華師大新版八年級上學期《14.1勾股定理》同步練習卷

華師大新版八年級上學期《14.1勾股定理》

同步練習卷

一.選擇題（共25小題）

1.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A,B,C,D的邊長分別是4,9,1,4,則最大正

方形E的面積是（）

A.18B.114C.194D.324

2.如圖，長方形OABC中，0A=12,AB=5,0A邊在數(shù)軸上，以原點。為圓心,

對角線0B的長為半徑畫弧,交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）

A.12B.13C.15D.17

3.將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.5,12,15D.1,炳,2

4.如圖，^ABC中，CD是AB邊上的高，若AB=1.5,BC=0.9,AC=1.2,則CD的

C.1.125D.不能確定

5.在4ABC中，三邊之比分別為5：12：13,ZC-ZB=ZA,則4ABC為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.如圖，兩個較大正方形的面積分別為225、289,則字母A所代表的正方形的

7.如圖，由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形.設(shè)直角

三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若（a+b）2=21,大正方形的

8.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,4BCD與△BUD關(guān)于直線BD

軸對稱，BC=6,CD=3,點C與點U對應，BC咬AD于點E,則線段DE的長為

（）

C'

A.3B.—C.5D.—

42

9.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，^ABC的頂點都在格點上，下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.AB=5B.ZC=90°C.AC=2遙D.ZA=30°

10.如圖，OA=M，以O(shè)A為直角邊作Rt^OAAi，使NAOAi=30。，再以O(shè)Ai為直

角邊作RtZ\OAiA2,使NAIOA2=30。，......，依此法繼續(xù)作下去，則A1A2的長為

11.如圖，在4ABC中，點M是AC邊上一個動點.若AB=AC=10,BC=12,則

A.8B.9.6C.10D.45

12.一個三角形的三邊長分別為3,4和5,那么它長邊上的高線長為（）

A.5B.2.5C.2.4D.2

13.如圖，AABC的頂點A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD1AC

于點D,則BD的長為（）

A

14.如圖，4ABC是腰長為2的等腰直角三角形,ABCD是直角三角形，且ND=30。,

則兩個三角形重疊部分（aOBC）的面積是（）

A.3-V3B.2-返C.1D.1+返

42

15.如圖，在四邊形ABCD中，AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,ZC=90°,當AD

為多少時，ZABD=90°()

A.13B.673C.12D.672

16.直角三角形的兩邊長分別為6和8,那么它的第三邊長度為（）

A.8B.10C.8或2析D.10或26

17.AABC的三邊分別為a,b,c,下列條件：?ZA=ZB-ZC；②a?=（b+c）

（b-c）；③a：b：c=3：4：5.

其中能判斷AABC是直角三角形的條件個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

18.如圖圖中，不能用來證明勾股定理的是（)

ba

19.如圖RtAABC,ZC=90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學

史上稱為“希波克拉底月牙〃；當AC=3,BC=4時，計算陰影部分的面積為（）

A.6B.6nC.10nD.12

20.Rt^ABC中，斜邊BC=2,則AB2+BC2+CA2=()

A.8B.6C.4D.無法計算

21.如圖，已知RtaABC中，ZABC=90°,分別以AB、BC、AC為直徑作半圓,

面積分別記Si，S2,S3,若Si=4,S2=9,則S3的值為（)

B.5C.11D.3

22.如圖，AB±AC,AD±BC,垂足為D,AB=3,AC=4,AD=絲，BD=2,則點B

55

到直線AD的距離為（）

A

A.旦B.空C.3D.4

55

23.如圖是由“趙爽弦圖"變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記

圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為、若

ABCDEFGHMNPQSiS2.S3.

則的值是

SI+S2+S3=60,S2（）

A.12B.15C.20D.30

24.如圖，已知直角三角形的三邊長分別為a、b、c,以直角三角形的三邊為邊

（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.那么，

這四個圖形中，其面積Si、S2、S3滿足S1+S2=S3的個數(shù)是（）

25.一個直角三角形的直角邊是24,斜邊是25,則斜邊上的高為（）

A.7B.儂C.168D.25

25

二.填空題（共13小題）

26.一個直角三角形的兩直角邊長分別是3cm和2cm,則第三邊長cm.

