2022-2023學(xué)年福建省廈門一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年福建省廈門一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.c15分）定義aca68=ad?bc，已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝a68a825分）已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AF|=()35分）某市教育局為了給高考生減壓，將師范大學(xué)6名心理學(xué)教授全部分配到市屬四所重點(diǎn)高中進(jìn)行心理輔導(dǎo)，若A高中恰好需要1名心理學(xué)教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理學(xué)教授，則不同的分配方案有()A．150種B．540種C．900種D．1440種45分）3月15日是國際消費(fèi)者權(quán)益日．中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫(yī)美、直播等多領(lǐng)域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強(qiáng)了消費(fèi)者的維權(quán)意識．一名市民在某商店買了一只燈泡，結(jié)果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話．通過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客．假設(shè)合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數(shù)占燈泡總數(shù)的25%，現(xiàn)一顧客在該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為()A．0.103B．0.301C．0.897D．0.69955分）我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量Y～B（n，p當(dāng)n充分大時，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了p=的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的p進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為()（附：若X～N(μ,σ2則P(μ﹣σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ﹣2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）A．0.1587B．0.0228C．0.0027D．0.001465分）已知菱形ABCD的邊長為3，對角線BD長為5，將△ABD沿著對角線BD翻折至△A'BD，使得線段A'C長為3，則異面直線A'B與CD所成角的余弦值為()75分）某高二學(xué)生在參加物理、歷史反向?qū)W考中，成績是否取得A等級相互獨(dú)立，記X為“該學(xué)生取得A等級的學(xué)考科目數(shù)”，其分布列如下表所示，則D（X）的最大值是X012Pab 1 985分）若實(shí)數(shù)x，y滿足4lnx+2lny≥x2+4y﹣4，則xy2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）95分）總和生育率有時也簡稱生育率，是指一個人口群體的各年齡別婦女生育率的總和．它反映的是一名婦女在每年都按照該年齡別現(xiàn)有生育率生育的假設(shè)下，在育齡期間生育的子女總數(shù)．為了了解中國人均GDPx（單位：萬元）和總和生育率y以及女性平均受教育年限z（單位：年）的關(guān)系，采用2012～2022近十年來的數(shù)據(jù)（xi，yi，zii＝1，2，…，10）繪制了散點(diǎn)圖，并得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=7.54+0.33x，=2.88﹣0.41x，對應(yīng)的決定系數(shù)分別為R，R，則A．人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)B．女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)C．R＜RD．未來三年總和生育率將繼續(xù)降低（多選）105分）已知函數(shù)f（xx2﹣3）ex，x∈R，則A．函數(shù)f（x）有且只有2個零點(diǎn)B．函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為(﹣3，1）C．函數(shù)f（x）存在最大值和最小值D．若方程f（xa有三個實(shí)數(shù)解，則a∈(﹣2e，6e﹣3）（多選）115分）已知圓Cx﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，則()A．存在兩個不同的a，使得圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)B．存在兩個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等C．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線y＝ex平分D．存在三個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切（多選）125分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段CC1上的動點(diǎn)，AM⊥平面α,則()A．直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為[，]B．已知N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時，=2?2C．