廣西百色市2022-2023學年高一下學期數(shù)學期末考試模擬試題（教師版）

2022-2023學年廣西百色高一下學期數(shù)學期末考試模擬卷一、單選題1.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)對應(yīng)的點在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】D【解析】【分析】由題，計算出復數(shù)，由復數(shù)的幾何意義即可判斷答案.【詳解】因為，，所以復數(shù)對應(yīng)的點的坐標為，在第四象限.故選：D2.已知，，若，則（）A.2 B.3 C.5 D.12【答案】C【解析】【分析】先利用平面向量垂直的坐標表示求得，再利用平面向量線性運算與模的坐標表示即可求得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，得，則，所以，故.故選：C.3.為落實《國家學生體質(zhì)健康標準》達標測試工作，全面提升學生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機抽取100名男生，測試了立定跳遠項目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠195cm及以上成績?yōu)楹细瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計全校1000名男生中立定跳遠項目合格的男生有（）A.660名 B.940名 C.970名 D.800名【答案】B【解析】【分析】在頻率分布直方圖中，根據(jù)頻率之和為1求出a，然后直接計算合格率即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，所以實數(shù)，所以可估計全校1000名男生中立定跳遠項目合格的男生有名.故選：B.4.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項即可得答案.【詳解】解：對于A，若，，，，，則，故錯誤；對于B，，，則，正確；對于C，，，則或，故錯誤；對于D，若，，，則或異面，故錯誤.故選：B5.若，且，則的形狀為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系得到判斷.【詳解】因為，所以，因為，所以，又因為，所以，即，所以，故是等邊三角形，故選：D.6.在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因三點共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因為三點共線，所以，解得.故選：D.7.甲、乙兩人進行了羽毛球比賽，雙方約定：先勝2局者獲得比賽的勝利．若某局比賽甲先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是；若某局比賽乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知每局比賽都分出勝負，且各局比賽結(jié)果互不影響，若第一局是甲先發(fā)球，從第二局開始，每局由上一局的獲勝者發(fā)球，則這次羽毛球比賽甲獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分析出甲獲勝的情況：①甲先連勝兩局，②甲第一局和第三局勝利，③甲第二局和第三局勝利，再由互斥事件概率公式求解.【詳解】這次羽毛球比賽甲獲勝的情況有三種：①甲連續(xù)獲得2局比賽的勝利，其概率；②甲第一局和第三局比賽獲勝，乙第二局比賽獲勝，其概率；③乙第一局比賽獲勝，甲第二局和第三局比賽獲勝，其概率．故所求概率．故選：C.8.金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體，如圖，某金剛石的表面積為，現(xiàn)將它雕刻成一個球形裝飾物，則可雕刻成的最大球體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用條件求出正多形的邊長，再將求最大球的體積轉(zhuǎn)化成求金剛石的內(nèi)切球體積，進而轉(zhuǎn)化成求截面內(nèi)切圓的半徑，從而求出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，，中點分別為，，連接，，，，，,設(shè)金剛石的邊長為，則由題知，，所以，在等邊中，邊上的高，在中，，由題可知，最大球即為金剛石的內(nèi)切球，由對稱性易知球心在點，與面的切點在線段上，球的半徑即為截面內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由等面積法可知：，解得，所以內(nèi)切球的半徑為則內(nèi)切球體積為故選：D.二、多選題9.某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，則（）A.在每一種型號的轎車中可采用抽簽法抽取B.抽樣比為C.三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三種隨機抽樣方法的特點可判斷ABD；然后根據(jù)分層抽樣計算可判斷C.【詳解】因每一種型號的轎車數(shù)量較多，不適合用抽簽法，故A錯誤；在按比例分配的分層隨機抽樣中，抽樣比為，故B正確；在按比例分配的分層隨機抽樣中，三種型號的轎車應(yīng)依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；在按比例分配分層隨機抽樣中，每一輛被抽到的概率是相等的，故D正確．故選：BCD10.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）A.B.復數(shù)的虛部為C.，為純虛數(shù)的充要條件是D.已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)i的周期性可判斷A，根據(jù)虛部概念判斷B，根據(jù)復數(shù)乘方運算及純虛數(shù)概念判斷C，根據(jù)復數(shù)模的運算即可得到點的軌跡判斷D.