安徽省合肥市部分學(xué)校2024屆高三年級(jí)下冊(cè)高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué) 含解析

安徽省合肥市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={xeNl*.4},B={-l,0,l,2,3}則()

A.{1,2}B.{0,1,2)

C.{-2,-1,0,1,2,3}D.1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式可得集合A,進(jìn)而可得AcB.

【詳解】A={x€NlX2<4}={0,1,2},B={-1,0,1,2,3},

所以A'B={0,l,2},

故選：B.

2.已知z(i—3)=5+2,則2=()

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)z=4+bi(〃,b￡R),則5=〃一〃i,根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)建立方程組,

解之即可求解.

【詳解】設(shè)2=。+歷(a,〃eR),則乞一歷,

因?yàn)閦(i—3)=5+2,所以(。+歷)(i-3)=。一加+2,

即-3a-b+(a-3b)i=a+2-b\,

4

a=—

-3a-b=a+29

所以解得

b=--

9

所以z=------1.

99

故選：D.

3.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為8的半圓，則該圓錐的體積為()

A.43兀B.16兀C.64扃D.64島

3

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，結(jié)合側(cè)面展開圖可知底面半徑與高，進(jìn)而可得為積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為「，

由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則27n*=8兀，解得廠=4,

又側(cè)面展開圖是半徑為8的半圓，即圓錐的母線長(zhǎng)為8,

則圓徒的高力=阿2-4?=4有?

所以該圓錐的體積為V--jrr2/z--^x42x4x/3-如畫，

333

故選：D.

4.為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分

析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從N(70,64),據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為

()

參考數(shù)據(jù)：P(從一b<X<//+cr)?0.6827,P(jn-2(y<X<〃+2。)a0.9545,P(〃-3。<X<

4+3b)a0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

(W]A

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.

【詳解】依題意〃=70,cr=8,94=〃+3cr,

1-09973

所以測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為一-—-X100%=0.135%.

2

故選：A.

5.某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存款10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得

到的本利和約為()(單位：萬(wàn)元，結(jié)果保留一位小數(shù))

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)利可知每年末本息和構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式定理求解即可.

【詳解】存入大額存款10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算，

每年末本利和是以10為首項(xiàng)，1+3%為公比的等比數(shù)列，

所以本利和S=10(1+3%)8=10[以+C；x0.03'+C；x0.032+-+C；x0.037+C^]?12.7.

故選：B.

2024

6.已知定義在R上的偶函數(shù)"X)滿足"0)=1且〃x)+“2—x)=4,則Z/(j)=()

j=0

A.4049B.2025C.4048D.2024

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性可得解.

【詳解】由/(R)+/(2—x)=4,

令x=l,得/(1)=2,

又令x=0得"2)=3,

再令尸一1,/(-1)+/(3)=4,

又/(一1)=/(1)=2,所以/(3)=2,

又了(工+4)+/(-工-2)=/(工+4)+/(工+2)=4,/(-x)+/(2+x)=/(x)+/(2+x)=4,

所以f(x+4)="x),4為f(x)一個(gè)周期，/(4)=/(0)=1,

2Q24

即W/(，)=/(0)+506x[/(l)+/(2)+—3)+/(4)]=l+5()6x(2+3+2+l)=4()49,

i=0

故選：A.

」知雙曲線C:=\{a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F，圓O:Y+丁=/與。的漸近線在第二象限的

交點(diǎn)為P,若tanNQO=&，則。的離心率為（）

A.2B.拒C.3D.75

【答案】C

【解析】

_b2

【分析】由‘'二一￡'解得「（_工,或），根據(jù)三角函數(shù)的定義知sin/POb=2,cos/PO/二一@,

X2,+y2=a2ccCC

利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得cos/尸尸0二且，sinZFPO=—^由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式和正

33

弦定理計(jì)算可得2=2a,結(jié)合離心率的概念即可求解.

a

【詳解】如圖，由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=-&x,

a

,a2b2

X=~

由三角函數(shù)的定義知sin/POF=-,cosZPOF=,

cc

又tanNFPO=&且顯然NFPO為銳角，sinNFPO=&cosN尸PO，

又sii?NFPO+8s2NFPO=l,解得cosNFPO=叵,sinZFPO=—，

33

則sinNPFO=sin(ZOPF+NPOF)=^yx^--^+^x-=痘,

\OP\\OF\

在二POF中，由正弦定理可得即yj3b—y/6(l\/6?

sinZPFOsinZOPF

化簡(jiǎn)得2=2血，所以。的離心率為e=￡=、15=3.

