九年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷 解析版

九年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）

1.如圖，A,B,C,D是數(shù)軸上的四個點，其中最適合表示無理數(shù)n的

點是（）

-2-101234

A.點AB.點BC.點CD.點D

2.下列計算正確的是（）

A.a2,a3=a6B.a84-a2=a''

C.a2+a2=2a2D.（a+3）2=a2+9

3.如圖，三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若Nl=35°,則N

2的度數(shù)是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

4.不等式組（2x>-4的解集,在數(shù)軸上表示正確的是（）

_____lx-l<l

A.oB.^202>

C.-202^

5.若一次函數(shù)y=（k-2）x+1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則（

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

6.下列整數(shù)中，與10-萬最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

7.對于y=2（x-3）2+2的圖象，下列敘述正確的是（）

A.頂點坐標(biāo)為（-3,2）

B.開口向下

C.當(dāng)x23時，y隨x的增大而增大

D.對稱軸是直線y=-3

8.如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測角儀CD豎直放置

在與教學(xué)樓水平距離為18標(biāo)的地面上，若測角儀的高度是1.5m.測

得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°.則教學(xué)樓的高度是（）

A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m

9.如圖所示，直線li：y=lx+6與直線1：y=-i.x-2交于點P(-2,

222

3),不等式3X+6>-lx-2的解集是()

A.x>-2B.x2-2C.x<-2D.x<-2

10.一個物體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是全等的等邊三角

形,俯視圖是圓，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)，可求這個物體的表面積為（）

ZEZS

A.nB.2HC.3JTD.（V3+I）Jt

11.如圖，半徑為3的。A經(jīng)過原點0和點C（0,2）,B是y軸左側(cè)。A

優(yōu)弧上一點，則tanNOBC為（）

12.如圖，正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點，將4ADE沿DE翻折

得到△FDE,延長EF交BC于G,FH1BC,垂足為H,連接BF、DG.以

下結(jié)論：①BF〃ED；②4DFG也ZXDCG；③△FHBs^EAD；④tanNGEB

=2.6；其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（共6小題18分）

13.使得式子一有意義的x的取值范圍是

14.把多項式a3-6a2b+9ab?分解因式的結(jié)果是.

15.已知實數(shù)m,n是方程x2-7x+2=0的兩不等實根，則工二=

mn

16.如圖，在正六邊形ABCDEF中，AC=2我，則它的邊長是.

17.如圖，PA,PB是。0的切線，A,B為切點，ZOAB=38°,則NP

18.如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,點E、F分別在邊AB、AD

上且AE=DF,則4AEF面積的最大值為.

三.解答題(共66分)

19.計算：-l4+Qs)-2+3tan30。2~\[z*

20.先化簡，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-

1

2,

21.湖南師大附中組織集團校內(nèi)七、八、九年級學(xué)生參加“12KM”作文比

賽，該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計，繪制了如圖1和如圖2

兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.

各年級參賽作文篇數(shù)條形統(tǒng)計圖

圖1

(1)扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的圓心角是度.八

年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的百分比是.

(2)請補全條形統(tǒng)計圖.

(3)經(jīng)過評審，全集團校內(nèi)有4篇作文榮獲特等獎，其中一篇來自九

年級，學(xué)校準(zhǔn)備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校報上，請利用畫樹狀

圖或列表的方法求出九年級特等獎作文被選登在校報上的概率.

22.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AC為。。的直徑，D為眾的中點，過

點D作DE〃AC,交BC的延長線于點E.

(1)判斷DE與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為5,AB=8,求CE的長.

23.某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實現(xiàn)脫貧奔

小康，某村組織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入.已

知某種土特產(chǎn)每袋成本10元.試銷階段每袋的銷售價x(元)與該土

特產(chǎn)的日銷售量y(袋)之間的關(guān)系如表：

x（元）152030

y（袋）252010

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，試求：

(1)日銷售量y(袋)與銷售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷

售的利潤最大，每袋的銷售價應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤是多

少元？

24.如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE,過頂點B

作BFLDE,垂足為F,BF交邊DC于點G.

(1)求證：DG?BC=DF?BG；

(2)連接CF,求NCFB的大??；

(3)作點C關(guān)于直線DE的對稱點H,連接CH,FH.猜想線段DF,BF,

CH之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

AD

25.已知拋物線y=ax?-2ax-3a(a>0)與x軸交于A、B兩點(A在B

的左側(cè))，與y軸交于點C,過點A的直線y=kx+b與y軸交于點D,

與拋物線交于點E.

