安徽省皖北五校聯(lián)盟2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

安徽省皖北五校聯(lián)盟2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)全集。=R,4={x[x+l<0},集合8={x|log2X<l},則集合(dN)c3=()

A.[-1,2]B.(0,2)C.[—l,+oo)D.[—1,1)

2.已知z為復(fù)數(shù)且z?。-i)=l+3i(i為虛數(shù)單位)，則共軌復(fù)數(shù)1的虛部為()

A.2B.2iC.-2D.-2i

3.已知等差數(shù)列{%}的公差d#0,且％,%，％成等比數(shù)列，則3=()

a

A.2B.4C.5D.6

4.“a=2”是“直線辦+2y+2=0與直線x+("l)y+l=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在銳角A248c中，角4瓦C的對邊分別為a,6,c,若siii4==3,48■/C=3,則

"c=()

sinB+smC

A3gn2?c川n4A/21

2333

6.甲、乙等6名高三同學(xué)計劃今年暑假在43,C,D,四個景點中選擇一個打卡游玩，若每

個景點至少有一個同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、乙都單獨(dú)

1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有()

A.96種B.132種C.168種D.204種

7.已知不等式辦e"+x〉l-lnx有解,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.TTB.1一”|。KJ

已知實數(shù)滿足聞+幽=

8.x,yX1，則百x+y-4的取值范圍是()

113

C.2-^,2D.2-[,4

A.[4一疝2)B.[4-跖4：

_7L7

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.一組數(shù)據(jù)西,々,…，/是公差為_2的等差數(shù)列，若去掉首末兩項，則()

A.平均數(shù)變大B.中位數(shù)沒變C.方差變小D.極差沒變

10.已知。8c的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列說法中正確的是()

A.若acosZ=bcosB,則一定是等腰三角形

B.若cos(/-B>cos(8-C)=l,則。8c一定是等邊三角形

C.若acosC+ccos/=c,則一定是等腰三角形

D.若儂(23+。)+<：05。>0,則“3C一定是鈍角三角形

11.已知正四面體。-/BC的棱長為3,下列說法正確的是()

A.平面048與平面ABC夾角的余弦值為:

B.若點尸滿足麗=xE+y赤+(l-x-y四，則|麗|的最小值為痛

C.在正四面體。-/2C內(nèi)部有一個可任意轉(zhuǎn)動的正四面體，則它的體積可能為正

12

D.點。在“8C內(nèi)，且=則點。軌跡的長度為當(dāng)。兀

三、填空題

12.若〃為一組從小到大排列的數(shù)1,2,4,8,9,10的第六十百分位數(shù)，則二項式］近+：］的

展開式的常數(shù)項是.

13.已知拋物線C:r=2px(p>0)的焦點為尸，拋物線C的準(zhǔn)線/與x軸交于點A,過點A

的直線與拋物線C相切于點P,連接打在“尸尸中，設(shè)sin/P/brsin/"'/3,則X的值

為.

14.對于函數(shù)/'(%)=卜08%|-近520),當(dāng)該函數(shù)恰有兩個零點時，設(shè)兩個零點中最大值為a,

當(dāng)該函數(shù)恰有四個零點時，設(shè)這四個零點中最大值為用，求

+&2)sin2cz(1+/?2)COS26

~a+1-/32

四、解答題

試卷第2頁，共4頁

15.已知函數(shù)/'&)=/+西+法+5,曲線y=/(x)在點尸(1J⑴)處的切線方程為

y=3x+1

(1)求a,b的值；

(2)求了=/(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.

16.如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=\,BC=2,ZABC=60°,四邊形/CM為正方形,

且平面4BCD_L平面ACEF.

B匕----------芒

⑴證明：ABLCF；

(2)求點C到平面BEF的距離；

⑶求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值.

17.現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個箱子的商品，檢驗其是否合格.其中甲箱中有9個正品和1個次品；

乙箱中有8個正品和2個次品.從這兩個箱子中隨機(jī)選擇一個箱子，再從該箱中等可能抽出

一個商品，稱為首次檢驗.將首次檢驗的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗，若兩次檢

驗都為正品，則通過檢驗.首次檢驗選到甲箱或乙箱的概率均為十.