故選：C.

8.如圖，正四面體ABCO的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E在四面體ABCD外側(cè)，且△AED是以E為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形.現(xiàn)以A力為軸，點(diǎn)E繞4D旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)三棱錐E—BCD的體積最小時(shí)，直線CE與平面

3CD所成角的正弦值的平方為（）

2-&

A.-

36

【答案】D

【解析】

【分析】取中點(diǎn)凡取AO中點(diǎn)M,確定點(diǎn)E的軌跡，從而結(jié)合三棱錐￡一8。￡）的體積最小，確定￡

點(diǎn)所處位置，進(jìn)而作出直線CE與平面8CO所成角，解三角形，求出相關(guān)線段長(zhǎng)，即可求得答案.

【詳解】在正四面體A8CO中，取3c中點(diǎn)凡連接OF,A/，則。尸二A尸，

取4。中點(diǎn)M,連接產(chǎn)則

是以上為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，正四面體A8CO的棱長(zhǎng)為2,

則且EM=!A￡>=1,

2

C

點(diǎn)E繞AD旋轉(zhuǎn)一周,形成的圖形為以M為圓心，以=1為半徑的圓,

設(shè)該圓與MF的交點(diǎn)為耳，當(dāng)三棱錐E-BCD的體積最小時(shí)，即E點(diǎn)到底面BCQ的距離最小,

即此時(shí)七點(diǎn)即位于用處，

因?yàn)檎拿骟wABCO的棱長(zhǎng)為2,則OF=A￡=G，

又AO中點(diǎn)為M,則FM=J/尸2一分"2=五，則在；=夜-1,

MD41-

設(shè)點(diǎn)片在底面3c。上的射影為H,則&H=EiF.sinZE,FH=E,F—=\方

又MB=MC,BC中點(diǎn)為F,故MFA,BC,

故&C=《FCXEiFf=712+（V2-1）2=V4-25/2，

由于點(diǎn)E｝在底面8co上的射影為H,故"CH即為宜線CE｝與平面BCD所成角,

（EM?_§（&T）2_3-2&_

故$皿2/巴?！ǘ?/p>

（g。）2（74-25/2）212-67212

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查在四面體中求解線面角的正弦值問(wèn)題，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確空間

的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵在于確定E點(diǎn)的軌跡，從而確定三棱錐E-8C。的體積最小時(shí)E

點(diǎn)的位置，由此作出直線CE與平面BC。所成角，解三角形，求得答案.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知再也是函數(shù)/*）=2sin（ox-弓）（3＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)，且W-無(wú)21的最小值是則（）

71

A./＞）在0,y上單調(diào)遞增

B./＜，）的圖象關(guān)于直線工=一?對(duì)稱

6

C./*）的圖象可由g（x）=2sin2x的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到

6

兀

D.。外在-,7t上僅有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】依題意可得了（幻的最小正周期7=兀，即可求出。，從而得到/（X）解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的

性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】由題意可知，函數(shù)/⑶的最小正周期丁二2x工二生，.?.3=2,.?J（x）=2sin（2x—

2co\

,..「八兀］,C兀「兀兀

對(duì)于A,當(dāng)0,—時(shí)，2x--e,

3Jo|_□2

因?yàn)閥=sinx在一上單調(diào)遞增，所以/（1）在0,三上單調(diào)遞增，故A正確:

62JL3_

對(duì)于B,因?yàn)?一二二2sin

V

所以的圖象關(guān)于直線為二對(duì)稱，故B正確；

6

對(duì)于c,將g（x）=2sin2X的圖象向右平移;個(gè)單位K度得至IJ：

6

y=2sin2fx-^l=2sin2彳一三卜/（冗），故C錯(cuò)誤；

,兀,兀5n1\nIT7JE

對(duì)于D,當(dāng)XE—,兀時(shí)，2x——G—,——僅當(dāng)2工一一=兀，即工=—時(shí)，f（x）=o,

2J666612

Tt

即/⑴在~,n上僅有1個(gè)零點(diǎn)，故D衛(wèi)確.

故選：ABD.

