導(dǎo)數(shù)的計(jì)算教案 人教課標(biāo)版

《導(dǎo)數(shù)的計(jì)算》教案

【成功細(xì)節(jié)】

張用談導(dǎo)數(shù)的計(jì)算的方法

本節(jié)內(nèi)容公式和法則比較多，以公式的推導(dǎo)、記憶以及應(yīng)

用為主，重點(diǎn)是基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)

算法則的靈活運(yùn)用，公式的形式多樣，容易引起混淆，并

且公式中往往會有一些條件容易忽略，導(dǎo)致遺漏錯誤.所

以在學(xué)習(xí)時，我認(rèn)為應(yīng)注意以下幾個方面：()要牢記

常數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的求導(dǎo)公式，能用定義法求這些函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)的方法，注意四種常見函數(shù)實(shí)際上就是四種特殊的幕

函數(shù)；()要熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，特別是對數(shù)

函數(shù)/(x)=1pgr0,丫和指數(shù)函數(shù)

年北京市文科狀元張理(

/(xa(?0,次的導(dǎo)函數(shù)的形式，；()熟練掌握

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，注意公式的形式以及前提條件，兩個函數(shù)的和與差的導(dǎo)數(shù)與兩個函數(shù)

積的導(dǎo)數(shù)的形式是不同的；()和(或差)、積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可以推廣到兩個以上函

(年，北京文)已知:(x)是/(>)=；/+2%+1的導(dǎo)函數(shù)，則((-1)的值是

數(shù)的和(差)、積的求導(dǎo)；O在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，一定要先化簡函數(shù)的表達(dá)式，盡量不使用

積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的法則；()若兩個函數(shù)不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)。如,

這個題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則，是一個簡單的小題,

但計(jì)算時要細(xì)心，可先求出導(dǎo)函數(shù)，然后再求導(dǎo)數(shù)值，顯然有公式可得，

22

7(x)=(；/+2*+1)，=(1)，+(2xy+r=X+2,所以/'(—I)=(-l)+2=3.

【高效預(yù)習(xí)】(核心欄目)

“要養(yǎng)成學(xué)生閱讀書籍的習(xí)慣就非教他們預(yù)習(xí)不可”?！~圣陶

【關(guān)注.思考】

【領(lǐng)會?感悟】

.閱讀課本第一一頁，總結(jié)四個常用函數(shù)的

.這四種函數(shù)實(shí)質(zhì)上都是特殊的基函

導(dǎo)數(shù)公式，認(rèn)真閱讀導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程，

數(shù)，它們的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)為黑函數(shù)的指

這四個常用函數(shù)有什么共同的特征，其導(dǎo)數(shù)

數(shù)，指數(shù)為幕函數(shù)的指數(shù)減去所的數(shù)值：

有什么意義？

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在該

細(xì)節(jié)提示：利用導(dǎo)數(shù)的定義求解四種函

點(diǎn)處的切線的斜率

數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對照函數(shù)圖象，把握住導(dǎo)數(shù)的物

理意義和幾何意義；四種常用函數(shù)實(shí)際上都

是募函數(shù)，探討規(guī)律時，應(yīng)把導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)

與某指數(shù)與原函數(shù)進(jìn)行對比.

【精讀?細(xì)化】

【領(lǐng)會?感悟］

.認(rèn)真閱讀教材頁，記住基本初等函數(shù)

.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是我們

的導(dǎo)數(shù)公式，注意各公式之間的聯(lián)系，

求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，要記準(zhǔn)確，

特別注意對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函

記牢，才可能在運(yùn)算過程中不出現(xiàn)

數(shù).

錯誤。例是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用.

細(xì)節(jié)提示:前面四個常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

實(shí)際上就是公式、所對應(yīng)公式，對數(shù)函

數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)形式

不同，應(yīng)注意兩者之間的區(qū)別.

