六年級(jí)二進(jìn)制小數(shù)

如是教育個(gè)性化輔導(dǎo)教案

授課老師吳壯學(xué)生姓名陳劍悅課型奧數(shù)

2019/04/14

學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)六年級(jí)上課時(shí)間

15:00-17:00

課題名稱(chēng)二進(jìn)制小數(shù)

教學(xué)目標(biāo)知道并掌握二進(jìn)制小數(shù)的一般性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)二進(jìn)制小數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的一般轉(zhuǎn)換關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn)有限十進(jìn)制小數(shù)與二進(jìn)制循環(huán)分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系

課前檢查作業(yè)完成情況：優(yōu)口良□中□差口建議：__________________________

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)二進(jìn)制小數(shù)

數(shù)的進(jìn)制

1相關(guān)概念

所謂二進(jìn)制，就是只用0與1兩個(gè)數(shù)字，在計(jì)數(shù)與計(jì)算時(shí)必須是“滿(mǎn)二進(jìn)一3即每?jī)蓚€(gè)

相同的單位組成一個(gè)和它相鄰的較高的單位（所以任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)只需用“0”與“1”表示就

夠了卜例如：2在二進(jìn)制中是10；3寫(xiě)成二進(jìn)制是11；4寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)便是100,那么5

呢？應(yīng)該是101o

同學(xué)們按照“逢二進(jìn)一"（或‘滿(mǎn)二進(jìn)一”）的法則，很容易得到以下兩種進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)

照表：

表1

十進(jìn)制二進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制

1191001

210101010

311111011

4100121100

5101131101

6110141110

7111151111

810001610000

2、二進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn)

二進(jìn)制的最大優(yōu)點(diǎn)是：每個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上只有兩種狀態(tài)——?；?。這樣，我們便

可以通過(guò)簡(jiǎn)單的方法，例如白與黑、虛與實(shí)、負(fù)與正、點(diǎn)與劃、小與大、暗與亮（在計(jì)算

機(jī)中主要用電壓的高與低）等等手段加以表示。下表中列出了在二進(jìn)制中13的幾種不同

表不方法。

表2

。與11101

白與黑??o?

虛與實(shí)--...-

負(fù)與正++-+

點(diǎn)與劃——--

小與大OO00

當(dāng)然，二進(jìn)制也有不足，正如大家看到的那樣，同一個(gè)數(shù)和在二進(jìn)制中要比在十進(jìn)制

中位數(shù)多得多。

2二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制

為了敘述的方便，我們約定：用（）2表示括號(hào)內(nèi)寫(xiě)的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，如（1011）

2；用（）io表示括號(hào)中寫(xiě)的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如（37）io。

步驟：

（1）將二進(jìn)制數(shù)的各數(shù)位上數(shù)字改寫(xiě)成相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；

（2）將各數(shù)位上對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)求和，所得結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

例1將（10110）2改成十進(jìn)制數(shù)

（10110）2=

例2將（101101）2改成十進(jìn)制數(shù)。

(101101)2=

3十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制

將十進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)的常用方法——除二倒取余法。?

OI-7d

例如要將（71）io寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)，參見(jiàn)右式。我們將71除0-

以2,余數(shù)1相應(yīng)寫(xiě)在右邊（如果除盡，余數(shù)則寫(xiě)0）;再將商

35除以2,余數(shù)1相應(yīng)寫(xiě)在右邊；再將這步的商17除以2,重八

dA

復(fù)上述過(guò)程，直到商等于1為止。并且最后一步的商“1”也寫(xiě)到

右邊余數(shù)那一列的最下面。最后將這列余數(shù)由下到上寫(xiě)成一行數(shù)，這行數(shù)便是（71）io的

二進(jìn)制數(shù)表示法。即

(71)w=(1000111)2

例2：把十進(jìn)制數(shù)38改寫(xiě)成二進(jìn)制數(shù)。

4二進(jìn)制的四則運(yùn)算

二進(jìn)制四則運(yùn)算和十進(jìn)制四則運(yùn)算原理相同，所不同的是十進(jìn)制有十個(gè)數(shù)碼，“滿(mǎn)十

進(jìn)一”，二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼0和1,“滿(mǎn)二進(jìn)一”。二進(jìn)制運(yùn)算口訣則更為簡(jiǎn)單。

