三角形-沖刺2020年全國中考數(shù)學(xué)真題專項強化練習(xí)卷（含答案）

專題：三角形一

沖刺2020年全國中考數(shù)學(xué)真題專項強化練習(xí)卷

I.如圖，在△ABC中，AB=AC,以8c為直角邊作等腰Rt^BCD,NCBD=90°,斜邊

CD交AB于點E.

(1)如圖1,若/ABC=60°,BE=4,作E/7_LBC于"，求線段BC的長；

(2)如圖2,作CFL4C,JiCF=AC,連接BF,且E為A3中點，求證：CD=2BF.

2.在△ABC中，AC=BC,/ACB=90°,。為AB邊的中點，以。為直角頂點的Rt△力EF

的另兩個頂點E,F分別落在邊AC,CB(或它們的延長線)上.

(1)如圖1,若的兩條直角邊OE,OF與△A8C的兩條直角邊AC,BC互相

垂直，貝lj八ABC，求當(dāng)S^OEF=S/\CEF=2時，AC邊的長；

（2）如圖2,若Rtz^OE尸的兩條直角邊。E,力P與△4BC的兩條直角邊AC,BC不垂

直，1OEKSACEF=￡SAABC，是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出

S^DEF，S&C￡F，SMBC之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3,若RtZsQEF的兩條直角邊DE,CF與△ABC的兩條直角邊AC,8c不垂

直，且點E在AC的延長線上，點尸在CB的延長線上，Sz\OEf+S/\CEF="^_SAABC是否成

立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出SMEF，S&CEF，S"BC之間的數(shù)量關(guān)

系.

3.如圖1,0A=2,。8=4,以點A為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC.

（I）求C點的坐標(biāo);

（II）如圖2,0A=2,P為），軸負(fù)半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，以為腰等

腰直角△AP。，過。作。軸于E點，求。P-OE的值；

（III）如圖3,點F坐標(biāo)為（-4,-4）,點G（0,加）在y軸負(fù)半軸，點H（〃，0）x

軸的正半軸，且求機+〃的值.

4.已知I,ZVIBC是等腰直角三角形，BC=AB,A點在x負(fù)半軸上，直角頂點8在y軸上,

點C在x軸上方.

(1)如圖1,點8的坐標(biāo)是(0,1).

①若NABO=60°,則AB=；

②若A的坐標(biāo)是(-3,0),求點C的坐標(biāo)；

(2)如圖2,過點C作CD，)，軸于O,請直接寫出線段OA,OD,CO之間的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖3,若x軸恰好平分/BAC,BC與x軸交于點E,過點C作C￡Lx軸于凡問

CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

5.在△ABC中，ZBAC=45°,CDJLA8于點。，4EJ_BC于點E,連接。E.

(1)如圖1,當(dāng)△ABC為銳角三角形時，

①依題意補全圖形，猜想/BAE與/BCD之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

②用等式表示線段AE,CE,QE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)/A8C為鈍角時，依題意補全圖形并直接寫出線段AE,CE,OE的數(shù)量

關(guān)系.

BCC

圖1圖2

6.【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容.請根據(jù)教材提示,

結(jié)合圖23.4.2,寫出完整的證明過程.

如圖23.42在-A8C中，點二E分別是433。

的中點,根據(jù)畫出的0B形，可以到建:

DE"BC,SDE=；BC

對此，我們可以用演滓推理給出證明.

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖，△ABC是等邊三角形，點加在邊A8上(點。與點4、B不重合)，過點。作OE

〃BC交AC于點E,連結(jié)BE,例、N、P分別為力E、BE、8c的中點，順次連結(jié)例、N、

P.

(1)求證：MN=PN；

(2)/MNP的大小是.

7.如圖，在△ABC中，ZBAC=90Q,AB=5cm,BC=l3cm,點。在線段AC上，且8

=1an,動點P從距8點15?！ǖ腅點出發(fā)，以每秒2cm的速度沿射線EA的方向運動，

時間為，秒.

(1)求的長.

(2)用含有r的代數(shù)式表示AP的長.

(3)在運動過程中，是否存在某個時刻，使△A8C與△4￡)月全等？若存在，請求出t

值；若不存在，請說明理由.

(4)直接寫出，=_______秒時，△PBC為等腰三角形.

8.如圖①，△ABC是等邊三角形，點P是BC上一動點(點P與點B、C不重合)，過點P

作PM〃AC交AB于M,PN"AB交AC千N,連接BN、CM.