【精讀?細(xì)化】

.認(rèn)真閱讀教材一一頁，識記到數(shù)的運(yùn)

算法則，兩個函數(shù)的和（差）與積的導(dǎo)

數(shù)的形式一致嗎？兩函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)【領(lǐng)會?感悟］

有什么特征？它們成立的前提條件是.深刻理解和掌握到數(shù)的運(yùn)算法

什么.則，在結(jié)合給定函數(shù)自身的特點(diǎn)，

細(xì)節(jié)提示:兩個函數(shù)和（差）與積的導(dǎo)才能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算；理解和

數(shù)的形式是不一致的，特別要注意兩函掌握求導(dǎo)法則與公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律

數(shù)積的導(dǎo)數(shù)，兩函數(shù)上的導(dǎo)數(shù)的特征非是靈活進(jìn)行求導(dǎo)的前提。

常明顯，注意法則成立的前提是兩函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)都存在.

【學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)】（核心欄目）

.基礎(chǔ)知識

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

知識點(diǎn)幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【情景引入】化學(xué)中常用尸”表示不同液體的酸堿性。PH與液體中氫離子的濃度x（單

位：）的關(guān)系是尸"=—lgx。當(dāng)尸”=3時，氫離子濃度的瞬時變化率是多少？

由前面所學(xué)知識可知，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率，物理意義是運(yùn)動

物體在某一時刻的瞬時速度。根據(jù)瞬時變化率的意義，上述問題就是要求函數(shù)y=-Igx在

x=3處的導(dǎo)數(shù)。那么對于函數(shù)y=/（x）,如何求它的導(dǎo)數(shù)？

【探究】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，就是求出當(dāng)Ax趨近于時，電所趨

Ax

于的那個定值?求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖：

()求函數(shù)的改變量Ayj/Xx+Ax)—/(x)；

()求平均變化率包=2十八、一/3；

AxAr

()取極限，得導(dǎo)數(shù)y=/'(x)=口工電.但是由導(dǎo)數(shù)的定義去求太復(fù)雜了。所以我們要去尋

求一種能夠簡單求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。

【思考】對于幾個常見的函數(shù)常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及倒數(shù)函數(shù)，如何求解

它們的導(dǎo)數(shù)？

【引導(dǎo)】顯然要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來求.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖：

O求函數(shù)的改變量Ay=/(x+Ax)-/(x).

()求平均變化率包=/(X+祗)一/(X).

ArAx

()取極限，得導(dǎo)數(shù)y/=/'(x)=lim^.

【探究】函數(shù)y=f(x)=c的導(dǎo)數(shù)

田頭/(x+Ar)—/(x)c—c

AxAvAx

所以yr=lim—=lim0=0

Ar->0Ar-?0

知識拓展

常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，其幾何意義為了(犬)=。在任意點(diǎn)的切線平行于龍軸，其斜率為零。

若y=c表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y'=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為，即一直處于

靜止?fàn)顟B(tài)。(如圖)

【探究】函數(shù)y=/(x)=x的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)榘?/(x+Ar)-/(x)=x+Ar-x=

AxAxAx

圖2

所以y'=lim—=lim1=1

Ax->oArAXTO

知識拓展

y'=l表示函數(shù)3；=尤圖象上每一點(diǎn)處的切線斜率都為.任意一點(diǎn)處的切線都是函數(shù)圖象本身.

若y=x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y'=l可以解釋為某物體作瞬時速度為的勻速運(yùn)動。(如圖)

【例題】在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=2x,y=3x,y=4x的圖象，并根據(jù)導(dǎo)

數(shù)定義，求它們的導(dǎo)數(shù)。

()從圖象上看，它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么？

()這三個函數(shù)中，哪一個增加得最快？哪一個增加得最慢?

()函數(shù)丁=履(4片0)增(減)的快慢與什么有關(guān)？

【解析】結(jié)合函數(shù)圖象，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析。

【答案】函數(shù)y=2x的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)?=/(x+Ax)/(x)=2(x+Ar)-2x=?

AxAxAx

所以y'=lim包=lim2=2；

Ax->oArAx->o

同理可求得函數(shù)y=3x的導(dǎo)數(shù)y'=3；函數(shù)y=4x的導(dǎo)數(shù)

y'=4。

如圖，畫出它們的圖象，

()從圖象上看，它們的導(dǎo)數(shù)分別表示各條直線的斜率；

()在這三個函數(shù)中，y=5x增加得最快，y=2x增加得最慢;

()函數(shù)y=日(&wO)增(減)的快慢與女有關(guān)，當(dāng)女>0時，

k越大，增加得就越快；當(dāng)女<()時，k越小，減小的就越慢.