(1)求首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的概率；

(2)在首次檢驗抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗選到的箱子為甲箱的概率；

(3)將首次檢驗抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗時有如下兩種方案：方

案一，從首次檢驗選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個箱子中抽取.比較兩個方案，哪

個方案檢驗通過的概率大.

18.設(shè)圓/+/+2x-15=0的圓心為A,直線/過點8。,0)且與無軸不重合，/交圓A于C,。

兩點，過3作NC的平行線交/。于點￡.

(1)設(shè)動點E的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

⑵曲線C與X軸交于4,4.點4在點4的右側(cè)，直線冽交曲線C于點兩點(小不過點

試卷第3頁，共4頁

4),直線朋4與直線加溝的斜率分別是匕他且桃2=-土，直線4”和直線4N交于點

尸(%,%).

①探究直線加是否過定點，若過定點求出該點坐標(biāo)，若不過定點請說明理由；

②證明：不為定值，并求出該定值.

19.在數(shù)學(xué)中，把只能被自己和1整除的大于1自然數(shù)叫做素數(shù)(質(zhì)數(shù)).歷史上研究素數(shù)

在自然數(shù)中分布規(guī)律的公式有“費(fèi)馬數(shù)"2'+l(〃eN)；還有“歐拉質(zhì)數(shù)多項式”：

“2+”+41(〃eN).但經(jīng)后人研究，這兩個公式也有局限性.現(xiàn)有一項利用素數(shù)的數(shù)據(jù)加密技

術(shù)一OZ2數(shù)據(jù)加密協(xié)議：將一個既約分?jǐn)?shù)的分子分母分別乘以同一個素數(shù)，比如分?jǐn)?shù)(的分

子分母分別乘以同一個素數(shù)19,就會得到加密數(shù)據(jù)段.這個過程叫加密，逆過程叫解密.

⑴數(shù)歹支%｝中％,&，4經(jīng)DZB數(shù)據(jù)加密協(xié)議加密后依次變?yōu)?-1三1,9三^5!,-4簽5R名75.9求經(jīng)解密

341542786444

還原的數(shù)據(jù)2M3的數(shù)值；

⑵依據(jù)。”出當(dāng)?shù)臄?shù)值寫出數(shù)列｛4｝的通項公式(不用嚴(yán)格證明但要檢驗符合).并求數(shù)列

｛%｝前〃項的和S"；

(3)為研究“歐拉質(zhì)數(shù)多項式”的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=*+x-\,a,p是方程〃x)=0的兩個

根(a>￡)J'(x)是的導(dǎo)數(shù).設(shè)%=1,。角=a./(%)(〃=1,2,…).證明：對任意的正整數(shù)

f'M

〃，都有見＞u.(本小題數(shù)列｛與｝不同于第(1)(2)小題)

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【解析】先求出集合42,再利用補(bǔ)集運(yùn)算求科4，最后求交集即可.

【詳解】由/={小+1<0},

得/={也<-1},

^A={x\x>-1］,

由3={x|log2X<l},

得_8={x|0<x<2},

故何辦8=（0,2）.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了集合交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查了對數(shù)函數(shù)求值.屬于較易題.

2.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,即可得到其共粗復(fù)數(shù)，從而得到其虛部.

［詳解］解：因為z.（l—i）=l+3i,所以z=（：+3?f+?=l+i+；+3i=一#2i,

所以胃=_1_2i，則共輾復(fù)數(shù)：的虛部為-2.

故選：C

3.A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識列方程，化簡求得正確答案.

【詳解】依題意，{%}是等差數(shù)列，且%,%，%成等比數(shù)列，

所以=%?%,（%+2。）2-%（%+6d）,

+4a,+4d2—+6a、d,2d之=a、d,

由于dwO,所以％=2d,—=2.

d

故選：A

4.D

【分析】代入〃=2,可得兩直線為同一直線，可得結(jié)果.

答案第1頁，共17頁

【詳解】當(dāng)Q=2時，

直線。％+2》+2=0即直線2%+2歹+2=0=>%+>+1=0,

直線尤+(。-1)了+1=0即直線直線x+y+l=0,

所以兩直線重合,

故選：D.