27.如圖，圖中的所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，正方形

A的面積為40,另外四個正方形中的數(shù)字8,x,10,y分別表示該正方形面

積，則x+y=.

28.如圖，RQABC中,ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,D點從A出發(fā)以每秒1cm

的速度向B點運動，當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為秒.

29.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點B出發(fā)，

沿射線BC以2cm/s的速度移動設(shè)運動的時間為ts當t=時，4ABP為

直角三角形.

30.如圖是一種"羊頭"形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，

向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和

②’，…依此類推,若正方形①的邊長為64m,則正方形⑨的邊長為cm.

31.已知一等腰三角形有兩邊長分別是10cm和12cm,則底邊上的高為.

32.已知4ABC的面積為24,ZC=90°,若AC與BC的長的和是14,則AB的長

是

33.勾股定理a?+b2=c2本身就是一個關(guān)于a,b,c的方程，滿足這個方程的正整

數(shù)解(a,b,c)通常叫做勾股數(shù)組.畢達哥拉斯學派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)

組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：(3,4,5),(5,12,13),

(7,24,25),....分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1X(3+1),12=2X(5+1),

24=3X(7+1),...分析上面規(guī)律，第5個勾股數(shù)組為.

34.已知直角三角形的兩直角邊長分別是6,8,則它的周長為.

35.我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖"，后人稱其為"趙

爽弦圖"如圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖"的示意圖，它是由四個全等的直

角三角形圍成的.若較短的直角邊BC=5,將四個直角三角形中較長的直角邊

分別向外延長一倍，得到圖②所示的"數(shù)學風車"，若aBCD的周長是30,則

這個風車的外圍周長是.

36.若一個直角三角形的一條直角邊為12cm,另一條直角邊長比斜邊短4cm,

則斜邊長為.

37.如圖，已知4ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線，DE

交AB于點D,連接CD,則CD=.

ADB

38.若一個三角形的三邊長分別是6、8、a,若這個三角形是直角三角形，則a

的最小值是

三.解答題（共19小題）

39.細心觀察圖形，認真分析各式，然后回答問題:

OAi:=l,4=&

OA：:=（VI）2+1=2,

SL—,

0A產(chǎn)（S）2+1=3,

OA?=（A/3）2+1=4,SL—

（1）推算出OAio的長和Si。的值.

（2）直接用含n（n為正整數(shù)）的式子表示OAn的長和Sn的值.

2222

（3）求S1+S2+S3+..+S1O的值.

40.在^ABC中，AB=30,BC=28,AC=26.求AABC的面積.

某學習小組經(jīng)過合作交流給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成

解答過程.

如圖，作AD_LBC

于D.設(shè)BD=x,用

41.閱讀：所謂勾股數(shù)就是滿足方程x?+y2=z2的正整數(shù)解，即滿足勾股定理的三

個正整數(shù)構(gòu)成的一組數(shù).我國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》一書中，在歷史上

第一次給出該方程的解為x=L（m2-n2）,y=mn,z=—（m2+n2）,其中m>n

22

>0,m、n是互質(zhì)的奇數(shù).

應用：已知某直角三角形的三邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為37,且n=5,

求該直角三角形另兩邊的長.

42.閱讀并回答問題：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a,b,c,稱

（2）猜想：以a,b,c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想.

（3）觀察下列勾股數(shù)32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,分析其中

的規(guī)律，寫出第五組勾股數(shù).

43.如圖，已知CD=6m,AD=8m,ZADC=90°,BC=24m,AB=26m；求圖中陰影

部分的面積.

B

44.如圖，Rtz^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,點E是AD的

中點，求CE的長.