點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)時，若平面α經(jīng)過點(diǎn)B，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形D．點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時，平面α截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.135分1+x）101﹣x）9展開式中x2的系數(shù)為.145分）從0，1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為A，B，則方程Ax+By＝0所表示的不同直線共有條.155分）過雙曲線=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作其中一條漸近線的垂線，垂足為Q，直線FQ與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)M，N，若|MQ|＝3|QN|，則雙曲線的離心率是.165分）正方形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系上，其中A（1，1B(﹣1，1C(﹣11D（1，﹣1考慮對這個正方形執(zhí)行下面三種變換1）L：逆時針旋轉(zhuǎn)90°.（2）R：順時針旋轉(zhuǎn)90°.（3）S：關(guān)于原點(diǎn)對稱．上述三種操作可以把正方形變換為自身，但是A，B，C，D四個點(diǎn)所在的位置會發(fā)生變化．例如，對原正方形作變換R之后，頂點(diǎn)A從（1，1）移動到（11然后再作一次變換S之后，A移動到1，1對原來的正方形按a1，a2，?，ak的順序作k次變換記為a1a2?ak，其中ai∈{L，R，S}，i＝1，2，?，k．如果經(jīng)過k次變換之后，頂點(diǎn)的位置恢復(fù)為原來的樣子，那么我們稱這樣的變換是k﹣恒等變換．例如，RRS是一個3﹣恒等變換．則3﹣恒等變換共種；對于正整數(shù)n，n﹣恒等變換共種．四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝λan+2n（n∈N*λ為常數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{an}成為等比數(shù)列，若存在，找出所有的λ，及對應(yīng)的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由；（2）當(dāng)λ＝2時，記bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．1812分）下表是某單位在2023年1～5月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份x12345用水量y2.5344.55.2（1）從這5個月中任取2個月的用水量，求所取2個月的用水量之和不超過7（單位：百噸）的概率；（2）若由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差不超過0.05，視為“預(yù)測可靠”，那么由該單位前4個月的數(shù)據(jù)所得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測5月份的用水量是否可靠？說明理由．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1x2，y2…xn，yn其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：=iy)=，=y?x．1912分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，底面△ABC是正三角形，側(cè)面AA1C1C是菱形，點(diǎn)A1在平面ABC的射影為線段AC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)B1，B，D的平面α與棱A1C1交于點(diǎn)E．（1）證明：四邊形BB1ED是矩形；（2）求平面ABB1和平面BB1E夾角的余弦值．2012分）已知點(diǎn)(1，)在橢圓E：+=1(a＞b＞0)上，且E的離心率為．（1）求E的方程；（2）設(shè)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是E上的任意一點(diǎn)，直線PF與直線3mx+4ny＝0相交于點(diǎn)Q，求|PQ|的值.2112分）某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的.（1）若依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團(tuán)隊來研發(fā)此疾病的治療藥物．兩個團(tuán)隊各至多排2個接種周期進(jìn)行試驗(yàn)．甲團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p（0＜p＜1每人每次接種花費(fèi)m（m>0）元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體測終止本接種周期進(jìn)入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進(jìn)入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗(yàn)，否則依次接種至至試驗(yàn)結(jié)束：乙團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體概率為q（0＜q＜1每人每次花費(fèi)n（n＞0）元，每個周期接種3次，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個接種周期、假設(shè)兩個研發(fā)團(tuán)隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨(dú)立．