10.已知實(shí)數(shù)4/滿足Ovavhvl,則（）

bbl

A.—<------B.a+h>ah

aa-\

0aab

Ca<bD,2-2<\o^a-\og}b

22

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用作差比較法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可判定A錯(cuò)誤，B正確；令/（》）=見土，利

x

用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到等〈竽，進(jìn)而判定C正確；結(jié)合以工）=2、-1。8：%在（0,+8）上單調(diào)

遞增，可判定D正確.

bb-\a-b八

【詳解】對(duì)于A中，由OvavOvl,可得--------=----->0,所以A錯(cuò)誤：

aa-\。(。一I)

對(duì)于B中，由。+b-ab=a+b(l-a)〉。，則。+/?>出?，所以B正確；

對(duì)于C中，令/(幻=叱，可得/(1)=上坐，

xx~

當(dāng)0cx<e時(shí)，,f(x)>0,八幻單調(diào)遞增，

因?yàn)镺vavbvl,則，3)</S),所以皿〈效，即Zdnacaln瓦IndvlnZ/',

ab

所以dvb"，所以C正確；

對(duì)于D中,由函數(shù)g(?=2'Tog產(chǎn)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

2

因?yàn)镺vavbvl,則g(a)<gS),即才-og/<2"-log*,

22

所以2“一2”<10gla-log，Z?,所以D正確.

22

故選：BCD.

11.橢圓C:工+￡=1(機(jī)>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，K,則下列說(shuō)法正確的是()

4m~

A.過(guò)點(diǎn)鳥的直線與橢圓。交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8

B.若C上存在點(diǎn)尸，使得西?西=0,則小的取值范圍為伍,夜］=［20,+8)

C.若直線h-丁+1=0與C恒有公共點(diǎn)，則加的取值范圍為［1,+8)

D.若加=1,尸為C上一點(diǎn)，。(一1,0),則歸。|的最小值為半

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合焦點(diǎn)所在的位置分析判斷；對(duì)于B：分析可知當(dāng)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，

/耳尸鳥最大,此時(shí)與《工，分類討論焦點(diǎn)所在位置分析求解;對(duì)于C：因?yàn)橹本€依-y+l=0過(guò)定點(diǎn)(0,1),

a22

可知定點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)或橢圓上，列式求解即可；對(duì)于D：設(shè)P(2cos6,sinS，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)

合二次函數(shù)分析求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)八：由橢圓定義可得AAB片的周長(zhǎng)為

M周+忸周+|4叫=|A制+忸耳|+M閭+忸閭=4a，

但焦點(diǎn)不一定在x軸上，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若PE-*=O,則尸耳JLP/。

當(dāng)戶位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，/62巴最大，此時(shí)cosNOPK?cos450="，

12

可知24正，即

a2a2

當(dāng)0cm<2時(shí)，由工《,，解得0cm<加；

42

41

當(dāng)m>2時(shí)，由—yV—>解得m>2夜：

綜上所述：陽(yáng)的取值范圍為(。,夜]=[2尤,+8),故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€區(qū)-)，+1=0過(guò)定點(diǎn)(0,1),則工41,即WN1,

〃廣

又因?yàn)槎?,且加>0,所以加的取值范圍為[1,2)D(2,+8),故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于選項(xiàng)D：若m=l,即橢圓C：工+y2=],

4

設(shè)P(2cose,sin，)，可得|PQ\=^(2cos^+l)2+sin2=^3^cos^+-|+-|，

當(dāng)8盼=一，時(shí)，IP。％小半，故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的三種解法

(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；

(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解;

(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知夕t(。,萬(wàn))，tan(e+])=-§tan0,則tan28=.

【答案】一3]

4

【解析】

【分析】利用兩角和差的正切公式計(jì)算tan9=-,，再使用二倍角的正切公式即可.

2

詳解】由lan(o+：=——tan0,

I4；3

jr

且外(02)，

2

…tanO+12八

得-------=一一tan<9,

1-tan3

整理得2tan2?—5tan?—3=0,

解得tan。=一，(舍)或tan，=3,

2

2tan夕2x33

所以tan20=2=

1-tai?。1-34

3

故答案為：---

13?在"3c中，若B4BC=CAC8=34C?A8，則

【答案】逅

3

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得|區(qū)4]=歸可和BA[；CB+]CA)=O,設(shè)。為線段AB上靠近A的四等分點(diǎn),

47

得到CD_LAB，設(shè)AO=1,求得。/區(qū),BC=2倔，即可求解.