(1)求證：PM+PN=BC；

(2)在點尸的位置變化過程中，BN=CM是否成立？試證明你的結(jié)論；

(3)如圖②，作M)〃BC交AB于。，則圖②成軸對稱圖形，類似地，請你在圖③中

添加一條或幾條線段，使圖③成軸對稱圖形(畫出一種情形即可).

9.【知識回顧】

我們把連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，并且有：三角形的中位線平行

于第三邊，并且等于第三邊的一半.

【定理證明】

將下列的定理證明補充完整：

己知：如圖①，在△ABC中，點力、E分別是邊AB、AC中點，連結(jié)力E.

求證：

證明：

【定理應(yīng)用】

如圖②，在△48C中，AB=10,/ABC=60°,點P、。分別是邊AC、BC的中點，連

結(jié)P。.

(1)線段尸Q的長為.

(2)以點C為一個端點作線段CO(C。與A8不平行)，連結(jié)A。，取AO的中點M,連

結(jié)PM、QM.

①在圖②中補全圖形.

②當(dāng)時，求CD的長.

③在②的條件下，當(dāng)△PQM面積最大時，直接寫出NBC。的度數(shù).

10.如圖1,點C在線段AB上，(點c不與A、8重合)，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)

作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接4E、8。交于點P

(1)觀察猜想：①線段AE與8。的數(shù)量關(guān)系為.

@ZAPC的度數(shù)為.

(2)數(shù)學(xué)思考：如圖2,當(dāng)點C在線段48外時，(1)中的結(jié)論①，②是否仍然成立？

若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形4CD和等腰

直角三角形BCE,其中NACZ)=NBCE=90°,CA=CD,CB=CE,連接AE=B￡>交于

點P,則線段AE與BD的關(guān)系為.

11.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容

2.線段垂直平分線

我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線MN

是線段AB的垂直平分線，P是上任一點，連結(jié)以、PB,將線段AB沿直線MN對

稱，我們發(fā)現(xiàn)必與PB完全重合，由此即有：

線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到線段的距離相等.

已知：如圖，MN±AB,垂足為點C,4C=BC,點尸是直線MN上的任意一點.

求證：PA^PB.

分析：圖中有兩個直角三角形APC和8PC,只要證明這兩個三角形全等，便可證明南

定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整

的證明過程.

定理應(yīng)用：

(1)如圖②，在AABC中，直線機、〃分別是邊BC、AC的垂直平分線，直線機、〃的

交點為0.過點。作04_LA8于點H.求證：AH=BH.

(2)如圖③，在AABC中，AB=BC,邊4B的垂直平分線/交AC于點。，邊8C的垂

直平分線上交AC于點E.若N4BC=120。，AC=15,則DE的長為.

12.如圖，△A8C是等邊三角形，AB=2cm.動點尸從點C出發(fā)，以協(xié)"/$的速度在邊

BC的延長線上運動.以CP為邊作等邊三角形CP。，點A、0在直線BC同側(cè).連結(jié)AP.

B0相交于點E.設(shè)點P的運動時間為f(s)(r>0).

(1)當(dāng)胃s時，AABC^/\QCP.

(2)求證：△ACPZABC。.

(3)求/8EP的度數(shù).

(4)設(shè)AP與CQ交于點兒BQ與4c交于點G,連結(jié)尸G,當(dāng)點G將邊4c分成I：2

的兩部分時，直接寫出的周長.

B-D

13.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點。是BC的中點，連接AO.

(1)如圖1,若AB=2,求AO的長度；

(2)如圖2,過點。作ODLAC于點D求證：。。=工48.

2

(3)如圖2,在(2)的條件下，當(dāng)。。=3時，求。UBC的值.

14.如圖1,/XABC中，AB=AC,ZBAC=90°,CO平分NACB,BELCD,垂足E在CO

的延長線上.請解答下列問題：

(1)圖中與/DBE相等的角有：；

(2)直接寫出8E和C。的數(shù)量關(guān)系；

(3)若aABC的形狀、大小不變，直角三角形BEC變?yōu)閳D2中直角三角形BED,ZE

=90°,且NEOB=aNC,OE與AB相交于點F.試探究線段BE與")的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論.

15.情景觀察：（1）如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=45°,C￡）_LAB于。，AE±

BC于E,CD與AE相交于點凡

①寫出圖1中兩對全等三角形；

②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是.

