線性代數(shù)及應(yīng)用（高淑萍第2版） 課件 第1章 矩陣及應(yīng)用

第1章矩陣及應(yīng)用回顧我們從小學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是在重復(fù)數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程．一些數(shù)學(xué)后來(lái)被更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了，即“初等”的被“高等”的所替代了.

什么是線性代數(shù)？雞兔同籠問(wèn)題線性(linear)指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)．線性關(guān)系非線性關(guān)系非線性(non-linear)指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)．什么是線性代數(shù)？線性代數(shù)研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具．行列式矩陣向量線性空間線性變換線性方程組什么是線性代數(shù)？1.1高斯消元法1.1高斯消元法線性方程組的一般形式1.1高斯消元法非齊次線性方程組；否則稱為齊次線性方程組．齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)橹辽儆辛憬猓?.1高斯消元法例解依次解出

，即得

解線性方程組1.1高斯消元法其基本思想是通過(guò)消元變形，把方程組化成容易求解的同解方程組．即得到能直接求出解或者能夠直接判斷其無(wú)解的同解方程組．以上求解線性方程組的方法稱為高斯消元法．自上而下未知量個(gè)數(shù)依次減少成為階梯形狀．階梯形方程組第1章矩陣及應(yīng)用1.2矩陣的定義與運(yùn)算矩陣的定義由

m×n

個(gè)數(shù)

排成的數(shù)稱為矩陣的第

i

行第

j列元素，簡(jiǎn)稱為元．矩陣簡(jiǎn)記為定義1m行

n列的矩形數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡(jiǎn)稱

m×n

矩陣．矩陣的定義只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量)．只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)．可記作可記作元是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，是復(fù)數(shù)的稱為復(fù)矩陣．幾種特殊矩陣主對(duì)角線次對(duì)角線主對(duì)角線上的元稱為矩陣的主對(duì)角線元．次對(duì)角線上的元素稱為矩陣的次對(duì)角線元．行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為

n階方陣．可記作幾種特殊矩陣上三角形矩陣下三角形矩陣對(duì)角矩陣n階單位矩陣記作或零矩陣記作兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣．兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元素相等，即A與

B相等，記作

A=B．則稱矩陣定義2設(shè)有兩個(gè)矩陣矩陣

A與

B的和記作，規(guī)定為只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算．矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算定義3注矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算．設(shè)

A=(aij)，稱矩陣(-aij)為

A的負(fù)矩陣，記作-A．矩陣的線性運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）矩陣的運(yùn)算例1解矩陣的運(yùn)算其中

aij

表示工廠向第

i

家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量；貨物的單價(jià)及單件重量為的單價(jià)，bi2

表示第

i

種貨物的單件重量．某工廠向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量為試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．例2這四種其中

bi1

表示第

i

種貨物解矩陣的運(yùn)算注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的定義4例如

行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘．矩陣的運(yùn)算解例3矩陣的運(yùn)算注意(1)矩陣乘法不滿足交換律；若

AB=BA，則稱

A與

B可交換．可交換的一定是方陣．n階單位陣與任何

n階矩陣乘法可交換．注意(2)注意(3)例如矩陣的運(yùn)算矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律

(2)

乘法對(duì)加法的分配律(3)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中l(wèi)是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即矩陣的運(yùn)算方陣冪的運(yùn)算規(guī)律思考A，B可交換時(shí)成立下列等式是否成立？矩陣的運(yùn)算例4解于是矩陣的運(yùn)算把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列而得到的新矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算規(guī)律定義5稱為矩陣

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例如矩陣的運(yùn)算已知解法1解法2例5矩陣的運(yùn)算如果滿足

AT

=-A，那么稱

A為反對(duì)稱矩陣．對(duì)稱陣反對(duì)稱陣設(shè)

A

為

n

階方陣，如果滿足，即對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等，反對(duì)稱陣的主對(duì)角線元為零．定義6那么稱

A為對(duì)稱矩陣．說(shuō)明矩陣的運(yùn)算設(shè)列矩陣滿足證明例6矩陣的運(yùn)算證明任一

n

階矩陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和．證明所以

C為對(duì)稱矩陣，所以

B為反對(duì)稱矩陣，證畢．所以

C/2也是對(duì)稱矩陣．所以

B/2

也是反對(duì)稱矩陣．例7第1章矩陣及應(yīng)用1.3可逆矩陣可逆矩陣的定義在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)（或稱的逆)．矩陣的乘法是否也和數(shù)的乘法一樣有逆運(yùn)算呢？從乘法的角度來(lái)看，n階單位矩陣

