因式分解-綜合4學(xué)

第一講因式分解4：綜合及應(yīng)用

本講綱要

@§1.1因式分解的基本方法色§1.3對稱式的因式分解

i.提取公因式1.對稱式

2.主元法2.輪換

3.分組分解3.交代式

4.公式包§1.4因式分解的應(yīng)用

5.換元

1.計(jì)算

6.配方

2.化簡

7.十字、待定系數(shù)法

3.求值

8.倒數(shù)代數(shù)式

4.整除

包§1.2因式分解的特殊方法

5.不定方程

1.添項(xiàng)、拆項(xiàng)6.完全平方數(shù)

2.因式定理

§1.1因式分解的基本方法

一、考試要點(diǎn)剖析

因式分解是一種重要的恒等變形，雖然它是初中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在高中階段也有著非常廣泛的應(yīng)用，

比如，比較大小、判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解歷來是‘‘中

考”和數(shù)學(xué)競賽著重考查的熱點(diǎn)問題.

**基本知識

因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)非常數(shù)的多項(xiàng)式或單項(xiàng)式的積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分

解.多項(xiàng)式的因式分解是在給定的數(shù)域上進(jìn)行的，即要求各因式的系數(shù)是給定數(shù)域上的數(shù).因此，一個(gè)多

項(xiàng)式在某個(gè)數(shù)域上可能不能分解因式，而在另外的(更廣的)數(shù)域上也許是可以分解的.一般地，如果沒有

特別指定數(shù)域，則因式分解通常都是在有理數(shù)域上進(jìn)行的.

既約多項(xiàng)式如果一個(gè)多項(xiàng)式在某數(shù)域上不能再分解，則稱它是此數(shù)域上的既約多項(xiàng)式.

因式分解的常用公式：

(1)o2+2ab+b2=(a+6)2,a2-lab+62-(a-b)2

(2)a2~b2=(a+6)(a-6)

(3)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

(4)a3+ft3=(a+6)(a2—ab+62),a3—b3~(a—/?)(a2+ab+b2)

(5)<?+3a23+3/+/=(a+6)3

(6)a3++c3-3a6c=(a+6+c)(a2+fe2+c2-a6-t>c—ca)

(7)a"-6"=(a-6)(a-1-a"-26+a"-362-------aH1-1+為正整數(shù))

(8)an+b"=(a+b)(an-1+a^2b+an~3b2+-+ab"-2+)(幾為正奇數(shù))

**基本方法

初中教材中介紹了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分組分解法、十字相乘法、求根法，這

些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和靈活地運(yùn)用.此外，在數(shù)學(xué)競賽中，還要掌握和運(yùn)用如下一

些方法：

(1)換元法將待分解的多項(xiàng)式中某些特殊的部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母表示，使原來復(fù)雜的

結(jié)構(gòu)簡化.

(2)雙十字相乘法對于二元二次多項(xiàng)式的分解，可先用“十字相乘法”將二次項(xiàng)進(jìn)行分解，然后將局

部分解的因式看作一個(gè)整體(字母)，連同后面的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)再采用十字相乘法進(jìn)行分解.

(3)待定系數(shù)法將待分解的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)含有待定系數(shù)的多項(xiàng)式的積的形式，得到一個(gè)恒等

式.然后根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，比較對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，或令變元取一些特殊值，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程

組，解方程組求出待定系數(shù)，進(jìn)而得到多項(xiàng)式的分解.這種方法叫做待定系數(shù)法.

(4)主元法對于多元多項(xiàng)式的分解，我們可選擇其中一個(gè)字母當(dāng)作變量，而將其他字母看成常數(shù)，其

中當(dāng)做變量的字母稱為“主元”.這樣，多項(xiàng)式就變成了關(guān)于“主元”的一元多項(xiàng)式，這種選擇主元進(jìn)行

多項(xiàng)式分解的方法叫做主元法.

**基本問題

一元二次多項(xiàng)式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；

一元高次多項(xiàng)式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、換元法、分組分解法等；

二元二次多項(xiàng)式的因式分解，常用的方法有：主元法、分組分解法、雙十字相乘法、待定系數(shù)法等.

多元(通常是二元、三元)高次多項(xiàng)式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、換元法、

分組分解法等.

1.提取公因式

例1.分解因式：-2(x-y)3+12(y-x)2-18彳+18y.

2.主元法

例2.分解因式：(1+-2/(1+，尸+，(1-y)2.

