專題 二次函數(shù)中線段周長最值及定值問題 中考數(shù)學(xué)

專題09二次函數(shù)中線段周長最值及定值問題（八大題型）通用的解題思路：一、二次函數(shù)中的線段最值問題有三種形式:1.平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題:常通過線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式,運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解，求最值時(shí)應(yīng)注意:①當(dāng)線段平行于y軸時(shí),用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo);②當(dāng)線段平行于x軸時(shí),用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo).在確定最值時(shí),函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)確定正確。2.兩條線段和的最值問題:解決這類問題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”,解決這類問題的方法是:作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn),連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn),它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn),其變形問題有三角形周長最小或四邊形周長最小等.【常見模型一】（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，連接AB，與直線L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長。【常見模型二】（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B’，連接AB’,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB’的長。3.兩條線段差的最值問題：解決這類問題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”，解決這類問題的方法是：求解時(shí),先根據(jù)原理確定線段差取最值時(shí)的圖形,再根據(jù)已知條件求解。【常見模型一】（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長射線AB，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB【常見模型二】（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B’，延長射線AB’，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’二、二次函數(shù)中的定值問題一般來說，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問題屬于定量問題，方法采用:1.參數(shù)計(jì)算法:即在圖形運(yùn)動中，選取其中的變量(如線段長，點(diǎn)坐標(biāo))作為參數(shù),將要求的定值用參數(shù)表示出，然后消去參數(shù)即得定值。2.韋達(dá)定理法:當(dāng)涉及到直線(一次函數(shù)圖象或x軸)與二次函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，先聯(lián)立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韋達(dá)定理可得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系，可以將要求的定值代數(shù)式用交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和或積表示，往往會剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問題1．（2024·河南·一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)為拋物線位于第一象限上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求線段的最大值；(3)點(diǎn)，，，，將拋物線向上平移個(gè)單位，若平移后的拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．2．（2024·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2024·山西陽泉·一模）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接，作直線．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，N，試探究線段長的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)H，連接，在點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)H，使以H，C，B為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2024·湖北襄陽·一模）拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊）交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N是經(jīng)過點(diǎn)B的直線上一點(diǎn)，直線軸，交直線BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求線段長度的最大值；②記線段的長度為l，當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍．5．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)求線段的最大值．(3)在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)F，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2024·天津南開·一模）拋物線與y軸交于點(diǎn)且過點(diǎn)，其中，連接．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線解析式和其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)M為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N．求的最大值和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段上，且，連接，，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，直接寫出此時(shí)b的值和點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．（2024·四川南充·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動點(diǎn)，于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BE上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與B重合），過點(diǎn)M作軸于N，是否存在點(diǎn)M，使為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)B．(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求點(diǎn)B坐標(biāo)；(3)設(shè)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)M．交直線于點(diǎn)N．①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，試問：線段的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時(shí)，能構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及等腰的面積．9．（2024·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)，，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是線段上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及；(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使成為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．（2024·湖北恩施·一模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接、，判斷的形狀并說明理由．(3)連接，若點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作于E，求線段長度的最大值；(4)已知，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．11．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖1，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為D，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．12．（2024·安徽黃山·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)M是x軸上位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的一個(gè)動點(diǎn)（含點(diǎn)A與點(diǎn)B），過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)E、點(diǎn)F．求線段的最大值．13．