【詳解】對選項A：，正確；對選項B：復數(shù)的虛部為2，而不是，錯誤；對選項C：，則，若為純虛數(shù)，則，所以，錯誤；對選項D：設(shè)，由可得，，所以，平方化簡得：，所以在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線，正確.故選：AD11.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個白球、2個黑球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則（）A.“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”是互斥事件B.“都是白球”與“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一個白球”與“都是黑球”是對立事件D.“第一次摸到的是白球”與“第二次摸到的是黑球”相互獨立【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥，對立事件與相互獨立事件的定義逐個判斷即可【詳解】對A，“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”均包含“一個白球一個黑球”的情況，故A錯誤；對B，“都是白球”與“都是黑球”不能同時發(fā)生，且不是對立事件，故為互斥事件，故B正確；對C，“至少有一個白球”與“都是黑球”是對立事件，故C正確；對D，事件“第一次摸到的是白球”的概率，事件“第二次摸到的是黑球”的概率，又，因為，故“第一次摸到的是白球”與“第二次摸到的是黑球”不相互獨立，故D錯誤；故選：BC12.在如圖所示的三棱錐中，，，，兩兩互相垂直，下列結(jié)論正確的為（）A.直線與平面所成的角為B.二面角的正切值為C.到面的距離為D.作平面，垂足為，則為的重心【答案】BD【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，可得為直線與平面所成的角，即可判斷A項；利用線面垂直的判定定理可得平面，即得為二面角的平面角，即可判斷B項；利用等體積法求點面距離即可判斷C項；利用線面垂直得判定定理結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可判斷D項.【詳解】解：因為，，兩兩互相垂直，，平面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角為，故A錯誤；取中點為，連接，因為，，，兩兩互相垂直，所以，因為，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B項正確；因為，所以，設(shè)到面的距離為，則，解得，故C項錯誤；因為，故為等邊三角形，因為平面，則點為點在平面上的投影，又，即點到頂點的距離相等，即點到頂點的距離相等，故為的重心，故D項正確.故選：BD.三、填空題13.已知向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量共線的坐標表示列方程求.【詳解】因為，，所以，又，所以，所以.故答案為：.14.圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，體積是，則圓臺的母線長為______.【答案】20【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用圓臺的體積公式以及勾股定理進行求解.【詳解】如圖，圓臺的上、下底面半徑分別是10和20，所以，設(shè)圓臺上底面面積為，下底面面積為,高為，母線長為，所以，，根據(jù)圓臺的體積公式，解得，在中，由勾股定理有：，解得.則圓臺的母線長為20.故答案為：20.【點睛】15.已知一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，則的方差為______________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)，的平均數(shù)和方差均為4，得到，，從而求出的平均數(shù)和方差.【詳解】由題意得：，解得：，，且，解得：，故的平均數(shù)為，故方差為.故答案為：116.如圖，某山的高度BC＝300m，一架無人機在Q處觀測到山頂C的仰角為15°，地面上A處的俯角為45°，若∠BAC＝60°，則此無人機距離地面的高度PQ為__________m．【答案】200【解析】【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【詳解】根據(jù)題意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，所以m，在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得，即m，在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．故答案為：200四、解答題17.已知向量，．（1）求；（2）已知，且，求向量與向量的夾角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的坐標表示，再借助坐標計算向量的模作答.（2）由向量的模，結(jié)合向量的數(shù)量積運算律轉(zhuǎn)化求出向量的數(shù)量積，再求出夾角作答.【小問1詳解】向量，，則，所以.【小問2詳解】由，，得，解得，由，得，于是，而，則有，所以向量與向量的夾角.18.牯藏節(jié)是苗族的傳統(tǒng)節(jié)日，西江苗寨為了豐富居民的業(yè)余生活，舉辦了關(guān)于牯藏節(jié)的知識競賽，比賽共分為兩輪.在第一輪比賽中，每一位選手均需要參加兩關(guān)比賽，若在兩關(guān)比賽均達標，則進入第二輪比賽.