(1)若k=F且點C與點D關(guān)于x軸對稱，求a的值；

(2)若@=g，ZDAB=A/CBA,求直線y=kx+b的解析式；

32

(3)若點E在第一象限，問：是否存在直線y=kx+b,使得

ABC相似？若存在，請求出直線y=kx+b的解析式，若不存在，請說明

理由.

26.我們規(guī)定：只有一組對角為直角的四邊形稱之為“偽矩形”

(1)如圖1,已知四邊形ABCD為“偽矩形”，且NABC=90°,證明:

A,B,C,D四點在同一個圓上；

(2)在(1)問情況下，分別延長AD至E,CD至F使得ED=AD,FD=

CD,連接AF,EF,CE,得到四邊形ACEF.如圖2,當(dāng)BD平分NABC時，

判斷四邊形ACEF為何種特殊四邊形？請說明理由，若AB=3&,BD=7,

求BC的長；

(3)已知四邊形ABCD為“偽矩形”，且NABC=90°,ACLBD于0,以

。為坐標(biāo)原點，直線AC作x軸，直線BD作y軸，建立如圖3平面直角

坐標(biāo)系，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c經(jīng)過A,B,C三點，P為二次函數(shù)

圖象上A,B之間的一個動點，記AAOB的面積為S”△(：(?的面積為

S2,4ABP的面積為S3,且滿足以下兩個條件：①Si=4Sz,②S3的最大

值為4,求此二次函數(shù)的解析式.

-湖南師大附中博才中學(xué)九年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.如圖，A,B,C,D是數(shù)軸上的四個點，其中最適合表示無理數(shù)五的

點是（）

A.點AB.點BC.點CD.點D

【分析】能夠估算無理數(shù)冗的范圍，結(jié)合數(shù)軸找到點即可.

【解答】解：因為無理數(shù)正大于3,在數(shù)軸上表示大于3的點為點D；

故選：D.

2.下列計算正確的是（）

A.a,a=aP)a8—?a2_=__a4

C.a2+a2—2a2D.(a+3)2=a2+9

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運算法則以及完全平方公式、合并同

類項法則分別化簡得出答案.

【解答】解：A、a2-a3=a5,故此選項錯誤；

B、a84-a2=a6,故此選項錯誤；

C、a+a=2a,正確；

D、（a+3）2=a2+6a+9,故此選項錯誤；

故選：C.

3.如圖，三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若Nl=35°,則N

2的度數(shù)是（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【分析】求出N3即可解決問題；

【解答】解：

W

VZ1+Z3=9O°,Zl=35°,

.\Z3=55°,

.\N2=N3=55°,

故選：C.

4.不等式組12x>-4的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）

_____lx-l<l______

A.3o卜B.462y

C.46如D.oP

【分析】根據(jù)解一元一次不等式的方法可以解答本題.

【解答】解：儼>-4①，

lx-l<l②

由不等式①，得

x>-2,

由不等式②，得

xW2,

故原不等式組的解集是-2VxW2,

故選：B.

5.若一次函數(shù)y=（k-2）x+1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則（）

A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由題意，得

k-2>0,

解得k>2,

故選：B.

6.下列整數(shù)中，與10-萬最接近的是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】解法一：由于9V13V16,可判斷后與4最接近，從而可判

斷與10-萬最接近的整數(shù)為6.

解法二：計算3.5的平方與13作比較，再得10-任V6.5,可作判斷.

【解答】解:解法一：?.?9V13V16,

???3<萬<4,

???3.62=12.96,3.72=13.69,

A3.6<-/13<3.7,

-3.7<--3.6,

AlO-3.7<10-萬<10-3.6,

.\6.3<10-任<6.4,

.,.與10-J石最接近的是6.

解法二：：3〈任<4,

.,.6<10-Vi3<7,

?.?3.52=12.25,且12.25V13,

/.5,

10-^/13<6.5,

???與10-萬最接近的是6.

故選：C.

7.對于y=2（x-3）2+2的圖象，下列敘述正確的是（）

A.頂點坐標(biāo)為（-3,2）

B.開口向下

C.當(dāng)x23時，y隨x的增大而增大

D.對稱軸是直線y=-3

【分析】先確定頂點及對稱軸，結(jié)合拋物線的開口方向逐一判斷.