【詳解】由BA-3C=C4CB，可得3c(8A+C4)=0,

即(8A+AC)?(BA—AC)=0,可得所以,《=|。勾，

又由BA-8C=3A/AB，可得B/V(8C+3AC)=0,即BA｛；CB+QCA)=°,

設(shè)。為線段AB上靠近A的四等分點(diǎn)，則CO_LA3，

構(gòu)造函數(shù)，(%)=枉"則/'(x)=(x+l)e)

不等式等價(jià)于/（八一2）>/[in[―^―力，

易知當(dāng)In）<0時(shí),原不等式顯然成立；

當(dāng)ln|":"NO時(shí)，易知戶"）>0在工￡[0,長(zhǎng)o）上恒成立，即函數(shù)〃/）=把、在[0,+8）上單調(diào)遞

Ie/

增，

所以x-2>ln（竺二,可得〃<_?_；

Ie2Jx-2

令g（x）=2,則g，（加W，

所以可得g（x）在（2,3）上單調(diào)遞減，在（3,上單調(diào)遞增，

即g（力在x=3處取得極小值，也是最小值g（3）=e3,

因此可得0<〃<e3；

即4的取值范圍為（0簿3）.

故答案為：（0,。3）

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，常用的方法是將不等式通過(guò)合理變形并根據(jù)已知條件

利用函數(shù)同構(gòu)思想進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性求出相應(yīng)最值即可得出結(jié)論.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.設(shè)數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知％=6,〈今｝是公差為2的等差數(shù)列.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

41?

⑵若勿=-----,設(shè)數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和7；,求證：一可七.

凡〃〃+1156

【答案】（1）an=4w+2

（2）證明見解析

【解析】

s

【分析】⑴由毒是公差為2的等差數(shù)列’求得S-i+2),結(jié)合q"的關(guān)系，即可求

解;

411求得《=，一」7,結(jié)合(=，一」7關(guān)于〃單調(diào)

(2)由(1)知2

〃〃“”+1471+24〃+664〃+664〃+6

遞增，以及丁二＞0,即可求解.

472+6

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?=6,所以息=二二2,

1+21+2

Ss

又因?yàn)椋枪顬?的等差數(shù)列，所以上J=2+(〃—l)x2=2〃，即S“=2〃(〃+2),

l〃+2j〃+2

當(dāng)時(shí)，4=S”-S“_]=2〃(〃+2)―2(〃-1)(〃+1)=4〃+2,

又由4=6,適合上式，所以數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為q=4〃+2.

【小問(wèn)2詳解】

證明：由(1)知包

atlan+l(4〃+2)(4〃+6)414〃+24〃+6J4〃+24〃+6

+P--

14〃+24/i+6J64/2+6

又由r-T=-------------------=---------------＞o

n+,“4〃+64n+10(4〃+6)(4〃+10)'

所以。=!一”7關(guān)于〃單調(diào)遞增，所以北二看=］，

又因?yàn)榱恕龆?,所以7■=＜］所以白包

16.在平時(shí)的日常生活中游泳對(duì)鍛煉身體有很多的好處，大致有以下幾個(gè)方面：

一、游泳可以讓身體更加苗條，達(dá)到減肥的效果；

二、游泳能夠增加人體的肺活量，提高人體的呼吸系統(tǒng)能力，也可以預(yù)防心胸血管系統(tǒng)疾病，包括冠心

病、不穩(wěn)定型心絞痛以及腦血栓等疾??；

三、游泳可以保護(hù)關(guān)節(jié)，讓關(guān)節(jié)避免受到損傷.

下面抽取了不同性別的高中生共100人，并統(tǒng)計(jì)了他們游泳的水平如下表：

合格不合格合計(jì)

男性1050

女性20

合計(jì)70100

（1）根據(jù)此表依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷：是否可以認(rèn)為高中生游泳水平與性別有關(guān)？

（2）游泳教練從成績(jī)不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生進(jìn)行游泳示范指導(dǎo).已知經(jīng)過(guò)一段時(shí)

間指導(dǎo)后，女生成績(jī)合格的概率為男生合格的概率為:，求這3人經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后成績(jī)合格總?cè)藬?shù)X的

32

分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：①相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：

a0.100.050.10

6635

X。2.7063.841

②2二世加一,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【答案】（1）高中生游泳水平與性別有關(guān)

（2）分布列見解析，E（X）=%

【解析】

【分析】（1）完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；

（2）依題意，X的所有可能取值為0，I，2,3,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即

可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.

