小題核心考點(diǎn)完整版練-03立體幾何-沖刺2024年高考（解析試卷）

小題核心考點(diǎn)精練03立體幾何沖刺2024年高考（解析試卷）1．設(shè)圓柱底面半徑為，高為，球的半徑為，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以.故選：A2．由題意可知：為菱形，且，知頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為四邊形的外心，所以為正方形，即四棱錐為棱長為4的正四棱錐，則四棱錐的高為，設(shè)球的半徑為，則，解得.故選：B.3．如圖，連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?所以,,由可得平面，且，所以平面，過作，因?yàn)槠矫妫矫?，所?且平面，所以平面，所以為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，在直角三角形中，，由等面積法可得，,解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故選:D.4．如圖，取BC的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為，所以為的外心，連接AE，EF，設(shè)的外心為，因?yàn)?，即為等邊三角形，所以點(diǎn)在AE上，且設(shè)球心為，連接OG，OF，則平面平面BCD，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸锽C的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，面，所以平面BCD，則，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四邊形OGEF是矩形.由，可得，故，又，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積.故選：C.5．因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以可將四面體看作底面是等邊三角形的直三棱柱的一部分，如圖所示：則四面體的外接球即直三棱柱的外接球，因?yàn)榈酌嫒切蔚耐庑牡饺切蔚捻旤c(diǎn)的長度為，所以直三棱柱的外接球的半徑，則球的表面積，故選：A.6．根據(jù)題意可將三棱錐補(bǔ)形成長、寬、高分別為4，2，2的長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，故，，所以，所以異面直線與所成角的大小為．故選：B．7．如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，不妨設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，，綜上所述，的最小值是.故選：A.8．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為1，，則易得，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得平面的一個法向量為，易得平面的一個法向量為，由圖易得平面與平面所成的二面角為銳角，設(shè)其為，則，當(dāng)即時，取最小值，取最大值，此時取最小值，且.故選：D．9．以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.10．在正三棱錐中為等邊三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的重心，所以，又，，所以，所以，同理可得、即，，兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個正方體，該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得三棱錐的外接球半徑，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以.故選：B11．對選項(xiàng)A：根據(jù)對稱性知與三條直線的夾角相等，則與平行的直線都滿足條件，有無數(shù)條，錯誤；對選項(xiàng)B：根據(jù)對稱性知平面與三條直線所成的角相等，則與平面平行的平面都滿足條件，有無數(shù)個，錯誤；對選項(xiàng)C：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，，，上一點(diǎn)，則，，，點(diǎn)到直線的距離為，同理可得到直線和的距離為，故上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個，錯誤；對選項(xiàng)D：上的點(diǎn)到三條直線的距離都相等，故有無數(shù)個，正確；故選：D12對于A，當(dāng)，時，兩平面，可能平行可能相交，所以A錯誤；對于B，，，兩平面，可能平行可能相交，所以B錯誤；對于C，當(dāng)，，時，設(shè)，，在取一點(diǎn)O，過O分別作，，則，，因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，平面，所以，所以C正確；

對于D，當(dāng)，，，時，可得或，所以D錯誤，故選：C．13．對于A，若，，，則相交或平行，故A錯誤；對于B，若，，，由線面平行的性質(zhì)可得，故B正確；對于C，若，，，當(dāng)兩兩相交時，兩兩相交，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：B.14．若，，則或與相交或與異面，故A錯誤；若，，，則或與相交，故B錯誤；若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得，故C正確；若，，，，當(dāng)與相交時，有，否則，與不一定平行，故D錯誤．故選：C．15．對于A，如下圖所示，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)也是線段的中點(diǎn)，所以平面即為平面.根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以與重合時，平面，故A正確；對于B，如下圖所示，取的中點(diǎn)，根據(jù)分別為的中點(diǎn)，易得，所以四點(diǎn)共面，所以截面為四邊形，且該四邊形為等腰梯形.又因?yàn)?，所以等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B錯誤；對于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由圖可得，，所以，設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以時，距離最小，最小為，故C正確；對于D，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，易得平面，又因?yàn)槠矫妫?，所以，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動軌跡為以為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確.故選：ACD.16．選項(xiàng)A，連接，正方體中易知，分別是中點(diǎn)，則，所以，即四點(diǎn)共面，當(dāng)與重合時滿足B，N，P，Q四點(diǎn)共面，A正確；

