人教版高中數(shù)學(xué)必修一《對數(shù)函數(shù)》預(yù)習(xí)導(dǎo)航學(xué)案

2.2對數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)導(dǎo)航

課程目標學(xué)習(xí)脈絡(luò)

1.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的基本性質(zhì).

T概念1

2.掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化，能應(yīng)用對數(shù)的定義和性質(zhì)解方|對數(shù)卜T對數(shù)的性質(zhì)

程.U性質(zhì)的應(yīng)用

一、對數(shù)

名師點撥對對數(shù)的理解：

(1)對數(shù)式10g”可看作一種記號，表示關(guān)于X的方程a'=Ma>0,且aWl)的解；也可

以看作一種運算，即已知底為a(a>0,且aWl),幕為“求幕指數(shù)的運算，因此，對數(shù)式

logW又可看作幕運算的逆運算.

(2)用指數(shù)式來理解對數(shù).對數(shù)式6=log/表達的意義是成=及指數(shù)式、對數(shù)式中各個

字母的名稱變化如下表：

名稱

式子

aXN

指數(shù)式a=N底數(shù)指數(shù)暴

對數(shù)式X=10gJV底數(shù)對數(shù)真數(shù)

(3)對數(shù)記號log/中，a>0,且a#l,40.

因為在中，a>0,且aWl,所以在10gsy中，a>0,且a#l.

又因為正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)，即a">0(a>0),故4a">0.

(4)并不是所有的指數(shù)式都能直接改寫成對數(shù)式，如(一2y=4不能寫成logT4=2,只

有在a>0,且aWl,八>0時，才有a"=g6=log』

(5)因為對數(shù)式與指數(shù)式實際上是同一關(guān)系的不同表示形式，所以可以將對數(shù)問題轉(zhuǎn)化

為指數(shù)問題來解決.

自主思考alogJV=JV(a>0,且a#l)成立嗎？

提示：成立.這是因為：由得x=log/將x=logj代入a"="得alogJV=N

二、常用對數(shù)和自然對數(shù)

1.常用對數(shù)：通常我們將以坨為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把logiW記為””

2.自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)，以之為底

的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把log一記為InJK

2.2對數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)導(dǎo)航

課程目標學(xué)習(xí)脈絡(luò)

1.掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，并能運用運算性質(zhì)化簡、求值.H運算性質(zhì)1

2.了解對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用.1對數(shù)的運算1--1換底公式?

3.初步掌握對數(shù)在生活中的應(yīng)用.U應(yīng)用I

一、對數(shù)的運算性質(zhì)

條件a>0,且aWl,M>0,N>Q

10ga(M)=10ga-10ga〃

M

性質(zhì)loga--=logJ/—logJV

Na

loga"=HogJ/(〃￡R)

名師點撥對對數(shù)的運算性質(zhì)的理解：

(1)利用對數(shù)的運算性質(zhì)可以把乘、除、乘方的運算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘運算，反

之亦然.

(2)對于每一條運算性質(zhì)，都要注意只有當式子中所有的對數(shù)都有意義時，等式才成立.

(3)能用語言準確敘述對數(shù)的運算性質(zhì)

log式〃?M=logMTogJV—-積的對數(shù)等于對數(shù)的和.

M-

log—=loga〃一logjv1"商的對數(shù)等于對數(shù)的差.

aN

logJ/=/71oga〃(AeR)―?真數(shù)的〃次辱的對數(shù)等于對數(shù)的77倍.

自主思考若弘“同號，則式子loga(〃，初=logj/+log/成立嗎？

提示：不一定成立.如logz[(—2)X(―7)]是存在的，但log2(-2)與log2(-7)是不存

在的，故log2[(-2)X(—7)]￥log式-2)+log2(—7).

二、換底公式

logb

logaZ>=----(a>0,且aWl；c>0,且cWl；6〉0).

log4

名師點撥1.用換底公式推得的兩個常用結(jié)論：

(1)log/?log,a=l(a>0,且aWl；6〉0,且6#1)；

(2)logbn=一logZ?(a>0,且aWl；Z?>0；/WO).

amma

2.換底公式的作用是把不同底的對數(shù)化為同底的對數(shù).

2.2對數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)導(dǎo)航

課程目標學(xué)習(xí)脈絡(luò)

1.掌握對數(shù)函數(shù)的概念，會判斷對數(shù)函數(shù).

