三角函數(shù)(一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案)

第三章三角函數(shù)

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：

第一節(jié)角的概念與任意角的三角函數(shù)

考點(diǎn)梳理：

1.角的有關(guān)概念

(1)從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角.

(2)從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角.

(3)假設(shè)“與a是終邊一樣的角，則”用a表示為￡=2航+a(ZWZ).

2.弧度與角度的互化

(1)1弧度的角

長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

(2)角a的弧度數(shù)

在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為/的弧所對(duì)圓心角為arad,則a=(.

(3)角度與弧度的換算①"。=〃焉rad；②arad=(‘警)。.

(4)弧長(zhǎng)、扇形面積的公式

設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,圓心角大小為a(rad),半徑為r,則/=四，扇形的面積為S=%=；

Az.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)。是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸。，y),那么sina=^,cosa

_y

-Xttana—.

-x

(2)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

4.單位圓與三角函數(shù)線

(1)單位圓：半徑為1的圓叫做單位圓.

(2)三角函數(shù)線.

(3)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,

余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是(1,0).

學(xué)情自測(cè)：

1.銳角a終邊上一點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2sin*2cos則a弧度數(shù)是()

Tt?n27t

A.2B.7C.7D.-r

363

2.(2012?江西高考)以下函數(shù)中，與函數(shù)y='一定義域一樣的函數(shù)為(

）

3.假設(shè)sinaVO且tana>0,則a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

4.弧長(zhǎng)為3兀，圓心角為135。的扇形半徑為,面積為.

5.角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸.假設(shè)尸(4,>)是角。終邊上一點(diǎn)，且

sinJ=-邛^，則y=.

典例探究：

例1(角的集合表示)

(1)寫出終邊在直線上的角的集合；

(2)a是第三象限角，求卷所在的象限.

變式訓(xùn)練1：

假設(shè)角。的終邊與號(hào)角的終邊一樣，則在［0,2兀)內(nèi)終邊與角號(hào)的終邊一樣的角為.

例2(弧度制的應(yīng)用)

扇形的圓心角是a,半徑為R,弧長(zhǎng)為/.

(1)假設(shè)。=60。，/?=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)/.

(2)假設(shè)扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大

(3)假設(shè)a=?R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.

變式訓(xùn)練2：

半徑為10的圓。中，弦AB的長(zhǎng)為10,

(1)求弦AB所對(duì)的圓心角a的大?。?/p>

(2)求a所在的扇形弧長(zhǎng)/及弧所在的弓形的面積S.

例3(三角函數(shù)的定義)

4

(1)角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P。"，—3),且(:<雙%=—5，則加等于()

A.一—4D.4

(2)角a的終邊在直線3x+4y=0上，求sina.cosa,tana的值.

變式訓(xùn)練3：

設(shè)90。<6(<180。，角a的終邊上一點(diǎn)為P(x,小)，且cosa=勺r,求4sina—3tana的值.

小結(jié)：

一條規(guī)律

三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概?括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

兩個(gè)技巧

1.在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)戶可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).

2.利用單位圓和三角函數(shù)線是解簡(jiǎn)單三角不等式的常用技巧.

三點(diǎn)注意

1.第一象限角、銳角、小于90。的角是三個(gè)不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間

角.

2.角度制與弧度制可利用18()o=7rrad進(jìn)展互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必

須一致，不可混用.

3.注意熟記0。?360。間特殊角的弧度表示，以方便解題.

課后作業(yè)(十六)角的概念與任意角的三角函數(shù)

一、選擇題

圖3—1—2

1.(2013.寧波模擬)如圖3—1-2,在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OP交單位圓。于點(diǎn)P,

假設(shè)NAOP=6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(cos。，sin。)

B.（-cos。，sin。）

C.（sin。,cos?）

D.（—sin夕cos。）

2.2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）

2

A.2B.sin2C.—TD.2sinl

3.（2013?海淀模擬）假設(shè)6（=竹360。+仇夕=樣360。一。（吼〃?eZ）,則角a與￡的終邊的

位置關(guān)系是（）

A.重合B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.關(guān)于x軸對(duì)稱D.關(guān)于y軸對(duì)稱

4.假設(shè)角a的終邊在直線），=-2x上，且sina>0,則cosa和tana的值分別為（）

A.當(dāng),-2B.一乎,

C.—嗜—2D.邛,-2

5.（2013?昆明模擬）設(shè)a是第二象限角，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cosa=%,則tana

=（）

A.|B.^C.—^D.—

6.點(diǎn)P（sin竽，cos%）在角。的終邊上，且何0,2兀），則6的值為（）

A&H4“4

二、填空題

7.（2013?濰坊模擬）假設(shè)角120。的終邊上有一點(diǎn)（一4,。），則a的值是.