E在同階方陣中的地位類似于

1在復(fù)數(shù)中的地位．本節(jié)討論的矩陣，如不特別說(shuō)明，都是

n階方陣．可逆矩陣的定義對(duì)于任意的

n階方陣

A，若

A

可逆，則逆矩陣單位矩陣

E是可逆的，且是唯一的．定義說(shuō)明可逆矩陣的定義解設(shè)是的逆矩陣，則所以例1可逆矩陣的定義證明設(shè)為任意二階矩陣，則若矩陣有全零行(全零列)，那么矩陣一定不可逆．例2說(shuō)明可逆矩陣的定義結(jié)論可逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明123可逆矩陣的性質(zhì)證明4規(guī)定說(shuō)明可逆矩陣的性質(zhì)證明所以可逆，且同理例3第1章矩陣及應(yīng)用1.4分塊矩陣分塊矩陣矩陣的按列分塊分塊矩陣分塊矩陣按列分塊按列分塊對(duì)于線性方程組系數(shù)矩陣增廣矩陣其中表示A的第

j列，分塊矩陣（1）分塊矩陣加（減）運(yùn)算：

分塊矩陣?yán)?解求矩陣

與的和．于是，所以分塊矩陣注分塊矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算形式上與普通的矩陣運(yùn)算相同．矩陣的分塊方式?jīng)]有特別規(guī)定，對(duì)任意的分塊（2）分塊矩陣的數(shù)乘運(yùn)算：

都有在矩陣的運(yùn)算中，對(duì)矩陣的分塊要根據(jù)矩陣本身的特點(diǎn)而定.分塊矩陣（3）分塊矩陣的乘法：

則分塊矩陣?yán)?設(shè)，，求

AB．解而所以分塊矩陣注不僅形式上取轉(zhuǎn)置，而且每個(gè)子塊也取轉(zhuǎn)置．例如（4）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)，則分塊矩陣?yán)纾?）分塊對(duì)角陣

即記為其中都是方陣，這樣的分塊陣稱為分塊對(duì)角陣.分塊矩陣分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)分塊矩陣?yán)?解設(shè)，求．分塊矩陣證明例4必要性顯然，下面證明充分性把

A按列分塊，有于是那么所以即第1章矩陣及應(yīng)用1.5初等變換與初等矩陣初等變換求解線性方程組引例對(duì)應(yīng)的增廣矩陣

后一個(gè)方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

對(duì)方程組反復(fù)進(jìn)行了三種變換，即：（1）互換兩個(gè)方程的位置；（2）用一個(gè)非零數(shù)

k乘某個(gè)方程；（3）把一個(gè)方程的

k倍加到另一個(gè)方程上．這三種變換稱為線性方程組的初等變換．初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對(duì)調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)

k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的

k倍，記作．把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．定義1初等變換若矩陣

A經(jīng)過(guò)一系列初等行(列)變換化為矩陣

B，若矩陣

A經(jīng)過(guò)一系列初等變換化為矩陣

B，則稱

A與

B123定義2則稱

A與

B行(列)等價(jià)，記作等價(jià)，記作自反性：任意矩陣

A

與自身等價(jià)；對(duì)稱性：若矩陣A與矩陣

B等價(jià),則矩陣B與矩陣A等價(jià)；傳遞性：若矩陣A與矩陣B等價(jià)，矩陣B與矩陣

C等價(jià)，則矩陣A與矩陣C等價(jià).初等變換求解線性方程組解對(duì)應(yīng)方程組為例1初等變換行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素．行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的第一個(gè)非零元為1；這些非零元所在的列的其它元素都為零．初等變換滿足下列兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣

(簡(jiǎn)稱階梯形)（1）若有零行，則零行位于非零行的下方；（2）每個(gè)首非零元（非零行從左邊數(shù)起第一個(gè)不為零的元）前面零的個(gè)數(shù)逐行增加．例如初等變換首非零元為

1，且首非零元所在列的其它元都為零的行階梯形矩陣稱為行最簡(jiǎn)形矩陣，簡(jiǎn)稱最簡(jiǎn)形．例如定理1推論初等變換用初等行變換將矩陣

A化成階梯形和最簡(jiǎn)形．解階梯形最簡(jiǎn)形練習(xí)初等變換左上角為單位矩陣，其它元素均為零的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)形．注初等矩陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣．定義3由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換而得到的方陣稱為初等矩陣．

初等矩陣（1）交換單位陣

的第

行和第

行，或交換

第

列和第

列，得到的初等矩陣記為（2）用非零的數(shù)

