2025年中考數(shù)學(xué)專題42 單、多角平分線專題（原卷版）

模型介紹模型介紹模型一、角平分線垂兩邊模型二、角平分線垂中間模型三、角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形模型四、利用角平分線作對(duì)稱模型五、內(nèi)外模型例題精講例題精講考點(diǎn)一：角平分線垂兩邊模型【例1】．如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，則四邊形ABCD的面積是．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．求證：（1）AM平分∠DAB；（2）AD＝AB+CD．【變式1-2】．已知：如圖所示，點(diǎn)P為∠AOB的平分線上一點(diǎn)，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP＝180°，求證：OA+OB＝2OC．考點(diǎn)二：角平分線垂中間模型【例2】．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為．

變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分線，且CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：BD＝2CE．【變式2-2】．如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F）．考點(diǎn)三：角平分線＋平行線構(gòu)造等腰三角形【例3】．如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，則BC的長(zhǎng)為．變式訓(xùn)練【變式3-1】．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，則線段MN的長(zhǎng)為．【變式3-2】．（1）如圖△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E、F，試說(shuō)明BE+CF＝EF的理由．（2）如圖，△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC，∠ACG，過D作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E、F，則BE、CF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明你的理由．考點(diǎn)四：利用角平分線作對(duì)稱【例4】．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分線交BC于D．求證：AB+BD＝AC．變式訓(xùn)練【變式4-1】．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC＝AE+CD．【變式4-2】．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求證：BC＝BD+AD．【變式4-3】．如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，連接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．1．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分線，OE是∠BOC的角平分線，則∠DOE＝．2．（1）如圖①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么點(diǎn)D到AB的距離是cm（2）如圖②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC．3．如圖，已知在△ABC中，BE、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線，BE、CD相交于點(diǎn)I，且BD+CE＝BC．求∠A的度數(shù)．4．如圖，在△ABC中，BD，CD分別平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，DF∥AC．若BC＝6，則△DEF的周長(zhǎng)為．5．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC＝AB．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF∥DE交CD于點(diǎn)F．求證：DE＝BF．7．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于點(diǎn)E，若△BCD的面積為16，則BD的長(zhǎng)為（）A．16 B．8 C．6 D．48．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由．10．如圖，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列問題：（1）證明：ED＝FD；（2）試找出∠BDC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）求EF的長(zhǎng)．11．感知：如圖1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC．應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB﹣AC＝（用含a的代數(shù)式表示）探究：12．如圖，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且AD＝AO，CB＝CD，連接BD．（1）求證：∠OBD＝∠ODB；（2）若∠BAC＝80°，求∠ACB的長(zhǎng)度．13．（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．如果作輔助線DE⊥AB于點(diǎn)E，則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為AB＝AC+CD；（2）如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，試說(shuō)明理由；若成立，請(qǐng)證明．14．如圖①，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）①圖中有哪幾個(gè)等腰三角形？如圖②，若過D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則圖②比圖①增加了幾個(gè)等腰三角形？（2）如圖③，若AB≠AC≠BC，其他條件不變，則該圖中有哪幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)直接