【探究】函數(shù)y=/(?=f的導(dǎo)數(shù)，y

△y_/(x+Ax)-/(X)_(X+AX)2-X2

囚刃=----------------=-------------

AxAxAx

x2+2xAY+Ax2-x2

=2x+Ar

~Ax

所以y=lim=lim(2x+Ax)=2x

Ax->0A,A.r->0

知識拓展

y'=2x表示函數(shù)y=V圖象上點(diǎn)(樂切處切線的斜率為2x,說明隨著左的變化，切線的斜率也

在變化。另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時變化率來看，y'=2x標(biāo)明：

當(dāng)x<0時，隨著x的增加，函數(shù)y=f減少得越來越慢；

當(dāng)x>0時，隨著x的增加，函數(shù)y=f增加得越來越快。

若函數(shù)y=d表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y=2x可以解釋

為某物體做變速運(yùn)動，它在時刻x的瞬時速度為2x。(如圖)

【探究】函數(shù)y=/(尤)=，的導(dǎo)數(shù)

X

1____1

因?yàn)轶?/(x+Ar)/(x)=(X+AX)2-X2=x+8-x

AxAxAxAx

x-(x+Ar)_1

x(x+Ax)Axx2+xAx

所以/=lim—=lim(----)=--y

e>oAxAXTO廠+x尸

知識拓展

因?yàn)閥=，的圖象是雙曲線，所以圖象上點(diǎn)（x,y）處的切線的斜率隨著x的變化而變化。

X

當(dāng)x>0時，隨著x的不斷增加，切線的斜率由負(fù)值不斷增大，函數(shù)y=，的值減少得越來越慢;

X

隨著X的不斷減小，切線的斜率由負(fù)值不斷減小，函數(shù)y=L的值增加得越來越快;

X

當(dāng)x<0時，與上面情況正好相反.（如圖）

【例題】y=d的斜率等于的切線方程為（）

.2x—y+\=02x—y+l=O或圖4

2x-y-1=0

.2x—y—1=0.2x—y=0

【解析】先求出導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)值等于便可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

【答案】設(shè)切點(diǎn)為（%,%）,

?*yr—（入'）'=2x

力』=2刈個=2%

令2%=2,解得/=1

...切點(diǎn)為（1,1）

.?.切線方程為y—l=2(x—l),即2x—y—l=0,故選.

知識點(diǎn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

知識歸納

.若/(x)=c,則/'(x)=o；

.若f\x)=x"(〃eQ*),則f\x)=nx"-'；

.若/(x)=sinx,則/''(x)=cosx；

.若/(x)=cosx,則r(x)=-sinx；

.若f(x)=a"則/'(x)=a'lna(a>0)；

.若/(x)=e1則/'(x)=e\

.若/(x)=log：，則/'*)=J—(a>0且aHl)；

.若f(x)=Inx,則/'(x)=—?

x

思維拓展

.以上幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，可直接應(yīng)用不必再用定義去求導(dǎo)；

.有些式子不能直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的公式，可以變形之后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式；

.函數(shù)f(x)=x、f(x)=x2,f(x)=-=x-'是函數(shù)/(x)=x"(〃eQ*)的特殊情況，它們的

X

導(dǎo)數(shù)也是/(x)=x"(〃eQ*)的導(dǎo)數(shù)特殊情況；

.函數(shù)/(x)=e*是函數(shù)/(幻=優(yōu)的特殊情況；函數(shù)f(x)=lnx是/(x)=logax(a>0,aw1)的

特殊情況，在記憶或應(yīng)用是要注意對照。

從上面這一組公式來看，我們只要掌握嘉函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了。

【例題】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

()y=F；()y=M°；()y==；()y=\fx.

x

【解析】先把函數(shù)化成基函數(shù)的形式，然后由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可解。

【答案】<)y=7%6；

()y-10%9；

()：y=x-2,-2x-3；

11二

()y=x3,y--x3.