（2024·天津·一模）拋物線（，為常數(shù)，）頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)且平行于軸，為第一象限內(nèi)直線上一動點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)．(1)若，．①求點(diǎn)和點(diǎn)，的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，求的最小值；(2)若，，且的最小值等于時(shí)，求，的值．14．（2024·安徽·二模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F，連接交拋物線于點(diǎn)G，試求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)如圖3，連接，，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，當(dāng)?shù)拈L最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．15．（2024·廣東惠州·一模）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且與軸的正半軸交于點(diǎn)．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．16．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．17．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．題型02利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問題19．（2024·山東棗莊·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)D是線段上的一動點(diǎn)，連接，，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，動點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．20．（2024·廣東廣州·一模）如圖所示，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到何處時(shí)，線段的長度有最大值；(3)點(diǎn)E為直線上一動點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)有最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為______（直接寫出答案）．21．（2024·山東淄博·一模）如圖，已知直線與拋物線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，是軸上一點(diǎn)，連接．(1)求的值；(2)當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若直線交直線于點(diǎn)（點(diǎn)在線段上，不與端點(diǎn)重合），交拋物線于點(diǎn)，連接．設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值．22．（2024·廣東江門·一模）如圖，已知拋物線，與軸交于兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由；(3)在以為直徑的圓中，直線與相切于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求直線的解析式．23．（2024·重慶·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于，，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖2，連接，點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)F，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)將拋物線沿y軸方向向下平移，平移后所得新拋物線與y軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作軸交新拋物線于點(diǎn)M，射線交新拋物線于點(diǎn)N，如果請寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．24．（2024·湖南懷化·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．圖1

圖2

圖3(1)求拋物線的解析式、對稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)Q為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)Q在什么位置時(shí)最小，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的周長；(3)如圖3，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)M，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)N，滿足．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．25．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小．求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．26．（2024·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，拋物線過點(diǎn)，，．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，①當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求證：直角三角形；②求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；③過點(diǎn)P作軸，垂足為N，與交于點(diǎn)E．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．27．（2024·天津津南·一模）綜合與探究：如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且，連接，．(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的最小值為．28．（2024·安徽馬鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在軸正半軸上，且，分別是線段，上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)連接．①將沿軸翻折得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．29．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與軸交于點(diǎn)．(1)填空：_________，點(diǎn)的坐標(biāo)是_________；(2)連接，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合，過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)在(2)中，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，取得最小值時(shí)，如圖，把點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．30．（2024·天津?yàn)I海新·一模）已知拋物線（，為常數(shù)，且），與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，求拋物線的解析式：(3)當(dāng)時(shí)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，垂足為，為直線上一動點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．31．（2024·山東臨沂·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

(1)填空：a＝_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)是______；(2)連接，點(diǎn)M是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過點(diǎn)M作，交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)N作軸，垂足為H，交于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)在（2）中，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，取得最小值時(shí)，如圖2，把點(diǎn)P向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接，把繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．32．（2024·湖北·一模）如圖1，拋物線與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M．(1)直接寫出b，c的值；(2)若，求k的值；(3)若D為上的點(diǎn)，F(xiàn)為上的點(diǎn)，，過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，連接，，如圖2，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．33．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？題型03利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問題34．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與直線都經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線L的對稱軸交于點(diǎn)B．