【解答】解：A.y=2（x-3）2+2的頂點坐標(biāo)為（3,2）,此選項錯誤；

B.由a=2>0知開口向上，此選項錯誤；

C.當(dāng)x23時，y隨x的增大而增大，此選項正確；

D.對稱軸是直線x=3,此選項錯誤；

故選：C.

8.如圖，小亮為了測量校園里教學(xué)樓AB的高度，將測角儀CD豎直放置

在與教學(xué)樓水平距離為18ym的地面上，若測角儀的高度是1.5m.測

得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30°.則教學(xué)樓的高度是（)

A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m

【分析】根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過D作DE_LAB,

???在D處測得教學(xué)樓的頂部A的仰角為30°,

.*.ZADE=30°,

?.?BC=DE=18同，

.*.AE=DE,tan30°=18m,

AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m,

故選：C.

9.如圖所示，直線L：y=3x+6與直線k：y=-$x-2交于點P（-2,

22

3）,不等式3X+6>-lx-2的解集是（）

22

A.x>-2B.xN-2C.xV-2D.x<一2

【分析】利用函數(shù)圖象寫出直線1,：y=3x+6與在直線L：y=-lx

22

-2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【解答】解：當(dāng)x>-2時，lx+6>-Ax-2,

22

所以不等式3x+6>-lx-2的解集是x>-2.

22

故選：A.

10.一個物體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是全等的等邊三角

形，俯視圖是圓，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)，可求這個物體的表面積為()

■?

A.nB.2nC.3nD.(V3+I)n

【分析】由三視圖可知：該幾何體是一個圓錐，其軸截面是一個高為正

的正三角形.可計算邊長為2,據(jù)此即可得出表面積.

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個圓錐，其軸截面是一個高

為遍的正三角形.

正三角形的邊長==紋-=2.

sin60

圓錐的底面圓半徑是1,母線長是2,

底面周長為2n

...側(cè)面積為/x2nX2=2”’..?底面積為“二%

，全面積是3n.

故選：C.

11.如圖，半徑為3的。A經(jīng)過原點。和點C(0,2),B是y軸左側(cè)。A

優(yōu)弧上一點，則tanNOBC為()

一

【分析】設(shè)。A交x軸于D,連接CD,則CD是直徑，根據(jù)勾股定理求

出0D,根據(jù)正切的定義求出tanNCDO,根據(jù)圓周角定理得到N0BC=N

CDO,等量代換即可.

【解答】解：設(shè)。A交x軸于D,連接CD,則CD是直徑,

在RtaOCD中，CD=6,0C=2,

則°D=[CD2-0C2=4小

tanNCDO=_Q￡=返，

0D4

由圓周角定理得，ZOBC=ZCDO,

則tanN0BC=^,

4

故選：D.

*

B

C

D\~_*

12.如圖，正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點，將AADE沿DE翻折

得到△FDE,延長EF交BC于G,FH±BC,垂足為H,連接BF、DG.以

下結(jié)論：①BF〃ED；②絲z^DCG；③△FHBs^EAD；?tanZGEB

=&⑤SMFG=2.6；其中正確的個數(shù)是（）

3

AD

a

BHGC

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)依次對各個選項進行判斷即

可.

【解答】解：???正方形ABCD中，AB=6,E為AB的中點

.\AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,ZA=ZC=ZABC=90°

VAADE沿DE翻折得到^FDE

AZAED=ZFED,AD=FD=6,AE=EF=3,ZA=ZDFE=90°

二.BE=EF=3,NDFG=NC=90°

，ZEBF=ZEFB

,/ZAED+ZFED=ZEBF+ZEFB

.,.ZDEF=ZEFB

ABF//ED

故結(jié)論①正確；

VAD=DF=DC=6,ZDFG=ZC=90°,DG=DG

.,.RtADFG^RtADCG

...結(jié)論②正確；

VFH±BC,ZABC=90°

.,.AB/7FH,ZFHB=ZA=90°

VZEBF=ZBFH=ZAED

.,.△FHB^AEAD

結(jié)論③正確；

VRtADFG^RtADCG

.\FG=CG

設(shè)FG=CG=x,則BG=6-x,EG=3+x

在RtZ\BEG中，由勾股定理得：3?+(6-x)2=(3+x)

解得：x=2

.?.BG=4

.,.tanZGEB=^_=A

BE3

故結(jié)論④正確；

VAFHB^AEAD,且嶇」

AD2

.*.BH=2FH

設(shè)FH=a,則HG=4-2a

在RtZXFHG中，由勾股定理得：a2+(4-2a)2=22

解得：a=2(舍去)或a=2

5

:.SABFG——X4XA—2.4

25

故結(jié)論⑤錯誤；

故選：C.

