2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（江蘇專用）專題05 幾何中的尺規(guī)作圖（解答壓軸題）（教師版）

PAGE1PAGE專題05幾何中的尺規(guī)作圖（解答壓軸題）通用的解題思路：尺規(guī)作圖的解題思路主要包括以下幾個(gè)步驟：1.理解題目要求：首先，你需要清楚理解題目要求你做什么。這可能涉及到繪制特定的圖形，如等邊三角形、正方形或圓，或者可能涉及到構(gòu)造特定的線段或角度。2.分析已知條件：接下來，你需要分析題目給出的已知條件。這可能包括特定的線段長度、角度大小或其他幾何信息。這些信息將是你進(jìn)行作圖的基礎(chǔ)。3.確定作圖步驟：基于題目要求和已知條件，你需要確定作圖的步驟。這可能涉及到使用直尺和圓規(guī)來繪制線段、作角、作垂線等。4.執(zhí)行作圖步驟：在確定了作圖步驟后，你需要按照步驟來執(zhí)行。在執(zhí)行過程中，你需要保持精確，確保每一步都符合題目要求和幾何原理。5.檢查答案：最后，你需要檢查你的答案。這可能涉及到驗(yàn)證你的作圖是否滿足題目要求，或者驗(yàn)證你的作圖是否符合幾何原理。1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點(diǎn)且與邊相切于點(diǎn)（請保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，即可；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得圓的半徑，設(shè)交于點(diǎn)，連接，可得是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)與重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，是的切線，∴，∴，則，解得：，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，連接，

∵，∴是等邊三角形，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴∴在中，,∴,∴，則，∴與重疊部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，切線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握基本作圖與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．

(1)求出對角線的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點(diǎn)的某條直線翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)作圖見解析【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）連接，根據(jù)軸對稱性質(zhì)，過點(diǎn)尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過作于，如圖所示：

在中，，，，，，在中，，，，則；（2）解：如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規(guī)作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規(guī)作圖是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)M是上的一個(gè)定點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：請?jiān)趫D1中作，使得與射線相切于點(diǎn)M，同時(shí)與相切，切點(diǎn)記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作的平分線，再過M點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)O，接著過O點(diǎn)作于N點(diǎn)，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；（2）先利用切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線長定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

；（2）解：∵和為的切線，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧與所圍成圖形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積計(jì)算．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)過直線外一點(diǎn)向直線最垂線的作法得出即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作圖形如圖，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)向直線最垂線的作法，熟練記憶正確作法是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點(diǎn)，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時(shí)的俯視圖，此時(shí)，，，求的度數(shù)．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)F的位置如圖3所示，請?jiān)趫D3中作出此時(shí)門的位置．（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)求得結(jié)果；（2）以點(diǎn)O為圓心、的長為半徑畫弧，與以點(diǎn)F為圓心、的長為半徑的弧交于點(diǎn)，連接得出門的位置；（3）當(dāng)最大時(shí)，的值最大，過點(diǎn)O作MN的垂線段，當(dāng)這條垂線段最大時(shí)，最大，即當(dāng)垂線段為OM即垂足為M時(shí)，最大，故的最大值為．【詳解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）門的位置如圖1中或所示．（畫出其中一條即可）