【小問(wèn)1詳解】

完成表格如下：

合格不合格合計(jì)

男性401050

女性302050

合計(jì)7030100

零假設(shè)“o：高中生游泳水平與性別無(wú)關(guān),

2=100x(40x2。-30x10)2。4J62>"4I=毛。，

70x30x50x50005

依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們有充分的理由認(rèn)為“。不成立，即高中生游泳水平與性別有關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

依題意，X的所有可能取值為0，1，2,3,

P(x=o)=(i-|]x(W，

P(x=i)=c>|^i-|X1-{L2)215

+1——X=

13J2185

D0、1(C1-Yxfi-

p(X=2)=C；x-1一一x-+-

23(3J2(3JI1)189'

(2V12

P(X=3)=—x—=—,

⑴29

所以X的分布列為：

X0123

1542

P

T8?899

數(shù)學(xué)期望E(X)=0X2+1X』+2X3-3xZ=U.

1818996

17.如圖，在矩形紙片A8CO中，AB=4,BC=2,沿AC將△4DC折起，使點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)P的位

置，點(diǎn)P在平面ABC的射影”落在邊43上.

(1)求AH的長(zhǎng)度;

(2)若“是邊PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角余弦值為立?

4

若存在，求CM的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.

Q

【答案】(1)1(2)-

【解析】

【分析】(1)利用投影性質(zhì)以及線面垂直性質(zhì)可得AC_L￡7/,再利用三角形相似可求得A4=1；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CM=/LCP,X并根據(jù)坐標(biāo)分別求得平面與平面P3C的法

2Q

向量，由兩平面夾角的余弦值列方程解得a二；,可得CM二；.

33

【小問(wèn)1詳解】

作尸EJ_AC,垂足為E，連接￡7/,如下圖所示：

由點(diǎn)P在平面ABC的射影H落在邊A3上可得PH_L平面ABC，

又ACu平面A8C，所以?"J_AC,

因?yàn)镻HcPE=E，且P”,PEu平面尸"E，

所以ACJL平面P//E,

又即u平面尸;山，所以ACJ_EH,

又因?yàn)?5CD為矩形，ABJ.BC，可得aABCMEH,

由AB=4,BC=2可得4尸=2,尸。=4,4。=2逐，

所以P￡=AP，'C=生叵,AE=[AP2-PE2=也；

AC55

AFAR2正、,-/7

由二A5C-AAEH可得二—=一二，即A〃5'

AHACAH=------------=—-------------=1

AB4

即A”的長(zhǎng)度為1.

【小問(wèn)2詳解】

根據(jù)題意，以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)”且平行于8C的直線為y軸，分別以7所在直線為x,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則A(—1,0,0),尸(0,0,6),8(3,0,0),C(3,2,0),并設(shè)CM=%CP,；l￡[(M],

可得CM=2C戶=2(—3,—2,6)=(-32,-22,&),所以M(3—342—22,血)；

易知A8=（4,0,0）,用8=（34,2；1—2,-&）,P8=（3,0,—G）,8C=（0,2,0）,

設(shè)平面4MB的一個(gè)法向量為比=（x，y”zj,

ABm=4x.=0廠

所以'、廠，解得x=0,取x="l，則4=24—2,

MB-m=32X]+（24—2）y1—6Azi=0

即血=（0,&,2"2）,

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為"=(%,%/2)，

PBn=3x2-y/3z.=0廠

所以,解得必=0,取為=1,則馬=6,

BCh=2y2=0

即萬(wàn)二(1,0,6卜

因此可得|cosin,n|-?。ㄒ灰籮呼T一毛,整理可得34,一84+4二0,

|向|〃|2xV7/l2-8/l+44

2

解得4=2(舍)或4=大；

3

因此CM=尸，即可得|CM8

3

Q

所以CM的長(zhǎng)度為；.

3

18.已知平面上一動(dòng)點(diǎn)尸到定點(diǎn)廠(0,1)的距離比到定直線y=-2024的距離小2023,記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為

曲線G.

(1)求C1的方程;

(2)己知直線、="+1伏。0)與曲線G交于M,N兩點(diǎn)，7是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線＞=一1

上，且47垂直于方軸.設(shè)點(diǎn)8在拋物線。2：丁=一/—1上，BP,8Q是G的兩條切線，P,。是切

17Mli77Vl

點(diǎn).若AB//MN,且A,8位于y軸兩側(cè)，求17P的值?

