線性代數(shù)及應(yīng)用（高淑萍第2版） 課件 第2章 行列式與線性方程組

第2章行列式與線性方程組2.1行列式的概念及性質(zhì)注：行列式定義通常有3種，教材采用遞推方法，課件采用逆序理論方法。二、三階行列式二元線性方程組方程組有唯一解由消元法，得二、三階行列式定義1——對角線法則二元線性方程組的解可表示為其中二、三階行列式例1解方程組有唯一解．二、三階行列式定義2注二階行列式的對角線法則并不適用！例如全排列與對換用數(shù)字123，可以組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123百位十位1231個(gè)位123種放法．共有引例定義3從

n個(gè)不同元素中取出m(m

≤n)

個(gè)，按照一定順序排成一列，叫做從

n個(gè)元素中取出

m個(gè)元素的一個(gè)排列．把

n個(gè)正整數(shù)排成一列，稱為

n元全排列，對于

n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序．定義4一個(gè)排列中某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序．一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)．例如全排列與對換逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；為奇數(shù)的排列稱為奇排列．練習(xí)求下列排列的逆序數(shù)，并說明奇偶性．（1）（2）解（1）奇排列（2）偶排列符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？答逆序數(shù)等于零，因而是偶排列．思考全排列與對換定義5將一個(gè)

n元排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余數(shù)不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列，這樣的變換稱為對換．若交換的是相鄰位置的兩個(gè)數(shù)，則稱該對換為相鄰對換．定理1對換改變排列的奇偶性．證明（相鄰對換）可見，相鄰對換改變排列的奇偶性．全排列與對換證明（一般對換）改變排列的奇偶性．定理1對換改變排列的奇偶性．全排列與對換推論任一

n元排列與標(biāo)準(zhǔn)排列都可經(jīng)過一系列對換互變，并且所作對換的次數(shù)與這個(gè)

n元排列有相同的奇偶性．奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)；偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．定理2全排列與對換證明設(shè)所有全排列中共有

t個(gè)奇排列和

s個(gè)偶排列，奇排列經(jīng)一次對換都變成偶排列，于是同理可知所以n

階行列式的定義規(guī)律(1)三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)；(2)每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積；(3)每一項(xiàng)可以寫成(正負(fù)號除外)，其中

是1、2、3的某個(gè)全排列；(4)當(dāng)是偶排列時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)取正號；當(dāng)是奇排列時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號．n

階行列式的定義定義6n階行列式注一階行列式|a|=a，不要與絕對值的記號相混淆．

例如一階行列式n

階行列式的定義例2解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，對應(yīng)于故的系數(shù)為-1．n

階行列式的定義計(jì)算行列式例3對角行列式，上三角、下三角行列式行數(shù)可不等于列數(shù)共有

m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有

n2個(gè)元素矩陣行列式n

階行列式的定義推論定理3n階行列式也可定義為n階行列式也可定義為行列式的性質(zhì)設(shè)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式．

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即．證明性質(zhì)1若記，則，行列式的性質(zhì)互換行列式的兩行(列)，行列式變號．性質(zhì)2證明行列式的性質(zhì)行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立．例如推論如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零．證明互換相同的兩行，有行列式的性質(zhì)行列式的某行(列)中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)，證明性質(zhì)3等于用此數(shù)乘以行列式．行列式的性質(zhì)行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以推論1提到行列式符號的外面．行列式中如果有兩行(列)對應(yīng)元素成比例，推論2則此行列式為零．證明推論3行列式的性質(zhì)性質(zhì)4若行列式的第

i行(列)的每一個(gè)元素都可以表示為兩數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個(gè)行列式之和．例如行列式的性質(zhì)把行列式的第

j行(列)元的

k倍加到第

i行(列)性質(zhì)5的對應(yīng)元上，行列式的值不變．計(jì)算行列式常用方法是利用運(yùn)算把行列式說明化為三角形行列式，從而算得行列式的值．行列式的性質(zhì)例4計(jì)算階行列式解行列式的性質(zhì)例5證明

證明行列式的性質(zhì)例6解行列式的性質(zhì)性質(zhì)6(行列式乘積法則)證明OC結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示．思考任意行列式是否都可以用較低階的行列式表示？行列式按行(列)展開行列式按行(列)展開在

n階行列式中，把元素所在的第

i行和定義7留下來的元按原來的次序構(gòu)成的階第

j

列劃去后，行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如每一個(gè)元素對應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式，余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān)．說明行列式按行(列)展開引理一個(gè)

n階行列式，如果其中第

i行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積．證明行列式按行(列)展開n階行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)定理4的代數(shù)余子式乘積之和，即證明行列式按行(列)展開例7解說明計(jì)算行列式時(shí)，可以運(yùn)用行列式性質(zhì)，將某一行(列)盡可能多得化為零，然后使用行列式的展開．行列式按行(列)展開例8設(shè)，求及解行列式按行(列)展開例9證明范德蒙德行列式證明(數(shù)學(xué)歸納法)故等式成立．行列式按行(列)展開定理5n階行列式任一行(列)的各元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即其中

是克羅內(nèi)克(Kronecker)符號.第2章行列式與線性方程組2.2行列式的計(jì)算計(jì)算四階行列式解例1計(jì)算

n

階行列式解將行列式按第

n

行展開，得降階法：應(yīng)用初等變換使行列式的某行(列)的零元充分多，

然后按該行或該列展開，化為低階行列式來計(jì)算．例1練習(xí)解計(jì)算解三角化方法：一般先利用行列式的性質(zhì)將其做某種

保值變形，再化為三角形行列式．例2練習(xí)解數(shù)學(xué)歸納法：通過計(jì)算低階行列式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想

k階行列式符合

這種規(guī)律，然后證明

k+1

階行列式也符合這種規(guī)律．范德蒙德(Vandermonde)行列式升階法(加邊法)：增加一行一列，使升階后的行列式與

原行列式相等，且易于計(jì)算．計(jì)算解例3練習(xí)解計(jì)算階行列式解連加法：各行元素之和都相等，連加提出公因式例5練習(xí)解計(jì)算解直接遞推不易得到結(jié)果，變形得于是遞推法：找到所求行列式與比它低階，但結(jié)構(gòu)相同的行列式之間的遞推關(guān)系．例4練習(xí)解于是計(jì)算解取行列式可知乘積法：關(guān)鍵是尋找有特殊結(jié)構(gòu)的已知行列式去乘原行列式，

從而簡化原行列式的計(jì)算．例7解當(dāng)

n1時(shí)，顯然當(dāng)

n2時(shí)，有當(dāng)

n3時(shí)，有例5例8解解

例6練習(xí)解將

y

與

z

互換，行列式

Dn

不變，

從而當(dāng)

z

y

時(shí)，解得第2章行列式與線性方程組2.3行列式的應(yīng)用矩陣求逆公式定義1例如矩陣求逆公式定理1則必有證明回顧矩陣求逆公式n階方陣可逆的充要條件是，

且有定理2證明矩陣求逆公式例1

解矩陣求逆公式例2解矩陣求逆公式例3解矩陣求逆公式定義定理3并且證明矩陣求逆公式例4解矩陣求逆公式總結(jié)以下結(jié)論成立12345矩陣求逆公式例5解求設(shè)

A為3階矩陣，注克萊默法則二元線性方程組其中方程組有唯一解克萊默法則(Cramer‘sRule)是一個(gè)關(guān)于求解線性方程組的定理，它適用于變量和方程數(shù)目相等的線性方程組．克萊默法則定理4其解為其中是把系數(shù)行列式中第

j列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代