2024年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題含答案解析

絕密★啟用前2024年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號?姓名?考點(diǎn)學(xué)校?考場號及座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則（）A. B.C D.3.已知，則的值大約為（）A1.79 B.1.81 C.1.87 D.1.894.已知一個圓柱和一個圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個正方形，則這個圓柱的側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積的比值是（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若的面積是的面積的兩倍，則（）A.2 B. C. D.7.已知，則的值為（）A. B. C. D.28.對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”．設(shè)數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.約翰遜多面體是指除了正多面體?半正多面體（包括13種阿基米德多面體?無窮多種側(cè)棱與底棱相等的正棱柱?無窮多種正反棱柱）以外，所有由正多邊形面組成的凸多面體．其中，由正多邊形構(gòu)成的臺塔是一種特殊的約翰遜多面體，臺塔，又叫帳塔?平頂塔，是指在兩個平行的多邊形（其中一個的邊數(shù)是另一個的兩倍）之間加入三角形和四邊形所組成的多面體．各個面為正多邊形的臺塔，包括正三?四?五角臺塔．如圖是所有棱長均為1的正三角臺塔，則該臺塔（）A.共有15條棱 B.表面積為C.高為 D.外接球的體積為10.已知定義在上函數(shù)，滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C. D.2是函數(shù)的一個周期11.泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的．若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”．則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡方程是B.直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C.點(diǎn)的軌跡與圓沒有交點(diǎn)D.平面上有一點(diǎn)，則的最小值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓，圓，直線分別與圓和圓切于兩點(diǎn)，則線段的長度為__________．13.的展開式中的系數(shù)為__________．14.已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知中，角的對邊分別是，且．（1）求角大??；（2）若向量與向量垂直，求的值．16.在如圖所示的四棱錐中，四邊形為矩形，平面為線段上的動點(diǎn)．（1）若平面，求的值；（2）在（1）的條件下，若，求平面與平面夾角的余弦值．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對于任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知分別為雙曲線左?右頂點(diǎn)，，動直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．當(dāng)軸，且時，四邊形的面積為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)均在雙曲線的右支上，直線與分別交軸于兩點(diǎn)，若，判斷直線是否過定點(diǎn)．若過，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．19.甲?乙?丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中．（1）設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）投擲次骰子后，記球在乙手中的概率為，求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，求證：．絕密★啟用前2024年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號?姓名?考點(diǎn)學(xué)校?考場號及座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求集合，再求.【詳解】，即，得，即，且,所以.故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得對應(yīng)的點(diǎn)，即可得對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得答案.【詳解】由題意得復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，故選：A3.已知，則的值大約為（）A.1.79 B.1.81 C.1.87 D.1.89【答案】A【解析】【分析】借助對數(shù)運(yùn)算法則計算即可得.【詳解】.故選：A.4.已知一個圓柱和一個圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個正方形，則這個圓柱的側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積的比值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出底面半徑，由題意可得高，即可計算圓柱的側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積，即可得解.【詳解】設(shè)這個圓柱和圓錐的底面半徑為，由圓柱的軸截面是一個正方形，故其高，則圓柱的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面積，則.故選：B.5.函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用平移規(guī)律求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的值.【詳解】由題意可知，，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，則，,得，且，所以.故選：D6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若的面積是的面積的兩倍，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】有的面積是的面積的兩倍可得，設(shè)出直線方程聯(lián)立曲線，得到相應(yīng)韋達(dá)定理即可計算出、，即可得解.【詳解】令為點(diǎn)到直線的距離，則，,由，故，由拋物線定義可知，，，則有，即，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，有，，故，，則，則有，故，有，故或（負(fù)值舍去），則，故.故選：C7.已知，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】首先利用兩角和差的正切公式化解，并求得，再根據(jù)二倍角的正切公式，即可化解求值.【詳解】由條件可知，，即，則，所以.故選：A8.對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”．設(shè)數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助與的關(guān)系可計算出數(shù)列的解析式，即可得，則分及兩種情況分類討論，當(dāng)時，為有特殊定義域的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解出即可得.【詳解】當(dāng)時，，則，即，故，當(dāng)時，，符合上式，故，則，故，因?yàn)閷θ我獾暮愠闪?，?dāng)時，有，即，不符合要求，當(dāng)時，則有，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在得到后，可知當(dāng)時，為有特殊定義域的二次函數(shù)，即可結(jié)合二次的函數(shù)的性質(zhì)解題.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.約翰遜多面體是指除了正多面體?半正多面體（包括13種阿基米德多面體?無窮多種側(cè)棱與底棱相等的正棱柱?無窮多種正反棱柱）以外，所有由正多邊形面組成的凸多面體．其中，由正多邊形構(gòu)成的臺塔是一種特殊的約翰遜多面體，臺塔，又叫帳塔?平頂塔，是指在兩個平行的多邊形（其中一個的邊數(shù)是另一個的兩倍）之間加入三角形和四邊形所組成的多面體．各個面為正多邊形的臺塔，包括正三?四?五角臺塔．如圖是所有棱長均為1的正三角臺塔，則該臺塔（）A.共有15條棱 B.表面積C.高為 D.外接球的體積為【答案】ACD【解析】【分析】由臺塔的結(jié)構(gòu)特征，數(shù)棱的條數(shù)，計算表面積和高，由外接球半徑計算體積.【詳解】臺塔下底面6條棱，上底面3條棱，6條側(cè)棱，共15條棱，A選項正確；臺塔表面有1個正六邊形，3個正方形，4個正三角形，由所有棱長均為1，表面積為，B選項錯誤；上底面正三角形在下底面正六邊形內(nèi)的投影為，則點(diǎn)是正六邊形的中心，也是的中心，和都是正三角形，是的中心，由棱長為1，則，所以臺塔的高，C選項正確；設(shè)上底面正三角形的外接圓圓心為，則半徑，下底面正六邊形的外接圓圓心為，則半徑，設(shè)臺塔的外接球半徑為，，則有或，解得，所以，臺塔的外接球體積，D選項正確.