2025屆湖北省宜昌金東方高級(jí)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2025屆湖北省宜昌金東方高級(jí)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．2．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，在?nèi)任取一點(diǎn)，的概率是（）A． B． C． D．3．角的終邊過點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．4．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）5．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，母線與軸的夾角為30°，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．6．秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法，求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值分別為4和2，則輸出的值為（）A．32 B．64 C．65 D．1307．已知某數(shù)列的前項(xiàng)和（為非零實(shí)數(shù)），則此數(shù)列為（）A．等比數(shù)列 B．從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列C．當(dāng)時(shí)為等比數(shù)列 D．從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列或等差數(shù)列8．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)，同時(shí)的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來(lái)的圖象重合，當(dāng)，且時(shí)，，則A． B． C． D．9．平面內(nèi)任一向量都可以表示成的形式，下列關(guān)于向量的說(shuō)法中正確的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一個(gè)是零向量C．向量的方向相反 D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，10．若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.12．等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則______.13．已知函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，當(dāng)取得最小值時(shí)，_______________.14．設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.15．已知數(shù)列滿足，，則______．16．在高一某班的元旦文藝晚會(huì)中，有這么一個(gè)游戲：一盒子內(nèi)裝有6張大小和形狀完全相同的卡片，每張卡片上寫有一個(gè)成語(yǔ)，它們分別為意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，從盒內(nèi)隨機(jī)抽取2張卡片，若這2張卡片上的2個(gè)成語(yǔ)有相同的字就中獎(jiǎng)，則該游戲的中獎(jiǎng)率為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．某書店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷，每種單價(jià)（元）試銷l天，得到如表單價(jià)（元）與銷量（冊(cè)）數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)（元）1819202122銷量（冊(cè)）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程：（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量（冊(cè)）與單價(jià)（元）服從（l）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤(rùn)，該冊(cè)書的單價(jià)應(yīng)定為多少元？附：，，，.18．如圖，墻上有一壁畫，最高點(diǎn)離地面4米，最低點(diǎn)離地面2米，觀察者從距離墻米，離地面高米的處觀賞該壁畫，設(shè)觀賞視角（1）若問：觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角最大？（2）若當(dāng)變化時(shí)，求的取值范圍.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.20．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象重合.（1）求和的值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及圖象的對(duì)稱軸方程.21．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點(diǎn)分別在上，且平面，試確定點(diǎn)的位置

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，，再切化弦，即可求解.【詳解】由題意又解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計(jì)算公式知的概率，故選A.3、B【解析】由三角函數(shù)的定義知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.4、D【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力．5、B【解析】

根據(jù)母線長(zhǎng)和母線與軸的夾角求得底面半徑和圓錐的高，代入體積公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，底面半徑；圓錐的高圓錐體積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查錐體體積的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】程序運(yùn)行循環(huán)時(shí)變量值為：；；；，退出循環(huán)，輸出，故選C．7、D【解析】

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（為非零實(shí)數(shù)）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若，則，此時(shí)，該數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等差數(shù)列；若且，不滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，該數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列.綜上所述，此數(shù)列為從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列或等差數(shù)列.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查分類討論思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、A【解析】由題設(shè)可知該函數(shù)的周期是，則過點(diǎn)且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應(yīng)選答案A點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.9、D【解析】

根據(jù)平面向量的基本定理，若平面內(nèi)任一向量都可以表示成的形式，構(gòu)成一個(gè)基底，所以向量不共線．【詳解】因?yàn)槿我幌蛄?，根?jù)平面向理的基本定理得，所以向量不共線，故A，C不正確.是一個(gè)基底，所以不能為零向量，故B不正確.因?yàn)椴还簿€，且不能為零向量，所以若，當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由題意得圓心為，半徑為．圓心到直線的距離為，由直線與圓有公共點(diǎn)可得，即，解得．∴實(shí)數(shù)a取值范圍是．選C．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．12、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比，從而列出關(guān)系式，又，接著用表示，代入到關(guān)系式中，可求出的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，則成等比，且，所以，又因?yàn)?，即，所以，整理?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比.13、110【解析】

要使取得最小值，可令，即，對(duì)的值進(jìn)行粗略估算即可得到答案.【詳解】由題知：①.要使①式取得最小值，可令①式等于.即，.又因?yàn)?，，則當(dāng)時(shí)，，，①式.則當(dāng)時(shí)，，，①式.當(dāng)或時(shí)，①式的值會(huì)變大，所以時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特征，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，核心素養(yǎng)是考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，屬于難題.14、.【解析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，15、1023【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義以及前項(xiàng)和公式即可．【詳解】因?yàn)樗?，所以為首先?公比為2的等比數(shù)列，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和：屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

先列舉出總的基本事件，在找出其中有2個(gè)成語(yǔ)有相同的字的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得中獎(jiǎng)率.【詳解】解：先觀察成語(yǔ)中的相同的字，用字母來(lái)代替這些字，氣—A，風(fēng)—B，馬—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分別表示成語(yǔ)意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，則從盒內(nèi)隨機(jī)抽取2張卡片有共15個(gè)基本事件，其中有相同字的有共6個(gè)基本事件，該游戲的中獎(jiǎng)率為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率問題，關(guān)鍵是要將符合條件的基本事件列出，是基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)【解析】

（l）先計(jì)算的平均值，再代入公式計(jì)算得到（2）計(jì)算利潤(rùn)為：計(jì)算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對(duì)的回歸直線方程為：．（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）（2）3≤x≤1．【解析】試題分析：（1）利用兩角差的正切公式建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)基本不等式求最值，最后根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性確定最大時(shí)取法，（2）利用兩角差的正切公式建立等量關(guān)系式，進(jìn)行參變分離得，再根據(jù)a的范圍確定范圍，最后解不等式得的取值范圍.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，過作的垂線，垂足為，則，且，由已知觀察者離墻米，且，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)增，所以，當(dāng)觀察者離墻米時(shí)，視角最大．（2）由題意得，，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或，又因?yàn)?，所以，所以的取值范圍為?9、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程，對(duì)實(shí)數(shù)分、、三種情況討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出函數(shù)在區(qū)間上的最小值的表達(dá)式；（2）對(duì)函數(shù)分情況討論：（i）方程在區(qū)間上有兩個(gè)相等的實(shí)根；（ii）①方程在區(qū)間只有一根；（②；③.可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式或不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），其對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，.綜上所述：；（2）（i）若方程在上有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，此時(shí)無(wú)解；（ii）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.①當(dāng)只有一根在內(nèi)時(shí)，，即，得；②當(dāng)時(shí)，，方程化為，其根為，，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，方程化為，其根為，，滿足題意.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在定區(qū)間上最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用二次函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.20、（1），；（2）減區(qū)間為，對(duì)稱軸方程為【解析】

(1)先根據(jù)平移后周期不變求得,再根據(jù)三角函數(shù)的平移方法求得即可.(2)根據(jù)(1)中,代入可得,利用輔助角公式求得,再代入調(diào)遞減區(qū)間及圖象的對(duì)稱軸方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象重合,所以.所以,因?yàn)?所以.（2）由（1）,,所以,.令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.令,可得圖象的對(duì)稱軸方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的平移運(yùn)用以及輔助角公式.同時(shí)也考查了根據(jù)三角函數(shù)的解析式求解單調(diào)區(qū)間以及對(duì)稱軸等方法.屬于中檔題.21、（1）；（2）M為AB的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)【解析】

（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個(gè)法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設(shè)，利用平面PCD，所以