是雙曲線．已知為坐標原點，下列關于函數的說法正確的是（

）A．漸近線方程為和B．的對稱軸方程為和C．是函數圖象上兩動點，為的中點，則直線的斜率之積為定值D．是函數圖象上任意一點，過點作切線，交漸近線于兩點，則的面積為定值【答案】ABD【分析】對于A：根據題意結合圖象分析判斷；對于B：根據題意結合倍角公式以及垂直關系分析運算；對于C：根據題意結合斜率公式運算求解；對于D：根據導數的幾何意義求切線方程，進而可求結果.【詳解】因為是雙曲線，由圖象可知：函數圖象無限接近和，但不相交，故漸近線為和，故A正確；因為是雙曲線，由雙曲線的性質可得，對稱軸為漸近線的角分線，且互相垂直，一條直線的傾斜角為，由二倍角公式可得，整理得，解得或（舍去），故，另一條直線的斜率為，故B正確；設，所以，故，故C錯誤；因為，設，則處切線的斜率，所以切線方程為，令，可得，即，則；令，可得，即，則；故面積為（定值），故D正確．故選：ABD.

【點睛】方法點睛：求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法（1）已知切點，求在點P處的切線方程：求出切線的斜率，由點斜式寫出方程．（2）已知切線的斜率為k，求的切線方程：切點，通過方程解得，再由點斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(非切點)，求的切線方程：設切點，利用導數求得切線斜率，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得，再由點斜式或兩點式寫出方程．15．（22-23高二下·浙江杭州·期末）設雙曲線，直線與雙曲線的右支交于點，，則下列說法中正確的是（

）A．雙曲線離心率的最小值為4B．離心率最小時雙曲線的漸近線方程為C．若直線同時與兩條漸近線交于點，，則D．若，點處的切線與兩條漸近線交于點，，則為定值【答案】BCD【分析】由離心率公式，結合基本不等式可判斷A；根據可得雙曲線方程，然后可得漸近線方程，可判斷B；將問題轉化為AB的中點與CD的中點是否重合的問題，設直線方程，聯立漸近線方程求C，D坐標，再由點差法求AB的中點坐標，然后可判斷C；結合圖形可知，利用導數求切線方程，聯立漸近線方程求E，F的橫坐標，代入化簡可判斷D.【詳解】由題知，，當且僅當時等號成立，所以的最小值為4，的最小值為2，故A錯誤；當時，雙曲線方程為，此時漸近線方程為，即，B正確；若直線的斜率不存在，由對稱性可知；當斜率存在時，設直線方程為，，AB的中點為，CD的中點為則，由點差法可得，所以，所以，又雙曲線漸近線方程為，聯立分別求解可得，所以，所以M，N重合，則，或，故C正確；

若，則雙曲線方程為，漸近線方程為，不妨設點A在第一象限，雙曲線在第一象限的方程為，，得切線斜率為，方程為，設點E，F坐標分別為，分別作垂直于y軸，垂足分別為P，Q，E在第一象限，F在第四象限，則又，所以，聯立漸近線方程和切線方程可解得，整理得，兩式相乘得，所以，所以，D正確.故選：BCD

【點睛】本題考察圓錐曲線的綜合運用，C選項需要靈活處理，將問題轉化為AB的中點與CD的中點是否重合的問題，利用點差法和直接計算可解；D選項需結合圖象將面積靈活轉化，在求解時，要結合式子的結構特征靈活處理.三、填空題16．（22-23高二上·遼寧大連·期末）拋物線的光學性質是：位于拋物線焦點處的點光源發(fā)出的每一束光經拋物線反射后的反射線都與拋物線的對稱軸平行．已知拋物線的焦點為F，直線，點P，Q分別是C，l上的動點，若Q在某個位置時，P僅存在唯一的位置使得，則滿足條件的所有的值為．【答案】或【分析】設，易知拋物線焦點為，為直線上的動點，設，根據結合距離公式，可得，根據方程有唯一解列方程求解即可.【詳解】設，易知拋物線焦點為，為直線上的動點，設，由，，即代入，，（1）當時，，由得，此時方程只有一個解，滿足題意，（2）當時，，解得，代入可得求得，可得的值為或故答案為：或.17．（22-23高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線上存在兩點（異于坐標原點），使得，直線AB與x軸交于M點，將直線AB繞著M點逆時針旋轉與該拋物線交于C，D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為．【答案】【分析】設直線的方程為，聯立方程組，由條件證明，由此可得，再求，求四邊形ACBD面積的解析式，求其最小值即可.【詳解】由已知直線的斜率存在，且不為，故可設直線的方程為，聯立，消得，，方程的判別式，設，則，所以因為，所以，所以，所以，又異于坐標原點，所以，所以，所以，所以直線的方程為，且所以直線與軸的交點為，所以點的坐標為，所以直線的方程為，聯立，消得，，方程的判別式，設，則，所以，由已知，所以四邊形ACBD面積，設，則，，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，此時，設，可得，，所以當時，即時，取最小值，最小值為，所以四邊形ACBD面積的最小值為.故答案為：.