問題探究：（2）如圖2,在△ABC中，AB=BC,N84C=45°,A。平分N54C,且AO

_LCO于O,AO與BC交于點E.求證：AE=2CD.

拓展延伸：（3）如圖3,在△ABC中，AB^BC,ZBAC=45°，點。在4c上，ZEDC

二上/BAC,DELCE于E,DE與BC交于點、F.求證：DF=2CE.

2

參考答案

1.解：(1)；/ABC=60°,EH1BC,

；.NBEH=30°,

：.BE=2BH=4,EH=y[^H,

：.BH=2,EH=2?,

'：ZCBD=90°,BD=BC,

：.ZBCD=45°,且E”_LBC,

:.NBCD=NBEC=45°,

：.EH=CH=2^

：.BC=BH+HC=2+2次；

(2)如圖，過點A作AMLBC,

：.BM=MC^—BC=—DB,

22

VZDCB=45°,AMVBC,

；.NDCB=NMNC=45°,

：.MN=MC=—BD,

2

'：AM//DB,

:./\CNMsACBD

?.?~CN~~A~N,

CDBD

:,CD=2CN,AN=BD,

VC-F±/IC,ZBCD=45°,

AZACD+ZBCF=45°,且NAC￡>+NMAC=45°,

：.ZBCF=ZMACfSLAC=CF9BC=AN,

：.AACW^ACFB(SAS)

:?BF=CN,

：.CD=2BF

2.解：(1)VZACB=90°,DEA.AC,DFA.BC,

，四邊形OECb是矩形，

VZACB=90°,

：.BCA.AC,

VDE±AC,

：.DE//BC,

???。為A8邊的中點，

???DE是△ABC的中位線，

：.DE=—BCAC=2CE,

2f

同理：DF=^AC,

^AC=BC,

:,DE=DF,

???四邊形DEC尸是正方形，

；?CE=aF=CF=DE,

?：S&DEF=S&CEF=2=￡DE?DF=/DF2,

：.DF=2f

：.CE=29

：.AC=2CE=4；

(2)S^DE盧S&CEF=^SAABC成立，理由如下：

連接C￡>；如圖2所示：

*：AC=BCfZACB=90°,。為A8中點，

.".ZB=45°,ZZ）CE=—ZACB=45°,CDLAB,CD=LB=BD,

22

AZDCE=ZB,NCDB=90°,S&ABc=2S&BCD,

；NEDF=90°,

J.ZCDE^ZBDF,

rZCDE=ZBDF

在△（?￡）￡：和△B。尸中，，CD=BD，

1ZDCE=ZB

：./\CDE^/\BDF（ASA）,

??DE=DF.S^CDE=S&BDF?

:?SADE/S>CEF=SACDES>CDF=S>BCD=爭/\ABU

=

⑶不成立；S^DEP-S^CEF^^ABC^理由如下:

連接CD,如圖3所示:

同（1）得：△OEC絲△OBEZDCE=ZDBF=\35°,

?e?S&DEF=S五邊形DBFEC，

=S△CFaSADBC，

=SZSCFE+/SMBC，

:?S^DEF-S^CFE=-^S^ABC-

FB

圖2

3.解：（1）如圖1,過C作CMLx軸于M點，如圖1所示:

\'CM±OA,AC1AB,

二NMAC+NOAB=90°,NOAB+/OBA=90°,

：.ZMAC=ZOBA,

，ZCMA=ZAOB

在△MAC和△OBA中，，ZMAC=Z0BA?

,AC=BA

：./\MAC^/\OBA(A4-S),

：.CM=0A=2,MA=OB=4,

OM=6,

...點C的坐標(biāo)為(-6,-2),

故答案為(-6,-2)；

(II)如圖2,過。作DQLOP于Q點，

則四邊形0匹。是矩形，

：.DE=OQ,

VZAPO+ZQPD=90o,N4PO+/OAP=90°,

:.NQPD=NOAP,

rZAOP=ZPQD=90°

在△AOP和△POQ中，，NQPD=N0AP，

AP=PD

A/\AOP^/\PDQ(AAS),

：.AO=PQ=2,

：.OP-DE=OP-OQ=PQ=OA=2；

(III)如圖3,過點尸分別作ESL*軸于S點，尸7，)，軸于7點,

則NHSF=NG7F=90°=NS07,

.??四邊形OSFT是正方形，

:.FS=FT=4,ZEFT=90°=ZHFG,

：.NHFS=AGFT,

'/HSF=/GTF

在△尸SH和△口G中，，NHFS=/GFT，

HF=GF

:ZSH之AFTG(AAS),

：.GT=HS,

又YG(0,m),H(n,0),點F坐標(biāo)為(-4,-4),

JOT—OS=4f

；?GT=-4-m,HS=n-(-4)=〃+4,

-4-m=〃+4,

?二"+〃=-8.