(1)求m的值；(2)求證：；(3)當(dāng)時(shí)，將拋物線L向左平移個(gè)單位得到拋物線P，拋物線P與拋物線L的對稱軸交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)B的下方．過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線P于點(diǎn)N，且點(diǎn)N在點(diǎn)A的右側(cè)，求的最大值，并求出此時(shí)n的值．35．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對稱軸為．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)；求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動點(diǎn)，求的坐標(biāo)以及的最大值．題型04利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問題36．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．37．（2024·天津河北·一模）已知拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，若C點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為(1)求拋物線頂點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，連接，，若將沿所在直線翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對稱軸上，求D點(diǎn)坐標(biāo)；(3)拋物線上點(diǎn)M在直線上方，過M作的垂線交線段于點(diǎn)N，過N點(diǎn)向y軸作垂線，垂足為Q，求的最小值．38．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A，C4,?5兩點(diǎn)，且與直線(1)求拋物線的解析式：(2)P為y軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；(3)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型05利用二次函數(shù)解決三角形周長的最值問題39．（2024·江西·一模）已知關(guān)于的二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線，其最大值是，經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖．(1)在圖1中作二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)；(2)在圖2中二次函數(shù)圖象的對稱軸上找一點(diǎn)，使的周長最短．40．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接．在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否存在使為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．41．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．42．（2023·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線與軸交于和，與軸交于點(diǎn)，連接，．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為直線上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，求周長的最大值；(3)點(diǎn)為拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．43．（2024·山東濱州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求周長的最小值(3)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)m取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．44．（2024·廣東東莞·一模）如題，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)周長最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)是的中點(diǎn)，射線交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交射線與點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．45．（2024·山西晉中·一模）綜合與探究如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．連接，將沿軸向右平移個(gè)單位長度，得到．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式與頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖，連接，當(dāng)周長最短時(shí)，求的值．(3)如圖，設(shè)邊與邊交于點(diǎn)，連接，是否存在，使得與的一邊相等?若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．46．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過、兩點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連結(jié)，求周長的最小值；(3)已知點(diǎn)，連結(jié)，以為對角線作矩形，且矩形各邊直于坐標(biāo)軸．①拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象隨增大而減小，且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2時(shí)，求的值；②連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形為銳角三角形時(shí)，直接寫出的取值范圍．47．（2024·內(nèi)蒙古烏?！つM預(yù)測）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．(1)分別求出，的值和直線的解析式；(2)直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作平行于軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的周長的最大值；(3)在（2）的條件下，如圖，在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．48．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，且交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．題型06利用二次函數(shù)解決四邊形周長的最值問題49．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測）如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是拋物線上、之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)，請用含的代數(shù)式表示矩形的周長，并求矩形周長的最大值．50．（2022·廣西柳州·中考真題）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；(2)如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個(gè)動點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．51．（2023·遼寧丹東·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A?1,0，B5,0

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是位于直線BC上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求△BPC面積的最大值；(3)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)F3,a是該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸、點(diǎn)N在y軸上，是否存在點(diǎn)M、N使四邊形EFMN的周長最小，若存在，請直接寫出點(diǎn)M、點(diǎn)N52．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)?？家荒＃┒魏瘮?shù)y=ax2+bx+3a≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)(1)求a、b的值；(2)P是二次函數(shù)圖像在第一象限部分上一點(diǎn)，且∠PAB=∠OCA，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，有一條長度為1的線段EF落在OA上（E與點(diǎn)O重合，F(xiàn)與點(diǎn)A重合），將線段EF沿x軸正方向以每秒613個(gè)單位向右平移，設(shè)移動時(shí)間為t秒，當(dāng)四邊形CEFP周長最小時(shí)，求t53．（2022·安徽六安·?？家荒＃┤鐖D，直線AB∶y=x-3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)N，頂點(diǎn)為C(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M在線段BN上運(yùn)動，過點(diǎn)M作線段EF平行于y軸，分別交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，作FG⊥CD于點(diǎn)G；①若設(shè)E（t，0），試用含t的式子表示DE的長度；②試求四邊形EFGD的周長取得最大值．題型07利用二次函數(shù)解決線段比最值問題54．（2024·山西太原·三模）綜合與探究如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，直線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求的最大值．