3.分組分解

例3.將/+，+工6+X5+尤4+*3+X2+々+1因式分解.

4.公式(式-0”)

例4.設(shè)n為正整數(shù)，分解因式：(1+*+/+…+/T+%時(shí)2)2一爐.

5.換元

例5.分解因式：(號一1產(chǎn)+(%+y~2)(4+y-2xy).

例6.分解因式：(d+X+1)(/+4+3)-15；

6.配方

例7.分解因式：X-140%+4756.

7.十字、待定系數(shù)法

例8.分解因式：6,-7到-3y2+13x+8y-5

8.倒數(shù)代數(shù)式

例9.分解因式：x4+lx+14/+7%+1

§1.2因式分解的特殊方法

1.添項(xiàng)、拆項(xiàng)

例10.分解因式：%3-48%-7.

2.因式定理

例11.分解因式：X3+%2-%-10

3.對稱式、輪換式、交代式

例12.分解因式：(ab+be+ca)(a+b+c)-abc.

例13.分解因式：%3+y3+z3-3xyz

例14.分解因式：a2(6-c)+62(c-a)+c2(a-6)

§1.3因式分解的應(yīng)用

⑧考試要點(diǎn)剖析

因式分解的應(yīng)用是非常廣泛的，它主要有以下幾個(gè)方面：

求值問題對于多項(xiàng)式的求值，如果知道某個(gè)整體的值，則可在多項(xiàng)式中分離出整體（因式），然后將

整體的值代入；對于分式的求值問題，可將分子分母分別分解，然后約去相同的因式，使分式化簡，然后

再求值.

證明條件等式在給定約束條件下，證明某等式恒成立，?？蓪l件等式中的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，

使條件得到簡化，進(jìn)而推出有關(guān)結(jié)論.

整除問題要證明某個(gè)數(shù)（式子）整除一個(gè)多項(xiàng)式，可將數(shù)（式子）和多項(xiàng)式分別分解，然后證明多項(xiàng)式

的每一個(gè)因式被一個(gè)對應(yīng)的數(shù)（式子）整除.

質(zhì)數(shù)與合數(shù)問題要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值是合數(shù)，只須將多項(xiàng)式分解因式，然后證明每一個(gè)因式的值

都是大于1的整數(shù).'

不定方程問題將方程中含有的多項(xiàng)式因式分解，然后判別各因式取值的奇偶性，使問題獲解.

完全平方數(shù)問題要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值是完全平方數(shù)，可將多項(xiàng)式因式分解，然后證明多項(xiàng)式的每

一個(gè)因式的值都是完全平方數(shù).

1.計(jì)算

（1兩+3995）X2004

例15.計(jì)算1996x1998x2001x2002

2.化簡

例16.化簡(--/)(三-號+/)(?*后.7)

3.求值

例17.設(shè)a,b是實(shí)數(shù)，且a+b=5,求￡/+抬而+房的值.

4.整除

例18.設(shè)n是正整數(shù)，證明：n(d-l)(d-5n+26膿120整除.

5.不定方程

例19.證明：方程f-尸=j0Gj無整數(shù)解.

6.完全平方數(shù)

例20.設(shè)a、n都是正整數(shù)，且a12普，證明：n2+a不是完全平方數(shù).

三、練習(xí)題

1.（分組）分解因式：（a+l）（6+l）（而+i）+M

2.（換元）分解因式：（x+l）（x+3）（^+5）（x+7）+15

3.（十字）分解因式：6x2-5xy-6y2-2XZ-23YZ-20Z2

4.（待定系數(shù)法）分解因式：4m②+4mn+J+6m+3n+2

5.（主元）分解因式：（a+6）1-（a2+而+62）?2+Q2*

6.（添項(xiàng)、拆項(xiàng)）分解因式：X3+6x2+llx+6

222

7.（添項(xiàng)、拆項(xiàng)）分解因式：a（6-c）+Z?（c-a）+c（a-6）

8.（一題多解）分解因式：J+2/-5,-6（至少5種方法）

9.(對稱)分解因式：(a+6+c)5-a,5—b5—c5

10.(輪換)分解因式：a2(i+c)+62(c+a)+c2(a+6)—a3--c3-2abc

11.(交代)分解因式：?b(a2-b2)+bc(b2-c2)+ea(c2-a2)

199532x1995?199a

12.計(jì)算：19953+19952-1996

13.計(jì)算:

(14+i)(3<+i)(54+zhd7)

(24+9)d)(G+}U+}