【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．18．（22-23高二下·浙江臺州·期末）已知直線與拋物線及曲線均相切，切點分別為，若，則【答案】4【分析】設直線：，分別與和聯立，根據判別式等于，求出的坐標，再根據可求出結果.【詳解】顯然直線的斜率存在，設直線：，聯立，消去得，則且，即，代入，得，得，得，則，則.聯立，消去得，則，且，即，將代入，得，得，得，又，所以，則，則，由，得，解得，所以或，當時，不合題意，舍去；當時，.綜上所述：.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：利用判別式等于求出的坐標是解題關鍵.19．（22-23高二下·湖南岳陽·期末）已知橢圓的兩個頂點分別為，，離心率為點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，，過作的垂線交于點，則與的面積之比為.【答案】/【分析】先根據已知條件求得橢圓的方程.設出的坐標，根據直線、、的方程求得，進而求得與的面積之比.【詳解】焦點在軸上，兩個頂點分別為點，，，，，橢圓的方程為；設，，可得，直線的方程為：，，，直線的方程：，直線的方程：，直線與直線的方程聯立可得，整理為：，即，，計算可得，代入直線的方程可得.，則，又.故答案為：四、解答題20．（22-23高二下·浙江衢州·期末）已知雙曲線，過點作直線交雙曲線的兩支分別于，兩點，(1)若點恰為的中點，求直線的斜率；(2)記雙曲線的右焦點為，直線，分別交雙曲線于，兩點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，設，，再由點差法即可得到結果；（2）根據題意，設，，，然后聯立直線與雙曲線方程，結合韋達定理，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）由題意可得，設，，由，得，即，即其中，，所以，又，故；（2）

設，，，由得，又，故，從而，同理有，另一方面，，設，由得，故，代入上式有，由直線交雙曲線于兩支可知，令，故，當且僅當時，即時，取等號，即.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了直線與雙曲線相交問題，難度較難，解答本題的關鍵在于將直線的方程設為，以及將三角形的面積比通過韋達定理轉化，計算量較大.21．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）已知橢圓的離心率為，記的右頂點和上頂點分別為、，的面積為（為坐標原點）．

(1)求的方程；(2)點在線段上運動，過點垂直于軸的直線交于點（點在第一象限），且，設直線與的另一個交點為，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，求出點、的坐標，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由、、三點共線結合韋達定理可得出，然后化簡直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標.【詳解】（1）解：由題意可得，，且，則，所以，，解得，所以，橢圓的方程為.（2）證明：若直線與軸重合，則直線與直線重合，不合乎題意，設直線的方程為，設點、，

易知點、，則直線的方程為，直線的方程為，聯立，可得，故點，因為點，設點，則為線段的中點，則，可得，即點，聯立直線與橢圓的方程得，可得，，由韋達定理可得，，因為、、三點共線可得，且，，所以，，整理可得，化簡可得，所以，直線的方程為，由可得，因此，直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22．（22-23高二下·江蘇南京·期末）已知橢圓的右頂點和上頂點分別為，，為線段的中點，為坐標原點，且．(1)求橢圓的方程；(2)已知圓，為圓上任意一點，過點作橢圓的切線，交圓于點，若與斜率都存在，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件結合向量的坐標運算列方程求，可得橢圓方程；（2）在的斜率不存在時求的值，當的斜率存在時，設直線的方程為，聯立直線與圓的方程結合設而不求法求，由直線與橢圓相切求的關系，由此證明結論.【詳解】（1）依題意可得，，，，所以，所以，所以橢圓的方程為：．（2）若的斜率不存在，則，或，，此時；若的斜率存在時，可設直線的方程為，，，由聯立消去可得，，方程的判別式，，，，所以，當直線與橢圓相切時，由聯立消去可得，，，化簡得，所以，綜上可得為定值．【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．23．（22-23高二下·浙江溫州·期末）已知拋物線，斜率為1的直線交于不同于原點的，兩點，點為線段的中點.(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，，設切線，的交點為①求證：為直角三角形.②記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應的點的坐標.【答案】(1)(2)①證明見解析；②最小值4，此時.【分析】（1）設直線方程，聯立拋物線方程消元，根據韋達定理，結合中點坐標公式可得；（2）①利用導數的切線方程，結合韋達定理即可證明；②根據點P坐標滿足①中切線方程可得直線AB方程，然后由弦長公式和點到直線的距離公式可得面積，然后可解.【詳解】（1）設直線的方程為，代入拋物線，可得，設，，則點為線段的中點，可得，即則拋物線的方程為.