二.填空題(共6小題)

13.使得式子上有意義的x的取值范圍是x<4.

V4-x

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：4-x>0,

：.x<4,

故答案為：x<4.

14.把多項式a3-6a?b+9ab2分解因式的結(jié)果是a(a-3b)?.

【分析】首先提公因式a,再利用完全平方進行二次分解即可.

【解答】解：a3-6a2b+9ab2

—a(a2-6ab+9b2)

=a(a-3b)2.

故答案為：a(a-3b)2.

15.已知實數(shù)m,n是方程x2-7x+2=0的兩不等實根，則工二=_工_.

mn2

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=7,mn=2,再通分得到工二=

mn

皿，然后利用整體代入的方法計算.

mn

【解答】解：根據(jù)題意得m+n=7,mn=2,

所以工4=三也=工.

mninn2

故答案為工.

2

16.如圖，在正六邊形ABCDEF中，AC=2爪，則它的邊長是2

【分析】過點B作BGLAC于點G.,正六邊形ABCDEF中，每個內(nèi)角為

(6-2)X18O04-6=120°，即NABC=120°,ZBAC=ZBCA=30°,

于是AG=-1AC=M，AB=2,

2

【解答】解：如圖，過點B作BGLAC于點G.

正六邊形ABCDEF中，每個內(nèi)角為(6-2)X18004-6=120°,

AZABC=120°,NBAC=NBCA=30°,

AG=AAC=5/3，

2

.\GB=1,AB=2,

即邊長為2.

故答案為2.

17.如圖，PA,PB是。。的切線，A,B為切點，Z0AB=38°,則NP=

76

【分析】由切線的性質(zhì)得出PA=PB,PA±OA,得出NPAB=NPBA,Z

0AP=90°,由已知得出NPBA=NPAB=90。-NOAB=52°,再由三角

形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果.

【解答】解：:PA,PB是。。的切線，

.?.PA=PB,PA±OA,

.\ZPAB=ZPBA,Z0AP=90°,

.,.ZPBA=ZPAB=90°-Z0AB=90°-38°=52°,

.,.ZP=180°-52°-52°=76°；

故答案為：76.

18.如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,點E、F分別在邊AB、AD

上且AE=DF,則AAEF面積的最大值為—返

【分析】過點E作EM±AD交DA的延長線于點M,設(shè)AE=x,則DF=,

則4AEF面積的可表示出來，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：過點E作EMJ_AD交DA的延長線于點M,設(shè)AE=x,則AE

=DF=x,

?.?四邊形ABCD是菱形，ZA=120°,

.?.AB=AD=2,ZMAE=60°,

.?.AF=2-x,

EM=AE*sin60°=返乂，

2_

.'.SAAEF—工AF?EM=A(2-x)X返x=-返(x-1)'+返，

22244

.,.△AEF面積的最大值為返，

_4

故答案為：返.

4

三.解答題

19.計算：―14+(-3)-2+3tan30。/號.

【分析】根據(jù)整數(shù)指數(shù)基、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、特殊角的三角函數(shù)以及分母

有理化分別進行計算即可得出答案.

【解答】解：-14+(-3)-2+3tan30°?。?-1+J+3X除-(2+技=

-1」+?-2-+V3=-至+2?.

99

20.先化簡，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-

2

2"

【分析】注意到(a+3)2可以利用完全平方公式進行展開，(a+1)(a

-1)利潤平方差公式可化為(a2-1),則將各項合并即可化簡，最后

代入a=」進行計算.

2

【解答】解：

原式=a?+6a+9-(a2-1)-4a-8

=2a+2

將a=-工代入原式=2X(-A)+2=1

22

21.湖南師大附中組織集團校內(nèi)七、八、九年級學(xué)生參加“12KM”作文比

賽，該校將收到的參賽作文進行分年級統(tǒng)計，繪制了如圖1和如圖2

兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息完成以下問題.