8.角a的終邊落在直線y=-3x（xV0）上，則鶻一爛雪=.

olllvX

9.點(diǎn)P從（1,0）出發(fā)，沿單位圓/+產(chǎn)=1逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)號(hào)弧長(zhǎng)到達(dá)。點(diǎn)，則。點(diǎn)的

坐標(biāo)為?

三、解答題

10.角。的終邊上有一點(diǎn)P（x,-l）（xW0）,且tan0=-x,求sin（9+cos。的值.

11.扇形。48的圓心角a為120。，半徑長(zhǎng)為6,

（1）求成的長(zhǎng)；

（2）求AB所在弓形的面積.

12.角a終邊上的點(diǎn)尸與A（a,2a）關(guān)于x軸對(duì)稱（a>0）,角廣終邊上的點(diǎn)。與A關(guān)于直

線y=x對(duì)稱，求sin?-cosa+sin^-cos^+tana-tan/?的值.

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

考點(diǎn)梳理：

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

（1）平方關(guān)系：sin2.+cos%=1.

（2）商數(shù)關(guān)系：tana=^^（a若+&兀，kCZ）.

2.誘導(dǎo)公式

學(xué)情自測(cè)：

1.cos（a—兀）=一卷，且a是第四象限角，則sina=（）

12c25n12

A.適D.書

2.sin（7r+e）=一于cosQjt—。），|。|＜多則。等于（）

兀-兀一兀一兀

A.一蕾?一亞聲日

3.sin585。的值為（）

A.書條.普濾

假設(shè)COSG=—,且］￡（兀，竽），則tana=（）

4.

A.^B.^C.—^D.一/

5.（2012?遼寧高考）sina—cosa=也，儀￡（0,兀），則sin2a=（）

A.-IB.D.1

例1（同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用）

（1）（2013?濰坊模擬）：3c°s"=5,則sir^a—sinacosa的值是（）

3cosa-sma

22

A.5B?一5C.-2D.2

（2）（2013?銀川模擬）a￡（元,^）,tana=2,則cosa=

【答案】⑴A⑵一殺

變式訓(xùn)練1：

3

（2012?大綱全國(guó)卷）a為第二象限角，sina=5，則sin2a=（）

A.一翁B.-Z|C.1|D.57

例2（誘導(dǎo)人式的應(yīng)用）

sin（2兀一a）sin（兀+a＞cos（兀+a）

（l）tana=2,since+cosa<0,貝小

sin（3jc-a）-cos（7t+a）

.兀、/3兀?.z

sin（cc2j*cos（2~I-a），tan（7ta）

（2）a為第三象限角，/?）=

tan（—a-7r）-sin（—a—K）

①化筒/（a）;

②假設(shè)cos（a-當(dāng)）=,,求Ia）的值.

變式訓(xùn)練2：

（1）（2013?煙臺(tái)模擬）sin6（Xr+tan240。的值等于（）

A.一坐B雪C.小一/小

（2）（2013?臺(tái)州模擬次c）=asin（7tx+a）+6cos（xr+S）+4（a,b,a,夕為非零實(shí)數(shù)）,

假設(shè)犬2012）=5,則式2013）=（）

A.3B.5C.1D.不能確定

例3（sina±cosa與sina-cosa的關(guān)系）

（2013?揚(yáng)州模擬）一兀＜工＜0,siri￥+cosx=5.

,__^sin2x+2sin2x,.

（1）求sinx-cosx的值；（2）求;一：的i值j/.

1—tanx

變式訓(xùn)練3：

—^<x<0,sinx+cosx=5.

(1)求sinx—cosx的值；

(2)求tanx的值.

小結(jié)：

一個(gè)口訣

誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

兩個(gè)防范

1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)展化簡(jiǎn)求值時(shí)，要注意函數(shù)名稱和符號(hào)確實(shí)定.

2.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，假設(shè)開方，要注意判斷三角函數(shù)值的符號(hào).