選項(xiàng)B，如圖，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，則與平行且相等，是平行四邊形，所以，又是中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正確；

選項(xiàng)C，正方體中，分別是中點(diǎn)，則，在上，如圖，作交于，連接，延長交延長線于點(diǎn)，連接延長交延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為所過三點(diǎn)的截面，由正方體的對稱性可知梯形與梯形全等，由面面平行的性質(zhì)定理，，從而有，由正方體性質(zhì)，設(shè)，，則，，是中點(diǎn)，，則，所以，同理，，，，梯形是等腰梯形，高為，截面面積，設(shè)，，，在上遞增，，，所以，C錯；

選項(xiàng)D，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則是正四棱柱（也是長方體），它的外接球就是過四點(diǎn)的球，所以球直徑為，半徑為，表面積為，D正確．

故選：ABD．17．對于A，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故A正確；對于B，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，由A選項(xiàng)可知平面的一個法向量為，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，則當(dāng)點(diǎn)在線段上時，異面直線與所成的角即為異面直線與所成的角，即，因?yàn)闉榈冗吶切危?，即異面直線與所成的角為，故C正確；對于D，當(dāng)三棱錐的體積最大時，點(diǎn)到平面的距離最大，由B選項(xiàng)可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，三棱錐為正四面體，且其棱長為，其外接球即為正方體的外接球，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為，故D錯誤．故選：AC.18．解析：對于A：連接，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，，即為正三角形．又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補(bǔ)角，又，所以直線與所成的角的大小為，A正確；對于B：因?yàn)椋云矫嫫矫?，故直線平面，B正確；對于C：取的中點(diǎn)為，連接，顯然的中點(diǎn)為，則，假設(shè)平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，則，與矛盾，C錯誤；對于D：不妨設(shè)正方體的棱長為，則正方體的體積為，又因?yàn)樗拿骟w的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球即為以為棱的長方體的外接球，于是球的直徑，體積為，于是，D正確，故選：ABD．19．A：假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，由平面平面，得平面平面，又平面平面平面，則，又，平面，所以重合，即點(diǎn)落在上，由，知點(diǎn)落在以為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)（不含圓），這與點(diǎn)落在上矛盾，故A錯誤；B：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面，則即為PC與底面所成的角，故，而，所以，則，所以，結(jié)合A的分析，取，所以，又，所以直線PB與AM所成角為，即存在點(diǎn)M使得直線PB與AM所成角為，故B正確；C：當(dāng)時，當(dāng)M位于BA的延長線時，的高最大為，此時面積取得最大值，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；D：當(dāng)時，，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，如下圖，由，有，則，所以，則，所以，根據(jù)對稱性有，所以，故的長為，又球與底面的交線是以P為圓心，為半徑的的四分之一圓，其長度為，故P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長，故D正確.故選：BCD20．對于A，因?yàn)闉檎叫?，連接與，相交于點(diǎn)，連接，則，，兩兩垂直，故以為正交基地，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，為的中點(diǎn)，則.當(dāng)為的中點(diǎn)時，，，，設(shè)異面直線與所成角為，，，故，A正確；對于B，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面，又平面，平面，又，設(shè)，故平面平面，平面平面，平面平面，則，則為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，則，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，長度為4，B不正確；對于C，當(dāng)時，設(shè)，，，，得，即，即點(diǎn)的軌跡以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段?。ㄈ缦聢D），到的距離為，