當(dāng)n=m，p＝q時，從兩個團(tuán)隊試驗(yàn)的平均花費(fèi)考慮，試證明該公司選擇乙團(tuán)隊進(jìn)行藥品研發(fā)的決策是正確的.參考公式：K2=(a+b)(b+d)（其中n＝a+b+c+d為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：已知函數(shù)α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.89710.8282212分）已知函數(shù)f（xx3+klnx（k∈Rf′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)k＝6時，求函數(shù)g(x)=f(x)?f'(x)+的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)k≥﹣3時，求證：對任意的x1，x2∈[1，+∞),且x1＞x2，有＞f(xx2).2022-2023學(xué)年福建省廈門一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.15分）定義=ad?bc，已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝1，68=0，則a7=()【解答】解：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝1，68=0，所以a6?a8﹣8×8＝0，所以a6?a8＝64，則a7=±8，因?yàn)閍7與a3符號一致，故選：C.25分）已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AF|=()【解答】解：由題意得：F（1，0準(zhǔn)線方程為x=﹣1，設(shè)A（m，n則AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由拋物線的焦半徑可知：|AF|＝3+1＝4.故選：B.35分）某市教育局為了給高考生減壓，將師范大學(xué)6名心理學(xué)教授全部分配到市屬四所重點(diǎn)高中進(jìn)行心理輔導(dǎo)，若A高中恰好需要1名心理學(xué)教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理學(xué)教授，則不同的分配方案有()A．150種B．540種C．900種D．1440種【解答】解：先從6名教授中任選1名教授到A高中，有C=6種不同的方法，再將其余5名教授分配到B，C，D三所高中，可分兩類：①B，C，D三所高中有一所高中分1名教授，另外兩所高中各分2名教授，有A=90種方法；②B，C，D三所高中有一個高中分3名教授，另兩個高中各分1名教授，有A=60種不同的方法，∴不同的分配方案共有6×（90+60）＝900種.故選：C.45分）3月15日是國際消費(fèi)者權(quán)益日．中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫(yī)美、直播等多領(lǐng)域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強(qiáng)了消費(fèi)者的維權(quán)意識．一名市民在某商店買了一只燈泡，結(jié)果用了兩個月就壞了，他撥打了12315投訴電話．通過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客．假設(shè)合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數(shù)占燈泡總數(shù)的25%，現(xiàn)一顧客在該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時后不會損壞的概率為()A．0.103B．0.301C．0.897D．0.699【解答】解：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率為（1﹣0.4）×25%+（1﹣0.004）×75%＝0.897.故選：C.55分）我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量Y～B（n，p當(dāng)n充分大時，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了p=的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的p進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為()（附：若X～N(μ,σ2則P(μ﹣σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ﹣2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）A．0.1587B．0.0228C．0.0027D．0.0014【解答】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面向上次數(shù)為X，則X～B（100故E（X）＝np=100×=50，D（X）＝np（1﹣p）=100××(1)=25，由題意可得，X～N(μ,σ2且μ=E（X50，σ2＝D（X25，∵P(μ﹣2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，∴用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為P（X＞60P（X＞50+2×5）2=1?0.9545265分）已知菱形ABCD的邊長為3，對角線BD長為5，將△ABD沿著對角線BD翻折至△A'BD，使得線段A'C長為3，則異面直線A'B與CD所成角的余弦值為()【解答】解：如圖，因?yàn)锳′C＝A′D＝CD＝3，8所以異面直線A'B與CD所成角的余弦值為.9故選：D.75分）某高二學(xué)生在參加物理、歷史反向?qū)W考中，成績是否取得A等級相互獨(dú)立，記X為“該學(xué)生取得A等級的學(xué)考科目數(shù)”，其分布列如下表所示，則D（X）的最大值是()X012Pab 1 9【解答】解：由已知得a+b=，E（X）＝b+，E（X2）＝b+，所以D（XE（X2[E（X）]2=(b+)?