各年級參賽作文篇數(shù)條形統(tǒng)計圖各年級參賽作文篇數(shù)扇形統(tǒng)計圖

圖1圖2

(1)扇形統(tǒng)計圖中九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的圓心角是」^度.八

年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的百分比是45%.

(2)請補全條形統(tǒng)計圖.

(3)經(jīng)過評審，全集團校內(nèi)有4篇作文榮獲特等獎，其中一篇來自九

年級，學(xué)校準(zhǔn)備從特等獎作文中任選兩篇刊登在校報上，請利用畫樹狀

圖或列表的方法求出九年級特等獎作文被選登在校報上的概率.

【分析】（1）求出總的作文篇數(shù)，即可得出九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的

圓心角的度數(shù)；求出八年級的作文篇數(shù)，再用3600乘以對應(yīng)比例可得;

（2）補全條形統(tǒng)計圖即可：；

（3）假設(shè)4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D,其中A代表九年

級獲獎的特等獎作文.列表求解即可得出答案.

【解答】解：⑴?.?參賽作文的總數(shù)量為20?20%=100（篇）,

九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的圓心角是360°義里=126°,八年級的

100

參賽數(shù)量為100-（20+35）=45（篇），

則八年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的百分比是至X100%=45%；

100

七年級八年QL年級年級

各年級參賽作文篇數(shù)條形統(tǒng)計圖各年級參賽作文篇數(shù)扇形統(tǒng)計圖

圖1圖2

（3）假設(shè)4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D,

列表如下：

ABCD

AABACAD

BABBCBD

CACBCCD

DADBDCD

由表格可知，共有12種可能性結(jié)果，它們發(fā)生的可能性相等，其中九

年級特等獎作文被選登在校刊上的可能性有6種，

所以九年級特等獎作文被選登在校報上的概率為&=」.

122

22.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AC為。。的直徑，D為眾的中點，過

點D作DE〃AC,交BC的延長線于點E.

(1)判斷DE與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若。。的半徑為5,AB=8,求CE的長.

【分析】(1)連接0D,由AC為。。的直徑，得到NADC=90°,根據(jù)加

=而，得到AD=CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCDE=NDCA=45°,求

得N0DE=90°,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理得到AD=CD=5?,由圓周角定理得到NABC=90°,

求得BC=6,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）DE與。0相切,

理由：連接0D,

〈AC為。0的直徑，

AZADC=90°,

???D為宜的中點，

?*-AD=廟，

.\AD=CD,

.\ZACD=45°,

?.?0是AC的中點，

.\Z0DC=45°,

VDE//AC,

.\ZCDE=ZDCA=45°,

.,.Z0DE=90°,

二.DE與。0相切；

(2)7。。的半徑為5,

.?.AC=10,

AD=CD=5?,

,「AC為。。的直徑，

AZABC=90°,

VAB=8,

，BC=6,

ZBAD=ZDCE,

VZABD=ZCDE=45°，

.,.△ABD^ACDE,

23.某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實現(xiàn)脫貧奔

小康，某村組織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入.已

知某種土特產(chǎn)每袋成本10元.試銷階段每袋的銷售價x（元）與該土

特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關(guān)系如表：

x（元）152030…

y（袋）252010…

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，試求：

（1）日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷

售的利潤最大，每袋的銷售價應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤是多

少元？

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，求出日銷售量y（袋）

與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式即可

（2）利用每件利潤X總銷量=總利潤，進而求出二次函數(shù)最值即可.

【解答】解：

（1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價x（元）

的函數(shù)關(guān)系式為丫=1?+1）得

J25=15k+b,解得［k=-l

l20=20k+bIb=40

故日銷售量y（袋）與銷售價X（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+40

（2）依題意，設(shè)利潤為w元，得

w=（x-10）（-x+40）=-X2+50X-400

整理得w=-（x-25）2+225

：-KO

.?.當(dāng)x=25時，w取得最大值,最大值為225

故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應(yīng)定為25元，

每日銷售的最大利潤是225元.

24.如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE,過頂點B

作BFJ_DE,垂足為F,BF交邊DC于點G.

