人教A版數(shù)學(xué)選修1－1課件第一章常用邏輯用語1.1.21.1.3

第一章常用邏輯用語1.1命題及其關(guān)系四種命題四種命題間的相互關(guān)系2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案1自主預(yù)習(xí)學(xué)案自主預(yù)習(xí)學(xué)案漢語是世界上美麗的語言．對于同樣的幾個字、幾個詞，不同的排列方式，往往產(chǎn)生不同的效果．在我們的校園里有著這樣的宣傳語：為了一切的孩子、為了孩子的一切、一切為了孩子，每一種表述有著不一樣的意義．同樣地，數(shù)學(xué)也是美麗的語言，這其中是否也有著同樣的文字，但不同的排列含義不一樣呢？1．一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做__________，其中一個命題叫做_________，另一個叫做原命題的_________.2．一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做___________，其中一個命題叫做_________，另一個叫做原命題的_________.3．一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做_______________，其中一個命題叫做_________，另一個叫做原命題的___________.互逆命題

原命題

逆命題

互否命題

原命題

否命題

互為逆否命題

原命題

逆否命題

4．四種命題的相互關(guān)系5．(1)原命題為真，它的逆命題_________為真．(2)原命題為真，它的否命題_________為真．(3)原命題為真，它的逆否命題_______為真．即互為逆否的命題是等價命題，它們同_________同_________，同一個命題的逆命題和否命題是一對互為_________的命題，它們同_______同______.不一定

不一定

一定

真

假

逆否

真

假

1．(2015·山東文)設(shè)m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(

)A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0[解析]

當(dāng)原命題的條件和結(jié)論分別否定并交換時為逆否命題．D

2．(2016·山東濱州高二檢測)當(dāng)命題“若p，則q”為真時，下列命題中一定是真命題的是(

)A．若q，則p B．若?p，則?qC．若?q，則?p D．若?p，則q[解析]

∵“若p，則q”為真，∴其逆否命題“若?q，則?p”一定為真．C3．(2016·浙江寧波高二檢測)若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則命題q是命題r的(

)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．以上都不對[解析]

同一個命題的逆命題和否命題互為逆否命題，故選C．C4．(2016·浙江寧波高二檢測)命題“對于正數(shù)a，若a>1，則lga>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中，真命題的個數(shù)為(

)A．0 B．1

C．2 D．4[解析]

原命題“對于正數(shù)a，若a>1，則lga>0”是真命題；逆命題“對于正數(shù)a，lga>0，則a>1”是真命題；否命題“對于正數(shù)a，若a≤1，則lga≤0”是真命題；逆否命題“對于正數(shù)a，若lga≤0，則a≤1”是真命題．D5．命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是真命題嗎？證明你的結(jié)論.[解析]

是真命題．證明如下：解法一：∵m>0，∴Δ＝1＋4m>0，∴方程x2＋x－m＝0有實根，故原命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實根”是真命題．又∵原命題與它的逆否命題同真假，∴命題“如果m>0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題也是真命題．互動探究學(xué)案

寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題．(1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(2)正方形的四條邊相等.[思路分析]

此題的題設(shè)和結(jié)論不很明顯，因此首先將命題改寫成“若p，則q”的形式，然后再寫出它的逆命題、否命題與逆否命題．命題方向1?命題的四種形式之間的轉(zhuǎn)換典例1玉[解析]

(1)改寫成“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”．逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．否命題：若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)．逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)．(2)原命題可以寫成：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等．逆命題：若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形．否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．逆否命題：若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形．『規(guī)律方法』關(guān)于原命題的逆命題、否命題和逆否命題的寫法：首先：把原命題整理成“若p，則q”的形式．其次：(1)“換位”(即交換命題的條件與結(jié)論)得到“若q，則p”，即為逆命題；(2)“換質(zhì)”(即將原命題的條件與結(jié)論分別否定后作為條件和結(jié)論)得到“若非p，則非q”即為否命題；(3)既“換位”又“換質(zhì)”(即把原命題的結(jié)論否定后作為新命題的條件，條件否定后作為新命題的結(jié)論)得到“若非q，則非p”即為逆否命題．關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫．〔跟蹤練習(xí)1〕寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題．(1)若x2＋y2＝0，則x、y全為0；(2)若a＋b是偶數(shù)，則a、b都是偶數(shù)．[解析]