JOB=1,

在RtZkAOB中，ZABO=60°,

：.ZOBA=30°,

???43=205=2,

故答案為2；

②如圖1,過點C作軸于”,

：.ZBHC=90°=ZA0B1

VA(-3,0),B(0,1),

???0M=3,OB=1)

???△ABC是等腰直角三角形，

：.BA=BC,ZABC=90°，

：.ZABO+ZCBH=90°,

VZABO+ZBAO=9O0,

???NCBH=/BAO,

：./\ABO^/\BCH(A4S),

???07=08=1,BH=0A=3,

：.0H=0B+BH=4f

：.C(-1,4)；

(2)0A=CD+0D；理由：

VCD±y,

：.ZBDC=90°=N40B,

???XABC是等腰直角三角形，

：.BA=BC,ZABC=90°,

???NA80+NC80=90°,

VZABO+ZBAO=90°,

，/CBD=/BAO,

???△4300△BCD(4AS),

：.CD=OB,0A=BD,

：.OA=BD=OBWD=CD+OD；

(3)CF=—AE理由：

29

如圖3,延長Cb與A8,相交于G,

：.ZCBG=90°,

???CF_Lx軸,

???N3CG+NG=90°,

VZGAF+ZG=90°,

:?/BCG=/GAF,

:,/\ABE式ACBG(ASA),

：.AE=CG,

軸平分NBAC,C尸_Lx軸,

5.解：（1）①依題意補全圖形，如圖1所示:

猜想/A4E=N8C￡）,理由如下：

,.?CC_LAB于點。，AE_LBC于點E,

/COB=NCD4=N4E8=90°,

/B+NBAE=NB+/BCD=90°,

NBAE=/BCD；

②4E=CE+J^DE,理由如下：

作QGJ_QE,交AE于G,如圖1-1所示:

則NE￡>G=90°=4CDA,

NADG=NCDE,

VZBAC=45°,

.?.△4CD是等腰直角三角形,

：.AD=CD,

由①得：NDAG=NDCE,

2ADG=NCDE

在△A￡>G和△(：￡)￡中，AD=CD，

ZDAG=ZDCE

/XADG^/XCDE(ASA),

：.AG=CE,DG=DE,

.?.△QEG是等腰直角三角形，

：.EG=yf2PE,

\"AE=AG+EG,

：.AE=CE+y/2DE；

(2)依題意補全圖形如圖2所示：CE=AE+4?PE,理由如下:

作。GJ_￡)E,咬AE的延長線于G,

則NE￡>G=90°=ZCDA,

ZADG=ZCDE,

VZBAC=45°,

...△ACQ是等腰直角三角形，

J.AD^CD,

同①得：ZDAG=ZDCE,

，ZADG=ZCDE

在△AOG和△?)￡；中，JAD=CD，

ZDAG=ZDCE

:.△NDG空XCDE(AS4),

：.AG=CE,DG=DE,

.?.△OEG是等腰直角三角形，

：.EG=42PE,

"：AG=AG+EG,

：.CE=AE+y[2DE.

A

.AD=AE=1

**AB-AC-T

;ZA=ZA,

：.XADEsXABC,

：DE=AD=1

.ZADE=ZABC,BC-AB-T

：.DE//BC,DE=—BC.

2

【結(jié)論應(yīng)用】（1）證明：??,△ABC是等邊三角形,

：.AB=AC,ZABC=ZACB=60°,

9：DE//AB,

AZABC=ZADE=60°sZACB=ZAED=60°,

ZADE=ZAED=60°,

???△4OE是等邊三角形，

：.AD=AEf

，BD=CE,

?：EM=MD,EN=NB,

：.MN=—BD,

2

?:BN=NE,BP=PC,

；.PN=LEC,

2

:?NM=NP.

(2)?:EM=MD,EN=NB,

:?MN〃BD,

?：BN=NE,BP=PC,

：.PN//EC,

:./MNE/ABE,/PNE=/AEB,

?：NAEB=NEBsC+/C,ZABC=ZC=60°,

AZMNP=ZABE+ZEBC+ZC=ZABC+ZC=120°.