(b+)2=?(b?)2+，又因?yàn)閎∈(0，)，所以b=時，D（X）min=．故選：C．85分）若實(shí)數(shù)x，y滿足4lnx+2lny≥x2+4y﹣4，則A．xy=B．x+y=2【解答】解：∵4lnx+2lny≥x2+4y﹣4（x＞0，y＞0∴2[ln（x2）+lny]≥x2+4y﹣4，即ln（x2）+lny≥x2+2y﹣2，∴l(xiāng)n[（x2）?（2y）]≥x2+2y﹣2，設(shè)a=x2，b＝2y（a＞0，b＞0則有l(wèi)nab≥a+b﹣2，即lna+lnb≥a+b﹣2，∴l(xiāng)na﹣a+1+（lnb﹣b+1）≥0，令g（x）＝lnx﹣x+1，則g'（x令g（x）＝lnx﹣x+1，∴當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g'（x0，g（x）單調(diào)遞減；）＝要使g（a）+g（b）≥0成立，只有當(dāng)a＝b＝1時即g（a）＝g（b）＝0時才滿足，∴x=2，y=，經(jīng)檢驗(yàn)選項(xiàng)A符合題意．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）95分）總和生育率有時也簡稱生育率，是指一個人口群體的各年齡別婦女生育率的總和．它反映的是一名婦女在每年都按照該年齡別現(xiàn)有生育率生育的假設(shè)下，在育齡期間生育的子女總數(shù)．為了了解中國人均GDPx（單位：萬元）和總和生育率y以及女性平均受教育年限z（單位：年）的關(guān)系，采用2012～2022近十年來的數(shù)據(jù)（xi，yi，zii＝1，2，…，10）繪制了散點(diǎn)圖，并得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=7.54+0.33X，=2.88﹣0.41x，對應(yīng)的決定系數(shù)分別為R，R，則A．人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)B．女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)C．R＜RD．未來三年總和生育率將繼續(xù)降低?【解答】解：由回歸方程Z=7.54+0.33X可知，人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān)，故A正確；?因?yàn)閆=7.因?yàn)閆=7.54+0.33X，y=2.88﹣0.41x，所以女性平均受教育年限z和總和生育率y的關(guān)系式為y=2.88所以女性平均受教育年限z和總和生育率y負(fù)相關(guān)，故B正確；由散點(diǎn)圖可知，回歸方程=7.54+0.33X相對=2.88﹣0.41x擬合效果更好，所以R12＞R22，故C錯根據(jù)回歸方程=2.88﹣0.41x預(yù)測，未來總和生育率預(yù)測值有可能降低，但實(shí)際值不一定會降低，故D錯誤．故選：AB．（多選）105分）已知函數(shù)f（xx2﹣3）ex，x∈R，則A．函數(shù)f（x）有且只有2個零點(diǎn)B．函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為3，1）C．函數(shù)f（x）存在最大值和最小值D．若方程f（xa有三個實(shí)數(shù)解，則a∈(﹣2e，6e﹣3）【解答】解：對于A：由f（x）＝0得x=±3，即函數(shù)f（x）有且只有2個零點(diǎn)，故A正確；對于B：f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，則f'（xx2+2x﹣3）ex，由f'（x0得x=﹣3或x＝1，由f'（x0得x＞1或x<﹣3，由f'（x0得﹣3＜x＜1，∴f（x）在(﹣∞,﹣3）和（1，+∞)上單調(diào)遞增，在(﹣3，1）上單調(diào)遞減，故B正確；對于C：由選項(xiàng)B得f（x）在(﹣∞,﹣3）和（1，+∞)上單調(diào)遞增，在(﹣3，1）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=﹣3時，f（x）取得極大值f(﹣3）＝6e﹣3，當(dāng)x＝1時，f（x）取得極小值f（1）=﹣2e，作出草圖，如圖所示：\∴由圖象得f（x）min＝f（1）=﹣2e，無最大值，故C錯誤；對于D：由圖象得若方程f（xa有三個實(shí)數(shù)解，則a∈（0，6e﹣3故D錯誤.故選：AB.（多選）115分）已知圓Cx﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，則()A．存在兩個不同的a，使得圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)B．存在兩個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等C．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線y＝ex平分D．存在三個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切【解答】解：圓（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1的圓心坐標(biāo)為（a，ea半徑為1，對于A：設(shè)圓C過原點(diǎn)（0，0則a2+（ea）2＝1，方程a2+（ea）2＝1的解的個數(shù)等價于函數(shù)y＝ex的圖象與曲線x2+y2＝1的交點(diǎn)個數(shù)，作函數(shù)y＝ex與圓x2+y2＝1的圖象可得：所以函數(shù)y＝ex的圖象與曲線x2+y2＝1的交點(diǎn)個數(shù)為2，所以存在兩個不同的a，使得圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，A正確；對于B：圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等等價于21?a2=21?