（2）①設，，由，可得，則，所以，兩點處的切線斜率分別為，，由，得，所以，，所以，所以，即為直角三角形.

②由（1）知，即：，同理，由直線，都過點，即，則點，的坐標都滿足方程，即直線的方程為：，又由直線過點，∴，聯立得，∴，點到直線的距離，∴∴當且僅當時，有最小值4，此時24．（22-23高二下·江蘇連云港·期末）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為正數且不過原點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線交橢圓及直線分別于點和點，且.證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據橢圓的離心率與橢圓上的點列方程求解即可得橢圓方程；（2）設直線的方程為：，，聯立直線與橢圓得交點坐標關系，再結合線段坐標表示求解的值即可得結論.【詳解】（1）由題知，解得：，所以橢圓.（2）設直線的方程為：，，

由，得，由得，設，則，，，射線OP的方程為，由，得；由，得，由，得，即，解得，直線恒過定點.【點睛】方法點睛：本題考察直線過定點問題，常用方法：設直線方程，聯立曲線方程消元，根據韋達定理，結合已知條件列方程，尋找k和b的關系，代回直線方程化為點斜式可得.25．（22-23高二下·湖南郴州·期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且左焦點到漸近線的距離為，直線經過且互相垂直（斜率都存在且不為0），與雙曲線分別交于點和分別為的中點.(1)求雙曲線的方程；(2)證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先由題給條件求得的值，進而得到雙曲線的方程；（2）先利用設而不求的方法分別求得兩點的坐標，求得直線的方程，進而得到直線過定點.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，所以，左焦點到漸近線的距離為，所以，又，聯立得，解之得，所以雙曲線的方程為.（2）設直線的方程為，令聯立，整理得，，所以，所以，，則，設直線的方程為，令聯立，整理得，，所以，所以，，則，當，即時，直線的方程為.當時，直線的斜率為，直線的方程為，即，所以直線過點，又直線過點，綜上，直線過定點.

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.26．（22-23高二下·浙江嘉興·期末）已知橢圓的左右頂點分別為，上頂點為為橢圓上異于四個頂點的任意一點，直線交于點，直線交軸于點.(1)求面積的最大值；(2)記直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）方法1：設出點M的坐標，計算點到直線的距離，運用輔助角公式轉化為求三角函數的最大值，進而可求得結果.方法2：聯立橢圓方程及與平行的直線的方程，令，進而可求得結果.（2）分別求出交點M、Q、P坐標，計算即可.【詳解】（1）方法1：如圖所示，由題意知，，，，設，則，點到直線的距離為：，所以，所以.故△MBD面積的最大值為：.方法2：設與平行的直線，聯立得，令，顯然當時與橢圓的切點與直線的距離最大，，所以.故△MBD面積的最大值為：.（2）如圖所示，設直線，聯立得，則點的坐標為，設點為，則，所以，即，所以，聯立得點的坐標為，所以，，所以.故為定值.【點睛】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略（1）求代數式為定值．依題設條件，得出與代數式參數有關的等式，代入代數式、化簡即可得出定值．（2）求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得．（3）求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得．27．（22-23高二下·浙江·期末）已知雙曲線離心率為，，分別是左、右頂點，點是直線上一點，且滿足，直線，分別交雙曲線右支于，兩點.記，的面積分別為，.(1)求雙曲線的方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，可判斷，表示出，，即可求出，再根據離心率求出，從而求出，即可得解；（2）由（1）可知直線，的方程。聯立直線與雙曲線方程求出、，由，代入轉化為關于的式子，再換元利用函數的性質計算可得.【詳解】（1）依題意設，，，若，此時，，則，，不符合題意，所以，則，，又，所以，解得，又，所以，則，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）可知直線：，：，由，消去整理得，所以，又，所以，由，消去整理得，所以，又，所以，綜上可得，所以，，又，又，所以，令，則，所以，令，則，所以，所以當時，即時.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.28．（22-23高二下·湖北武漢·期末）已知橢圓的離心率為，點，為的左、右焦點，經過且垂直于橢圓長軸的弦長為3.

