2025屆銅陵市第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆銅陵市第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．2．在中，若，，，則角的大小為（）A．30° B．45°或135° C．60° D．135°3．從數(shù)字0，1，2，3，4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為（）A． B． C． D．4．已知，滿足，則（）A． B． C． D．5．（）A．4 B． C．1 D．26．將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移A．在區(qū)間[-πB．在區(qū)間[5πC．在區(qū)間[-πD．在區(qū)間[π7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()A． B． C． D．8．以點(diǎn)和為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程是（）A． B．C． D．9．已知,,,是球球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面,,，則該球的表面積為（）A． B． C． D．10．設(shè)，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿足”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．有一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱，點(diǎn)，分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離不大于1的概率是________.12．過(guò)點(diǎn)(2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)________________．13．某中學(xué)初中部共有名老師，高中部共有名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為_(kāi)_________．14．圓和圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的垂直平分線的方程是________.15．如圖，直三棱柱中，，，，外接球的球心為О，點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．有下列判斷：①直線AC與直線是異面直線；②一定不垂直；③三棱錐的體積為定值；④的最小值為⑤平面與平面所成角為其中正確的序號(hào)為_(kāi)______16．已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，以及取到最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的集合；（2）在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個(gè)級(jí)別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)；(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.19．已知數(shù)列滿足，，其中實(shí)數(shù).（I）求證：數(shù)列是遞增數(shù)列；（II）當(dāng)時(shí).（i）求證：；（ii）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求整數(shù)的值，使得最?。?0．在中，分別為角所對(duì)應(yīng)的邊，已知，，求的長(zhǎng)度.21．單調(diào)遞增的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為D過(guò)D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因?yàn)锳B＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因?yàn)镻A＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點(diǎn)．設(shè)AB中點(diǎn)為D過(guò)D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因?yàn)镻D為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．2、B【解析】

利用正弦定理得到答案.【詳解】在中正弦定理：或故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，屬于簡(jiǎn)單題.3、B【解析】

直接利用古典概型的概率公式求解.【詳解】從數(shù)字0，1，2，3，4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16個(gè)，其中大于30的有31，32，34，40，41，42，43，共7個(gè)，故所求概率為．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)公式得到,由指數(shù)的運(yùn)算公式得到=，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)得到>0,，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】已知,=,>0,進(jìn)而得到.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)函數(shù)的運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小常用的方法有：兩式做差和0比較，分式注意同分，進(jìn)行因式分解為兩式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判斷最值和0的關(guān)系.5、A【解析】

分別利用和差公式計(jì)算，相加得答案.【詳解】故答案為A【點(diǎn)睛】本題考查了正切的和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、A【解析】

函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移y=sin2kπ-π單調(diào)遞減區(qū)間：2kπ+π2≤2x-π3【詳解】本題考查了正弦型函數(shù)圖象的平移變換以及求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.7、D【解析】

通過(guò)和關(guān)系，計(jì)算通項(xiàng)公式，再計(jì)算，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】，取，兩式相減得：是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前N項(xiàng)和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、A【解析】

可根據(jù)已知點(diǎn)直接求圓心和半徑.【詳解】點(diǎn)和的中點(diǎn)是圓心，圓心坐標(biāo)是，點(diǎn)和間的距離是直徑，，即，圓的方程是.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

根據(jù)截面法，作出球心O與外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理可求得球半徑，從而得到結(jié)果.【詳解】如圖，的外接圓圓心E為BC的中點(diǎn)，設(shè)球心為O，連接OE，OP，OA，D為PA的中點(diǎn)，連接OD.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，且平面，則//，由為等腰三角形可得，又，所以//，則四邊形ODAE是矩形，所以=，而，中，根據(jù)勾股定理可得，所以該球的表面積為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積問(wèn)題，幾何體的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題，關(guān)鍵是球心位置的確定，必要時(shí)需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.10、A【解析】