7.解：(1)在RtZXABC中，VZBAC=90°,AB=5cm,BC=13cm,

?,^C=VBC2-AB2=V132-52=12

,:CD=1cm,

：.AD=AC-CD=\2-7=5(cm).

(2)當(dāng)0W忘10時,B4=20-2t.

當(dāng)，＞10時，20.

(3)VAD=BD=5cffl,NBAC=NRiD=90°,

當(dāng)AC=PA時，AABC與△ADP全等，

A20-2/=12或2/-20=12,

解得r=4或16,

???滿足條件的f的值為4或16.

(4)當(dāng)8c=BP時，15-2f=13或2f-15=13,

解得t—1或14.

當(dāng)CP=CB時，PA=AB=5,則有2/-20=5,解得f=12.5.

當(dāng)尸C=P8時,122+(2r-20)2=(2z-15)2,解得片名旦,

20

故答案為1或14或12.5或婆.

8.(1)證明：如圖①中,

圖①

?「△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=ZACB=60°,

?:PM"AC,PN//ABf

???四邊形PMAN是平行四邊形，ZBPM=ZACB=60a,/CPN=/ABC=6C,

：.PN=AM,ABMP,

:.PM=BM,P

：.PM+PN=BM+AM=AB=BC,

：.PM+PN=BC.

(2)解：如圖②中，結(jié)論成立.

理由：連接BMCM.

圖②

是等邊三角形，

：.BM=PB,

\'ND//BC,PN//AB,

：.四邊形PNDB是平行四邊形，

：.DN=PN,

VZADN=ZABC=60°,NANC=NACB=60°,ZA=60°,

...△AON是等邊三角形，

:.AN=DN=PB=BM,

AB=BC,

:AABNm/XCBM(SAS),

：.BN=CM.

(3)解：如圖③即為所求.

作ND〃BC交AB于N,作ME〃BC交AC于M,作EF〃AB交8c于F,連接。F.

9.【定理證明】：已知：如圖?①，在△ABC中，點。、E分別是邊A3、AC中點，連結(jié)OE.

求證：DE//BC,DE=—BC

證明：：。、E分別是A3、OC中點,

.AD_AEg,又NA=NA,

"AB-AC2

/XADE^/XABC,

：.ZADE=ZB,DE=_^=1

而一而一T

：.DE//BC,DE=—BC；

2

【定理應(yīng)用】

(1)?.?點P、。分別是邊AC、BC的中點,

：.PQ=^AB=5,

故答案為：5；

(2)①補全圖形②如圖所示：

②；NPQM=NPMQ,

：.PM=PQ,

?點P、Q、M分別是AC、BC、AQ中點，

：.AB=2PQ,CD=2MP,

：.CD=AB=\O；

③由三角形的面積公式可知，當(dāng)PM_LPQ時，△PQM面積最大，

如圖③，ZBCD=90°-ZB=90°-60°=30°,

如圖④，ZBCD=1800°--30°=150°,

綜上所述，當(dāng)△PQM面積最大時，NBCD的度數(shù)為30°或150°.

BQc

D

圖④

圖③

圖②

10.解：（1）觀察猜想：①如圖1,

圖1

設(shè)AE交CO于點O.過點C作CH工AE,CG1BD,

?：AADC,△EC3都是等邊三角形,

：.CA=CD,ZACD=ZECB=60°,CE=CB,

NACE=NDCB,

:.△ACEQXDCB(SAS),

?.AE=BD,NCAO=NOQ尸，S^ACE=S、BCD，

ZAOC=ZDOP,

：.ZDPO=ZACO=60°,

AZAPB=nO0,

YS%ACE=SABCD，

：.—XAEXCH=—XBDXCG,

22

.\CH=CG,且CH_LAE,CG±BD,

；.CP平分NAPB,

AZAPC=60°,

故答案為AE=BD,60°.

