復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯編-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期備考期末復(fù)習(xí)（人教A版2019必修第二冊(cè)）VIP

《人教A版必修二知識(shí)點(diǎn)匯總》第7章《復(fù)數(shù)》知識(shí)點(diǎn)匯總7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念（1）定義形如a+bia，b∈R的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中這樣，方程x2＝-1在復(fù)數(shù)集（2）表示方法復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z=a+bia，溫馨提示:①i2=-1；②i和實(shí)數(shù)之間能進(jìn)行加法、乘法運(yùn)算；(3)實(shí)部a∈實(shí)例運(yùn)用例1說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：-2+13i，2+i，22，解：-2+13i的實(shí)部為2+i的實(shí)部為22的實(shí)部為2-3i的實(shí)部為0i的實(shí)部為0，虛部為1；0的實(shí)部為0，虛部為0；2.復(fù)數(shù)相等的充要條件（1）設(shè)a，b即“兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.”（2）特別地，a＋bi＝0?a＝（3）實(shí)例運(yùn)用例2求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值：①(x解：由題意可得x解得x②(x解：由題意可得x解得x3.復(fù)數(shù)的分類（1）實(shí)數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)的概念與充要條件對(duì)于復(fù)數(shù)a①當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；例如：2,-②當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=0時(shí)，③當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù);例如：2-3④當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).例如（2）復(fù)數(shù)的分類由上探究可知，復(fù)數(shù)a+（3）實(shí)例運(yùn)用例3當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i是下列數(shù)?

解：（1）當(dāng)虛部m-1=0，即m=1時(shí)，（2）當(dāng)虛部m-1≠0，即m（3）當(dāng)實(shí)部m+1=0虛部m-1≠7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面的概念如圖,點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z＝a通過建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．例如，復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)(0,0)表示實(shí)數(shù)0,實(shí)軸上的點(diǎn)(2,0)表示實(shí)數(shù)2,虛軸上的點(diǎn)(0,-1)表示純虛數(shù)-i,點(diǎn)注1：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；注2：除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).2.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義一——用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)由復(fù)平面的概念引入可知：每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)．由此可知，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)按如下方式建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:注：這是復(fù)數(shù)的第一種幾何意義——用點(diǎn)表示復(fù)數(shù).（2）復(fù)數(shù)的幾何意義二——用向量表示復(fù)數(shù)如圖，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量OZ由點(diǎn)Z因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量建立了如下一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即注：這是復(fù)數(shù)的第二種幾何意義——用起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面向量表示復(fù)數(shù).3.復(fù)數(shù)的模如圖，當(dāng)我們用向量OZ表示復(fù)數(shù)z＝規(guī)定：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|即|簡(jiǎn)稱為：“一個(gè)復(fù)數(shù)的模等于它實(shí)部與虛部的平方和再開算術(shù)平方根.”注：特別地，當(dāng)b=0時(shí)，那么z＝a＋bi簡(jiǎn)稱為：“實(shí)數(shù)的模等于這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值.”4.共軛復(fù)數(shù)（1）定義如圖，一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)注：特別地，虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．例如3+5i與3-5i（2）表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z＝（3）性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z與z5.實(shí)例運(yùn)用例3設(shè)復(fù)數(shù)z1=4+3i，z2=4-3i．

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量;解:（1）如圖，復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1(4,3)，Z2(4,-3)，對(duì)應(yīng)的向量分別為O（2）∵已知z1=4+3i，∴||故|7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義1.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則規(guī)定：設(shè)z1＝aaa簡(jiǎn)述為：“兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，實(shí)部與實(shí)部相加作為和的實(shí)部，虛部與虛部相加作為和的虛部.”例如(2+3注：由復(fù)數(shù)的加法法則可以看出（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；（2）特別地，當(dāng)z1,（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律根據(jù)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則可知：對(duì)任意的z1（1）交換律：z1（2）結(jié)合律：z1注：實(shí)數(shù)集中加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍然成立，且實(shí)數(shù)集中的移項(xiàng)法則（移正為負(fù)、移負(fù)為正）在復(fù)數(shù)集中仍然成立.（3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a+bi，z1+z2.復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的減法法則規(guī)定：復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi記作：x+yiaa簡(jiǎn)述為：“兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，實(shí)部與實(shí)部相減作為差的實(shí)部，虛部與虛部相減作為差的虛部.”（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a+bi，z1-z3.實(shí)例運(yùn)用例1計(jì)算2+4i+3解：原式=(2+3)+[4+(-4)]例2設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-解:設(shè)z=a+bi∴2又∵已知2z+∴3a=3b故例3已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2解：∵已知復(fù)數(shù)z1=3+4i∴z例4計(jì)算（1）5解(1)：5-(3+2（2）(5解(2)：(5-67.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算1.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則規(guī)定：設(shè)z1＝aaa簡(jiǎn)述為：“兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，先用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開，再將i2=-1例如(2+3i注：由復(fù)數(shù)的乘法法則可以看出①兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；②特別地，當(dāng)z1，z2（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知：對(duì)任意的z1①交換律：z1②結(jié)合律：z1③分配律：z1z2注：復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律與多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律相同，同時(shí)相應(yīng)的公式——如完全平方公式(a±b)2.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則為：aa=簡(jiǎn)述為：“兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，先把除式轉(zhuǎn)化為分式，再分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，實(shí)現(xiàn)分母實(shí)數(shù)化后化簡(jiǎn).”注：由復(fù)數(shù)的除法法則可以看出兩個(gè)復(fù)數(shù)的商仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；例如(2+3i（2）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程ax①當(dāng)判別式Δ＝b2－②當(dāng)判別式Δ＝b2－3.實(shí)例運(yùn)用例1計(jì)算(1)7-6i(2)例2計(jì)算：(1)(2+3(2)(1+例3計(jì)算(1-=(11-2=-22