【例題】假設(shè)國家在年期間的年通貨膨脹率為5%,物價p(單位：元)與時間，(單位：年)

有如下函數(shù)關(guān)系：p(r)=〃o(l+5%)'，其中為為r=0時的物價.假定某種商品的為=1,那

么在第個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少(精確到0.01)?

【解析】在第個年頭，這種商品的價格上漲的速度即為函數(shù)在f=10時的導(dǎo)數(shù)值.

【答案】根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有

〃'")=1.05'In1.05.

所以，p(10)=1.05l(,In1.05?0.08(元年)

因此，在第個年頭，這種商品的價格約以0.08元年的速度上漲.

知識點(diǎn)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

函數(shù)的差、積、商的求導(dǎo)法則：

O[/(x)±g(x)]'=f\x)+g\x)

()[cf(x)]'=cf(xy

()[/(x)g(x)],=f\x)g(x)+f(x)g'(x)

()1)='("，彳，)(g(x)*0)

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的實(shí)質(zhì)是可把加、減、乘、除的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的加、減、乘運(yùn)算，從而降

低了運(yùn)算難度，加快了運(yùn)算速度，簡化了計(jì)算方法.以上法則，稱為可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法

則；

說明：牢記公式的形式[/(x)g(x)]'工叫(x)g<x),避免與"(X)土g(x)『=/(X)±g'(X)的

混淆;

知識拓展

.和或差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可推廣到多個；

.若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商(商的分母不為零)必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)不可導(dǎo)，則它

們的和、差、積、商不一定可導(dǎo).

如，設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+Lg(x)=cosx-,，則/(x),g(x)在x=()處均不可導(dǎo)，但它們的和

XX

/(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處可導(dǎo).

【例題】求函數(shù)y=d—2x+3的導(dǎo)數(shù)。

【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則便可求出。

【答案】因?yàn)閥'=-(2x)'+(3)'=3d_2

所以函數(shù)y=V—2x+3的導(dǎo)數(shù)為y=3f-2

【例題】日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增

5284

加.已知將噸水凈化為純凈度為X%時所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)=------(80<x<100).

100-x

求凈化到下列純凈度時，所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率：

()90%；()98%.

［解析】所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【答案】ca)=(關(guān)竺)'

100-x

_5284'x(100-x)-5284x(100-打

(100-x)2

0x(100—x)—5284x(―1)

(100-x)2

5284

(100-x)2

52X4

()因?yàn)閏'(90)=—―~=52.84,所以，純凈度為90%時，費(fèi)用的瞬時變化率是52.84

(100-90)72

元噸;

5284

()因?yàn)閏'(98)=1321,所以，純凈度為98%時，費(fèi)用的瞬時變化率是1321元

(100—98)2

噸.

函數(shù)/(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.有上述計(jì)算可知,

c'(98)=25c'(90)，他表示純凈度為98%左右時凈化費(fèi)用的變化率，大約是純凈度為90%是

凈化費(fèi)用變化的倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的

速度也越快.

.綜合拓展

例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

()y=5-4J?；

()y=3x2+xcosx；

()y=tanx；

()y-exInx；

()y=lgx--V-

x

解析：仔細(xì)觀察和分析各函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，利用求導(dǎo)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的

求導(dǎo)公式，對不直接具備求導(dǎo)法則條件的，可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍?/p>

答案：()y=-i2x2；

()y'-(3x2+xcosx)'=6x+cosx—xsinx；

22

八..sinJC,.sinx.,cosx+sinx1

()y=tanx=----,y=(-----)=------；-----=——；

cosXCOSXCOS-XCOSX

()y=(exlnx\=exx\nx+exx—=eA(lnx+—)；

XX

111」

()y=(igx一一-y=(igx)r-(—)r=———+2x3

廠xxlnlO

例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

()y=x(x2+—+—)；()^=(Vx+1)(—7=—1).

Xxy/x

解析：先把函數(shù)進(jìn)行化簡，然后再利用導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則求解.

