安徽省皖中名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

【新結(jié)構(gòu)】2023-2024學(xué)年安徽省皖中名校聯(lián)盟高二（下）第四次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為(

)

A.或

B.或

C.

D.2.在一組樣本數(shù)據(jù)為不全相等的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(

)A. B. C. D.13.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(

)①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題；②命題“R，”是存在量詞命題；③命題“R，”的否定為“R，”；④命題“是的必要條件”是真命題．A.0 B.1 C.2 D.34.若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為(

)A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則(

)A. B. C. D.6.某試卷中1道選擇題有6個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.考生不知道正確答案的概率為，不知道正確答案的考生可以猜，設(shè)猜對的概率為現(xiàn)已知某考生答對了，則他猜對此題的概率為(

)A. B. C. D.7.已知P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是(

)A. B.5 C.6 D.8.將編號為的小球放入編號為的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有一個(gè)盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為(

)A.90 B.135 C.264 D.270二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.

C. D.與均為的最大值10.小明的計(jì)算器壞了，每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)例如：若，，則，其中二進(jìn)制數(shù)A的各位數(shù)中，已知，出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，現(xiàn)在計(jì)算器啟動(dòng)一次，則下列說法正確的是(

)A. B. C. D.11.偶函數(shù)滿足對于任意，有，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是(

)A. B.

C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為__________.13.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，已知如下數(shù)據(jù)：，，則實(shí)數(shù)k的值為__________.14.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則m的取值范圍是__________四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題12分在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列.求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)和;求展開式中所有的有理項(xiàng).16.本小題12分司機(jī)在開車時(shí)使用手機(jī)是違法行為，會存在嚴(yán)重的安全隱患，危及自己和他人的生命．為了研究司機(jī)開車時(shí)使用手機(jī)的情況，交警部門隨機(jī)調(diào)查了100名司機(jī)，得到以下統(tǒng)計(jì)：在55名男性司機(jī)中，開車時(shí)使用手機(jī)的有40人，開車時(shí)不使用手機(jī)的有15人；在45名女性司機(jī)中，開車時(shí)使用手機(jī)的有20人，開車時(shí)不使用手機(jī)的有25人．完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為開車時(shí)使用手機(jī)與司機(jī)的性別有關(guān)；開車時(shí)使用手機(jī)開車時(shí)不使用手機(jī)合計(jì)男性司機(jī)人數(shù)女性司機(jī)人數(shù)合計(jì)采用分層抽樣從開車時(shí)不使用手機(jī)的人中抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記X為開車時(shí)不使用手機(jī)的男性司機(jī)人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：k參考公式：，其中17.本小題12分已知數(shù)列是以公比為1，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，且求出的通項(xiàng)公式；設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.本小題12分已知橢圓過點(diǎn)，且半焦距求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；如圖，已知，過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與x軸分別相交于兩點(diǎn)，試問是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由．19.本小題12分已知函數(shù)，其中。當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，證明其中e為自然對數(shù)的底數(shù)

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了利用韋恩圖表示的集合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

圖中的陰影部分表示的集合為，再利用集合的基本運(yùn)算求解．

【解答】解：集合，或，由韋恩圖可知，圖中的陰影部分表示的集合為，，，或或故選：2.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了相關(guān)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)直線方程可得相關(guān)系數(shù)．

【解答】解：由題意可得這兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，且所有樣本點(diǎn)

都在直線上，則有

，

樣本相關(guān)系數(shù)

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查了量詞的分類，還考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)存在量詞命題、全稱量詞命題的概念，命題否定的求法，分析選項(xiàng)，即可得答案．

【解答】對于①：命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題，故①正確；對于②：命題“R，”是全稱量詞命題；故②錯(cuò)誤；對于③：命題p：R，，則：R，，故③錯(cuò)誤；對于④：當(dāng)時(shí)，得不到，“”不是“”的必要條件；④錯(cuò)誤；即錯(cuò)誤的有3個(gè)，故選：4.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．根據(jù)等式計(jì)算得出1，再結(jié)合常值代換求和的最值，計(jì)算可得最大值.【解答】解：，，，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)

，即，

時(shí)等號成立，

.故選：5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

利用等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，即可得出．

【解答】

解：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可設(shè)：從而

，

，所以

，故選C6.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查條件概率，以及互斥事件的概率加法公式，屬于難題.

設(shè)A事件為“該考生不知道正確答案”，B事件為“該考生答對了”.表示出，，，再結(jié)合條件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．【解答】解：設(shè)A事件為“該考生不知道正確答案”，B事件為“該考生答對了”.則

所以所求概率為

故選：A7.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離求解即可.

【解答】解：設(shè)直線

l

與直線

平行，且與函數(shù)

的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為

，因?yàn)?/p>

是單調(diào)遞增函數(shù)，直線

的斜率為1，所以

，解得

，即切點(diǎn)為

，所以點(diǎn)P到直線

的距離的最小值是點(diǎn)

Q

到直線

的距離，即為

.故選8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是中檔題.