45.如圖，已知四邊形ABCD中，AB〃CD,BC=AD=4,AB=CD=10,ZDCB=90",

E為CD邊上的一點，DE=7,動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著

邊AB向終點B運動，連接PE,設(shè)點P運動的時間為t秒.

（1）求BE的長；

(2)若4BPE為直角三角形，求t的值.

46.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,動點P從點B出發(fā)沿

射線BC以2cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒.

(2)當4ABP為直角三角形時，求t的值；

(3)當4ABP為等腰三角形時，求t的值.

47.如圖，^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動點P從點C開始，按

CfA玲B玲C的路徑運動，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

(1)出發(fā)2秒后，求aABP的周長；

(2)當t為幾秒時，BP平分NABC；

48.如圖，aABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若點P從點A出發(fā)，以

每秒2cm的速度沿折線A-C-B-A運動，設(shè)運動時間為t秒(t>0).

(1)若點P在AC上，且滿足PA=PB時，求出此時t的值；

(2)若點P恰好在NBAC的角平分線上，求t的值；

(3)在運動過程中，直接寫出當t為何值時，4BCP為等腰三角形.

A

49.如圖，^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動點P從點C開始，按

C玲A玲BIC的路徑運動，且速度為每秒lcm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

(1)出發(fā)2秒后，求4ABP的面積；

(2)當t為幾秒時，BP平分NABC；

(3)問t為何值時，^BCP為等腰三角形？

(1)理解:

①根據(jù)"奇異三角形"的定義，請你判斷："等邊三角形一定是奇異三角形"嗎？

(填是或不是)

②若某三角形的三邊長分別為1、近、2,則該三角形(是或不是)奇異

三角形.

（2）探究：

若RtAABC是奇異三角形，且其兩邊長分別為2、2g,則第三邊的長為,

且這個直角三角形的三邊之比為（從小到大排列，不得含有分母）.

（3）設(shè)問：

請?zhí)岢鲆粋€和奇異三角形有關(guān)的問題.（不用解答）

51.如圖，已知aABC中，NB=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是aABC邊上的

兩個動點，其中點P從點A開始沿A玲B方向運動，且速度為每秒1cm,點Q

從點B開始沿B〉C方向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的

時間為t秒.

（1）當t=2秒時，求PQ的長；

（2）求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？

（3）若Q沿BfCfA方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使^BCQ成

為等腰三角形的運動時間.

52.如圖，在正方形網(wǎng)格中，請按要求畫以線段AB為邊的網(wǎng)格三角形.（網(wǎng)格

三角形是指各頂點在格點上的三角形）

（1）畫出一個面積為3的網(wǎng)格三角形；

53.如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中有一條線段AB,線段AB

的兩個端點均在小正方形的頂點上，請在圖①、圖②中各畫一個三角形，它

們的頂點均在小正方形的頂點上，且滿足以下要求：

(1)在圖①中以AB為斜邊畫RtAABC；

(2)在圖②中以AB為邊畫等腰三角形ABD,且4ABD只有兩條邊長為無理數(shù).

圖①鶯②

54.在下面的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,正方形的頂點稱為格

點，請在圖中以格點為頂點，畫出一個三角形，使三邊長分別為3,5,

并求此三角形的面積.

55.在Rt^ABC中，AC=8,BC=6,一個運動的點P從點A出發(fā)，以每秒鐘1個

單位的速度向點C運動，同時一個運動的點Q從點B出發(fā)，以每秒鐘2個單

位的速度向點A運動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止.運動的時

間為t秒.

(1)用含t的代數(shù)式表示線段AQ和CP.

(2)t為何值時，AP=AQ?

(3)t為何值時，AP=BP.

56.如圖，已知aABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是aABC邊上的

兩個動點，其中點P從點A開始沿A玲B方向運動，且速度為每秒1cm,點Q

從點B開始沿B1C9A方向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設(shè)出

發(fā)的時間為t秒.

（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；

（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？

（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使aBCQ成為等腰三角形的運動時間.

備用圖

57.已知：在△ABC中，ZC=90",斜邊AB為10,其中一條直角邊為6,求另一

條直角邊AC.