(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．55．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，連接直線與軸交于點(diǎn)D，與上方的拋物線交于點(diǎn)E與交于點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在最大值？若存在，請求出其最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)第一象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得中有一個(gè)銳角與相等？若存在，求點(diǎn)P得橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．56．（2024·四川廣元·二模）如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)．，與y軸交于點(diǎn)(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)．①如圖2，連接，若點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，連接，與交于點(diǎn)E，求的最小值；②如圖3，過點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)D，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．57．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，在對稱軸上是否存在點(diǎn)，使是以直角邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)在直線下方的拋物線上，連接交于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．題型08利用二次函數(shù)解決線段定值問題58．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖1，已知二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)，且a≠0)的圖象，與x軸交于，，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)P為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；(3)如圖2，若直線為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交軸于點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)、．在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．59．（2024·天津和平·一模）已知拋物線：（是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過點(diǎn)作軸，軸，分別與直線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線：（是常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)在軸下方的拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動過程中的比值是否為一個(gè)定值?如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由．60．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究過程如下：

(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對應(yīng)值列表如下其中，________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(2)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在圖2中，當(dāng)在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．專題09二次函數(shù)中線段周長最值及定值問題（八大題型）通用的解題思路：一、二次函數(shù)中的線段最值問題有三種形式:1.平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題:常通過線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式,運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解，求最值時(shí)應(yīng)注意:①當(dāng)線段平行于y軸時(shí),用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo);②當(dāng)線段平行于x軸時(shí),用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo).在確定最值時(shí),函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)確定正確。2.兩條線段和的最值問題:解決這類問題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”,解決這類問題的方法是:作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn),連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn),它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn),其變形問題有三角形周長最小或四邊形周長最小等.【常見模型一】（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，連接AB，與直線L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長?！境Ｒ娔Ｐ投浚▋牲c(diǎn)在河的同側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B’，連接AB’,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB’的長。3.兩條線段差的最值問題：解決這類問題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”，解決這類問題的方法是：求解時(shí),先根據(jù)原理確定線段差取最值時(shí)的圖形,再根據(jù)已知條件求解。【常見模型一】（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值方法：如右圖，延長射線AB，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB【常見模型二】（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B’，延長射線AB’，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’二、二次函數(shù)中的定值問題一般來說，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問題屬于定量問題，方法采用:1.參數(shù)計(jì)算法:即在圖形運(yùn)動中，選取其中的變量(如線段長，點(diǎn)坐標(biāo))作為參數(shù),將要求的定值用參數(shù)表示出，然后消去參數(shù)即得定值。2.韋達(dá)定理法:當(dāng)涉及到直線(一次函數(shù)圖象或x軸)與二次函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，先聯(lián)立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韋達(dá)定理可得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系，可以將要求的定值代數(shù)式用交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和或積表示，往往會剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。題型01利用二次函數(shù)解決單線段的最值問題1．（2024·河南·一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)為拋物線位于第一象限上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求線段的最大值；(3)點(diǎn)，，，，將拋物線向上平移個(gè)單位，若平移后的拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)的最大值是(3)或【分析】（1）將，，，分別代入拋物線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）由，當(dāng)時(shí)，，則，，直線的解析式為．設(shè)，則，，求得，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）拋物線向上平移個(gè)單位后解析式為，平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)落在上時(shí)，②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，分別代入即可求解．【詳解】（1）解:將，，，分別代入拋物線得，解得∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖所示:由，當(dāng)時(shí)，，則，，，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，直線的解析式為．設(shè)，則，，∴，當(dāng)時(shí)，的最大值是．（3）解：拋物線向上平移個(gè)單位后解析式為，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)落在上時(shí)，則，解得．②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，，解得；當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，，解得，∴時(shí)，滿足題意．