4.1力口法

二進(jìn)制加法，在同一數(shù)位上只有四種情況：

0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10o

只要按從低位到高位依次運(yùn)算，“滿(mǎn)二進(jìn)一”，就能很容易地完成加法運(yùn)算。

例1二進(jìn)制加法

(1)10110+1101;(2)1110+101011o

例2二進(jìn)制加法

(1)101+1101+1110;(2)101+(1101+1110)b

2.8.4.1減法

二進(jìn)制減法也和十進(jìn)制減法類(lèi)似，先把數(shù)位對(duì)齊，同一數(shù)位不夠減時(shí)，從高一位借

位，“借一當(dāng)二

例3二進(jìn)制減法

(1)11010-11110;(2)10001-1011o

例4二進(jìn)制加減混合運(yùn)算

(1)110101+1101-11111;(2)101101-11011+11011o

.4.3乘法

二進(jìn)制只有兩個(gè)數(shù)碼0和1,乘法口訣只有以下幾條:

0x0=0,0x1=0,1x0=0,1x1=1

概括成口訣：零零得零，一零得零，一一得一。

二進(jìn)制乘法算式和十進(jìn)制寫(xiě)法也一樣。

例5二進(jìn)制乘法

(1)1001x101；(2)11001x1010o

例6二進(jìn)制運(yùn)算

(1)101x1101;(2)1101x101;

(3)(101+11)X1010;(4)101x1010+11x1010o

從例6的計(jì)算結(jié)果可以看出，二進(jìn)制乘法滿(mǎn)足“交換律”；乘法對(duì)加法也滿(mǎn)足‘分配律

對(duì)這一結(jié)論，大家還可以進(jìn)行多次驗(yàn)證。

4.4除法

除法是乘法的逆運(yùn)算，二進(jìn)制除法和十進(jìn)制除法也一樣，而且更簡(jiǎn)單，每一位商數(shù)不

是0,就是1o

例7二進(jìn)制除法

(1)10100010-1001;(2)10010011+111。

例8求二進(jìn)制除法的商數(shù)和余數(shù)

111010-101

在二進(jìn)制除法中，被除數(shù)，除數(shù)，商數(shù)和余數(shù)的關(guān)系和十進(jìn)制除法的關(guān)系是相同的。

被除數(shù)=除數(shù)X商數(shù)+余數(shù)。

如例8,111010=101x1011+11o

二進(jìn)制小數(shù)

4.5二進(jìn)制小數(shù)

我們?cè)?jīng)學(xué)了二進(jìn)制以及八，十六及各種進(jìn)制的整數(shù)，以及它們的加減乘

除四則運(yùn)算.大家必然會(huì)提問(wèn)：與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)、小數(shù)類(lèi)似的二進(jìn)制分?jǐn)?shù)、小

數(shù)，如何推廣過(guò)來(lái)？

一個(gè)二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，就是a是二進(jìn)制整數(shù)，b盧0也是二進(jìn)制整數(shù).

b

一個(gè)二進(jìn)制小數(shù)，不妨先講純小數(shù)：0<n<l,

n=O.blb2b3…bi…，每個(gè)bi或?yàn)?,或?yàn)長(zhǎng)（bi不全為0,也不全為1）.

瓦所在的位稱(chēng)為:分位；

:5■分位；

b3:十分位；

瓦：《分位.（類(lèi)似于十進(jìn)制小數(shù)叱色a?…，a］為《分位，

為+分位，…）.