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參考答案與試題解析

選擇題（共25小題）

1.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，若正方形A,B,C,D的邊長分別是4,9,1,4,則最大正

方形E的面積是（）

D

A.18B.114C.194D.324

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，勾股定理，得到正方形A,B,C,D的面積和

即為最大正方形的面積

【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si，C、D的面積

和為$2，

2222

SI=4+9,S2=l+4,

則S3=Si+S2,

.*.S3=16+81+l+16=114.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

2.如圖，長方形OABC中，0A=12,AB=5,0A邊在數(shù)軸上，以原點。為圓心,

對角線0B的長為半徑畫弧,交正半軸于一點，則這個點表示的實數(shù)是（）

-12-6O612；

A.12B.13C.15D.17

【分析】根據(jù)勾股定理求出0B,根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系解答.

【解答】解：在RtAOAB中，0B=而再后=JT?7^=13，

這個點表示的實數(shù)是13,

故選:B.

【點評】本題考查的是勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，掌握如果直角三角形的兩條直角

邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a?+b2=c2是解題的關(guān)鍵.

3.將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.5,12,15D.1,遮，2

【分析】判斷是否為直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即

可.

【解答】解：A,12+2V32,故不能組成直角三角形，錯誤；

B、42+52#62,故不能組成直角三角形，錯誤；

C、52+12V152,故不能組成直角三角形，錯誤；

D,12+（V3,2=22,故能組成直角三角形，正確.

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，已

知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

4.如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，若AB=1.5,BC=0.9,AC=1.2,則CD的

值是（）

A.0.72B.2.0C.1.125D.不能確定

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理證明^ABC是直角三角形，根據(jù)計算直角三角

形的面積的兩種計算方法求出斜邊上的高CD.

【解答】解:VAB=1.5,BC=0.9,AC=1.2,

.*.AB2=1.52=2.25,BC2+AC2=O.92+1.22=2.25,

.*.AB2=BC2+AC2,

/.ZACB=90",

VCD是AB邊上的高，

.11

..ScAABc=yAB'CD=yAC-BC?

1.5CD=1.2X0.9,

CD=0.72,

故選：A.

【點評】該題主要考查了勾股定理的逆定理、三角形的面積公式及其應用問題；

解題的方法是運用勾股定理首先證明4ABC為直角三角形；解題的關(guān)鍵是靈

活運用三角形的面積公式來解答.

5.在4ABC中，三邊之比分別為5：12：13,ZC-NB=NA,則aABC為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理均可判斷^ABC為直角三

角形.

【解答】解：???在4ABC中，三邊之比分別為5：12：13,NC-NB=NA,

而52+122=132,ZA+ZB+ZC=180°,

.,.△ABC為直角三角形，ZC=ZA+ZB=90°.

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,

那么這個三角形就是直角三角形.也考查了三角形內(nèi)角和定理.本題兩個條

件中只選擇一個，仍然可以判定^ABC為直角三角形.

6.如圖，兩個較大正方形的面積分別為225、289,則字母A所代表的正方形的

面積為（)

289

225

A.4B.8C.16D.64

【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方，由正方形PQED的面積和正方形

PRQF的面積分別表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR為直角三角

形，根據(jù)勾股定理求出QR的平方，即為所求正方形的面積.

【解答】解：?.?正方形PQED的面積等于225,

.?.即PQ2=225,

?.?正方形PRGF的面積為289,

；.PR2=289,

又△PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2,

，QR2=PR2-PQ2=289-225=64,

則正方形QMNR的面積為64.

【點評】此題考查了勾股定理，以及正方形的面積公式.勾股定理最大的貢獻就

是溝通"數(shù)"與"形"的關(guān)系，它的驗證和利用都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，即把圖

形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題來解決.能否由實際的問題，聯(lián)想到用

勾股定理的知識來求解是本題的關(guān)鍵.