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直線和拋物線的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2),當(dāng)時(shí)，有最大值(3)存在，或【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)；（1）將，，代入，即可求解；（2）利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，即可表示出點(diǎn)E和點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而得出EG再根據(jù)解直角三角形求得EF，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得出答案；（3）分和兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系求得的值，從而求得點(diǎn)G的坐標(biāo)．【詳解】（1）由題意得，∴∴；（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，∵過點(diǎn)，，∴，∴，∴直線的表達(dá)式為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值；（3）存在∵，，的坐標(biāo)為，，∴①當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)的坐標(biāo)為，②當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或3．（2024·山西陽泉·一模）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接，作直線．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，N，試探究線段長的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)H，連接，在點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)H，使以H，C，B為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，直線的表達(dá)式為；(2)線段長的最大值為；(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【分析】（1）令，求得的值，令，求得的值，可求得A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線的表達(dá)式；（2）設(shè)，則，證明，利用正切函數(shù)的定義推出，求得，得到關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）利用勾股定理求得，，作于點(diǎn)，用正切函數(shù)的定義推出，分和兩種情況討論，分別求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的表達(dá)式，與二次函數(shù)的表達(dá)式聯(lián)立求解即可．【詳解】（1）解：令，則，解得，，令，則，∴，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入得，解得，∴直線的表達(dá)式為；（2）解：∵，，，∴，，，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，線段長的最大值為；（3）解：∵，，，∴對稱軸為直線，∴，∴，，，∴，作于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，以H，C，B為頂點(diǎn)的三角形與相似，則分和兩種情況討論，①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，同理求得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立得，解得，（舍去），，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；①當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，∴，解得，∴，同理求得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立得，解得，（舍去），，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角形的面積，勾股定理，正切函數(shù)，解方程，熟練掌握待定系數(shù)法，勾股定理，正切函數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·湖北襄陽·一模）拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊）交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N是經(jīng)過點(diǎn)B的直線上一點(diǎn)，直線軸，交直線BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)Q．①當(dāng)時(shí)，求線段長度的最大值；②記線段的長度為l，當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)①4；②【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，即求出答案；（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，連接，由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，由得到，則，求出m的值，即可得到答案；（3）①求出點(diǎn)N的坐標(biāo)是，再求出直線的解析式為，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，即可求出答案；②證明是等腰直角三角形，，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，則，由得到，根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到m的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得∵拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），∴，當(dāng)時(shí)，，∴（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，連接，由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∵，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是增根，舍去，是分式方程的解，且符合題意，∴，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）①由題意可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)N是經(jīng)過點(diǎn)B的直線上一點(diǎn)，直線軸，交直線BC于點(diǎn)M，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得到，解得∴直線的解析式為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴∴當(dāng)時(shí)，線段長度的最大值為4；②∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵直線軸，∴∵過點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)Q．∴∴，∴是等腰直角三角形，，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)Q．∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，由直線的解析式為，則，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，∴∵線段的長度為l，，∴，即，∴，設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí)，，解得,,即函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖象法解不等式等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)求線段的最大值．(3)在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)F，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，直線解析式為(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，則，則；解直角三角形得到，則，可證明，得到，證明，由勾股定理求出，則，進(jìn)而得到，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)F作交延長線于M，則四邊形是矩形，則，由，得到，，則，根據(jù)，得到，解方程即可得到答案；同理求出當(dāng)點(diǎn)F在x軸下上方時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；在中，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；（2）解；設(shè)，則，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵軸，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)F作交延長線于M，則四邊形是矩形，∴，由（2）得，，，∵，∴，，∴，在中，，∴，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下上方時(shí)，過點(diǎn)F作交于N，同理可得，在中，，∴，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式等等，解（2）的關(guān)鍵在于證明，進(jìn)而把求的最大值轉(zhuǎn)換成求的最大值，解（3）的關(guān)鍵在于分兩種情況，通過全等三角形的性質(zhì)把所需線段轉(zhuǎn)換到一個(gè)直角三角形中進(jìn)行求解．