三種方法

在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式12皿=策進(jìn)展弦、切互化.

(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin6±cos6)2=l±2sindcos，的關(guān)系進(jìn)展變形、轉(zhuǎn)化.

(3)巧用“1"的變換：l=sin2o+cos20=cos2e(l+tan2O)=tan：等.

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

一、選擇題

1.(2013?鄭州模擬)記cos(-80°)=公那么tanl(X)o=()

A11一巳kck

A-kB-?石寸.一石?

2.(2013.溫州模擬)假設(shè)cosg+9)=孚且⑹＜，則tanJ=()

A.一小B.^C.一雪D.小

3.(2013.濟(jì)南模擬)a￡(一0),sin(—a—竽)=乎則sin(一兀-a)=(

)

A禹殺邛D..平

4.(2013?保定模擬)tan0=2,則si/O+sin&os。一2cos2。=()

A.一,B3c.一(D.,

sinO+cos。sin6cos。

5.(2013.普寧模擬)假設(shè)=2,則的值為()

sin。—cos。cos3/?sii?。

6.假設(shè)since是5『一lx—6=0的根,

3兀3兀,

sin(—ay)sin("y—a)tan"(2K—a)

則------；-------；--------------二

兀兀)

cos(2—?)cos(2+a)sin(n+a)

A.1B.|C.^D.^

二、填空題

7.sin6+a)=坐，則sin(苧一㈤的值為.

8.(2013?青島模擬加憾=2,則7sin2a+3cos2a=.

9.sin(x+奇=：,則sin(-^+x)+cos2(^—x)=.

［解析】原式=-S式哈+x)+COS2(1+x)=—1+(1—^2)=|1.

三、解答題

l-sin(x-^)+cos(x+^)+tan|n

io.函數(shù)yu)=

COSX

(1)求函數(shù)y=./(x)的定義域；

(2)設(shè)tana=一§,求加)的值.

8

11.tan(a+y7t)=a.

.1513

sin(~y7i+a)+3cos(a—~yn:)>?

求證：.20'22=布?

sin("y7t—a)—cos(a+-y7t)

12.在△ABC中，假設(shè)sin(2兀一A)=—，5sin(7r—5),yf3cosA=—^/2cos(n—B),求△ABC

的三個(gè)內(nèi)角.

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)梳理：

1.周期函數(shù)和最小正周期

對(duì)于函數(shù)式x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足"+D

=?),那么函數(shù)/U)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.假設(shè)在所有周期

中，存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)叫做/U)的最小正周期.

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

U

圖象、“/2P尸

斗一口一；2」|1莘

定義域

值域

單調(diào)性

最大值和最小值

奇偶性

對(duì)

對(duì)稱中心

稱

性

對(duì)稱軸

最小正周期

學(xué)情自測(cè):

1.函數(shù)y=tan3x的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

3兀

A.{小工會(huì)+3E,jt€Z}B.{x\x^+kit,kH}

兀兀kn

C.{x|x#—4+E,左￡Z}D.{x|x#&+了，攵￡Z}

57r

2.函數(shù)_/0）=2<：0$（》+5_）是（）

A.最小正周期為2n的奇函數(shù)B.最小正周期為2n的偶函數(shù)

C.最小正周期為2兀的非奇非偶函數(shù)D.最小正周期為兀的偶函數(shù)

3.（2012.福建高考）函數(shù)段）=sin（x—7T力的圖象的一條對(duì)稱軸是（）

兀C兀c兀C兀

A.x=^B.x=^C.x=-1D.x=-2

■jTjr

4.對(duì)比大?。簊in（—jg）sin（—jg）.

TT

5.函數(shù)y=2—3cos（x+R的最大值為,此時(shí)x=.

典例探究：

例1（三角函數(shù)的定義域和值域）

（1）（2012.山東高考）函數(shù)尸2sin管一$（0?）的最大值與最小值之和為（）

A.2一4B.0

C.-1D.一1一小

（2）函數(shù)）'=嬴匕的定義域?yàn)?

\

變式訓(xùn)練1:

⑴函數(shù)y=、2siar—1的定義域?yàn)?

（2）當(dāng)xe/，磊時(shí)，函數(shù)y=3—sinx—2cos2》的最小值是,最大值是.