7.如圖，由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形.設(shè)直角

三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若（a+b）2=21,大正方形的

面積為13.則小正方形的面積為（）

【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的

面積，利用已知（a+b）2=21,大正方形的面積為13,可以得出直角三角形的

面積，進而求出答案.

【解答】解：???（a+b）2=21,

a2+2ab+b2=21,

?.?大正方形的面積為13,

/.2ab=21-13=8,

二小正方形的面積為13-8=5.

故選：C.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練應用勾股定理是解題關(guān)鍵.

8.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,4BCD與△BUD關(guān)于直線BD

軸對稱，BC=6,CD=3,點C與點U對應，BC咬AD于點E,則線段DE的長為

（）

A.3B.—C.5D.—

42

【分析】首先根據(jù)題意得到BE=DE,然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段AB、AE、

BE的方程，解方程即可解決問題.

【解答】解：設(shè)ED=x,貝|AE=6-x,

?.?四邊形ABCD為矩形，

，AD〃BC,

AZEDB=ZDBC；

由題意得：ZEBD=ZDBC,

/.ZEDB=ZEBD,

，EB=ED=x；

由勾股定理得：

BE2=AB2+AE2,

BPX2=9+(6-x)2,

解得：x=」正，

4

.*.ED=Ai.

4

故選:B.

【點評】本題主要考查了幾何變換中的翻折變換及其應用問題；解題的關(guān)鍵是根

據(jù)翻折變換的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，

靈活進行判斷、分析、推理或解答.

9.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，^ABC的頂點都在格點上，下列結(jié)論錯誤的

是()

A.AB=5B.ZC=90°C.AC=2遙D.ZA=30°

【分析】根據(jù)勾股定理計算各邊長，根據(jù)勾股定理逆定理計算角的度數(shù).

【解答】解：A、由勾股定理得：人8=斤不=5,故此選項正確；

B、VAC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AB2=52=25,

.*.AB2=BC2+AC2,

AZC=90°,

故此選項正確；

C、AC=&5=2,石，故此選項正確；

D、VBC=V5?AB=5,

.?.NAW30°,

故此選項不正確;

本題選擇錯誤的結(jié)論,

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理和逆定理及格點問題，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵.

10.如圖，OA=?,以O(shè)A為直角邊作Rt^OAAi，使NAOAi=30。，再以0A1為直

角邊作RtZ\OAiA2,使NAQA2=30。，......，依此法繼續(xù)作下去,則A1A2的長為

D.夸

【分析】由含30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OAi，即可得出結(jié)果.

【解答】解：VZOAAi=90°,0A=?,ZAOAi=30",

.?.AAI=*OAI，

由勾股定理得：OA2+AA/=OAI2,

即（6）2+）2=OAI2,

解得:0Al=2,

■:ZAIOA2=30°,

.?.A1A2的長=3巨位，

M3

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握勾股定

理，通過計算得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

11.如圖，在4ABC中，點M是AC邊上一個動點.若AB=AC=10,BC=12,則

BM的最小值為（）

A.8B.9.6C.10D.45

【分析】作ADIBC于D,則NADB=90。，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出

AD,當BM_LAC時，BM最?。挥?ABC的面積的計算方法求出BM的最小值.

【解答】解：作AD_LBC于D,如圖所示:

則/ADB=90°,

VAB=AC,

.?.BD」BC=6,

2

由勾股定理得：Q2-G2=8,

當BMLAC時，BM最小，

此時，ZBMC=90°,

VAABC的面積=L\C?BM=LBC?AD,

22

即LxiOXBM=Lxi2X8,

22

解得：BM=9.6,

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、垂線段最短、三角形面積的

計算方法；熟練掌握勾股定理，由三角形面積的計算方法求出BM的最小值

是解決問題的關(guān)鍵.

12.一個三角形的三邊長分別為3,4和5,那么它長邊上的高線長為（）

A.5B.2.5C.2.4D.2

【分析】由于32+42=52,可知此三角形是直角三角形，利用面積相等可得lX3

2

X4』X5?h,解即可.