（3）如圖2，連接，過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)H．

∵在門的開合過程中，在不斷變化，∴當(dāng)最大時(shí)，的值最大．由圖2可知，當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，∴的最大值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，準(zhǔn)確作圖，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．【答案】(1)(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，∴它們的面積之比為；故答案為；（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接，然后分別過點(diǎn)C、D作的平行線，交于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）【問題提出】如何用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺過圓心作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯(lián)想】如圖2，已知線段，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形；【問題再解】如圖3，已知扇形，請你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一條以點(diǎn)為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯(lián)想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯(lián)想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點(diǎn)即為等腰直角三角形的頂點(diǎn)；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點(diǎn)N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點(diǎn)為M，然后以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓與扇形所交的圓弧CD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，扇形的面積等知識(shí)，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，掌握基本作圖方法．1．綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)折紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，幸運(yùn)星、紙飛機(jī)、千紙鶴、密信等折紙活動(dòng)在生活中都是廣為流傳的，通過折紙我們可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，折紙往往從矩形紙片開始，下面就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來探究一下有關(guān)矩形紙片的折疊問題，看看折疊矩形紙片蘊(yùn)含著哪些豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．(1)折紙1：如圖1，在一張矩形紙片上任意畫一條線段，將紙片沿線段折疊（如圖2）問題1：重疊部分的的形狀______（是、不是）等腰三角形．問題2：若，，則重疊部分的面積為______(2)折紙2：如圖3，矩形紙片，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿著直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，請僅用無刻度的尺子和圓規(guī)在圖中找出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)折紙3：如圖4，矩形紙片，，，若點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，將沿著直線折疊，折疊后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的垂直平分線上時(shí)，求的長．【答案】(1)是；(2)見解析(3)或15【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，折疊的性質(zhì)，勾股定理；（1）①設(shè)紙片右下角的點(diǎn)為點(diǎn)M，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得，即可；②過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則，根據(jù)勾股定理可得的長，再由三角形的面積公式計(jì)算，即可；（2）以點(diǎn)B為圓心，以長度為半徑作圓交于點(diǎn)F，作的角平分線，交于點(diǎn)E，即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)落在長方形紙片的外部時(shí)；當(dāng)點(diǎn)落在長方形紙片的內(nèi)部時(shí)結(jié)合銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】（1）問題1：如圖②，設(shè)點(diǎn)M是紙片下邊上的點(diǎn)，∵紙片為矩形，則，∴，由折疊的性質(zhì)知，，∴，∴的形狀為等腰三角形，故答案為：是；問題2：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，則，則的面積故答案為：；（2）以點(diǎn)為圓心，以長度為半徑作圓交于點(diǎn)，作的角平分線，交于點(diǎn)，作圖過程如下：（3）當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交由題意得：，點(diǎn)恰好落在的垂直平分線上，故，在中，，，，則，則，則，，，，在中，，解得：，．當(dāng)點(diǎn)落在矩形外部時(shí)，如圖，，，則，則，則，，，，在中，，解得：，則．故的長為或．2．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，以為直徑的半圓的圓心為，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．（保留作圖痕跡）

(1)在圖1中線段上確定一點(diǎn)，使得；(2)在圖2中作出的邊上的高；(3)在圖3中作出的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）如圖，設(shè)與網(wǎng)格交于點(diǎn)，利用三角形的中位線定理解決問題即可；（2）如圖，延長交于點(diǎn)，連接即可；（3）如圖，取格點(diǎn)，連接即可．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；

（2）解：如圖，線段即為所求；

（3）解：如圖，直線即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖，三角形的中位線定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．3．如圖，已知在中，，以A為圓心，的長為半徑作圓，是的切線與的延長線交于點(diǎn)E．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接．①試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；②若，的半徑為3，求的長．【答案】(1)見解析(2)①與相切，理由見解析；②6【分析】（1）使用尺規(guī)作圖作線段垂線，分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，作半徑相同的圓弧，交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)A與該點(diǎn)并延長交的延長線于點(diǎn)．（2）①根據(jù)垂直平分線性質(zhì)求得，則與相切；②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．【詳解】（1）如圖，為所作垂線；

（2）①與相切，理由如下∶在中，是的垂線，，且是的垂直平分線，，，與相切于點(diǎn)，，即，與相切；②在中，根據(jù)勾股定理，得：在中，【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定定理、垂直平分線性質(zhì)和勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，．

(1)尺規(guī)作圖：在上找一點(diǎn)P，作與，都相切，與的切點(diǎn)為Q；（保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，連接，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）結(jié)合切線的判定與性質(zhì)，作的平分線，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫圓即可．（2）由題意可得，則，可得為等邊三角形，即，則，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，作的平分線，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫圓，交于點(diǎn)，則即為所求．