(1)求橢圓的方程；(2)過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于A，B兩點，與直線交于點，若，且點滿足，求線段的最小值.【答案】(1)(2)5【分析】（1）由通徑性質、離心率和橢圓參數關系列方程求參數，即可得橢圓方程；（2）討論直線斜率，設，，，為，注意情況，聯立橢圓方程應用韋達定理求，，結合、坐標表示得到，進而有求，再求坐標，應用兩點距離公式得到關于的表達式求最值，注意取值條件.【詳解】（1）對于方程，令，則，解得，由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為．（2）由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無交點，不滿足條件．設直線：，若，則，則不滿足，所以．設，，，由得：，，所以，．因為，即，則，，所以，解得，則，即，直線：，聯立，解得，即，∴，當且僅當或時,等號成立，∴的最小值為．

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.29．（22-23高二下·湖北武漢·期末）如圖，橢圓中，長半軸的長度與短軸的長度相等，焦距為6，點是橢圓內一點，過點作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設與橢圓相交于點與橢圓相交于點.

(1)求橢圓的方程；(2)求的最小值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)最小值為，此時直線的方程為或.【分析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程并與橢圓的方程聯立，化簡寫出根與系數關系，求得的表達式并利用基本不等式求得的最小值，同時求得直線的方程.【詳解】（1）長半軸的長度與短軸相等，有，又焦距為6，故，聯立，解得，橢圓的標準方程為.（2）設直線的方程為由得，所以，設，則，又，同理，，當且僅當時取等號，故的最小值為，此時直線的方程為或.

30．（22-23高二下·重慶渝中·期末）已知雙曲線C：的漸近線方程為，其左右焦點為，，點D為雙曲線上一點，且的重心G點坐標為.(1)求該雙曲線的標準方程；(2)過x軸上一動點作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點，A點關于x軸的對稱點為（與B不重合），連接并延長交x軸于點Q，問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據雙曲線方程設，，根據重心坐標公式求出，代入原方程即可得到的值，則得到雙曲線方程；（2）設的方程為，，將其與雙曲線方程聯立得到韋達定理式，寫出直線的方程，令，解出，將韋達定理式代入整理得，則得到定值.【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線方程為，故可設雙曲線的方程為，設，因為的重心點的坐標為，所以，解得，所以，則代入得，所以雙曲線的標準方程為（2）由題意知直線的斜率必存在，設的方程為，，則，聯立，化簡得，則，且，由韋達定理得，，則直線的方程為：，令，則，故.

.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法，即設的方程為，再將其與雙曲線方程聯立得到韋達定理式，31．（22-23高二下·重慶沙坪壩·期末）已知橢圓C：的離心率為，在橢圓上.(1)求橢圓C的標準方程；(2)橢圓左頂點為A，過點且不平行于x軸的直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線AP，AQ與直線的交點分別為M，N，試判斷點B與以MN為直徑的圓的位置關系，并說明理由.【答案】(1)(2)點B在以MN為直徑的圓上，理由見解析【分析】（1）由離心率和橢圓上的點，列方程組解得即可得橢圓C的標準方程；（2）設，，通過直線的方程，得兩點的坐標，設直線l的方程，代入橢圓方程，借助韋達定理證明，可得結論.【詳解】（1）由題意：，又在橢圓上，有，解得，.則橢圓C的標準方程為.（2）設直線l的方程為，聯立方程，得，設，，由韋達定理得：，，

直線AP方程：，可得，同理，則，，，可知，則點B在以MN為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．要強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．32．（22-23高二下·河南南陽·期末）已知橢圓C：的左頂點為A，上頂點為B，坐標原點O到直線AB的距離為，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)若過點且不與x軸重合的直線l與橢圓C交于M，N兩點，直線AM，AN分別與y軸交于P，Q兩點，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據三角形面積公式和兩點間距離公式，列關于a，b的方程組求解可得；（2）分斜率存在和不存在討論，當斜率存在時，設，，利用點M，N坐標表示出P，Q坐標，結合韋達定理可得.【詳解】（1）由題意知，．因為的面積為，所以①．，因為點O到直線AB的距離為，所以②．由①②結合可得.所以橢圓C的方程．（2）由（1）可知．當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，代入橢圓方程得，不妨設此時，，則，直線AM的方程為，當時，，易得，所以．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，由，得．設，，則，．直線AM的方程為，