2

【解答】解：?.?32+42=52,

,此三角形是直角三角形，

."x3X4」X5?h,

22

解得h=2.4.

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理逆定理.解題的關(guān)鍵是先證明三角形是直角三角形.

13.如圖，AABC的頂點A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD±AC

A.AB.D

55T-f

【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出^ABC的面積，根據(jù)勾股定理求出

AC,根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【解答】解:如圖所示:

SAABC=—XBCXAE」XBDXAC,

22

VAE=4,AC=^42+32=5,BC=4

即工X4X4=LX5XBD,

22

解得：BD=」@.

5

故選：c.

【點評】本題主要考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AC

的長，此題難度一般.

14.如圖，ZXABC是腰長為2的等腰直角三角形,ABCD是直角三角形，且ND=30。,

則兩個三角形重疊部分（△OBC）的面積是（）

【分析】過。作OE_LBC于E,設(shè)BE=x,求出0E和DC,根據(jù)相似得出比例式求

出X,再根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

【解答】解：BE

?.?在RtADCB中，ZDCB=90°,ZD=30°,BC=2,

DC=FBC=2?,

過。作OELBC于E,

,/ZABC=90°,

，OE〃AB,

.,.ZBOE=30°,AOEC^AABC,

.?.設(shè)BE=x,貝IOE=V^BE=、/3<,強=雪，

ABBC

???V3x_一2-x,

22

解得：x=?-1,

即OE=A/3X=3-5/3,

,陰影部分的面積S=/x2X（3-如）=3-a,

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能求出

0E的長是解此題的關(guān)鍵.

15.如圖，在四邊形ABCD中，AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm,ZC=90",當AD

為多少時，ZABD=90°（）

A.13B.6A/3C.12D.672

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理滿足AD2=BD?+AB2,可說明NABD=90。.

【解答】解：在△BDC中，ZC=90°,BC=3cm,CD=4cm,

根據(jù)勾股定理得，BD2=BC2+CD2,

即BD=VBC2+CD2=5cm,

當NABD=90。時，AD2=BD2+AB2,其中AB=12cm,BD=5cm,

則AD=C^7^^cm=13cm,

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理的運用，考查了勾股定理逆定理的運用，本題中準

確運用勾股定理與勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

16.直角三角形的兩邊長分別為6和8,那么它的第三邊長度為（）

A.8B.10C.8或2所D.10或2行

【分析】分8為直角邊、8為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理計算.

【解答】解：當8為直角邊時，斜邊=必才=10,

當8為斜邊時，另一條直角邊=府千=26，

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

17.AABC的三邊分別為a,b,c,下列條件：@ZA=ZB-ZC；②a?=(b+c)

(b-c)；(3)a：b：c=3：4：5.

其中能判斷aABC是直角三角形的條件個數(shù)有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和已知求出最大角NB的度數(shù)，即可判斷①;

根據(jù)已知得出a?+c2=b2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②；設(shè)a=3k,b=4k,

c=5k求出a2+c2=b2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷③.

【解答】解：①???NA=NB-ZC,

，ZA+ZC=ZB,

,/ZA+ZB+ZC=180°,

.*.2ZB=180°,

.,.ZB=90°,

.'.△ABC是直角三角形，

.?.①正確；

②a?=(b+c)(b-c),

/.a2=b2-c2,

/.a2+c2=b2>

.??△BAC是直角三角形，...②正確；

③：a：b：c=3：4：5,

?,.設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,

Va2+b2=25k2,c2=25k2,

/.a2+b2=c2?

.?.△ABC是直角三角形，...③正確；

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理的應用，主要考查

學生的辨析能力，題目比較典型，難度適中.

18.如圖圖中，不能用來證明勾股定理的是（）

【分析】根據(jù)圖形的面積得出a,b,c的關(guān)系，即可證明勾股定理，分別分析得

出即可.

【解答】解：A,B,C都可以利用圖形面積得出a,b,c的關(guān)系，即可證明勾股

定理；故A,B,C選項不符合題意；

D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了勾股定理的證明方法，根據(jù)圖形面積得出是解題關(guān)鍵.