（2）解：由（1）可得，，，，，，，，為等邊三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，在四邊形中，相交于點(diǎn)O．(1)給出下列信息：①；②；③．請從上面三個(gè)選項(xiàng)中選出兩個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，并加以證明．你選擇的條件是______，結(jié)論是_________．(填序號(hào))(2)在（1）的條件下，已知，請用無刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上(保留作圖痕跡，不要求寫作法)．【答案】(1)①②，③（答案不唯一）；見解析(2)見解析【分析】（1）條件①②，結(jié)論③；或條件②③，結(jié)論①；都是真命題，證明全等三角形，推出四邊形是平行四邊形，即可證明結(jié)論成立；（2）作線段的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形為所作的菱形．【詳解】（1）解：條件①②，結(jié)論③；或條件②③，結(jié)論①；都是真命題，選擇：條件①②，結(jié)論③；∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴；選擇：條件②③，結(jié)論①；∵，，，∴，∴，∵，∴，四邊形是平行四邊形，∴；故答案為：①②，③（答案不唯一）；（2）解：菱形如圖所示：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，作線段的垂直平分線．掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．6．閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．無刻度直尺在作圖時(shí)只可用來畫直線、射線或線段．請根據(jù)以上材料按要求進(jìn)行作圖．

(1)如圖1，在中，，請用無刻度直尺與圓規(guī)在邊上作出一點(diǎn)O，使得過點(diǎn)C且與相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）(2)如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格的四個(gè)格點(diǎn)，且．①作圖：請?jiān)趫D2中僅用無刻度直尺作出一點(diǎn)O，使得過點(diǎn)C且與相切于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）②若此網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長為1，則的半徑為________．（可利用圖2備用圖計(jì)算）【答案】(1)見詳解(2)①見詳解②【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖，圓的切線判定，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)等；（1）作出的平分線交于，即可求解；（2）①連接，作的垂直平分線，過作的垂線，交的垂直平分線于，即可求解；②由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，，由可判定，由相似三角形的性質(zhì)得，求出，由勾股定理得，即可求解；掌握作法，能利用判定方法及性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，是所求作的點(diǎn)；（2）解：①如圖，是所求作的點(diǎn)；②如圖，由圖得：，，，由作圖過程得：，，在和中，，()，，，，，，，，，解得：，，；故答案：．7．問題探究：（1）將一直角梯形放在如圖1所示的正方形網(wǎng)格（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為一個(gè)單位長度）中，梯形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請你在圖中作一條直線l，使它將梯形分成面積相等的兩部分；（畫出一種即可）（2）如圖2，，點(diǎn)A、D在上，點(diǎn)B、C在上，連接、，交于點(diǎn)O，連接、．試說明：；問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，不規(guī)則五邊形是李大爺家的一塊土地的示意圖，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上，邊在x軸正半軸上，平行于x軸，的中點(diǎn)P處有一口灌溉水井，現(xiàn)結(jié)合實(shí)際耕種需求，需在上找一點(diǎn)Q，使將這塊土地的面積分為相等的兩部分，用于耕種兩種不同的作物，并沿修一條灌溉水渠（水渠的寬度忽略不計(jì)）．①請你利用有刻度的直尺在圖中畫出的位置，并簡要說明作圖過程；②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，，，請求出直線的解析式．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②直線的解析式為【分析】本題考查同底等高的三角形的面積關(guān)系、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)平移的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)網(wǎng)格和梯形的面積公式求解即可；（2）根據(jù)，，即可求解；（3）①如圖，連接，平移，使其經(jīng)過點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)N，量出的中點(diǎn)Q，連接，由，可得，從而可得，可證，再由平分梯形的面積，即可求解；②由題意可得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，再根據(jù)一次函數(shù)平移的規(guī)律可設(shè)直線的解析式為，再把代入求得直線的解析式為，從而可得，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：（1）直線l的位置如圖所示．（答案不唯一），理由如下：如圖，直線l分別交、于點(diǎn)E、F，∵，，∵；（2）設(shè)、之間的距離為h，∵，，，．（3）①如圖，連接，平移，使其經(jīng)過點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)N，量出的中點(diǎn)Q，連接，的位置如圖所示．∵，∴，又∵，∴，，∵平分梯形的面積，∴平分五邊形的面積，②由題意得，，，，，，．設(shè)直線的解析式為，將，，代入得，解得，∴直線的解析式為，故可設(shè)直線的解析式為，將代入，得，∴直線的解析式為．當(dāng)時(shí)，，解得．．，設(shè)直線的解析式為，將，，代入得，解得，∴直線的解析式為．8．在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作（，順，）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作（，逆，）．