(ea)2，＝（方程ea±a＝0的解的個數(shù)函數(shù)g（x）＝ex+x和h（x）＝ex﹣x的零點(diǎn)的個數(shù)和相等，因?yàn)間′（x）＝ex+1＞0，又g(﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，g（0）＝1﹣0＞0，所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上存在一個零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）存在一個零點(diǎn)，）＝當(dāng)x＞0時，h′（x0，函數(shù)h（x）在（0，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，h′（x0，函數(shù)h（x）在(﹣∞,0）上單調(diào)遞減，又h（0）＝1＞0，所以h（x）＞0，故函數(shù)h（x）沒有零點(diǎn)，所以方程ea±a＝0的解的個數(shù)為1，即存在一個a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段長相等，B錯誤；對于C：圓C的面積被直線y＝ex平分等價于y＝ex過圓心，所以ea＝ea，令f（a）＝ea﹣ea，求導(dǎo)可得f′（aea﹣e，令f′（a0，可得a＝1，當(dāng)a＞1時，f′（a0，函數(shù)f（a）在（1，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜1時，f′（a0，函數(shù)f（a）在(﹣∞,1）上單調(diào)遞減，又f（1）＝0，所以函數(shù)f（a）＝ea﹣ea只有一個零點(diǎn)，即方程ea＝ea只有一解，所以存在唯一的a，使得圓C的面積被直線y＝ex平分，C正確；對于D：圓C與x軸或y軸相切等價于|a|＝1或|ea|＝1，則a=±1或a＝0，共3解，所以存在三個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切，D正確；故選：ACD.（多選）125分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段CC1上的動點(diǎn)，AM⊥平面α,則()A．直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為[，]B．已知N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時，=2?2C．點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)時，若平面α經(jīng)過點(diǎn)B，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形D．點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時，平面α截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大【解答】解：對于A：設(shè)正方體的棱長為2，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0B（2，2，0設(shè)M（0，2，a0≤a≤2→→因?yàn)锳M⊥面α,則AM為平面α的一個法向量，且AM=(﹣2，2，aAB=（0，2，0所以|cos<，＞|=||=4=2∈[3，2]，|AB||AM|2a2+8a2+832所以直線AB與平面α所成角的正弦值取值分范圍為[，]，故A正確；對于B：將矩形ACC1A1與矩形CC1D1D延展為一個平面，如圖所示，若AM+MN最短，則A，M，N三點(diǎn)共線，因?yàn)镃C1∥DD1，所以==2222=2?2，故B正確；→對于C：設(shè)平面α交棱A1D1于點(diǎn)E（b，0，2點(diǎn)M（0，2，1AM=(﹣2，2，1因?yàn)锳M⊥面α,DC?面α,所以AM⊥DE，即?=?2b+2＝0，所以E（1，0，2所以點(diǎn)E為棱A1D1的中點(diǎn)，→同理可得，點(diǎn)F為棱A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)（2，1，2EF=（1，1，0→又DB=（2，2，0所以=，所以EF∥DB且EF≠DB，由空間中兩點(diǎn)的距離公式可得DE=22+02+12=5，BF=所以DE＝BF，所以四邊形BDEF為等腰梯形，故C正確；對于D：當(dāng)M與CC1重合時，連接A1D，BD，A1B，AC，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥面ABCD，因?yàn)锽D?面ABCD，所以BD⊥CC1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC， 因?yàn)镃C1∩AC＝C，所以BD⊥面ACC1，因?yàn)锳C1?面ACC1，所以AC1⊥BD，同理可證AC1⊥A1D，因?yàn)锳1D∩BD＝D，所以AC1⊥面A1BD，由題知△A1BD是邊長為22的等邊三角形，面積為S△A1BD=×（22）2＝23，設(shè)E，F(xiàn)，Q，N，G，H為棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中點(diǎn)，所以六邊形EFQNGH是邊長為的正六邊形，且面EFQNGH∥面A1BD，所以六邊形EFQNGH的周長為62，面積為6××（2）2＝33，所以△A1BD的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，故D錯誤，故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.135分1+x）101﹣x）9展開式中x2的系數(shù)為9.【解答】解：∵（1+x）10的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=c0xk，∴令k＝2，可得展開式中x2的系數(shù)為c0=45，∵（1﹣x）9的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=c(?x)r=(?1)rcxr，∴令r＝2，可得展開式中x2的系數(shù)為(?1)2c=36，故（1+x）10﹣（1﹣x）9展開式中x2的系數(shù)為45﹣36＝9.