【答案】(1)丁=4)，

Mai

\L）——1

\TP\\TQ\

【解析】

【分析】(I)根據(jù)題意，利用拋物線的定義，得到戶的軌跡是以定點(diǎn)尸(0,1)為焦點(diǎn)，定直線y=-l為準(zhǔn)

線的拋物線，即可求解；

⑵設(shè)^（冷乂卜義仁,％），聯(lián)立方程組，切點(diǎn)玉+勺=必④超二-4，得到A（22,-1）,由

ABUMN,得到AB的方程為y=米-2二-1,聯(lián)立方程組，求得8（-2k-4公一1）,再求得點(diǎn)

（不，為）處的切線方程與X-2），-2%=。,設(shè)尸（七,％），。（%，％）,得到。（七，%）與。（王，乂）處的切線

方程，根據(jù)兩條切線都過(guò)點(diǎn)B,求得尸。的方程依+y-4公一1二0,再由7（2七2%2+1）,得到

17Mli77V|=；|MN「，聯(lián)立方程組，結(jié)合17Plp0=_7P.TQ,列出方程，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)P（x,y）是所求軌跡G上的任意一點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)P到定點(diǎn)F（0,l）的距離比到定直線y=-2024的距離小2023,

所以點(diǎn)P到定點(diǎn)/（0/）的距離與到定宜線y=T的距離相等，

由拋物線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以定點(diǎn)尸（0,1）為焦點(diǎn)，定直線＞=-1為準(zhǔn)線的拋物線,

所以G的方程為f=4y.

【小問(wèn)2詳解】

聯(lián)立方程唯V=一kx廠+1整理得人*4=。，

則A=16攵2+16>0且玉+/=4憶玉%2=-4,

所以％+%=%（%+々）+2=4/+2,1，

lo

所以T（2無(wú),2〃+1）,則A（2Z,T）,

因?yàn)锳B//MN,所以直線AB的方程為y+l=A（x—2Q,即y=H-2公-1,

y=kx-2k2-},,

聯(lián)立方程組，，整理得V+奴—2/=0,解得x=—〃或x=

y=-x-

又因?yàn)锳8兩點(diǎn)位于>軸兩側(cè)，可得B（-2k,-4公一1）,

設(shè)點(diǎn)（為,%）在拋物線C1上，又由f=4y,可得/=1%,則y'l.『二；7），

22

則在G點(diǎn)（為,%）處的切線方程為丁一兒=；/（工一飛），整理得依-2丫-2%=0,

設(shè)?（七，y3），。（工4，/）,則C|在尸（馬,均）與。（工4，乂）處的切線方程分別為：七“一2y一2%=。與

x4x-2y-2y4=0,

又由兩條切線都過(guò)點(diǎn)3,則到一2%）—2（T22-］）—2必=0，x4（-2A:）-2HF-l）-2y4=0,

則直線PQ的方程為（―2Qx-2（=1公-l）-2y=0,即米+y-4公一1=0,

由7（2匕2^+1）,點(diǎn)7的坐標(biāo)適合方程丘+y—4公一1=0,所以點(diǎn)了在直線尸。上，

又由「是線段MN的中點(diǎn)，可得17Mli7N|=；|MN「，

因?yàn)閨MN|=,1+,21（X+引2_4中2=4儼+1）,MiJ|7M||77V|=4①+1）\

kx+y—^k2-1=0.，

聯(lián)立方程組〈，），整理得f+4日一16公一4=0，

x=4），

可得A'=8022+i6>0且七+兒=一166一4,

|研|丁。|=一%照=一（七一2%,為一222—1）.（々一2%,”一222-1）

=一（%3-22）（%-2攵）一（必一2二一1）（”一2攵2-1）

=-（x,-2Zr）（x4-24）一（2*_仇）（2&2一您）

=_（1+/）七七+2攵（1+二）（七+匕）一422（1+公）

=一,2+1）［七七一2%（七+X4）+4公］

=—代+1）［-16k2-4—22（-4%）+4W=4伏2+1）2,

所\TP\\TQ\'

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決拋物線問(wèn)題的方法與策略：

1、涉及拋物線的定義問(wèn)題：拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離（拋物線上的點(diǎn)到焦