19.如圖RtAABC,NC=90。，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學

史上稱為"希波克拉底月牙"；當AC=3,BC=4時,計算陰影部分的面積為（）

A.6B.6nC.10nD.12

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,分別求出三個半圓的面積和4ABC的面積，即

可得出答案.

【解答】解:在RtaACB中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理得:

=732+42=5,

22

所以陰影部分的面積S=1XRX(2)+1XJIX(1)+1X3X4--XnX(")

2222222

2=6,

故選:A.

【點評】本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面

積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

20.RMABC中,斜邊BC=2,則AB2+BC2+CA2=()

A.8B.6C.4D.無法計算

【分析】利用勾股定理將AB2+AC?轉(zhuǎn)化為BC2,再求值即可.

【解答】解：:《△ABC中,BC為斜邊,BC=2,

.*.AB2+AC2=BC2=4,

/.AB2+AC2+BC2=2BC2=2X4=8.

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理.正確判斷直角三角形的直角邊、斜邊，利用勾股

定理得出等式是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，已知Rt^ABC中，ZABC=90°,分別以AB、BC、AC為直徑作半圓，

面積分別記S1，S2，S3，若S1=4,S2=9,則S3的值為()

22

【分析】由扇形的面積公式可知SI=L?TI?AC2,S2=^*H*BC,S3=^-?H?AB,在Rt

888

△ABC中，由勾股定理得AC?+BC2=AB2,即SI+S2=S3；

22

【解答】解：?.?SI=L?TI?AC2,S2=1*H*BC,S3=1?TI*AB,

888

在RQABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即SI+S2=S3；

VSI=4,S2=9,

.*.S3=13.

故選:A.

【點評】本題考查勾股定理的應用，難度適中，解題關(guān)鍵是對勾股定理的熟練掌

握及靈活運用，記住S1+S2=S3;

22.如圖，AB±AC,AD±BC,垂足為D,AB=3,AC=4,AD=A1,BD=2,則點B

55

到直線AD的距離為（）

【分析】根據(jù)點到直線的距離即可判定.

【解答】解:VBD1AD,

...點B到直線AD的距離為線段BD的長，

故選：A.

【點評】本題考查勾股定理、點到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學知識解決問題，屬于中考常考題型.

23.如圖是由“趙爽弦圖"變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記

圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為Si、S2、S3.若

Si+S2+S3=60,則S2的值是（）

A.12B.15C.20D.30

【分析】設(shè)每個小直角三角形的面積為m,則Si=4m+S2,S3=S2-4m,依據(jù)

SI+S2+S3=60,可得4m+S2+S2+S2-4m=60,進而得出S2的值.

【解答】解:設(shè)每個小直角三角形的面積為m,則Si=4m+S2,S3=S2-4m,

因為SI+S2+S3=60,

所以4m+S2+S2+S2-4m=60,

即3s2=60,

解得S2=20.

故選：C.

【點評】此題主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)的運用，證明勾

股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形

的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

24.如圖，已知直角三角形的三邊長分別為a、b、c,以直角三角形的三邊為邊

（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.那么，

這四個圖形中，其面積Si、S2、S3滿足Si+S2=S3的個數(shù)是（）

【分析】分別表示出Si、S2、S3的面積，根據(jù)勾股定理判斷即可.

【解答】解：?.?直角三角形的三邊長分別為a、b、c,

/.a2+b2=c2,

222

圖1中，Si=lxax2ZIa=^a,S2=^b,S3=^c,

22444

222

則Si+S2=^（a+b）,S3=^-c,

44

「?S1+S2=S3，

同理，圖2、圖理圖4,都符合Si+S2=S3,

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

25.一個直角三角形的直角邊是24,斜邊是25,則斜邊上的高為（）

A.7B.3C.168D.25

25

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的另一條直角邊的長，根據(jù)三角形的面積

公式計算即可.