故答案為：9.145分）從0，1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為A，B，則方程Ax+By＝0所表示的不同直線共有20條.【解答】解1）當(dāng)A或B中有一個取0時，另一個不論取何值，方程都只能表示2條直線x＝0和y=0，即選中0時，Ax+By＝0共能表示2條直線；（2）當(dāng)A、B從1，3，5，7，9五個數(shù)字中取值時，共有A=5×4=20，但當(dāng)取值為（1，3）和（3，9）以及（3，1）和（9，3）時表示同一條直線，當(dāng)A、B從1，3，5，7，9五個數(shù)字中取值時，Ax+By＝0共能表示20﹣2＝18條直線.綜上所述，表示成不同直線的條數(shù)是2+18＝20條.故答案為：20.155分）過雙曲線=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作其中一條漸近線的垂線，垂足為Q，直線FQ與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)M，N，若|MQ|＝3|QN|，則雙曲線的離心率是5.【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，|FQ|==b，|OF|＝c，在直角三角形QOF中，cos∠QFO=，①設(shè)|QN|＝t，則|QM|＝3t，|FN|＝b﹣t，由雙曲線的定義可得|NF'|＝b﹣t+2a，|MF'|＝b+3t﹣2a，在三角形FNF'中，可得由雙曲線的定義可得|NF'|＝b﹣t+2a，|MF'|＝b+3t﹣2a，在三角形FMF'中，可得cos∠MFF'=4c2+(bt?2a)2，③由①②化簡可得t=3b3a，由①③化簡可得t=，所以a+b＝3b﹣3a，則則e= aa2故答案為：5.165分）正方形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系上，其中A（1，1B(﹣1，1C(﹣11D（1，﹣1考慮對這個正方形執(zhí)行下面三種變換1）L：逆時針旋轉(zhuǎn)90°.（2）R：順時針旋轉(zhuǎn)90°.（3）S：關(guān)于原點(diǎn)對稱．上述三種操作可以把正方形變換為自身，但是A，B，C，D四個點(diǎn)所在的位置會發(fā)生變化．例如，對原正方形作變換R之后，頂點(diǎn)A從（1，1）移動到（11然后再作一次變換S之后，A移動到(﹣1，1對原來的正方形按a1，a2，?,ak的順序作k次變換記為a1a2?ak，其中ai∈{L，R，S}，i＝1，2，?,k．如果經(jīng)過k次變換之后，頂點(diǎn)的位置恢復(fù)為原來的樣子，那么我們稱【解答】解：3﹣恒等變換必定含S，所以一共有LLS，LSL，SLL，RRS，RSR，SRR這6種3﹣恒等變注意到，作用一次S變換相當(dāng)于兩次L變換；作用一次R變換相當(dāng)于三次L變換.我們記L為數(shù)字1，S為數(shù)字2，R為數(shù)字3，作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字.那么如果作了n次變換a1a2?an（其中包含p個L、q個S、r個R當(dāng)p+2q+3r是4的倍數(shù)時，就能得到一個n﹣恒等變換.我們假設(shè)作了n次變換之后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0，1，2，3的情況數(shù)分別為an，bn，cn，dn.把這n次變換分解成n﹣1次變換和第n次變換，假設(shè)經(jīng)過n次變換之后余數(shù)為0．如果經(jīng)過n﹣1次變換后的余數(shù)是0，則第n次變換余數(shù)不可能為0；如果經(jīng)過n﹣1次變換后的余數(shù)分別是1，2，3，則第n次變換余數(shù)必須分別為3，2，1．其他完全類似，因此an＝bn﹣1+cn﹣1+dn﹣1，bn＝an﹣1+cn﹣1+dn﹣1，cn＝an﹣1+bn﹣1+dn﹣1，dn＝an﹣1+bn﹣1+cn﹣1.把后三個式子相加可得bn+cn+dn＝3an﹣1+2（bn﹣1+cn﹣1+dn﹣1代入第一個式子可得an+1＝2an+3an﹣1，?an+1+an＝3（an+an﹣1）.所以{an+1+an}是公比為3的等比數(shù)列.已經(jīng)算出a3＝6，而2﹣恒等變換有LR，RL，SS這三種，故a2＝3.因此，a3+a2＝9，從而an+1+an=(a3+a2)×3n?2=9×3n?2=3n.兩邊同乘(﹣1）n+1，可得(?1)n+1an+1?(?1)nan=?(?3)n.根據(jù)累加法可得(?1)nan?(?1)2a2=?(?3)k=?9(1?2)=?9?(3)n.故答案為：6；3?(?1n+3n.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=λan+2n（n∈N*λ為常數(shù).（1）是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}成為等比數(shù)列，若存在，找出所有的λ,及對應(yīng)的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由；（2）當(dāng)λ=2時，記bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【解答】解1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{an}成為等比數(shù)列，則a=a1a3，a2＝λa1+21＝2λ+2，a3＝λa2+22＝λ（2λ+2）+2＝2λ2+2λ+4，∴（2λ+2）2＝2（2λ2+2λ+4解得λ＝1，則an+1＝an+2n，即an+1﹣an＝2n，各項(xiàng)相加，可得an＝2+21+22+…+2n﹣1＝1+（1+21+22+…+2n﹣1）＝2?2n﹣1，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴存在實(shí)數(shù)λ＝1，使得數(shù)列{an}成為等比數(shù)列，且an＝2n，n∈N*．（2）由題意，當(dāng)λ＝2時，an+1＝2an+2n，兩邊同時乘以21，可得=+，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1?n+n(1)?