6．（2024·天津南開·一模）拋物線與y軸交于點(diǎn)且過點(diǎn)，其中，連接．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線解析式和其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)M為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N．求的最大值和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段上，且，連接，，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，直接寫出此時(shí)b的值和點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)，有最大值(3)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)A和B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出解析式；（2）當(dāng)時(shí)，寫出拋物線解析式，再將點(diǎn)代入解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出直線的解析式，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，利用銳角三角函數(shù)可求出，過點(diǎn)M作軸與直線交于點(diǎn)E，利用鉛錘法可求出的最大值，根據(jù)，求出的最大值，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題中點(diǎn)A，Q，B，D的坐標(biāo)特點(diǎn)易知軸，，，作關(guān)于對稱的線段，在上截取，根據(jù)對稱性和平行的性質(zhì)有，易證，從而，結(jié)合圖形易知當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最小，即最小，此時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)距離公式寫出，根據(jù)的最小值為，求出此時(shí)的m，進(jìn)而求出點(diǎn)B和的坐標(biāo)，將點(diǎn)B代入拋物線解析式，即可求出b的值，再利用點(diǎn)B和的坐標(biāo)求出直線解析式，將點(diǎn)代入求出n，從而求出，作于H，易求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線的解析式，求出縱坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B坐標(biāo)為，將點(diǎn)和代入得到：，解得，拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，將點(diǎn)代入得，解得或，，，，設(shè)直線為，將代入得，解得，直線解析式為，如圖，直線與x軸的交點(diǎn)為，，，過點(diǎn)M作軸與直線交于點(diǎn)E，，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=，點(diǎn)M坐標(biāo)為；（3）解：點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，軸，，，如圖，作關(guān)于對稱的線段，在上截取，由（2）得，根據(jù)對稱性和平行的性質(zhì)有，，，由圖可知當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最小，即最小，此時(shí)點(diǎn)，，解得（舍負(fù)），此時(shí)點(diǎn)，點(diǎn)，即點(diǎn)和點(diǎn)，將點(diǎn)B代入拋物線解析式，得到，，設(shè)直線解析式為，將點(diǎn)代入，得到，解得，直線解析式為，將點(diǎn)代入得到，，，作于H，則，，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，將代入直線解析式中，得到，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的線段問題，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式等，解題關(guān)鍵是作出相應(yīng)的輔助線，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析．7．（2024·四川南充·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動點(diǎn)，于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BE上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與B重合），過點(diǎn)M作軸于N，是否存在點(diǎn)M，使為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值為．此時(shí)(3)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或【分析】（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求線的解析式，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再用的代數(shù)式表示的長度建立二次函數(shù)求解即可；（3）先求直線BE的解析式，再分三種情況，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）由題意得，解得：．則拋物線的解析式為：；（2）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G當(dāng)時(shí)，，解得或3，∴設(shè)直線的解析式為：，則解得：∴設(shè)點(diǎn)（），則，∴，∵，∴，∴∴，∴．∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為．此時(shí)．（3）在上存在點(diǎn)M，使為直角三角形．拋物線頂點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，∴．設(shè)，①∵，∴，不可能為直角；②當(dāng)時(shí)，則∴軸，則，∴，∴．③當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)F．∵，，∴，又，∴，∴，∴，∴，解得：．∵，∴不合題意，應(yīng)舍去，∴∴綜上所述，為直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，構(gòu)造二次函數(shù)求線段的最值，二次函數(shù)與直角三角形的存在性問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，是中考的壓軸題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，提高綜合運(yùn)用的能力．8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)B．(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求點(diǎn)B坐標(biāo)；(3)設(shè)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)M．交直線于點(diǎn)N．①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，試問：線段的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時(shí)，能構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及等腰的面積．【答案】(1)(2)(3)①線段的長度的最大值為；②點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的面積為；或點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的面積為．【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）令，得，解得：，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為，構(gòu)建二次函數(shù)，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得答案；②求出的垂直平分線的解析式，用方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問題．【詳解】（1），，且點(diǎn)、在拋物線上，∴，解得，該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為；（2）令，得，解得：，；（3）①如圖2中，已知，，∴設(shè)直線所在直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為：，點(diǎn)在拋物線上，且軸，點(diǎn)N在直線的圖象上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，∴，，，當(dāng)時(shí)，線段的長度的最大值為．②解：如圖3中，由題意知，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，又由①知，，的中垂線同時(shí)也是的平分線，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，于是有，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，此時(shí)點(diǎn)在第一象限，在和中，，，，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，此時(shí)點(diǎn)在第三象限，則．綜上所述的面積為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段垂直平分線的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最小值問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．9．