【解答】解：設(shè)斜邊上的高h,

由勾股定理得，直角三角形的另一條直角邊寸252.242=7,

則JLx24X7=Lx25Xh,

22

解得，h=3,

25

故選:B.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

二.填空題(共13小題)

26.一個直角三角形的兩直角邊長分別是3cm和2cm,則第三邊長

【分析】根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：由勾股定理得，第三邊長=序號=后(cm),

故答案為：V13.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

27.如圖，圖中的所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，正方形

A的面積為40,另外四個正方形中的數(shù)字8,X,10,y分別表示該正方形面

【分析】先由SA=40,再根據(jù)勾股定理的幾何意義，得到x+10+(8+y)=SA,由此

得出x與y的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：???SA=40,

根據(jù)勾股定理的幾何意義，得x+10+(8+y)=SA=40,

.\x+y=40-18=22,即x+y=22.

故答案為：22.

【點評】本題考查了勾股定理的幾何意義，要知道，以斜邊邊長為邊長的正方形

的面積是以兩直角邊邊長為邊長的正方形的面積之和.

28.如圖，RtAABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,D點從A出發(fā)以每秒lcm

的速度向B點運動，當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為—至一秒.

【分析】畫出圖形，根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解：如圖所示：

?.,RtaABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,

AC=VAB2+BC2=762+82=1O'

VED'>AC的中垂線，

，CE=5,

連接CD',

.*.CD'=AD',

在RMBCD'中,CD'2=BDI2+BC2,

即AD,2=62+(8-AD')2,

解得：AD'=空，

4

...當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為空秒,

4

故答案為：25

4

【點評】此題考查勾股定理的應用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理構(gòu)建直角三角形進行解

答.

29.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點B出發(fā)，

沿射線BC以2cm/s的速度移動設(shè)運動的時間為ts當t=2s或至s時,△

8

ABP為直角三角形.

A

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出BC的長度，再分兩種情況：①當NAPB為直角

時，②當NBAP為直角時，分別求出此時的t值即可.

【解答】解：VZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,

BC=4cm.

①當NAPB為直角時，點P與點C重合，BP=BC=4cm,

.*.t=4-7~2=2s.

②當NBAP為直角時，BP=2tcm,CP=(2t-4)cm,AC=3cm,

在RtZ\ACP中，AP2=32+(2t-4)2,

在RgBAP中，AB2+AP2=BP2,

.,.52+[32+(2t-4)2]=(2t)2,

解得t=2^s.

8

綜上，當t=2s或至s時，Z\ABP為直角三角形.

8

故答案為：2s或至s.

8

【點評】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是

掌握勾股定理的應用，以及分情況討論，注意不要漏解.

30.如圖是一種"羊頭"形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，

向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和

②，，…依此類推，若正方形①的邊長為64m,則正方形⑨的邊長為4cm.

【分析】第一個正方形的邊長為64cm,則第二個正方形的邊長為64X返cm,

_2

第三個正方形的邊長為64X（返）2cm,依此類推，通過找規(guī)律求解.

2

【解答】解：根據(jù)題意：第一個正方形的邊長為64cm；

第二個正方形的邊長為：64X喙=32圾cm；

第三個正方形的邊長為：64X（返）2cm,

2

此后，每一個正方形的邊長是上一個正方形的邊長的返，

2

所以第9個正方形的邊長為64X（返）"'4cm’

2

故答案為4.

【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的

規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.

31.已知一等腰三角形有兩邊長分別是10cm和12cm,則底邊上的高為一

或VT誦cm?

【分析】作ADLBC于D,分AB=AC=10,BC=12、AB=AC=12,BC=10兩種情況，

根據(jù)勾股定理計算.

【解答】解：作ADLBC于D,

當AB=AC=10,BC=12時，BD=1BC=6,

2

底邊上的高

AD=^AB2_B［）2=8,

當AB=AC=12,BC=10時，BD=1BC=5,

2

底邊上的向AD={AB?-BD

故答案為：8cm