答案：(),?*y—x(x24--1—T-)=x3+1H—i-，

XXX

，y—3x2—r-；

x

()*?y=(>/x+1)(-7=-1)=\/~XX--j=—yfxH-7=_1

y/x

=-x2+X2

2=-產(chǎn)*=--

思維技巧

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，必須熟記基本導(dǎo)數(shù)公式，并掌握各種求導(dǎo)法則，會化繁為簡，用簡單的方法求出復(fù)

雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在可能的情況下，求導(dǎo)時應(yīng)盡量少用甚至不用乘法的求導(dǎo)法則.所以在求導(dǎo)之前，應(yīng)對

函數(shù)進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可減少運(yùn)算.

例()求曲線y=sinx在點(diǎn)(3,學(xué))處切線的斜率；

0物體運(yùn)動方程為5=1/-3,求當(dāng)r=5時物體運(yùn)動的瞬時速率.

4

解析：答案本題帶有導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的味道,必須從導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義入手.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)

數(shù)為曲線的切線的斜率。運(yùn)動方程在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為物體運(yùn)動的瞬時速度。

答案：()k=y\=cosx|兀=1；()u=s'|5=/|=125.

Z

X=-3X=—3乙

思維技巧

.利用公式求得的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是導(dǎo)數(shù)通式，即導(dǎo)函數(shù)，而不是某點(diǎn)處的具體導(dǎo)數(shù)，要把某點(diǎn)橫坐

標(biāo)不代入，方可求得此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/'(%)。

.求曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，方法有很多種，可以利用函數(shù)/(外在》=%,處的導(dǎo)數(shù)的定義求,

可以用導(dǎo)數(shù)的定義求，也可以用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求，但在這些方法中，以后者為最佳方法，所以,

要熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

例.已知拋物線y=o?+笈+。通過點(diǎn)p(i,i),且在點(diǎn)Q(2,—1)處與直線y=x-3相切,

求實(shí)數(shù)。，&c的值.

分析:解決問題的關(guān)鍵在于理解題意,轉(zhuǎn)化、溝通條件與結(jié)論,將二者統(tǒng)一起來.題中

涉及三個未知數(shù)，題設(shè)中有三個獨(dú)立條件，因此，通過解方程組來確定參數(shù)a、b.c的值

是可行的途徑.

解：?.?曲線y=分?+法+c通過點(diǎn)P(l,l)

.?.a+b+c=l①

y-2ax+b,

??yIv=2=4。+h.

，4。+Z?=1.②

又曲線過Q(2,—l)點(diǎn)，???4a+2b+c=-l.③

聯(lián)立①②③解得。=3,b=—ll,c=9.

例：已知產(chǎn)（―1,—1）、。（2,4）是曲線y=f上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y=f的

切線方程.

解析：此題的關(guān)鍵問題是求切點(diǎn)的坐標(biāo)，方法就是利用y=x"的導(dǎo)數(shù)求解，做題時要注

意總結(jié).

答案：y=f的導(dǎo)數(shù)為y=2x,設(shè)切點(diǎn)M?,%），則力『,=2%.

?.?直線PQ的斜率左=巖=1,又切線平行于直線PQ,

?,?%=川產(chǎn)&=2%=1

解得：x=—

02

...切點(diǎn)為M

24

切線方程為=，即4x—4y—l=0.

例.求過曲線y=cosx上點(diǎn)P（j,萬）且與過該點(diǎn)的切線垂直的直線方程。

解析：可直接利用求導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求過P的切線的斜率，再根據(jù)垂直關(guān)系得到所求直線

斜率.

答案：Vy=cosx

y'=—sinx

y'\"=-5嗚=—咚

32

2

過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為7,

所求直線方程為y—4=2（X-工），即為2x—也y-互+且=0.

-2G3■32

易錯點(diǎn)：注意（cosx）'=—sinx中符號為負(fù).

3萬

例已知函數(shù)丁=44111+8的圖象過點(diǎn)A（0,0）、8（3,一1）,試求函數(shù)過原點(diǎn)的切線方

程.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和8,所以A和B的坐標(biāo)滿足函數(shù)的方程，從而求出參

數(shù)。,方，得到函數(shù)解析式.這一過程體現(xiàn)了方程思想，在解題時，要注意思考、體會.

