離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課59離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差理解2023年新高考Ⅰ卷T2023年全國(guó)甲卷（理）T2022年全國(guó)甲卷（理）T2022年北京卷T2022年浙江卷T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，一般以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上，命題熱點(diǎn)是以離散型隨機(jī)變量為載體，常常與排列組合、二項(xiàng)分布、超幾何分布交匯，具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).預(yù)計(jì)2025年高考的命題情況變化不大，但應(yīng)加強(qiáng)對(duì)題目的理解、板塊綜合運(yùn)用的訓(xùn)練一、離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)w，都有①唯一的實(shí)數(shù)Xw與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X二、離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，?，xn，我們稱(chēng)②X取每一個(gè)值xi的概率PX=xi=三、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)1.pi2.③p1四、離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xxx…x…xPpp…p…p1.均值稱(chēng)EX=④x1p2.方差稱(chēng)DX=x1?EX2p1+五、均值與方差的性質(zhì)1.EaX2.DaX+b=⑩a均值與方差的四個(gè)常用性質(zhì)1.Ek=k，D2.EX3.DX4.若X1，X2相互獨(dú)立，則5.若X是隨機(jī)變量，則YY題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）離散型隨機(jī)變量的概率分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象.(√)（2）在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(×)（3）離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)（4）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小.(√)2.（多選題）（易錯(cuò)題）已知隨機(jī)變量X的分布列為PX=n=aA.PB.aC.PD.以上均不正確【易錯(cuò)點(diǎn)】隨機(jī)變量分布列概率和為1，此處容易忽略隨機(jī)變量取0的情況.[解析]根據(jù)題意，隨機(jī)變量X的分布列為PX=n=an+1n題組2走進(jìn)教材3.（雙空題）（人教A版選修③P71?T3改編）已知隨機(jī)變量X的分布列為PX=0=0.2，PX=1[解析]由題意知，0.2+a+b=4.（多選題）（人教A版選修③P60·例3改編）編號(hào)為1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，則(BCD).A.ξ的所有可能取值是1，2，3 B.PC.Eξ=1[解析]ξ的所有可能取值為0,1,3，故A錯(cuò)誤.ξ=0表示三位學(xué)生全坐錯(cuò)了，有2種情況，即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則Pξ=0=2A33=13ξ013P111故Eξ=0×13+1×1題組3走向高考5.[2022·浙江卷]（雙空題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6，從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取的卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則Pξ=2[解析]從寫(xiě)有數(shù)字1，2，2，3，4，5，6的7張卡片中任取3張共有C73種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有C41+C21C42種，所以Pξ=考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)［自主練透］1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X?01P11q則q=(BA.12 B.1?22 C.[解析]由題意，有12+1?2q+q2=2.設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如表所示：ξ1234P11a1則Pξ?2A.712 B.12 C.512[解析]根據(jù)隨機(jī)變量ξ的概率分布列知，16+14+a+13=1，解得a3.[2024·濟(jì)南模擬]（多選題）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示：ξ?0123P11112則下列各式不正確的是(ABD).A.Pξ<3C.P2<ξ[解析]Pξ<3=110+15+110+15=34.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m（1）求2X+（2）求隨機(jī)變量η=[解析]（1）由分布列的性質(zhì)知，0.2+0.1+列表為X012342X13579從而2X+2X13579P0.20.10.10.30.3（2）由（1）知m=X01234X10123所以Pη=1=PX=故η=η0123P0.10.30.30.3離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用1.利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；2.利用“離散型隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；3.可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量分布列的求法［師生共研］典例1已知袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3個(gè)球，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，求ξ的分布列.[解析]隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為1，2，3,Pξ=1=C42ξ123P331變式設(shè)問(wèn)已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球，記X=0,兩球全紅,[解析]由題意得，X的所有可能取值為0，1，PX=0可得X的分布列為X01P38離散型隨機(jī)變量分布列的四個(gè)解題步驟明取值明確隨機(jī)變量的所有可能取值有哪些及每一個(gè)取值所表示的意義求概率要弄清楚隨機(jī)變量的概率類(lèi)型，利用相關(guān)公式求出變量取每一個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率畫(huà)表格按規(guī)范要求形式寫(xiě)出分布列作檢驗(yàn)利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答兩道題，至少答對(duì)一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次機(jī)會(huì)，每答對(duì)一道題得10粒小豆.已知甲每題答對(duì)的概率均為p，乙第一題答對(duì)的概率為23，第二題答對(duì)的概率為12，且乙有機(jī)會(huì)答題的概率為（1）求p的值;[解析]由已知得，當(dāng)甲至少答對(duì)1題后，乙才有機(jī)會(huì)答題，所以乙有機(jī)會(huì)答題的概率P=1?（2）求甲、乙共同拿到小豆的數(shù)量X的分布列.[解析]X的所有可能取值為0，10，20，30，40，PXPXPXPXPX所以X的分布列為X010203040P119133考點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量分布列的數(shù)字特征［多維探究］均值、方差的計(jì)算典例2[2023·全國(guó)甲卷節(jié)選]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.設(shè)X表示指定的2只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.[解析]依題意，X的所有可能取值為0,1,2，則PX=0=C所以X的分布列為X012P192019故EX變式設(shè)問(wèn)若典例2中的條件不變，則X的方差為1939[解析]由典例2知X的分布列且EX=1求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟1.理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能的全部取值；2.求ξ取每個(gè)值的概率；3.寫(xiě)出ξ的分布列；4.由均值、方差的定義求Eξ，D決策問(wèn)題典例3據(jù)悉某計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為13，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為16，25，n（1）若n=（2）該計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求n的取值范圍.[解析]（1）設(shè)“該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀”為事件A，則PA“該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好有一門(mén)筆試科目?jī)?yōu)秀”為事件B，則PB（2）該考生報(bào)考甲大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為X，依題意，X～B3該同學(xué)報(bào)考乙大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為Y，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0，1，2，3，PY=0=56×故隨機(jī)變量Y的分布列為Y0123P1132n則EY因?yàn)樵摽忌邢ＭM(jìn)入甲大學(xué)的面試，所以EY<EX，即17+30n30利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)思路1.當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧，可對(duì)問(wèn)題作出決策；2.若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩個(gè)變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量取值的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而作出決策.某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)100元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，那么每個(gè)300元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，如柱狀圖所示.以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).（1）求X的分布列；[解析]由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，X的所有可能取值為