=．1812分）下表是某單位在2023年1～5月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份x12345用水量y2.5344.55.2（1）從這5個月中任取2個月的用水量，求所取2個月的用水量之和不超過7（單位：百噸）的概率；（2）若由經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差不超過0.05，視為“預(yù)測可靠”，那么由該單位前4個月的數(shù)據(jù)所得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測5月份的用水量是否可靠？說明理由．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1x2，y2…xn，yn其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：=iy)=，=y?x．【解答】解1）從這5個月中任取2個月，包含的基本事件有C=10個，其中所取2個月的用水量之和不超過7（百噸）的基本事件有以下4個：（2.5，32.5，42.5，4.53，4故所求概率P==；（2）由數(shù)據(jù)得x==2.5，y==3所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.7x+1.75，當(dāng)x＝5時，得估計值y＝0.7×5+1.75＝5.25，而|5.2﹣5.25|＝0.05≤0.05，所以得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是“預(yù)測可靠”的．1912分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，底面△ABC是正三角形，側(cè)面AA1C1C是菱形，點(diǎn)A1在平面ABC的射影為線段AC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)B1，B，D的平面α與棱A1C1交于點(diǎn)E．（1）證明：四邊形BB1ED是矩形；（2）求平面ABB1和平面BB1E夾角的余弦值．【解答】解1）證明：連接B1E，DE，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ABB1為平行四邊形，所以B1B∥A1A，因?yàn)锽1B?平面A1ACC1，A1A?平面A1ACC1，所以B1B∥平面A1ACC1，因?yàn)锽1B?平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，所以B1B∥DE，因此A1A∥DE，因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以E為A1C1中點(diǎn)，所以B1B＝DE，所以四邊形BB1ED為平行四邊形，在正△ABC中，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，由題意可知，A1D⊥平面ABC，又BD，BC?平面ABC，所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，又AC∩A1D＝D，所以BD⊥平面ACC1A1，又DE?平面ACC1A1，則BD⊥DE，故四邊形BB1ED為矩形；（2）由（1）可知，DB，AC，A1D兩兩垂直，以DB，AC，A1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)AD＝1，則BD=3，在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°故D（0，0，0A（01，0A1(0，0，3)，B(3，0，0)，→→→設(shè)平面DBB1E的法向量為m=(a，b，c)，→m?→m?令c=→DB=0→設(shè)平面ABB1A1的法向量為n=(x，y，z)，→?AB=0→?AB=03x+y=0設(shè)平面ABB1和平面BB1E夾角為θ,故所求平面ABB1和平面BB1E夾角的余弦值為.2012分）已知點(diǎn)(1，)在橢圓E：+=1(a＞b＞0)上，且E的離心率為.（1）求E的方程；（2）設(shè)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是E上的任意一點(diǎn)，直線PF與直線3mx+4ny＝0相交于點(diǎn)Q，求|PQ|的值. a2，解得所以橢圓E的方程為+=1.（2）因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是E上的任意一點(diǎn)，所以3m2+4n2＝12.①當(dāng)m＝1時，點(diǎn)P(1，)或P(1，).當(dāng)點(diǎn)P(1，)時，直線PF與直線x+2y＝0相交于點(diǎn)Q(1，)，此時|PQ|＝2.當(dāng)點(diǎn)P(1，)時，直線PF與直線x﹣2y＝0相交于點(diǎn)Q(1，)，此時|PQ|＝2.②當(dāng)m≠1時，直線PF的方程為y=m1(x?1)， 4n2 4n2所以|PQ|＝2.綜上所述，|PQ|＝2.2112分）某種疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了患該疾病的病人進(jìn)行調(diào)查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性病人的.（1）若依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團(tuán)隊來研發(fā)此疾病的治療藥物．兩個團(tuán)隊各至多排2個接種周期進(jìn)行試驗(yàn)．甲團(tuán)隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p（0＜p＜1每人每次接種花費(fèi)m（m>0）元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體測終止本接種周期進(jìn)入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進(jìn)入第二周期：第二接種周期連續(xù)2