使用間接法結(jié)合計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.【解答】解：根據(jù)題意，有且只有1個(gè)盒子的編號與放入的小球編號相同，在六個(gè)盒子中任選1個(gè)，放入與其編號相同的小球，有

種選法，剩下的5個(gè)盒子的編號與放入的小球編號不相同，所有排列方法有

種，其中4個(gè)盒子的編號與放入的小球編號不相同的放法種數(shù)為

種，3個(gè)盒子的編號與放入的小球編號不相同的放法種數(shù)為

種，2個(gè)盒子的編號與放入的小球編號不相同的放法種數(shù)為

種，全部都對上的有1種。綜上，則不同的放法種數(shù)為：

種放法.故選C9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得答案．

【解答】

解：根據(jù)題意，

是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，

是其前n項(xiàng)的積，由

可得

，故C正確；由

可得

，則

，故A正確；

是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，

，則有

……

……，對于C，

，則有

，B錯(cuò)誤，對于D，

……

……，則

與

均為

的最大值，D正確，故選：ACD10.【答案】BD

【解析】【分析】本題考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式、二項(xiàng)分布，以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.

先確定X的可能取值，再求出相應(yīng)取值的概率，進(jìn)而得到數(shù)學(xué)期望，即可得到答案.【解答】解：由題意，計(jì)算器啟動(dòng)一次，隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，5，則

，

，

，

，

，

，

綜上A，C錯(cuò)誤，B，D正確．故選BD11.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

構(gòu)造新函數(shù)，求出奇偶性和單調(diào)性，再對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【解答】

解：

偶函數(shù)

滿足對于任意

，有

，

令

，則當(dāng)

時(shí)，

，

在

上單調(diào)遞增，因?yàn)?/p>

為偶函數(shù)，所以

，又當(dāng)

時(shí)，

，故

在

上是偶函數(shù)，

，即

即

，故A錯(cuò)誤；

，

，故B正確；

，

，故C正確；

，

故D錯(cuò)誤故選：BC12.【答案】63

【解析】【分析】本題考查集合的表示，考查集合的真子集個(gè)數(shù)的求法．

化簡集合A，進(jìn)而能求出集合A的真子集的個(gè)數(shù)．【解答】解：

集合

，

集合A的真子集有

個(gè)．故答案為6313.【答案】2

【解析】【分析】本題考查回歸直線方程，屬于基礎(chǔ)題.

由題意取對數(shù)可得，由回歸直線過和已知數(shù)據(jù)可得答案.

【解答】解：由題意可得

，又

，回歸直線過

，所以

，故

，解得

故答案為：214.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)以及方程有解問題，屬于中檔題.

利用參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】

解：

函數(shù)

在區(qū)間

上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需

在區(qū)間

上有解，即

在區(qū)間

上有解，所以

在區(qū)間

上有解，所以

令

，則

令

，則

在

上單調(diào)遞增，所以

，即

，所以

，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是

故答案為：

15.【答案】解：

展開式的通項(xiàng)為

，因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為

，所以

，即

，所以

舍去或

，因?yàn)?/p>

，

所有展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第五項(xiàng)，即

，令

得

，即展開式系數(shù)和為

；

通項(xiàng)公式：

，當(dāng)

、6時(shí)對應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：

；

【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．

根據(jù)展開式通項(xiàng)公式，寫出前三項(xiàng)的系數(shù)，再由三者的絕對值成等差數(shù)列可求出n；根據(jù)n的值可確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，再令可求各項(xiàng)的和；寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)

，再由為整數(shù)確定有理項(xiàng).16.【答案】解：填寫列聯(lián)表，如下；開車時(shí)使用手機(jī)開車時(shí)不使用手機(jī)合計(jì)男性司機(jī)人數(shù)401555女性司機(jī)人數(shù)202545合計(jì)6040100

零假設(shè)為開車時(shí)使用手機(jī)與司機(jī)的性別無關(guān)聯(lián).

根據(jù)數(shù)表，計(jì)算，

有的把握認(rèn)為開車時(shí)使用手機(jī)與司機(jī)的性別有關(guān).

開車時(shí)不使用手機(jī)的男性司機(jī)人數(shù)為：人;

開車時(shí)不使用手機(jī)的女性司機(jī)人數(shù)為：人.

由題意可知：X的所有可能取值為0，1，2，3，

則X的分布列為：X0123P則

【解析】本題重點(diǎn)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量的分布列、期望，屬于一般題.

完善列聯(lián)表，利用卡方公式求出觀測值，對照臨界值表即可判斷；

由分層抽樣求出對應(yīng)人數(shù)，得X的所有可能取值和對應(yīng)概率，即可得分布列和期望.17.【答案】解：數(shù)列

是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

，

當(dāng)時(shí)，即

，，又

也滿足上式，

數(shù)列

的通項(xiàng)公式為

，由，可得

，①②由①-②，得

，，

不等式

可化為

，即

對任意的

恒成立，即轉(zhuǎn)化為

令

，且易得

為遞增數(shù)列，又

，所以

，綜上，

的取值范圍是

【解析】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．由

利用累加法求出

的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出

的通項(xiàng)公式.由

得

，利用錯(cuò)位相減法求出

，不等式

可轉(zhuǎn)化為

，利用的單調(diào)性求出最小值即可.18.【答案】解：設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為

，則

，由橢圓的定義可得

，解得

，所以

，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.設(shè)直線l的方程為

，當(dāng)直線

AP

的斜率不存在時(shí)，易知直線

BP

與橢圓C相切，不符合題意，同理可得直線

AQ

的斜率存在，故直線

AP

的方程為

，則

，即

，同理

.由

得

，由

得

，又

，所以

，故

為定值，且

.

【解析】本題考查了橢圓中的定值問題，直線和橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，屬較難題.

由橢圓的定義可得

，進(jìn)而由已知求得

b

，得出結(jié)果．設(shè)直線

l

的y軸截距式方程：

，結(jié)合直線方程可得

，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程有

，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得

，則

為定值．19.【答案】解：由題意得，

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>