（2024·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)，，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是線段上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及；(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使成為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，點(diǎn)，則，得出，利用二次函數(shù)求最值方法進(jìn)一步求解即可；（3）根據(jù)題意，分三種情況①點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)；②點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)分別討論求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，，∴，，∵，∴，把和代入二次函數(shù)中得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：；（2）解：如圖1，∵直線經(jīng)過點(diǎn)和，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為：，∵二次函數(shù)，∴設(shè)點(diǎn)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；；（3）解：存在，∵，∴對稱軸為直線，設(shè)，分三種情況：①點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，∴，解得：，∴；②點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，∴，解得：，∴；③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，∴，解得：或，∴或；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)與幾何最值、動態(tài)問題、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知識，知識點(diǎn)較多，難度一般，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法進(jìn)行推理、探究和計(jì)算．10．（2024·湖北恩施·一模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接、，判斷的形狀并說明理由．(3)連接，若點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作于E，求線段長度的最大值；(4)已知，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)為等腰直角三角形；理由見解析(3)(4)的橫坐標(biāo)為或【分析】（1）利用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，將拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)，求得拋物線解析式；（2）先求出點(diǎn)，然后求出，，，然后根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可；（3）先由拋物線的解析式，求出拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)、、，則直角的各個(gè)內(nèi)角三角函數(shù)值和邊長均可求，且直線的解析式可求，因?yàn)?，可以過作軸與，交于，則可以證得，利用相等的角的三角函數(shù)值相等這個(gè)結(jié)論，得到與的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，可以得到點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的長度，繼而求得的長度，得到一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)的橫坐標(biāo)范圍，討論這個(gè)二次函數(shù)最值問題，在頂點(diǎn)處取得最值，即可解決．（4）根據(jù)題意，可以畫圖，得到可以在軸上方和軸下方兩種情況，先看在軸下方，利用、、三點(diǎn)坐標(biāo)，可以證得，延長交于點(diǎn)，則是一個(gè)直角三角形，構(gòu)造一線三直角模型，可以求得的解析式，從而聯(lián)立與拋物線解析式，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)在軸上方時(shí)，可以先求出關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出直線的解析式，再聯(lián)立直線與拋物線解析式，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線解析式為，代入點(diǎn)，得，，拋物線解析式為：．（2）解：為等腰直角三角形；理由如下：把代入得：，解得：，，∴，∵，，∴，，，∵，又∵，∴為等腰直角三角形．（3）解：如圖，過作軸于，交于，，，，，，令，則，，∵，，，，設(shè)直線為，代入點(diǎn)，得，直線為，∵點(diǎn)在拋物線的圖像，點(diǎn)在直線的圖像上，且點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，∴設(shè)，則，，，，在第一象限，，時(shí)，最大值為．（4）解：①如圖，當(dāng)在軸下方時(shí)，，延長交延長線于，過作軸平行線，過作軸平行線，兩線交于點(diǎn)，過作于，，，，，同理，，，，，，，，又，，，又，，又，，，設(shè)直線為，代入點(diǎn)，解得，直線為，聯(lián)立，，解得或，的橫坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)在軸上方時(shí)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，連接交拋物線于點(diǎn)，可設(shè)直線為，代入點(diǎn)，解得，直線為聯(lián)立，，或，的橫坐標(biāo)為，綜上，的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了線段最值問題，解決關(guān)鍵就是做橫平豎直線，將“斜線段”轉(zhuǎn)化成“垂線段”，利用函數(shù)思想解決最值問題，第三問考查了角的存在性問題，要注意畫圖，分類討論，利用一線三直角模型來解決問題．11．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖1，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為D，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？(3)如圖3，連接，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；(3)或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；（2）先利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為，根據(jù)題意設(shè)，，，則，證明，利用銳角三角函數(shù)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）設(shè)，拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)H，交矩形邊于G，分三種情況：①點(diǎn)O的對稱點(diǎn)恰好落在對角線上時(shí)；②點(diǎn)O的對稱點(diǎn)恰好落在對角線上時(shí)，③點(diǎn)O的對稱點(diǎn)恰好落在對角線的延長線上時(shí)，分別畫出圖形，利用對稱性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等分析求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，將、代入，得，解得，∴直線的表達(dá)式為，∵拋物線上的動點(diǎn)在第一象限，且橫坐標(biāo)為，軸，交直線于點(diǎn)，∴，，∴，∵，軸，∴，又，∴，∴，即，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，則，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；（3）解：∵，∴該拋物線的對稱軸為直線，∵點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)H，交矩形邊于G，則，，，若點(diǎn)O的對稱點(diǎn)恰好落在對角線上時(shí)，如圖，連接，，則垂直平分，即，∴，∴,∴，則，∴，解得，則；若點(diǎn)O的對稱點(diǎn)恰好落在對角線上時(shí)，如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)K，由對稱性質(zhì)得，，∵，∴，則，∴，∵在拋物線對稱軸上，是矩形的對角線，∴K為的中點(diǎn)，則，，∴在中，，∴，∴，則；若點(diǎn)O的對稱點(diǎn)恰好落在對角線的延長線上時(shí)，如圖，過作軸于K，連接交延長線于M，由對稱性質(zhì)得，，，，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，則，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、對稱性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及勾股定理等知識，解答的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．12．（2024·安徽黃山·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)M是x軸上位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的一個(gè)動點(diǎn)（含點(diǎn)A與點(diǎn)B），過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)E、點(diǎn)F．求線段的最大值．【答案】(1)拋物線的函數(shù)解析式為(2)線段EF的最大值為【分析】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，以及兩點(diǎn)之間的距離公式．