“數(shù)列為等比數(shù)列”，則，數(shù)列滿足．反之不能推出，可以舉出反例．【詳解】解：“數(shù)列為等比數(shù)列”，則，數(shù)列滿足．充分性成立；反之不能推出，例如，數(shù)列滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立；故“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿足”的充分非必要條件故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的定義、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點(diǎn)到點(diǎn)，的距離不大于1的概率；【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離都不大于1的點(diǎn)組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關(guān)鍵是明確滿足題意的測(cè)度為體積比．12、【解析】分析：分類討論截距為0和截距不為零兩種情況求解直線方程即可.詳解：當(dāng)截距為0時(shí),直線的方程為，滿足題意；當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線的方程為,把點(diǎn)代入直線方程可得，此時(shí)直線方程為.故答案為.點(diǎn)睛：求解直線方程時(shí)應(yīng)該注意以下問(wèn)題：一是根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍；二是求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論；三是在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論.13、【解析】

由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數(shù)，再相加.【詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】考查統(tǒng)計(jì)中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.14、【解析】

弦AB的垂直平分線即兩圓心連線.【詳解】弦AB的垂直平分線即兩圓心連線方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了弦的垂直平分線，轉(zhuǎn)化為過(guò)圓心的直線可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.15、①③④⑤【解析】

由異面直線的概念判斷①；利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷②；找出球心,由棱錐底面積與高為定值判斷③；設(shè),列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合其幾何意義,求出最小值判斷④；由面面成角的定義判斷⑤【詳解】對(duì)于①,因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn),而直線在平面內(nèi),且不過(guò)點(diǎn),所以直線與直線是異面直線,故①正確；對(duì)于②,當(dāng)點(diǎn)所在的位置滿足時(shí),又,,平面,所以平面,又平面,所以,故②錯(cuò)誤；對(duì)于③,由題意知,直三棱柱的外接球的球心是與的交點(diǎn),則的面積為定值,由平面,所以點(diǎn)到平面的距離為定值,所以三棱錐的體積為定值,故③正確；對(duì)于④,設(shè),則,所以,由其幾何意義,即直角坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn),距離和的最小值知,其最小值為,故④正確；對(duì)于⑤,由直棱柱可知,,,則即為平面與平面所成角,因?yàn)?,所以,故⑤正確；綜上,正確的有①③④⑤,故答案為:①③④⑤【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的判定,考查面面成角,考查線線垂直的判定,考查轉(zhuǎn)化思想16、【解析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時(shí)，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、，，;（2）【解析】

（1）．此時(shí)，（2），，即，．，，且，，即的取值范圍是．18、（1）輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)分別為6，9，3；（2）從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1；（3）【解析】

（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積表示各組的頻率，可以求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出頻數(shù)；（2）根據(jù)（1）求出擁堵路段的個(gè)數(shù)，求出每層之間的占有比例，然后求出每層的個(gè)數(shù)；（3）先求出從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，有多少種可能情況，然后求出至少有1個(gè)路段為輕度擁堵有多少種可能情況，根據(jù)古典概型概率公式求出.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，這20個(gè)交通路段中，輕度擁堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(個(gè))，中度擁堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(個(gè))，嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1＋0.05)×1×20＝3(個(gè)).(2)由(1)知，擁堵路段共有6＋9＋3＝18(個(gè))，按分層抽樣，從18個(gè)路段抽取6個(gè)，則抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1.(3)記抽取的2個(gè)輕度擁堵路段為，，抽取的3個(gè)中度擁堵路段為，，，抽取的1個(gè)嚴(yán)重?fù)矶侣范螢?，則從這6個(gè)路段中抽取2個(gè)路段的所有可能情況為：，共15種，其中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的情況為：，共9種.所以所抽取的2個(gè)路段中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率直方圖的應(yīng)用、分層抽樣、古典概型概率的求法.解決本題的關(guān)鍵是對(duì)頻率直方圖所表示的意義要了解，分層抽樣的原則要知道，要能識(shí)別古典概型.19、（I）證明見(jiàn)解析；（II）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.【解析】

（I）通過(guò)計(jì)算，結(jié)合，證得數(shù)列是遞增數(shù)列.（II）（i）將轉(zhuǎn)化為，利用迭代法證得.(ii)由（i）得，從而，即.利用裂項(xiàng)求和法求得，結(jié)合（i）的結(jié)論求得，由此得到當(dāng)時(shí)，取得最小值．【詳解】（I）由所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以?shù)列是遞增數(shù)列．（II）此時(shí)．（i）所以，有由（1）知是遞增數(shù)列，所以所以（ii）因?yàn)樗杂?由由（i）知，所以所以所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列單調(diào)性的證明方法，考查裂項(xiàng)求和法，考查迭代法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20、或【解析】

由已知利用三角形的