5.B

【分析】由已知條件結(jié)合向量數(shù)量積的定義、余弦定理求出。，由正弦定理可得

.,+c二二號，化簡即可得到答案.

sinB+sinCSIIL4

【詳解】因為“BC為銳角三角形，siih4=^~，所以/=60°>由AB-AC=cbcosA=3，貝U6=2,

2

由余弦定理可得：a1—b1+c~-IbccosA—7,即a=V7,

b+caV72@

由正弦定理可得:

sinB+sinCsiih4sin60°3

故選：B.

6.C

【分析】各級題意，剩下4人去其他兩個景點游戲，由此按旅游的人數(shù)2種情況討論，結(jié)合

分類加法計數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，甲、乙都單獨(dú)1人去某一個景點打卡游戲，

則剩下的4人去其他兩個景點游戲，則其余4為主播有兩種情況：

①若3為主播去一個景點，1為主播去另一個景點，有A；C；A；=96種不同游戲方法;

r2C*672

②分別都是2為主播去一個景點，有A：?卓=72種不同游戲方法，

由分類計數(shù)原理得，共有96+72=168種.

故選：C.

7.A

bl

【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為。>1一:1'，構(gòu)造函數(shù)/(x)J：”“，利用導(dǎo)數(shù)法求出

1(xLn，a>f(x)min即為所求.

【詳解】不等式axe'+x>l-Inx有解，即x>0,只需要

xeIxe,

答案第2頁，共17頁

令=

?，(x)=(x+l)(：21nx),x>0,

令g(x)=x-2+lnx,x>0,

.?.g,(x)=l+|>o,所以函數(shù)g(無)在(o,+8)上單調(diào)遞增，

又g⑴=一1<0,g⑵=山2>0,所以存在力<(1,2),使得g(x°)=o,即X。-2+ln/=0,

,

.,.xe(O,xo),g(x)<0,即—尤€伉,+8),g(x)>0,gp/(x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(0,無。)上單調(diào)遞減，在(尤0,+8)上單調(diào)遞增，

，又由x°-2+lnx0=0,可得x°e%=e，

xoe

/(X1-Xp-lnx0l-x0+x0-2^__1_

x22

'xoe°ee

1

a>——.

e

故選：A.

【點睛】思路點睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為x>0,構(gòu)造函數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的最小值，即只要。>1(x)3

8.B

【解析】將實數(shù)x,y滿足可4+幽=1通過討論X,了得到其圖像是橢圓、雙曲線的一部

分組成的圖形，借助圖像分析可得|氐+了-4|的取值就是圖像上一點到直線住+>一4=0

距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可

得出答案.

【詳解】解：因為實數(shù)x,了滿足可同+5=1,

113

2

所以當(dāng)xW0,yW0時，匕+/=1其圖像位于焦點在y軸上的橢圓第一象限，

3

2

當(dāng)x>0,y<0時，/一匕=1其圖像位于焦點在x軸上的雙曲線第四象限，

3

2

當(dāng)x<0/>0時，匕-Y=1其圖像位于焦點在歹軸上的雙曲線第二象限，

3

2

當(dāng)％<0,〉<0時，一^--x2=1其圖像不存在，

3

答案第3頁，共17頁

作出圓錐曲線和雙曲線的圖像如下，其中x|x|+空I1圖像如下

所以R+y_4|=2d

結(jié)合圖像可得槨x+y-4|的范圍就是圖像上一點到直線岳+y一4=0距離范圍的2倍,

22__

雙曲線/一0=1,4-爐=1其中一條漸近線瓜+了=0與直線6》+了_4=0平行

通過圖形可得當(dāng)曲線上一點位于尸時，2d取得最小值

當(dāng)曲線上一點靠近雙曲線的漸近線瓜+了=0時2d取得最大值，不能取等號

_2

設(shè)Gx+y+c=0(c<0)與=1其圖像在第一象限相切于點尸

y/3x+y+c=0

由<丫2n6x2+2y[3cx+c2—3=0

13

因為八=僅6。)x-4x6x(02—3)=o=c=—指或。=指(舍去)

