河北省張家口市宣化一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

河北省張家口市宣化一中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，（且），且數(shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，又，則A． B． C． D．2．已知,,,是球球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面,,，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3．高一數(shù)學(xué)興趣小組共有5人，編號(hào)為.若從中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則選出的參賽選手的編號(hào)相連的概率為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最小正周期為π，若其圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)5．以下給出了4個(gè)命題：（1）兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點(diǎn)必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)共有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)6．已知等差數(shù)列中，，則公差（）A． B． C．1 D．27．在等差數(shù)列{an}中，若a1+A．8 B．16 C．20 D．288．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或09．正方體中，異面直線(xiàn)與BC所成角的大小為（）A． B． C． D．10．某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)1，2，……，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若66號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）A．16 B．226 C．616 D．856二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線(xiàn)是函數(shù)（其中）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的值為_(kāi)_______.12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則_____．13．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________.14．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該四棱錐的側(cè)面積是______________15．如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為_(kāi)_______.16．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知圓：與圓：．（1）求兩圓的公共弦長(zhǎng)；（2）過(guò)平面上一點(diǎn)向圓和圓各引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，設(shè)，求證：平面上存在一定點(diǎn)使得到的距離為定值，并求出該定值．18．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x+π3)-4cos（1）求函數(shù)g(x)的解析式；（2）求函數(shù)g(x)在[π19．某地統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？20．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求：（1）邊上的高所在直線(xiàn)的方程；（2）的外接圓的方程．21．已知函數(shù)，且.（1）求常數(shù)及的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)已知條件可以推出，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因此去絕對(duì)值可以得到，，利用累加法繼而算出結(jié)果．【詳解】，即，或，又，．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，．．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過(guò)遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，以及并項(xiàng)求和法的應(yīng)用。2、B【解析】

根據(jù)截面法，作出球心O與外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理可求得球半徑，從而得到結(jié)果.【詳解】如圖，的外接圓圓心E為BC的中點(diǎn)，設(shè)球心為O，連接OE，OP，OA，D為PA的中點(diǎn)，連接OD.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，且平面，則//，由為等腰三角形可得，又，所以//，則四邊形ODAE是矩形，所以=，而，中，根據(jù)勾股定理可得，所以該球的表面積為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積問(wèn)題，幾何體的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題，關(guān)鍵是球心位置的確定，必要時(shí)需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.3、A【解析】

先考慮從個(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本事件總數(shù)，再分析選出的參賽選手的編號(hào)相連的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺膫€(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本事件有：，共種，又因?yàn)檫x出的參賽選手的編號(hào)相連的事件有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度較易.求解古典概型問(wèn)題的常規(guī)思路：先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后計(jì)算出目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)，目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)比上基本事件的總數(shù)即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率.4、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據(jù)平移得出，然后利用對(duì)稱(chēng)性求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個(gè)單位后得到，由得到的函數(shù)是奇函數(shù)可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時(shí)可得C正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì).平移變換時(shí)注意平移方向和對(duì)解析式的影響，性質(zhì)求解一般利用整體換元意識(shí)來(lái)處理.5、D【解析】

利用向量的概念性質(zhì)和向量的數(shù)量積對(duì)每一個(gè)命題逐一分析判斷得解.【詳解】（1）兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量不一定相等，因?yàn)樗鼈兛赡芊较虿煌?，所以該命題是錯(cuò)誤的；（2）相等的向量起點(diǎn)不一定相同，只要它們方向相同長(zhǎng)度相等就是相等向量，所以該命題是錯(cuò)誤的；（3）若，且，則是錯(cuò)誤的，舉一個(gè)反例，如，不一定相等，所以該命題是錯(cuò)誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，故該命題不正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的概念和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、C【解析】

利用通項(xiàng)得到關(guān)于公差d的方程，解方程即得解.【詳解】由題得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】

因?yàn)閍n則a1所以a5故選C.8、A【解析】

根據(jù)框圖有，由判斷條件即即可求出的值.【詳解】由有.根據(jù)輸出的條件是，即.所以，解得：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖和向量的加法以及數(shù)量積以及性質(zhì)，屬于中檔題.9、D【解析】