乘單位陣的第

行或第

列得到的

初等矩陣記為初等矩陣（3）以

k

乘單位陣第

j行加到第

i

行，記作

Em(i,j(k))．以

k

乘單位陣第

i

列加到第

j列．

兩種理解！初等矩陣初等矩陣結(jié)論把矩陣

A的第

i

行與第

j行對(duì)調(diào)，即.把矩陣

A的第

i

列與第

j列對(duì)調(diào)，即.以非零常數(shù)

k乘矩陣

A的第

i

行，即

.以非零常數(shù)

k乘矩陣

A的第

i

列，即

.把

A第

j行的

k倍加到第

i

行，即

.把

A第

i

列的

k倍加到第

j列，即

.初等矩陣設(shè)

A是一個(gè)

m×n

矩陣，——左行右列定理2

對(duì)

A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在左邊乘以相應(yīng)的

m階初等矩陣；

對(duì)

A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在右邊乘以相應(yīng)的

n階初等矩陣．初等矩陣均是可逆矩陣，且其逆矩陣還是初等矩陣．說(shuō)明初等矩陣?yán)?解可看成是先對(duì)矩陣

A實(shí)施一次交換第

2

行和第

3行的變換，再實(shí)施一次第

1行乘以數(shù)

k加到第

2行的變換所得到的.這相當(dāng)于先后用初等矩陣左乘矩陣，初等矩陣由定理1和定理2可知，以下結(jié)論成立設(shè)

A是任意

m×n

矩陣，必存在行最簡(jiǎn)矩陣

U和設(shè)

A是任意

m×n

矩陣，必存在

m階可逆矩陣

P定理m階初等矩陣定理和

n階可逆矩陣

Q，使得其中初等矩陣n階方陣可逆的充要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積．(必要性)可見(jiàn)A

表示成了一些初等矩陣的乘積．因?yàn)榭赡婢仃嚨某朔e仍是可逆矩陣，故

A可逆．證明

(充分性)定理3初等矩陣123m×n

階矩陣

A與

B等價(jià)的充要條件是存在m階定理下面命題互相等價(jià)：n階方陣

A

可逆；方陣A可表為有限個(gè)初等矩陣的乘積.方陣A行等價(jià)于n階單位矩陣；推論可逆矩陣

P與

n階可逆矩陣

Q，使初等矩陣首先構(gòu)造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對(duì)矩陣

實(shí)施初等行變換，將

化為行最簡(jiǎn)形矩陣；03OPTION

如果

不能行等價(jià)于

，則矩陣

不可逆；若

能行等價(jià)于

，

則

可逆，且

就行等價(jià)于

.判別矩陣是否可逆，并在可逆時(shí)求的具體步驟為：初等變換法初等矩陣解例3初等矩陣?yán)媚婢仃嚱饩€性方程組解例4初等矩陣說(shuō)明解線性方程組思考初等矩陣解例5矩陣的秩例6解定義4第1章矩陣及應(yīng)用1.6線性方程組的解線性方程組的解例如齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)橹辽儆辛憬猓咚瓜ń饩€性方程組線性方程組的解線性方程組的矩陣形式問(wèn)題1：方程組是否有解？問(wèn)題2：若方程組有解，則解是否唯一？問(wèn)題3：若方程組有解，如何求出全部解？齊次線性方程組一定有解，這個(gè)解稱為齊次線性方程組的零解.如果齊次線性方程組有唯一解，則這個(gè)唯一解必定是零解.當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，我們稱齊次線性方程組有非零解.非齊次線性方程組可能有無(wú)窮多解，唯一解，無(wú)解.線性方程組的解求解線性方程組解對(duì)應(yīng)方程組為回顧線性方程組的解解例1解方程組對(duì)該線性方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換，得：原方程組等價(jià)于最后一個(gè)方程為矛盾方程，所以原方程組無(wú)解.線性方程組的解01OPTION02OPTION03OPTION對(duì)于

n元非齊次線性方程組，下列命題成立：該線性方程組有解的充要條件是首元不出現(xiàn)在的最后一列；該線性方程組有唯一解的充分必要條件是首元不出現(xiàn)在的最后一列，且首元的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；該線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是首元不出現(xiàn)在的最后一列，且首元的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù).線性方程組的解定義123定理矩陣的初等變換不改變矩陣的秩．證明思路（1）證明

A

經(jīng)過(guò)一次初等行變換變?yōu)?/p>

B，則

R(B)≤R(A)；（2）B

也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?/p>

A，則

R(A)≤R(B)，

于是

R(A)=R(B)；

（3）經(jīng)過(guò)一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過(guò)有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變；（4）設(shè)

A

經(jīng)過(guò)初等列變換變?yōu)?/p>

B，則

AT

經(jīng)過(guò)初等行變換

變?yōu)?/p>

BT

，從而

R(AT)=R(BT)，于是

R(A)=R(B)．線性方程組的解推論