（1）求證:DG-BC=DF?BG；

（2）連接CF,求NCFB的大小;

（3）作點C關(guān)于直線DE的對稱點H,連接CH,FH.猜想線段DF,BF,

CH之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

AD

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NBCD=90°,證明NBGC=NFGD,

得到△BGCs^DGF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)連接BD,證明△BGCs/iDGF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到NBDG

=NCFG,根據(jù)正方形的性質(zhì)解答；

(3)在線段FB上截取FM,使得FM=FD,連接DM,證明△BDMs/\CDF,

得到BM=&CF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CH=&CF,證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

AZBCD=90°,

VBF±DE,

.*.ZGFD=90°,

ZBCD=ZGFD,

ZBGC=ZFGD,

.,.△BGC^ADGF,

???-B-G--=--B-C-,

DGDF

.\DG?BC=DF?BG；

(2)解：如圖1,連接BD,

,.,△BGC^ADGF,

BGCG,

**DG=FG，

??.班捶,

CGFG

VZBGD=ZCGF,

.,.△BGD^ACGF,

.,.ZBDG=ZCFG,

???四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，

AZBDG=1ZADC=45°,

2

.,.ZCFB=45°；

(3)解：BF=CH+DF,

理由如下：如圖2,在線段FB上截取FM,使得FM=FD,連接DM,

VZBFD=90°,

：.ZMDF=ZDMF=45°,DM=V^DF,

VZBDG=45°,

.*.ZBDM=ZCDF,

ABGD^ACGF,

.\ZGBD=ZDCF,

.,.△BDM^ACDF,

?BMDM

??樂而Sr'

.,.BM=V2CF,

VZCFB=45°,BF±DE,

點C關(guān)于直線DE的對稱點H,

.\ZEFG=ZEFC=45O,

.\ZCFG=90°,

VCF=FG,

.\CH=V2CF,

，BF=BM+FM=CH+DF.

25.已知拋物線y=ax'-2ax-3a(a>0)與x軸交于A、B兩點(A在B

的左側(cè))，與y軸交于點C,過點A的直線y=kx+b與y軸交于點D,

與拋物線交于點E.

(1)若k=?且點C與點D關(guān)于x軸對稱，求a的值；

(2)若a=2,NDAB=L/CBA,求直線y=kx+b的解析式；

32

(3)若點E在第一象限，問：是否存在直線y=kx+b,使得

ABC相似？若存在，請求出直線y=kx+b的解析式，若不存在，請說明

理由.

【分析】(1)當(dāng)y=0時一，ax2-2ax-3a=0,解方程，得出點A和點B

的坐標(biāo)，用含a的式子表示出點C和點D的坐標(biāo)，用含a的式子表示出

直線AD的解析式，再結(jié)合k=?,可解得a的值；

(2)作NCBA的平分線BF交y軸于點F,過點F作FGJ_BC于點G,判

定Rt^BFG/Rt^BFO(HL),則可得BG=BO=3,分兩種情況討論：①

當(dāng)點D在y軸正半軸時，②當(dāng)點D'與點D關(guān)于x軸對稱時，分別求解

即可；

(3)存在.分兩種情況，分別畫出圖形并求解：①當(dāng)△ABEs/SBCA時，

②當(dāng)△AEBs/SABC時，分別判定△AODs^BOC或AAOD0△AOC,得出

比例式，將點D的坐標(biāo)用含a的式子表示出來，從而表示出直線AE的

解析式，再將其與拋物線的解析式聯(lián)立，則可解得點E的坐標(biāo)，再根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)得關(guān)于a的方程，解得a的值，則可得要求的直線的

解析式.

【解答】解：(1)在丫=a*2-22*-3a(a>0)中，

當(dāng)y=0時，ax'-2ax-3a=0,

Va>0,

.,.X”-2x-3=0,

??Xi=-1,X2=3,

當(dāng)x=0時、y=-3a,

Z.A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),

???點C與點D關(guān)于X軸對稱，

AD(0,3a),

/.0A=L0D=3a,

Vk=P2=^-=3a,且1<=心

OA1

??3a--y3?