令，得，即，同理，得．所以．綜上可得．33．（22-23高二下·湖南岳陽·期末）已知雙曲線，四點，，，中恰有三點在雙曲線上.(1)求的方程；(2)設直線不經過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率的和為證明：過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意代入相應的點運算求解即可；（2）設直線的方程以及的坐標，再根據題意結合韋達定理運算求解.【詳解】（1）易知雙曲線關于軸對稱，，關于軸對稱，故，都在雙曲線上，若，，在雙曲線上，則，解得，不滿足；若，，在雙曲線上，則，解得，滿足；綜上所述：雙曲線的方程為.（2）設直線與直線的斜率分別為，如果直線斜率不存在，則，不符合題設，設直線：，，，，聯立，整理得，，化簡得：.則，，則，整理得，即，化簡得：，解得或，當時，直線的方程為，令時，，所以直線過定點，又因為直線不經過點，不合題意；當時，直線的方程為，當時，，所以直線過定點；綜上所述：過定點.

【點睛】方法點睛：過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設動直線方程(斜率存在)為，由題設條件將t用k表示為，得，故動直線過定點；（2）動曲線C過定點問題．解法：引入參變量建立曲線C的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點．34．（22-23高二下·湖南·期末）已知為橢圓上一點，且點在第一象限，過點且與橢圓相切的直線為.

(1)若的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值；(2)如圖，分別是橢圓的過原點的弦，過四點分別作橢圓的切線，四條切線圍成四邊形，若，求四邊形周長的最大值.【答案】(1)證明見解析；；(2).【分析】（1）設點P的坐標及直線l的方程，與橢圓的方程聯立，利用推理求解作答.（2）利用（1）的結論，結合已知可得四邊形是矩形，借助對稱性求出該矩形一組鄰邊長，再利用均值不等式求解作答.【詳解】（1）設，設，其中，由消去y并整理得，，依題意，得，即，即，，而，即，即，即，所以.（2）由（1）知，，則，而，即有，則，又分別是橢圓的過原點的弦，同理，因此四邊形為矩形，由（1）知，直線的方程為，則，顯然與關于原點對稱，因此直線的方程為，直線的距離為，由與垂直，得直線的斜率，同理得直線的距離為，，，因此，當且僅當時等號成立，因此矩形的周長的最大值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．35．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）已知雙曲線上點到兩定點的距離分別為，，且滿足．(1)求雙曲線的方程；(2)設經過點且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，是直線上關于軸對稱的兩點，求證：直線與的交點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結合余弦定理和二倍角公式，利用雙曲線定義即可得出，，進而得出雙曲線的方程.（2）設直線的方程為，，，聯立方程利用韋達定理以及表示直線和直線的方程，兩方程相減即可表示出定直線.【詳解】（1）在中，，即，所以，因為雙曲線的焦點在軸，，，所以，則雙曲線的方程為.（2）由題意可設直線的方程為，聯立方程組，消去，并整理得，設，，則，又設，則得直線的方程為，直線的方程為，兩個方程相減得，因為，把它代入得，所以，因此直線與的交點在直線上．

【點睛】方法點睛：直線和雙曲線的位置關系問題，從以下幾個角度分析：（1）雙曲線定義在幾何圖形中的使用；（2）涉及三角形問題中，解三角形的余弦定理等三角函數的應用；（3）直線和雙曲線交點，聯立方程使用韋達定理表示參數；（4）數形結合思想的應用.36．（22-23高二下·安徽·期末）已知直線過定點，雙曲線過點，且的一條漸近線方程為.(1)求點的坐標和的方程；(2)若直線與交于，兩點，試探究：直線，的斜率之和是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)，(2)是，3【分析】（1）將直線化簡為即可得出點的坐標，再根據漸近線方程即可求出的方程；（2）聯立雙曲線和直線表達出韋達定理，表達出代入韋達定理即可求出結果.【詳解】（1）由直線知，，得定點.則，解得，故的方程為.（2）

由（1）知，，設，.聯立，整理得，則，且，∴且，∴，，∴所以直線，的斜率之和是為定值，定值為3.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．37．（21-22高二下·廣西南寧·期末）已知橢圓C：（）的短軸長為2，，分別為橢圓C的左、右焦點，B為橢圓的上頂點，.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設P為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓C相交于M，N兩點（M，N兩點異于P點），且，證明：直線l恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，利用向量數量積運算得到，從而求出，求出橢圓方程；（2）設出直線方程（），與橢圓方程聯立，寫出兩根之和，兩根之積，根據向量垂直得到等量關系，求出直線所過定點.【詳解】（1）由題意