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)為位似中心縮小到原來的，得到，這個(gè)變換記作（，逆，）．(1)如圖②，經(jīng)過（，順，2）得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，經(jīng)過（，逆，）得到，經(jīng)過（，順，）得到，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．(3)如圖④，在中，，，．若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；Ⅱ．直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②【分析】（1）旋轉(zhuǎn)，可作等邊和，從而得出點(diǎn)和點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)，，進(jìn)而作出圖形；（2）根據(jù)和位似，與位似得出對應(yīng)角相等及對應(yīng)邊成比例，進(jìn)而推出，從而，進(jìn)而得出，同理可得：，從而推出四邊形是平行四邊形；（3）要使是正方形，應(yīng)使，，得出的度數(shù)，得出的度數(shù)，從而求出，于是作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法．【詳解】（1）解：如圖，1．以為圓心，為半徑畫弧，以為圓心，為半徑畫弧，兩弧在的上方交于點(diǎn)，分別以，為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，2．延長至，使，延長至，使，連接，則就是求作的三角形；（2）證明：和位似，與位似，，，，，，，，，同理可得：，四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖，1．以為邊在上方作等邊，2．作等邊的外接圓，作直徑，連接，3．作，，延長，交于，連接，，則四邊形是正方形，證明：由上知：，，，，，，，要使是正方形，應(yīng)使，，，，，，，作等邊，保證，作直徑，保證，這樣得出作法；，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，確定圓的條件，平行四邊形的判定，尺規(guī)作圖等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．9．如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上，若滿足，則稱點(diǎn)P是點(diǎn)D的“和諧點(diǎn)”．?(1)如圖2，．①求證：點(diǎn)P是點(diǎn)D的“和諧點(diǎn)”；②在邊上還存在某一點(diǎn)Q（不與點(diǎn)P重合），使得點(diǎn)Q也是點(diǎn)D的“和諧點(diǎn)”，請?jiān)趫D2中僅用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并寫出證明過程．（保留作圖痕跡）(2)如圖3，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，C，點(diǎn)P在線段上，且點(diǎn)P是點(diǎn)D的“和諧點(diǎn)”．①若，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若滿足條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，直接寫出長的取值范圍是．【答案】(1)①詳見解析；②詳見解析(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；②．【分析】（1）①由考慮平角，只要證明即可；②分別做線段、的中垂線，兩條中垂線交于點(diǎn)O，則O為的外心，以O(shè)為圓心，為半徑作圓交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求．用同弧所對的圓周角相等證明；（2）①通過求出的長度，然后求出直線AC的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用B、P兩點(diǎn)間的距離公式解方程求出點(diǎn)P；②求出兩個(gè)臨界狀態(tài)時(shí)的：一是當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)；二是的外接圓與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),即可求解．【詳解】（1）①證明：，，，，，∴點(diǎn)P是點(diǎn)D的“和諧點(diǎn)”；②解：如圖，分別做線段、的中垂線，交于點(diǎn)O，則O為的外心，為半徑作圓交于點(diǎn)Q．∵，，，，∴Q也是點(diǎn)D的“和諧點(diǎn)”；（2）解：①，，，∴，，，，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，的外接圓與線段恰有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖：，，由①知，∴，即，，；當(dāng)?shù)耐饨訄A與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖：此時(shí)的外接圓與線段相切，則，，，，，，，，，，，，即，，；綜上，若滿足條件的點(diǎn)P恰有2個(gè)，長的取值范圍是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題在新定義下考查了三角形相似，解直角三角形，圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，理解定義，緊扣,找出兩個(gè)臨界狀態(tài)時(shí)的：一是當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)；二是的外接圓與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，用方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.10．尺規(guī)作圖蘊(yùn)含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請嘗試用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點(diǎn)P是其中一個(gè)切點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖2中作，使它滿足以下條件：①圓心O在上；②經(jīng)過點(diǎn)P；③與邊相切；(3)【不可及點(diǎn)的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點(diǎn)在墻的另一側(cè)，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線作出結(jié)果；（2）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線、已知線段作出結(jié)果，有多種不同做法．（3）根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線作出結(jié)果，有多種不