(2)作NCBA的平分線BF交y軸于點F,過點F作FG_LBC于點G,

則NBGF=NB0F=90°,FG=FO,

又?.，BF=BF,

.,.RtABFG^RtABFO(HL),

.\BG=B0=3,

①當(dāng)點D在y軸正半軸時，

,.,a=2時，y=Ax2--§.x-4,

333

AC(0,-4),

.\0C=4,

.\BC=5,

.?.CG=5-3=2,

設(shè)FO=m,貝！JFG=m,CF=4-m,

在Rtz^CFG中，F(xiàn)G2+CG2=CF2,

m2+22=(4-m)",m=&,

2

.,.F0=2,

2

VZOBF=1ZCBA,ZOAD=1ZCBA,

22

.\ZOBF=ZOAD,

又,:ZAOD=ZBOF,

，AAOD^ABOF,

AOD：OF=OA：OB,

AOD：1=1：3,

2

.\OD=1,

2

AD(0,1),

2

.*.b=A,

2

將A(-1,0),b=L代入直線y=kx+b,

2

0=-k+A,

2

/.k=A,

2

.*.y=ix+A；

22

②當(dāng)點D'與點D關(guān)于x軸對稱時，D'(0,

0=-k--1.,

2

/.k=-A,

2

/.y=-Ax-A；

22

綜上，直線的解析式為y=」x+」或y=-lx-A；

①當(dāng)aABEs^BCA時，NEAB=NABC,

，AE〃BC,

二.AAOD^ABOC,

/.OD：Oc=OA：OB,

AOD：3a=l：3,

0D=a,

.*.D(0,a),

將A(-1,0),D(0,a)分別代入丫=1?+13,得:

jf-bk=+ab=O'

k=a

b=a，

.*.y=ax+a,

聯(lián)立［尸ax：,得:

y=ax"-2ax-3a

ax-2ax-3a=ax+a,

Va>0,

.*.x2-2x-3=x+L

解得xi=-l(舍去)，X2=4,

?.y=4a+a=5a,

AE(4,5a),

二?AE=也4+1)2+(52)2

=y/25a2+25f

VAABE^ABCA,

?BCAB

AB=AE，

?49a2+9=4

4425a2+25

.*.15(a2+l)=16,

Va>0,

,*.a=2/IE,

15_

/,y=VlEx+2/Il.；

1515

②當(dāng)△AEBs/XABC時，NEAB=NBAC,

又?.?NA0D=NA0C=90°,AO=AO,

AAOD^AAOC(ASA),

OD=OC=3a,

.*.D(0,3a),

將A(-1,0),D(0,3a)分別代入丫=1?+1),得:

f-k+b=O,

lb=3a

.?Jk=3a,

1b=3a

?.y=3ax+3a,

聯(lián)立,=3a;+3a,得：

y=ax"-2ax-3a

ax'-2ax-3a=3ax+3a,

Va>0,

/.x2-2x-3=3x+3,

解得X1=-1（舍去），X2=6,

.,.y=3aX6+3a=21a,

AE(6,21a),

AE=V(6+l)2+(21a)2

=7y/^，

,ZAAEB^AABC,

???AC2---A,B

ABAE

?{(-3a)2+(-1)'4

4749a2+1

.,.9a2+l=JA,

7

.*.a2=:A,

7

Va>0,

.*.a=2ZZ,

7

綜上一=魯+唔或丫=事＜+乎

26.我們規(guī)定：只有一組對角為直角的四邊形稱之為“偽矩形”

(1)如圖1,已知四邊形ABCD為“偽矩形”，且NABC=90°,證明：

A,B,C,D四點在同一個圓上；

(2)在(1)問情況下，分別延長AD至E,CD至F使得ED=AD,FD=

CD,連接AF,EF,CE,得到四邊形ACEF.如圖2,當(dāng)BD平分NABC時，

判斷四邊形ACEF為何種特殊四邊形？請說明理由，若AB=3&,BD=7,

求BC的長；

(3)已知四邊形ABCD為“偽矩形”，且NABC=90°,AC_LBD于0,以

0為坐標(biāo)原點，直線AC作x軸，直線BD作y軸，建立如圖3平面直角

坐標(biāo)系，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c經(jīng)過A,B,C三點，P為二次函數(shù)

圖象上A,B之間的一個動點，記AAOB的面積為Si,ZkCOD的面積為

S2,AABP的面積為S3,且滿足以下兩個條件：①Si=4Sz,②S3的最大

值為4,求此二次函數(shù)的解析式.

【分析】(1)取AC的中點M,連接BM、DM,根據(jù)偽矩形的概念即可解

決問題