(2)數(shù)學(xué)思考：：①成立，②不成立,

理由：設(shè)AC交3。于點。.過點。作C〃_LAE,CGLBD,

VAADC,Z\EC3都是等邊三角形，

：.CA=CD1ZACD=ZECB=60°,CE=CB,

：.ZACE=ZDCB

:?△ACEQXDCB(SAS),

：.AE=BDfNB4O=NOQC,

?//AOP=4DOC,

：.ZAPO=ZDCO=60°,

：.ZDPE=nO0,

?*S〉A(chǔ)CE=SABCD，

：.—XAEXCH=—XBDXCG,

22

：.CH=CG,且CH_LAE,CGLBD,

CP平分NOPE,

.\ZDPC=60°,

AZAPC=120°,

...①成立，②不成立；

拓展應(yīng)用:

圖3

設(shè)AC交8D于點O

VZACD=ZBCE=90°,CA=CDtCB=CE,

：.NACE=NDCB

：.AA￡C^A￡)BC(SAS),

：.AE=BDf/CDB=NCAE,

VZAOP=ZCOD,NCDB=NCAE,

：.ZDCO=ZAPO=90°,

C.AELBD,

故答案為：AE=BD,AE1.BD.

11.解：定理證明：

：.ZPCA=ZPCB=90°.

又,.?AO=BC,PC=PC,

：.APAC^/\PBC(SAS),

：.PA=PB.

定理應(yīng)用：(1)如圖2,連結(jié)04、OB、OC.

???直線機是邊BC的垂直平分線,

???OB=OC,

???直線n是邊AC的垂直平分線,

:.OA=OC9

：.OA=OB

OH_LAB,

：.AH=BH；

(2)如圖③中，連接3。，BE.

圖③

???BA=BCNABC=120°,

AZA=ZC=30°,

???邊AB的垂直平分線交AC于點。，邊BC的垂直平分線交AC于點E,

:,DA=DB,EB=EC,

：.ZA=ZDBA=30°,ZC=ZEBC=30°,

ZBDE=ZA+ZDBA=60°,N8EO=NC+4NEBC=60°,

???△BZ汨是等邊三角形，

:?AD=BD=DE=BE=EC,

'：AC=15=AD+DE+EC=3DE,

:?DE=5,

故答案為：5.

12.解：(1)VAABC,△CPQ都是等邊三角形,

J當(dāng)PC=AB=2時，AABC^AQCP.

.\t=2sf

故答案為2.

(2)?:△ABC是等邊三角形,

AZACB=6QQ,AC=8C,

?「△CPQ是等邊三角形，

???NPCQ=60°,CP=CQ,

：.ZACP=ZBCQ=\20°,

/\ACP^/\BCQ(SAS).

(3)?:XACP9XBCQ,

：.ZCAP=ZCBQf

NBEP=NABE+NBAE,

：./BEP=NABC+NBAC,

???△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=ZBAC=60°,

：.ZBEP=i20°.

(4)如圖1中,

圖1

AACP^ABCQ,

:?/CAF=/CBG,

9：CA=CB,ZACF=ZBCG=60°,

:.△ACFWXBCG(ASA),

：.CF=CGf

VZGCF=60°,

???△GCF是等邊三角形，

9

當(dāng)AG=2CG時，。6=件'機，

...△CFG的周長為2cro

如圖2中，當(dāng)CG=2AG時，CG=-^m,△PCG的周長為4cm.

圖2

綜上所述，△CFG的周長為2cm或4CTH.

13.解：(1)：A8=2=AC,/B4C=90°,點。是8C的中點,

：.CO=BO=AO,ZAOB=90°,

：.AO2+BO2=AB2=4,

：.A0=y[2

(2)-：CO=BO^AO,ZA0C=9QQ,

.?.△AOC是等腰直角三角形，且。。_LAC,

：.AD=CD,且BO=CO,

：.OD=^AB；

(3)-：OD=3,

；.AB=6,

；.BC=&AB=6&,

；.OC=3&,

，OC?3C=36.

14.解：(1)；BE_LCD,

...NE=90°,

NE=NBAC,又NEDB=NADC,

：.NDBE=ZACE,

平分NAC8,

:.NBCD=/ACE,

：.NDBE=NBCD,

故答案為：NACE和NBCD；

(2)延長BE交C4延長線于尸，

,?。平分NACB,

：.ZFCE=ZBCEt

在△CEF和△CE8中，

'NFCE:NBCE

<CE=CE，

ZCEF=ZCEB

:?△CEgXCEB(ASA),

:?FE=BE,

在△AC。和△ABF中，

<ZACD=ZABF

,AC=AB，

ZCAD=ZBAF=90"

A/XACD^/XABF(ASA),

:?CD=BF,

：.BE=^CD；

(3)BE=—DF

2

證明：過點。作拉G〃C