（1）利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式即可；（2）先求出的解析式，設(shè)，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出關(guān)于的絕對值方程，根據(jù)m的取值范圍分類討論求出的最大值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得．∴拋物線的函數(shù)解析式為（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，把代入，得解得：∴直線的解析式為設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值2．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值13．（2024·天津·一模）拋物線（，為常數(shù)，）頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)且平行于軸，為第一象限內(nèi)直線上一動點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)．(1)若，．①求點(diǎn)和點(diǎn)，的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，求的最小值；(2)若，，且的最小值等于時(shí)，求，的值．【答案】(1)①，，；②的最小值(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短；（1）①求得解析式為，再求頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；②先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂線段最短求出的最小值即可；（2）在上取一點(diǎn)D，使，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，交軸于，交于，連接，，可證明，得到，當(dāng)在上時(shí)，最小，根據(jù)最小值得到，再求出，由對稱求出，再在中根據(jù)求出的值，最后把代入上求出的值．【詳解】（1）①∵，，∴拋物線解析式為，∴頂點(diǎn)為，令，解得，∵拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），∴，；②令，得，∴，∴當(dāng)點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，直線過點(diǎn)且平行于軸，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，令，解得，∴，∴∵當(dāng)時(shí)，值最小，∴是等腰直角三角形，∴，即的最小值；（2）在上取一點(diǎn)D，使，∵，，∴，∴∵直線過點(diǎn)且平行于軸，∴，∵，∴，∴,作關(guān)于的對稱點(diǎn)，交軸于，交于，連接，,∴,∴當(dāng)在上時(shí)，最小，∵的最小值等于，∴，∵，，∴∴，，∴∵作關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴，∴，在中，∴解得或（舍去）；∵在上，∴，∴，解得．14．（2024·安徽·二模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F，連接交拋物線于點(diǎn)G，試求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)如圖3，連接，，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，當(dāng)?shù)拈L最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)出頂點(diǎn)式，將代入求出解析式即可；（2）求出直線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用同角的余角相等和正切值，得到，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，聯(lián)立直線與拋物線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）過點(diǎn)作軸的平行線，與過點(diǎn)平行于軸的直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求出直線，的解析式，根據(jù)平移求出直線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到的長，三角函數(shù)，表示出的長，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線的解析式為：，把，代入，得：，∴，∴；令，解得：，∴，（2）設(shè)直線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∵，∴，∴，∴，同法可得：直線的解析式為：，聯(lián)立，解得：或，∴；（3）設(shè)直線的解析式為，把代入得：，∴，∴，同法可得：直線的解析式為：，∵，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，∵，∴設(shè)直線的解析式為：，把，代入，得：，∴，∴，聯(lián)立，解得：，∴，如圖，過點(diǎn)作軸的平行線，與過點(diǎn)平行于軸的直線交于點(diǎn)，則：，，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，解直角三角形等知識點(diǎn)，屬于中考壓軸題，解題的關(guān)鍵的掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．15．（2024·廣東惠州·一模）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且與軸的正半軸交于點(diǎn)．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)的坐標(biāo)為(3)①當(dāng)時(shí)，線段有最大值為4；②存在，當(dāng)?shù)闹禐榛驎r(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查的是待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是第（3）問中需分兩種情況討論．（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入直線解析式可得出的值；再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將，的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得，則，所以，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，設(shè)，可表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論；（3）①由點(diǎn)，坐標(biāo)可得出直線的解析式，由此可表達(dá)點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)的長度，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；②根據(jù)題意需要分兩種情況，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出的值即可．【詳解】（1）解：直線與軸交于點(diǎn)，，，直線的表達(dá)式為；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）如圖，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，軸，，，，，，，，，設(shè)，的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可得，，解得或（舍去）的坐標(biāo)為；（3）①由（1）可知，直線的解析式為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)線段的長度為，則，當(dāng)時(shí)，線段有最大值為4；②存在，理由如下：由圖形可知，若與相似，則需要分兩種情況，當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，令，解得（舍或，綜上，當(dāng)?shù)闹禐榛驎r(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．16．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)(2)取得最大值為，(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個(gè)單位，得到，對稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時(shí)，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得：綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：①∵拋物線解析式為，點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；②設(shè)直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，則∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．18．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且對稱軸是直線．(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)的最大值是，此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)是【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，有最大值是，此時(shí)最大，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴直線l的解析式為；（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴．把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得，解得：，∴拋物線的解析式為；（3）解：∵，