高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)

章一元函數(shù)積分學(xué)(20%）一、不定積分二、定積分三、定積分的應(yīng)用2021/5/91本講出題在10分—18分之間，考點不多，一般在選擇題、填空題、計算題中出現(xiàn)，不定積分是定積分的基礎(chǔ)，定積分又是二重積分、曲線積分的基礎(chǔ)，技巧性比較大，希望同學(xué)們多練習(xí)。本講重點：（1）原函數(shù)、不定積分的概念和性質(zhì)。（2）直接積分方法、換元積分法。（3）湊微分技巧。本講難點：綜合利用積分方法求不定積分?？荚圏c津：2021/5/921．原函數(shù)的概念；2．不定積分的兩個性質(zhì)及一個推論；3．分項積分法；4．換元積分法；又可細(xì)分為湊微分法（重點）與變量代換法（主要是去根號）；5．分部積分法。有理函數(shù)積分、三角函數(shù)積分基本不考。即便考，用前面的方法也可解決。本章重點考核的知識點2021/5/93第一節(jié)不定積分（一）、不定積分的概念與性質(zhì)（二）、不定積分的基本公式第三章一元函數(shù)積分學(xué)2011年考了16分（三）、換元積分法（四）、分部積分法2021/5/94（一）不定積分的概念與性質(zhì)

1.原函數(shù)

設(shè)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)，使對于該區(qū)間任意，都有關(guān)系式：或成立，則稱函數(shù)為函數(shù)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。2021/5/95例又因為：所以顯然，，，都是的一個原函數(shù)。2021/5/96★由此不難得出：

（1）一個函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無窮多個。

（2）同一函數(shù)的原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。

（3）若為的一個原函數(shù)，則表示的所有原函數(shù)。

2021/5/97任意常數(shù)積分符號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量稱為在該區(qū)間I上的不定積分。即：設(shè)是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則函數(shù)的全體原函數(shù)（c為任意常數(shù)）

2.不定積分（一）不定積分的概念與性質(zhì)

2021/5/98設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而的全部積分曲線所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而如下圖所示：（一）不定積分的概念與性質(zhì)

3.不定積分的幾何意義2021/5/99

2021/5/910（一）不定積分的概念與性質(zhì)

4.原函數(shù)存在定理在定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（即：一定有不定積分）。2021/5/911定理1

微分運算與積分運算互為逆運算，即

定理2定理3（一）不定積分的概念與性質(zhì)

5.不定積分的性質(zhì)2021/5/912基本積分表

是常數(shù));（二）不定積分的基本積分公式

2021/5/913基本積分表

（二）不定積分的基本積分公式

2021/5/914A.

B

C.

D.

提示公式：故選B2021/5/915

提示公式：2021/5/916

提示公式：2021/5/917（三）換元積分法（重點掌握第一換元積分法）2021/5/918

2008年解答、8分2021/5/9192021/5/9202021/5/9212021/5/922（四）分部積分法

2021/5/9232021/5/9242021/5/9252010年解答、8分2021/5/926內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)2021/5/927第二節(jié)定積分（一）基本概念與基本性質(zhì)（二）牛頓-萊布尼茲公式第三章一元函數(shù)積分學(xué)（三）定積分的換元積分法和分部積分法（四）無窮區(qū)間上的反常積分2021/5/928abxyo實例1

（求曲邊梯形的面積）（一）基本概念與基本性質(zhì)1、定積分的定義2021/5/929abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形面積和越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）2021/5/930曲邊梯形如圖所示，b,xxxxxab][a,n1n210=<<<<<=-L個分點，內(nèi)插入若干在區(qū)間1.分割2.近似2021/5/931曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為3.求和4.取極限2021/5/932定義2021/5/933被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和2021/5/934注意：2021/5/935定理1定理22.定積分存在定理定理2021/5/936對定積分的補充規(guī)定:說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大?。?021/5/937曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值3.定積分的幾何意義2021/5/938幾何意義：2021/5/939小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限2021/5/940（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情況）性質(zhì)14.定積分的性質(zhì)（證明略）2021/5/941性質(zhì)22021/5/942補充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則性質(zhì)32021/5/943證性質(zhì)4性質(zhì)52021/5/944性質(zhì)5的推論：證（1）2021/5/945證說明：

可積性是顯然的.性質(zhì)5的推論：（2）2021/5/946證（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）性質(zhì)62021/5/947證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知性質(zhì)7（定積分中值定理）積分中值公式2021/5/948使即積分中值公式的幾何解釋：2021/5/949１．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）２．典型問題（１）估計積分值；（２）不計算定積分比較積分大?。〗Y(jié)2021/5/9501.積分上限函數(shù)2.牛頓-萊布尼茨公式（二）牛頓-萊布尼茨公式2021/5/951考察定積分稱為積分上限函數(shù)。1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的定義2021/5/952積分上限函數(shù)的性質(zhì)證2021/5/953由積分中值定理得2021/5/954例1求解2021/5/955定理3（微積分基本公式）證2.牛頓—萊布尼茲公式(Newton-LeibnitzFormula)2021/5/956令令牛頓—萊布尼茨公式2021/5/957微積分基本公式表明：注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.2021/5/958例求

解2021/5/959例7求

解解面積2021/5/9603.微積分基本公式1.積分上限函數(shù)2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小結(jié)牛頓－萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系．2021/5/961

1.定積分的換元法（三）定積分的換元法

2.定積分的對稱性3.定積分的分部積分法2021/5/962定理1.定積分的換元法2021/5/963例

計算解令2021/5/964又解例

計算解2021/5/965應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）（2）2021/5/966注意換元才需換上下限2021/5/967注意:（1）（2）不可以！2021/5/968證2.定積分的對稱性2021/5/9692021/5/970奇函數(shù)例解原式所以選D對稱上下限，奇偶2021/5/971定積分的分部積分公式推導(dǎo)3.定積分的分部積分公式2021/5/972幾個特殊積分、定積分的幾個等式定積分的換元法小結(jié)定積分的分部積分公式（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）2021/5/973定義1（四）無窮區(qū)間上的反常積分（了解）2021/5/974例１計算解2021/5/975定義22021/5/976解.sin20ò￥-xdx計算例2021/5/977定義32021/5/978（一）求平面圖形的面積第三節(jié)定積分的應(yīng)用（二重積分和該項內(nèi)容考到可能性極大）（二）求旋轉(zhuǎn)體的體積2021/5/979回顧曲邊梯形求面積的問題1、定積分的元素法abxyo（一）求平面圖形的面積2021/5/980面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值（4）求極限，得A的精確值2021/5/981abxyo提示面積元素2021/5/9822021/5/983元素法的一般步驟：2021/5/984這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積，體積。經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。其他應(yīng)用。2021/5/9852、求平面圖形的面積如何用元素法分析？，

2021/5/9862、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2021/5/9872、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2021/5/988第二步：寫出面積表達(dá)式。2、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2021/5/9892、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2021/5/9902、求平面圖形的面積如何用元素法分析？2021/5/9912、求平面圖形的面積第二步：寫出面積表達(dá)式。如何用元素法分析？2021/5/992解兩曲線的交點選為積分變量2021/5/993解兩曲線的交點選為積分變量于是所求面積2021/5/994于是所求面積2021/5/995xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？2021/5/996xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達(dá)式？2021/5/997解兩曲線的交點選為積分變量2021/5/998平面圖形的面積的計算步驟:(1)畫草圖(2)選擇合適的積分變量(3)求交點,確定積分限.(4)列式原則:盡可能使分的塊數(shù)越少越好.2021/5/999極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積