所以直線瓜+y-&=0與直線岳+y-4=0的距離為

此時|6x+y-4卜2d=4-a

|-4-0|

直線百x+y=0與直線后+”4=0的距離為

此時槨x+y_41=2d=4

故選：B

答案第4頁，共17頁

【點睛】

三種距離公式：

(1)兩點間的距離公式：

2

平面上任意兩點祖西,“)出(七，%)，間的距離公式為\=^(x2-xl)+(y2-yiy;

(2)點到直線的距離公式：

點月(王,乂)到直線/：/x+坊+c=o的距離4=胃；學(xué).

(3)兩平行直線間的距離公式：

,IC,-C,I

兩條平行直線“X+與+G=0與Nx+By+C?=0間的距離d='21.

yjA2+B2

9.BC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義，判斷作答.

【詳解】數(shù)據(jù)再,馬,…,不。是公差為一2的等差數(shù)列，

對于A,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)[=[￡%=[x5優(yōu)+%)=石/，

去掉首末兩項后的平均數(shù)E==舉/，即平均數(shù)不變，A不正確；

81=282

對于B,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為石土巫，去掉首末兩項后的中位數(shù)為石旦，即中位數(shù)不變，B

22

正確；

對于C,原數(shù)據(jù)的方差

s；=2￡8-+72+52+32+12+(-1)2+(-3)2+(-5)2+(-7)2+(-9)2]=33,

1Ui=i210

去掉首末兩項后的方差

=h7'+52+32+I2+(-1)2+(-3)2+(-5)2+(-7)2]=21,即方差變小，C

8i=22o

正確；

對于D,原數(shù)據(jù)的極差再一再。=18,去掉首末兩項后的極差％-尤9=14,即極差變小，D不

正確.

故選：BC

10.BCD

71

【分析】對于A：利用正弦定理得到/=8或N+8=；,即可判斷；對于B：由余弦函數(shù)的

2

答案第5頁，共17頁

TT

有界性求出4=5=C=§,即可判斷；對于C：由余弦定理求出b=c,即可判斷；對于D：

利用三角公式判斷出cos5<0或cos/<0,即可得到答案.

【詳解】對于A：因為QCOSZ=Z?cos5,由正弦定理得：sin%cos，=sinBcosB,

所以sin2A=sin25.

因為A,5為zUBC的內(nèi)角，所以2/=23或24+25=兀，

所以/=8或/+.所以“3C是等腰三角形或直角三角形.錯誤；

對于B：由余弦函數(shù)的有界性可知：若-IVcosp-mviTWcos^-CbL

因為85（/-0七0$（3-0=1,所以cos（/-B）=l,cos（B-C）=l或

008（71-5）=-1,008（5-6）=-1.

當(dāng)cos（/_3）=l,cos（8_C）=l時，有4=3且3=C,所以/=8=C=],

所以i^ABC是等邊三角形.

當(dāng)cos（/—8）=—l,cos（8—C）=—1時，有Z—8=兀且B—C=兀，不符合題意.

所以08c一定是等邊三角形.正確；

"2.L2__2/2?E2_2

對于C：因為acosC+ccos/=c,由余弦定理得：a----------+c-----------c,

2ab2bc

所以2〃=26c,所以b=c,則23C一定是等腰三角形.正確；

對于D：在“8c中，A+B+C=n,所以cos（2B+C）=cos（B+兀-Z）=-cos（8-/）

cosC=cos（兀一Z-8）=-cos（4+8）.

所以cos（23+C）+cosC=-cos（3-4）-cos（8+/）>0,

所以8$（_8-1）+（：05（5+/）<0,即2cos3cos/<0,所以cos8<0或cosZ<0.

所以。8C一定是鈍角三角形，正確.

故選：BCD

11.ABC

【分析】于A,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，結(jié)合法向量夾角余弦公

式即可驗算；對于B,可得尸,4民C,故只需求出。到面/3C的距離驗算即可；對于C,

用大正四面體內(nèi)切球半徑與小四面體外接球半徑（含參）比較大小，得出參數(shù)（體積）范圍

即可判斷；對于D,用幾何法得出點。的軌跡不是一個完整的圓即可判斷.