(1)逆命題：若x、y全為0，則x2＋y2＝0；否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為0；逆否命題：若x、y不全為0，則x2＋y2≠0.(2)逆命題：若a、b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a、b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a、b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)．

寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷真假.(1)若A∩B＝A，則A?B；(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；(3)若ab＝0，則a＝0或b＝0.[思路分析]

找準(zhǔn)原命題的條件和結(jié)論，依照定義寫出另外三種命題．命題方向2?四種命題的關(guān)系及真假判斷典例2玉(2)逆命題：若兩條直線平行，則它們垂直于同一條直線．真命題；否命題：若兩條直線不垂直于同一條直線，則它們不平行．真命題；逆否命題：若兩條直線互相不平行，則它們不垂直于同一條直線．假命題．(3)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題；否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題；逆否命題：若a≠0，且b≠0，則ab≠0.真命題．『規(guī)律方法』1.由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵是要分清原命題的條件與結(jié)論，尤其是寫否命題和逆否命題時，要注意對原命題中條件和結(jié)論的否定，這種否定要從條件和結(jié)論的真假性上進(jìn)行否定，而不是僅僅加上一個“不”字，為此可根據(jù)“互為逆否關(guān)系的命題同真假”進(jìn)行檢驗．2．當(dāng)一個命題是否定性命題且不易判斷真假時，可通過判斷其逆否命題的真假以達(dá)到目的．〔跟蹤練習(xí)2〕(2016·北京昌平區(qū)高二檢測)如果一個命題的逆命題是真命題，那么以下結(jié)論正確的是(

)A．該命題的否命題是真命題B．該命題的否命題是假命題C．該命題的原命題是假命題D．該命題的逆否命題是真命題[解析]

根據(jù)一個命題的逆命題和否命題同真同假，選項A正確．A我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．

證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.[思路分析]

已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可將自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，本題中條件較復(fù)雜，而結(jié)論比較簡單，故轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題．命題方向3?正難則反，等價轉(zhuǎn)化思想典例3[解析]

原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”證明如下：若a＋b<0，則a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題．∴原命題為真命題．

寫出命題“已知a、b、c、d是實數(shù)，如果a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假.[錯解]

逆命題：如果a＋c＝b＋d，則a、b、c、d是實數(shù)，且a＝b，c＝d.假命題．否命題：如果a、b、c、d不是實數(shù)，a≠b，c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題．[錯解分析]

上述解法沒有弄清命題的條件，將大前提“a、b、c、d是實數(shù)”充當(dāng)了條件．分清命題的條件與結(jié)論典例4[正解分析]

“a、b、c、d是實數(shù)不是條件，是大前提．”[正解]

逆命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，如果a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d.假命題．否命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，如果a≠b，或c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題．C當(dāng)一個命題的真假不容易證明時，常借助它的逆否命題的真假來證明；利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題的等價關(guān)系進(jìn)行判斷．關(guān)于命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否合題、逆否命題的真假性，下列結(jié)論成立的是(

)A．都真 B．都假C．否命題真 D．逆否命題真命題的間接證明典例5D[解析]

原命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”為真命題；逆命題“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”為假命題，因為拋物線的開口也可能向上(a>0)；根據(jù)命題間的等價關(guān)系可知其否命題為假，逆否命題為真．故選D．『規(guī)律方法』由于原命題與其逆否命題是等價的，因此當(dāng)我們證明或判斷原命題感到困難時，可考慮證明它的逆否命題成立，這樣也能達(dá)到證明原命題成立的目的．這種證法叫做逆否證法．1．命題“若a>0，則a>1”的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是(

)A．0 B．1

C．2 D．3[解析]

逆命題：若a>1，則a>0，真命題．否命題：若a≤0，則a≤1，真命題．逆否命題：若a≤1，則a≤0，假命題．故應(yīng)選C．C2．命題“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac<0，則方程無實根