二進(jìn)制小數(shù)的運(yùn)算也和十進(jìn)制小數(shù)運(yùn)算相類(lèi)似，差別在于這里是“逢二進(jìn)

一”，“退一還二

十進(jìn)制小數(shù)化為二進(jìn)制小數(shù)，主要通過(guò)分?jǐn)?shù)作中間媒介.

例將（0.3）1?；癁槎M(jìn)制小數(shù).（用（a）k表示■位數(shù)）.

（物。=3/盜（11）2；

=（0.0100110011001-）2

=（o.oiooi）2

0.01001

1010

10000

1010

1100兆成循環(huán)）

這表示十進(jìn)制有限小數(shù)可能化成二進(jìn)制循環(huán)小數(shù).

十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)一般公式：

①純循環(huán)小數(shù)：（01曲??&）10=m2??汽

k個(gè)

②混循壞小數(shù)：（0厘佯2…區(qū)/聲2…G

=V???vo???a-V???V?

A1225cli4k區(qū)1區(qū)5>

99,?,900,,,0

這些公式的推導(dǎo)過(guò)程如下，請(qǐng)?bào)w會(huì)思想方法.

設(shè)$=（O.afaJ10.第一步：在此等式的兩邊乘10k,右邊相當(dāng)

于小數(shù)點(diǎn)右移啦，得10%=2向…a「白生…與;第二步：兩個(gè)等式左

右兩邊分別相減，左邊為IO^S-S,右邊為何F（巧妙在于差值很整

齊，消去了讓人“害怕”的無(wú)限長(zhǎng)（雖然是循環(huán)）的小數(shù)）：

S（10k-1）=2向…a*=s=.公式①證得.

%y：y；…y：k

k個(gè)

至于混循環(huán)，只要借用己證得的公式①，因?yàn)?/p>

（0學(xué)/2…X擔(dān)建2…勾）10

收逐2…x$?句a?…獨(dú)：）

（分子小數(shù)點(diǎn)右移胸

105

1/-----,ala2"'ak\

女個(gè)

k個(gè)口

1/(100???0-1)XX1…ala2,"ak

/(99-9+99-9)

k個(gè)k個(gè)

1/x1x2"-xsX100---0+a1a2---ak

TF(99-9

k個(gè)

町…亂為…5-X］句…漢

99…900…0

k個(gè)st

其實(shí)公式②中，當(dāng)s=0時(shí)，就是公式①，復(fù)雜的公式②是借用簡(jiǎn)單情況下

的公式①推來(lái).推出后①包含在②之中.

對(duì)于二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，也可同樣推導(dǎo).

設(shè)5=(O.b^-bJ2,第一步：兩邊乘2上，右邊相當(dāng)于小數(shù)點(diǎn)右移

啦，得2ks=恥2…bk?6也…第二步：兩個(gè)等式左右兩邊分別相減，

左邊為2叼-$；右邊為西F，恰為整數(shù)，消去了無(wú)限長(zhǎng)的部分，有：

--------------b]b---b

S(2k-1)=bM…、nS=??平Q—k?(1)

11…1

卜個(gè)

至于二進(jìn)制混循環(huán)小數(shù)：也記這小數(shù)的整體為s.

S=(0.X/2…區(qū)小也…工)2，

則有S=，(xp<2…x$?6也…工)2

1------------b?…1＞卜

kt

1------------2k-1b.b-b

/仔「工＞＜門(mén)+維2產(chǎn)h

k個(gè)

X/2…x^bib?…3…X

⑵

11---100---0

k個(gè)冷

從推導(dǎo)和記憶規(guī)則看，公式（1）和（2）與十進(jìn)制公式①和②相仿.那么

讀者一定會(huì)歸納出任意進(jìn)制的循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的公式.

學(xué)生對(duì)本次課的小結(jié)及評(píng)價(jià)

1、本次課你學(xué)到了什么知識(shí)___________________________________________________________

2、你對(duì)老師下次上課的建議____________________________________________________________

O特別滿(mǎn)意。滿(mǎn)意。一般。差