答案第6頁，共17頁

【詳解】將正四面體補(bǔ)全為正方體，并如圖建系,

。(。,。,。),,殍,孚。］,5殍,。￥］電孚孚"［孚,孚孚］

\7\7\\7

喟J=(l,1,0),逝評(1,0,1)"新:=Q，T，1)/訝H，o，i),

設(shè)面045的一個法向量々=(再,必,馬)，面45。的一個法向量〃2=(%2，歹2/2),

+Z=

xx+yx=0f20

所以取再=T,%2=1，解得必=Z]=y—z=1,

再+4=0-%2+Z2=022

所以面的一個法向量々=(-1,1,1),面ABC的一個法向量%=(14,1)，

I——?!，1

設(shè)平面OAB與平面ABC夾角為a,cosa=cos々,叼=一||一=彳時，A對.

m3

OP=xOA+yOB+(\-x-ypC，則尸,43,C共面，正四面體棱長為3,則正方體棱長為挈,

所以刀/孚，孚,。'

I22J

大正四面體內(nèi)切球半徑逅-3="，小正四面體棱長為。，此外接球半徑如”,

1244

.■^>^a?,a<i,r=^<^,C對.

441212

答案第7頁，共17頁

分別在上取Q使。/=1,延長。4至2使2/=3,

=2。/,Q2O=2Q2A,取0,0的中點M。在以M為球心,

為半徑的球面上，且。在“3C內(nèi)，作M在平面4BC上的射影AT,

:.MM'=?\=S，：.MQ==手,0為圖中云，顯然不是一個完整的圓,

，。的軌跡長度不為2兀?畫=觀兀，D錯.

33

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵是得到四點共面，轉(zhuǎn)換為驗算點面距離即可順利得解.

12.7

【分析】首先算出第六十百分位數(shù)，然后寫出二項式的通項，M|(8-r)+(-r)=0^r=2,

最后得到常數(shù)項即可.

【詳解】因為6x60%=3.6,

所以第六十百分位數(shù)為8,

又二項式的通項為

令;(8—r)+(_r)=0nr=2,

所以常數(shù)項為=7,

故答案為：7.

13.—

2

【分析】設(shè)點尸在準(zhǔn)線上的射影為0，則|a1=|尸。|,設(shè)尸區(qū)的方程為y=聯(lián)立方程

答案第8頁，共17頁

組，結(jié)合A=0,求得斤=±1,得到sin/PNQ=],在ANP廠中，利用正弦定理，即可求解.

【詳解】由拋物線C:r=2px5>0）,可得焦點尸§,0）,準(zhǔn)線方程為x=-勺則/（-?0）,

設(shè)點尸在準(zhǔn)線上的射影為。，則|尸尸|=歸。|,

因為直線/P與拋物線C相切，設(shè)尸/的方程為y=Hx+5）（左H0）,

聯(lián)立方程組『="十萬），整理得2）川+}p2左2=0,

y2=2px

所以A=（左2一2）2/_,2左4=0,解得左=±],所以sin/尸40=,

sinZPAFPF=sm

在△4P9中，由正弦定理可知力=附?

sinZAFPIPA

故答案為：旦.

【分析】函數(shù)/卜）=,。刈-履（X20）恰有兩個零點等價于y=|cosx|與直線>=依（XNO）有

且只有兩個交點，根據(jù)圖象可知：y=|cosx|與直線'=丘（xNO）在點A相切，函數(shù)

/（X）=|cosx|-^（x>0）恰有四個個零點等價于y=|cosx|與直線y=七（XW0）有且只有四個

交點，根據(jù)圖象可知：^=上。閾與直線y=履（工?0）在3點相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及

三角恒等變換化簡可得答案.