已知在第一輪比賽中，選手、第一關(guān)達標的概率分別為，；第二關(guān)達標的概率分別是，，、在第一輪的每關(guān)比賽中是否達標互不影響.（1）分別求出、進入第二輪比賽的概率；（2）若、兩人均參加第一輪比賽，求兩人中至少有一人進入第二輪比賽的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對立事件的概率公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】由選手、第一關(guān)達標的概率分別為，；第二關(guān)達標的概率分別是，，記“、進入第二輪比賽”分別為事件和事件，則，.所以、進入第二輪比賽的概率分別為和.【小問2詳解】記“兩人中至少有一人進入第二輪比賽”為事件，則.所以兩人中至少有一人進入第二輪比賽的概率為.19.已知在某次招考測試中，甲?乙?丙3人各自通過測試的概率分別為．求：（1）至少有1人通過測試的概率；（2）恰有2人通過測試的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨立，至少有1人通過測試對立事件為1人也沒用過，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.（2）設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件“甲通過測試”，事件乙通過測試”，事件“丙通過測試”，事件與相互獨立，由題意有：．設(shè)事件“甲?乙?丙3人中至少有1人通過測試”，則的對立事件【小問2詳解】設(shè)事件“甲?乙?丙3人中恰有2人通過測試”，則，由于事件均相互獨立，并且事件兩兩互斥，因此20.如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.【小問1詳解】如圖，連接，∵分別是的中點，∴.又∵平面，平面，∴直線平面.【小問2詳解】連接SD，∵分別是的中點，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.21.如圖：在正方體中，M為的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點N，使得平面平面，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）連接BD交AC于O，連接MO，通過證明可證明結(jié)論；（2）上的中點N即滿足平面平面，通過證明平面結(jié)合平面可證明結(jié)論.【小問1詳解】連接BD交AC于O，連接MO.∵為正方體，底面為正方形，∴O為BD的中點.∵M為的中點，在中，OM是的中位線，所以.又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】上的中點N即滿足平面平面，∵N為的中點，M為的中點，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；由（1）知平面，又∵，∴平面平面.22.從某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組頻數(shù)62638228（1）根據(jù)上表補全所示的頻率分布直方圖；（2）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)、方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）及中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？【答案】（1）答案見解析；（2）平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為99.7；（3）答案見解析﹒【解析】分析】（1）由圖表繪制直方圖即可；（2）根據(jù)直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)的概念求值；（3）根據(jù)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例說明即可.【小問1詳解】質(zhì)量指標值分組頻數(shù)62638228頻率/組距0.0060.0260.0380.0220.008則頻率分布直方圖如下圖所示：【小問2詳解】質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為：，質(zhì)量指標值的樣本方差為：，∴這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)約為100，方差約為104．第一組頻率為：0.06，第二組頻率為：0.26，第三組頻率為：0.38，∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，∴中位數(shù)落在第三組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，因此，中位數(shù)為99.7；【小問3詳解】質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例約為，由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．23.從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________.（1）求角В的大小；（2）若為銳角三角形，с=1，求a的取值范圍.注：若選擇多個條件作答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，正弦定理邊化角得，根據(jù)角A的范圍及輔助角公式，即可得答案.若選②，正弦定理邊化角得，根據(jù)兩角和的正弦公式，化簡整理，即可得答案.若選③，正弦定理角化邊可得，根據(jù)余弦定理，即可得答案.（2）根據(jù)正弦定理，可得，根據(jù)題干條件，代入化簡整理，根據(jù)銳角三角形，可得角C的范圍，即可得答案.【小問1詳解】若選①由正弦定