2.初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).T圖象與性質(zhì)

|對?數(shù)函數(shù)卜1

3.能利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、定點T反函數(shù)|

問題.L[^l]

一、對數(shù)函數(shù)

名師點撥1.對對數(shù)函數(shù)定義的理解:

（1）由于指數(shù)函數(shù)y=a'中的底數(shù)a滿足a>0,且aWl,則對數(shù)函數(shù)尸log.中的底數(shù)

a也必須滿足a>0,且aWl.

（2）對數(shù)函數(shù)的解析式同時滿足：①對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；②對數(shù)的底數(shù)是不等于1

的正實數(shù)（常數(shù)）；③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量X.

2.對數(shù)函數(shù)的圖象:

對數(shù)函數(shù)的圖象，當x趨近于0時，無限接近于y軸，但不相交.

作直線尸1與函數(shù)y=logax的圖象相交，則交點橫坐標為a.

自主思考1函數(shù)y=logax（a>0,且a=l）的圖象與函數(shù)尸log1x（a〉0,且a=l）的圖

a

象有怎樣的關(guān)系？

提示：觀察課本第70頁圖2.2-3知，兩函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.事實上，函數(shù)y=

logaX圖象上任一點尸(x,y)關(guān)于x軸的對稱點*(x,—y)都在函數(shù)y=logix的圖象上,

所以這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.

自主思考2a,6在什么情況下，loga6〉0?什么情況下,logaZ;<0?

提示：觀察對數(shù)函數(shù)圖象知，

當a,6G(1,+8)或a,6e(0,1)時，log/〉0.

當ad(0,1)，力1或a〉l,6G(0,1)時，logaZKO.

二、反函數(shù)

對數(shù)函數(shù)y=log,x(a>0,且aWl)和指數(shù)函數(shù)y=a，(a>0,且aWl)互為反函數(shù).它們的

圖象關(guān)于直線y=x對稱.

名師點撥對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

將對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對比列表如下：

名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)

P=logaX(Z>0,

解析式y(tǒng)=a{a>Q,且dWl)

且己￥1)

定義域(-8,+oo)(0,+°°)

值域(0,+°0)(-8,H-OO)

單調(diào)性當a>l時為增函數(shù)，當0〈a〈l時為減函數(shù)

當a>l時：當a>l時：

若x>0,則p>l；若x>L則y>0；

若x=0,則p=l；若x=l,則y=0；

函數(shù)值的變?nèi)羲?,則0。<1若0〈水1,則水0

化情況當0〈水1時：當0〈水1時：

若￡>0,則0〈y<l；若x>l,則y(0；

若x=0,則y=l；若x=l,則y=0；

若￡〈0,則7>1若0<x<l,則p>0

圖象y=a'的圖象與y=：logd的圖象關(guān)于直線y=x對稱

2.2對數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)導(dǎo)航

課程目標學(xué)習(xí)脈絡(luò)

1.理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小.T比較大小|

2.能利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解簡單的對數(shù)不等式.|i；otiPT解對數(shù)不等式1

3.能解答簡單的對數(shù)綜合問題.口綜合應(yīng)用I

一、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)y=loga^（a>0,且aWl）的圖象和性質(zhì)如下表所示:

底數(shù)a>l0<a<l

yJ

y=log4fx六1OaA

圖象

1產(chǎn)1

定義域：（0,+8）

值域：（一8，+8）

當x=l時，y=0,即圖象恒過定點（1,0）

性質(zhì)

當x>l時，y<0；當0<木1時，

當x>\時，y>0；當0<水1時，y<0

y>0

在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

二、對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)

對數(shù)函數(shù)尸log,x（a>0,且aWl）的反函數(shù)是尸a"（a>0,且a#4）.

自主思考1函數(shù)y=logax（a>0,且a=l）的圖象與y=log]x（a>0,且a=l）的圖象有

a

什么關(guān)系？

提示：函數(shù)y=log2X與尸log1x的圖象，函數(shù)p=log3X與y=log]x的圖象如圖所

23

示，結(jié)合圖象可知函數(shù)尸logaX（d〉0,且aWl）的圖象與y=log1x（a>0,且aWl）的圖象

a

關(guān)于X軸對稱.

其實y=log1log'=Tog/,因為y=logaX與y=—logaX的圖象關(guān)于X軸

；log」T

a

對稱，所以函數(shù)y=logax與y=logix的圖象也關(guān)于x軸對稱.

a

自主思考2底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響？

提示：在同一坐標系中畫出以下