【詳解】函數(shù)/（無）=|cosx|-Ax（x?0）恰有兩個零點等價于y=|cosx|與直線y=foc（尤20）有

且只有兩個交點，函數(shù)/（力=卜08%|-h（尤》0）恰有四個個零點等價于》=卜05工|與直線

y=kx（x20）有且只有四個交點，y=|cosx|與直線y=丘（x>0）的圖象如下：

答案第9頁，共17頁

根據(jù)圖象可知，y=|cosx|與直線y=(無20)有且只有兩個交點時，則卜=卜0時與〃=自在

點A處相切，且切點的橫坐標(biāo)為a,此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為〉=-cosx,所以j?=sinx,

則左=sina,X-cosa=ka,所以一cosa=asina,則

[l+a2)sm2a_(sin26r)_?

acos6Z

sina

同理，y=|cosx|與直線y=foc(xNO)有且只有四個交點時，則y=|cosx|與y=自在點3處相

切，且切點的橫坐標(biāo)為萬，此時對應(yīng)的函數(shù)解析式為＞=cosx,所以y，=_sinx,則左=-sin〃,

(1+￡>S2￡

又cos/3=k(3,所以cos尸=-/?sin/?

1-伏

1+a2)sin2a(1+夕)8$2￡

所以

a1-7?

故答案為：-3.

15.(1)。=2,6=-4

95

(2)最大值為13,最小值為

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組求解

(2)由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性后求解

【詳解】U)依題意可知點尸(1J⑴)為切點,代入切線方程丁=3x+1可得/⑴=3xl+l=4.

/⑴=1+a+6+5=4,即a+6=-2,

又由/&)=x3+ax?+bx+5得，/〈X)=3x2+2ax+b,

而由切線，=3x+1的斜率可知/'(1)=3

.??3+2。+6=3,即2。+6=0,

答案第10頁，共17頁

由4[<2++Z??！?—2。,解得.=2八-4

(2)由(1)知/1(X)=x3+2尤~—4x+5,

f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),

令/''(x)=0,得x=§或x=-2,

當(dāng)x變化時，〃x),/'(x)的變化情況如下表:

(-2,|)2

X-22

3

0-0+

95

/W13單調(diào)遞減單調(diào)遞增13

27

295

二“X)最大值為13,最小值為大

27

16.(1)證明見解析;

V23

2)

立

4

【分析】(1)利用余弦定理計算/C,再證明431NC即可推理作答.

(2)以點/為原點，射線/￡AC,/斤分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借

助空間向量計算點C到平面BEF的距離.

(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.

【詳解】(1)在Y/BCD中，AB=1,BC=2,ZABC=60°,由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC^,

AC2=12+22-2X1X2COS600=3，即/C=V^，AC2+AB2=4=BC2,貝！J/B/C=90°,

即ABIAC,

因平面48cz>_L平面/CM,平面NBCDc平面=/Bu平面A8C￡?,

于是得48/平面/CEF,又CFu平面/CEF,

所以4B_LCF.

答案第11頁，共17頁

(2)因四邊形/CE尸為正方形，即/尸_L/C,由(1)知尸兩兩垂直,

以點/為原點，射線48,AC,/尸分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

A(0,0,0),5(1,0,0),C(0,e,0),廠(0,0,6),D(-l,6,0),E(0,5百)，

FE=(0,V3,0),BF=(-1,0,V3),設(shè)平面的一個法向量」=(%,月,句),

則卜"=回=0

，令為=1,得7=("0,l),

n-BF=+A/3ZJ=0

—.L7\n-BC\I—lx?出

而5C=(-1,6,0)，于是得點C到平面BEF的距離d=向=-j==-=—,

所以點C到平面8M的距離為心.

2

(3)由⑵知,AF=(0,0,^),ZD=(-1,73,0),設(shè)平面40尸的一個法向量于=(%,必,Z2)，

fh-AF=>/3Z2=0

則令%=1，得"=(6,1,0),

m?AD=-x2+6y2=0

/一一、m-n_____百xg3

cos(m,n)=———4,設(shè)平面BEF與平面/D尸夾角為0,

i加im7(A/3)2+12XJ(^)2+12

jr

6e(0,-],

2

則有cos0=|cos<m,ri)\=-fsin0=71-cos<9=——，

44

所以平面與平面NAP夾角的正弦值為五.

4

【點睛】易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面

角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計算.