3乃

答案：?；y=asinx+b的圖象過點(diǎn)A（0,0）、

0=asinx+8

ci—\

3%，解得＜

-l=asin-----\-hb=0

I2

/.y=sinx

又；y'=cosx,所以y'Lo=l.

???切線方程為了=乩

【作業(yè)】

□課堂作業(yè)

.(知識點(diǎn))下列運(yùn)算正確的是

.(or2-bx+c)r=a(x2)'+b(-x)'

.(sinx-2x2/=(sinx)r-(2/(x2)'

.(cosx)f=(sinx)'cosx+(cosx)fcosx

cosx,(cosx)r-(x2/

2-)

Xx2

.（知識點(diǎn)，）若/（幻=sina-cosx,則/'（a）等于（）

?sina.cosa.sina+cosa?2sin。

.(知識點(diǎn)，)/(》)=/+3尤2+2,若/(—1)=4,則。的值等于()

19161310

TTTT

.(知識點(diǎn)，)y=cotx的導(dǎo)數(shù)是

11、.，11

?y~sirrx-y~cos2-x?y~s~in2-x-y-cos2-x

.(知識點(diǎn)，)曲線/(x)=d+x-2在Po處的切線平行于直線y=4x-1,則Po點(diǎn)的坐標(biāo)

為()

.（1,0）.（2,8）

.（1,0）和（一1,-4）.（2,8）和（一1,-4）

.（知識點(diǎn)）若/（幻=尤3,/（/）=3,則毛的值為;

.（知識點(diǎn)，）曲線y=/—4x在點(diǎn)（1,一3）處的切線傾斜角為;

.（知識點(diǎn)，）求函數(shù)y=（l+cos2x）3的導(dǎo)數(shù)。

□課后作業(yè)

.（知識點(diǎn)，）設(shè)y=—2e*sinx,則y'等于（）

.-2excosx.-2exsinx.2exsinx.-2ev（sinx+cosx）

.（知識點(diǎn)，）若函數(shù)/（xXf+fex+C的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f（x）的圖象是（）

.（知識點(diǎn)，）已知曲線y=上一點(diǎn)M處的切線與直線y=3—x垂直,則此切線方程

只能是

.5x+5y—4=0.5x—5y—4=0.5x—5y+4=0.5x-5y±4=0

.（知識點(diǎn)，）拋物線y=d上的點(diǎn)到直線x-y—2=0的最短距離為.

.（知識點(diǎn)，）＞=%Y的導(dǎo)數(shù)是.

.（知識點(diǎn)，，）己知/（X）=d+奴+。，g（x）=X2+5+△,又/（2x+l）=4g（x）,且

/'（x）=g'（x）,/（5）=30^g（4）.

.（知識點(diǎn)，，）求函數(shù)y=（2x—3）（x+2）+（3x+l）（l—x）在毛=3處的導(dǎo)數(shù).

□家庭作業(yè)

.（知識點(diǎn)，，）曲線y=V+1上點(diǎn)尸處的切線與曲線y=-2x2—1也相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【作業(yè)參考答案】

課堂作業(yè)答案：

.分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和運(yùn)算法則。熟記公式和法則可見正確。

.f(%)=sinx,f(a)=sina

.f(x)=3ax~+6x,/(-1)=3a-6=4,a=—

cosX

.分析：本題要把y=c。比變形為可用公式和法則的結(jié)構(gòu)。cotx=——，再用除法的

sinx

運(yùn)算法則求其結(jié)果。

.設(shè)切點(diǎn)為《(七。),f(x)=3x2+1,/:=f(a)=3a2+1=4,tz=±1,

把。=一1,代入至d+x-2得Z?=-4；把。=1,代入到/(%)=d+%-2得b=0,

所以《(1,0)和(-1,-4)

?±1/(與)=3/2=3,毛=±1

3,3

9=

?4'二3/一4,左=y|x=1=-l,tan6z=