故選：ACD10.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.為偶函數(shù)C. D.2是函數(shù)的一個周期【答案】ABD【解析】【分析】對A：借助賦值法，令，計算即可得；對B：借助賦值法，令，結(jié)合偶函數(shù)定義即可得；對C：計算出，其與不滿足該關(guān)系即可得；對D：借助賦值法，令，結(jié)合的值與周期函數(shù)的定義計算即可得.詳解】對A：令，則有，又，故有，故，故A正確；對B：令，則有，又，故有，即，又其定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，故B正確；對C：令，，則有，故，又，不符合，故C錯誤；對D：令，則有，由，故，則，故，兩式作差并整理得，故2是函數(shù)的一個周期，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，對D選項，需借助，再令，從而消掉所給式子中的一項，再結(jié)合周期函數(shù)的定義得解.11.泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的．若某直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”．則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡方程是B.直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C.點(diǎn)的軌跡與圓沒有交點(diǎn)D.平面上有一點(diǎn)，則的最小值為【答案】AC【解析】【分析】對A：設(shè)出，結(jié)合題意計算即可得；對B、C：聯(lián)立兩方程，借助判斷有無交點(diǎn)即可得；對D：借助題目定義，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，從而得到，計算出的最小值即可得.【詳解】對于A，設(shè)，則有，整理可得，故點(diǎn)的軌跡方程是，故A正確；對于B，聯(lián)立直線與點(diǎn)的軌跡方程，有，可得，，故直線與點(diǎn)的軌跡方程沒有交點(diǎn)，則直線不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B錯誤；對于C，聯(lián)立圓與點(diǎn)的軌跡方程，有，可得，，故點(diǎn)的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確；對于D，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，由題意可得，故，則當(dāng)、、三點(diǎn)共線，即直線時，有，故的最小值為，故D錯誤.故選：AC..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中D選項的判斷需要注意結(jié)合題目所給定義，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，從而得到.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓，圓，直線分別與圓和圓切于兩點(diǎn)，則線段的長度為__________．【答案】【解析】【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圖形和幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，圓心距，由，所以兩圓相交，則.故答案為：13.的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】首先將看成一個整體，再結(jié)合的形式，利用二項式定理的通項公式求解.【詳解】的通項公式為，當(dāng)時，，中，含項的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：14.已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值是__________.【答案】.【解析】【詳解】試題分析：，由題意得，，令，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，即所求最大值為，故填：.考點(diǎn)：基本不等式求最值.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若向量與向量垂直，求的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化解，再結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍，即可求解角的大小；（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，再結(jié)合正弦定理邊角互化，得到，再根據(jù)條件和（1）的結(jié)果，利用余弦定理，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即．所以，因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以．【小問2詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以．由正弦定理可得．所以，由余弦定理可得，即．解得．所以的值為2．16.在如圖所示的四棱錐中，四邊形為矩形，平面為線段上的動點(diǎn)．（1）若平面，求的值；（2）在（1）的條件下，若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理可得線線平行，結(jié)合中位線的性質(zhì)即可得；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算即可得.【小問1詳解】如圖1，連接，交于點(diǎn)，連接．平面平面，平面平面，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，即，小問2詳解】如圖2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．平面，平面的一個法向量可為．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對于任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)以及切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.（2）將原問題轉(zhuǎn)化為對于任意，都有恒成立，即需；從而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值在哪里取到，由此列出不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【小問1詳解】由于，故，切點(diǎn)為，，所以切線的斜率為0，在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】令，則，所以為R上單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以時，時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．若對于任意，都有恒成立，即只需．因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最大值為和中最大的一個，所以，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．，故當(dāng)時，．當(dāng)時，，則成立．當(dāng)時，由的單調(diào)性，得，即，不符合題意．當(dāng)時，，即，也不符合題意．綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，解答的關(guān)鍵是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.18.已知分別為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，，動直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．當(dāng)軸，且時，四邊形的面積為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)均在雙曲線的右支上，直線與分別交軸于兩點(diǎn)，若，判斷直線是否過定點(diǎn)．若過，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示梯形的面積，即可求解雙曲線方程；（2）首先根據(jù)條件設(shè)，并利用方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求直線的方程，化簡后即可求定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由知，．當(dāng)軸時，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由，可得．代入雙曲線的方程，得．因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以．解得．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)．直線的方程為，直線的方程為．又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線的兩支各交于一點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則有解得．由消去，得．設(shè)點(diǎn)，則．解得．所以．由消去，得．設(shè)點(diǎn)，則．解得．所以．當(dāng)直線不垂直于軸時，．