答案第12頁，共17頁

17

17-⑴癡

(2)—

17

（3）方案一

【分析】（1）按照條件概率的計算公式即可得出答案；

（2）按照貝葉斯逆向概率公式代入即可求解；

（3）由前面的小問得出的結(jié)論分別計算兩種方案在二次檢驗抽到合格品的概率，比較大小,

從而選擇決策方案.

【詳解】（1）將首次檢驗選到甲箱記為事件4,選到乙箱記為事件4,首次檢驗抽到合格

品記為事件2.

則首次檢驗抽到合格品的概率

82）=尸（4）尸僅⑷=

（2）在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率

19

尸（“小常尸(4)P⑻4)210=9

17-17,

20

（3）將二次檢驗抽到合格品記為事件C.

由上一小問可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率尸（4忸）=，，

QO

則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率尸（4忸）=1-有=

()

PCAXBP(CA2B)

P(C|5)=P(CAl\p)+P(CA2)=

P(B)P(B)

尸(48)P(C&B)P(A2B)P(CA2B)

P(B)P(AtB)P(B)P(A2B)

=P（4|5）P（C|45）+P（4|5）P（d|^5）.

從而，在首次檢驗通過，即事件8發(fā)生的條件下：

QQ

PCA

①若選擇方案一，則尸（平出）=尸（3⑷=6，（\2B）=P（B\A2]=~.

故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率P（C忸）=.*：+：乂[=3|.

答案第13頁，共17頁

所以在方案一下，檢驗通過的概率尸(2C)=P(C⑻P(2)=含x，；

OQ

②若選擇方案二，則辛(c|4B)=尸(叫4)=/,尸(。區(qū)町=尸(用4)=1.

故此條件下在二次檢驗抽到合格品的概率尸(c|2)=m^+gx\=*

所以在方案二下，檢驗通過的概率尸(2C)=P(C⑻P(B)=卷x[.

而1寄45x為17〉1巖44■乂17宗，故選擇方案一檢驗通過的概率更大.

22

18.(Dy+^-=l(y^O)

(2)①過定點，(1,0)；②證明見解析，4

【分析】(1)根據(jù)題意，得到周|+|四=|即+|瓦＞|=|/必,結(jié)合橢圓的定義,即可求解；

(2)①設(shè)點M(再,必)?雙仿,%),且加：無=陽+:,聯(lián)立方程求得M+%，,%，結(jié)合上色=一；，

列出方程求得f的值，即可求解；

②設(shè)直線4M和直線4N的斜率為、%,求得34%=一“3結(jié)合心/“=-：9，得

《%n—21_

到求得％的值，即可求解.

k

NA2與+23

【詳解】(1)解：如圖所示，因為|/0=|/C|,仍//NC,可得/EBD=NACD=N4DC,

所以阿=\ED\,則|必+\EB\=\EA\+\ED\=⑷,

又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+1)2+V=16,可得圓心坐標(biāo)為/(TO),且HO=4,

所以I助|+忸同=4,又由5(1,0),可得[48|=2,即上=2,。=1/=百

y2(、

W=l(10).

答案第14頁，共17頁

（2）解：①設(shè)點M（X[,必）,N（尤2，%）,且直線〃2：x=%y+f,

x=my+t

聯(lián)立方程22,整理得（3/+4）必+6mty+?>t2—12=0,

——%+—y=11

143

則A=（6mZ）2-4（3m2+4）（3/-12）>0且必+%=-6mt3產(chǎn)一12

3加2+4八/23m2+4

必力

左[左2二

（再一2）（%2-2）（加必+/-2）（m%+%-2）療%%+加（彳-2）（1+%）+0-2）2'

3〃一12

3m°+49

所以

3〃一12-6mt4

m2?+m（Z-2）（一2）2

3m2+43ni2+4

27

3Z2-125/千-2）

1+。9

即+/-2）92=0'

43m2+43m2+4

因為f*2,所以（4+9加2）?+2）-18/7+3（/-2乂3加+4）=0,

化簡得16r-16=0,解得f=l,所以直線能過定點區(qū)（1,0）；

②設(shè)直線AM和直線A2N的斜率為^》叫，

22