利用異面直線(xiàn)與BC所成角的的定義，平移直線(xiàn)，即可得答案．【詳解】在正方體中，易得．異面直線(xiàn)與垂直，即所成的角為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成角的定義，考查對(duì)基本概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

抽樣間隔為，由第三組中的第6個(gè)數(shù)被抽取到，結(jié)合226是第12組中的第6個(gè)數(shù)，從而可得結(jié)果．【詳解】從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn),抽樣間隔為，號(hào)學(xué)生被抽到，第四組中的第6個(gè)數(shù)被抽取到，226是第12組中的第6個(gè)數(shù)，被抽到,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)，確定抽樣間隔是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可得，由此可得答案.【詳解】依題意得，所以，即，因?yàn)椋曰?，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，屬于基礎(chǔ)題.12、4或1024【解析】

當(dāng)時(shí)得到，當(dāng)時(shí)，代入公式計(jì)算得到，得到答案.【詳解】比數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)：易知，代入驗(yàn)證，滿(mǎn)足，故當(dāng)時(shí)：故答案為：4或1024【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列，忽略掉的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.13、【解析】

用輔助角公式把函數(shù)解析式化成正弦型函數(shù)解析式的形式，最后利用正弦型函數(shù)的最小正周期的公式求出最小正周期.【詳解】,函數(shù)的最小正周期為.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式，考查了正弦型函數(shù)最小正周期公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解析】四棱錐的側(cè)面積是15、【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，由題可知，邊長(zhǎng)均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以．點(diǎn)睛：本題采用幾何法去找二面角，再進(jìn)行求解．利用二面角的定義：公共邊上任取一點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作公共邊的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對(duì)應(yīng)三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）．16、【解析】

通過(guò)變形可知，累乘計(jì)算即得結(jié)論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）把兩圓方程相減得到公共弦所在直線(xiàn)方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式與圓的垂徑定理求兩圓的公共弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)圓的切線(xiàn)長(zhǎng)與半徑的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求解.【詳解】解：（1）由，相減得兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為：，設(shè)(0,0)到的距離為，則所以，公共弦長(zhǎng)為所以，公共弦長(zhǎng)為.（2）證明：由題設(shè)得：化簡(jiǎn)得：配方得：所以，存在定點(diǎn)使得到的距離為定值，且該定值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的應(yīng)用.求兩圓的公共弦關(guān)鍵在求公共弦所在直線(xiàn)方程；求動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離問(wèn)題，首先要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.18、(1)g(x)=sin【解析】

(1)首先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，然后確定平移變換之后的函數(shù)解析式即可；(2)結(jié)合(1)中函數(shù)的解析式確定函數(shù)的最大值即可.【詳解】（1）f(x)==3(sin2xcos=3由題意得g(x)=sin[2(x+π化簡(jiǎn)得g(x)=sin(2x+π（2）∵π12可得π3∴-1當(dāng)x=π6時(shí)，函數(shù)當(dāng)x=π2時(shí)，函數(shù)g(x)有最小值【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換，三角函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由頻率分布直方圖計(jì)算可得月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；(2)分別計(jì)算小長(zhǎng)方形的面積值，利用中位數(shù)的特點(diǎn)即可確定中位數(shù)的值；(3)首先確定10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)，然后結(jié)合分層抽樣的特點(diǎn)可得應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】（1）居民月收入在[3000,3500]內(nèi)的頻率為（2）因?yàn)?，，，，所以樣本?shù)據(jù)的中位數(shù)為.（3）居民月收入在[2500,3000]內(nèi)的頻率為，所以這10000人中月收入在[2500,3000]內(nèi)的人數(shù)為.從這10000人中用分層抽樣的方法抽出100人，則應(yīng)從月收入在[2500,3000]內(nèi)的居民中抽取(人).【點(diǎn)睛】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.20、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0【解析】

（1）根據(jù)高與底邊所在直線(xiàn)垂直確定斜率，再由其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從而由點(diǎn)斜式得到高所在直線(xiàn)方程，再寫(xiě)成一般式.（2）設(shè)出的外接圓的一般方程，將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于的方程組，從而求出外接圓的方程.【詳解】（1）直線(xiàn)AB的斜率為，AB邊上的高所在直線(xiàn)的斜率為-2，則AB邊上的高所在直線(xiàn)的方程為y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0（2）設(shè)△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圓的方程為x2+y2+2