例2〔三角函數(shù)的單調(diào)性〕

?__一"，~（sinx-cosx）sin2x

（20］2■北樂局考）函數(shù)式*）=而^.

（1）求/U）的定義域及最小正周期；

（2）求大x）的單調(diào)遞減區(qū)間.

變式訓(xùn)練2:

7T

（2013?武漢模擬）函數(shù)y=sin（§—2x）,求：

（1）函數(shù)的周期；

（2）求函數(shù)在［-m0］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

例3（三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性）

設(shè)函數(shù)式x）=sin（（yx+9）（@>0,\（p\<^）,給出以下四個(gè)論斷：

①它的最小正周期為幾；

②它的圖象關(guān)于直線x=吉成軸對(duì)稱圖形；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)冷0）成中心對(duì)稱圖形；

④在區(qū)間［―*0）上是增函數(shù).

以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題

（用序號(hào)表示即可）.

【答案】①②二③④或①@=②④，

變式訓(xùn)練3：

函數(shù)式x）=sin（u-$—1,則以下說法正確的選項(xiàng)是（）

A./U）是周期為1的奇函數(shù)

B.4x）是周期為2的偶函數(shù)

C.#x）是周期為1的非奇非偶函數(shù)

D./U）是周期為2的非奇非偶函數(shù)

小結(jié)：

兩條性質(zhì)

1.假設(shè)1/（x）=Asin（cox+夕）（4,co#0）,則

（1次用為偶函數(shù)的充要條件是伙WZ）：

（2求x）為奇函數(shù)的充要條件是0=E（%ez）.

2.對(duì)稱性：正、余弦函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形且最值點(diǎn)在對(duì)稱

軸上，正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形.

三種方法

求三角函數(shù)值域（最值）的方法：

（1）利用siar、cosx的有界性;

⑵化為y=Asin（cox+p）+k的形式，逐步分析。x+°的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出

函數(shù)的值域：

（3）換元法：把sinx或cos看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域（最值）問題.

課后作業(yè)（十八）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、選擇題

1.（2013?銀川模擬）以下函數(shù)中，最小正周期為兀，且圖象關(guān)于直線尸:對(duì)稱的函數(shù)是

（）

7T71XTC兀

A.y=2sin（2x+1）B.y=2sin（2x—^）C.y=2sin（1+RD.y=2sin（2x—§）

TT

2.函數(shù)y=tanq—x）的定義域是（）

717r713兀

A.[x\x^^]B.{x\x^—^}C.keZ）D.彳，kGZ]

3.函數(shù)y=sin2x+siiu：-1的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[—1,1]B.[―I，—1]C.[―I，1]D.[—1,.

4.（2013?日照質(zhì)檢）函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移磯9>0）個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線

尤=*對(duì)稱，則9的最小值為（）

.'jyD.以上都不對(duì)

5.（2013.北京模擬）函數(shù)yU）=siar+小cosx,設(shè)。=若），"=啟）,c=庶）,則b,c

的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

6.函數(shù)兀v）=2sin（ox+9）,xGR,其中s>0,一兀（pWir.假設(shè)火x）的最小正周期為6w,,

且當(dāng)x=5時(shí)，人無）取得最大值，則（）

A._/（x）在區(qū)間[―2TT,0]上是增函數(shù)

B._/U）在區(qū)間[―3m—川上是增函數(shù)

C.火X）在區(qū)間[3n,5nJ上是減函數(shù)

D.火x）在區(qū)間[4TT,6TT]上是減函數(shù)

二、填空題

TT

7.（2013?延吉模擬次v）=Asin（Gx+8）,y（a）=A，加）=0,|a—用的最小值為丞則正數(shù)公

7r

8.函數(shù)y（x）=3sin（s-不）（①>0）和g（x）=2cos（2x+9）+l的圖象的對(duì)稱軸完全一樣，假

設(shè)xG[0,方，則40的取值范圍是.

9.函數(shù)./U）=cosxsinA（xeR）,給出以下四個(gè)命題：

①假設(shè)於1）=—/（X2），則/1=一必②AX）的最小正周期是2兀；

③/U）在區(qū)間[一?系上是增函數(shù)；&x）的圖象關(guān)于直線》=當(dāng)對(duì)稱.

其中真命題是.

三、解答題

10.函數(shù)fix）=siorcosx+sin2x,

⑴求心的值；

（2）假設(shè)xd[0,多，求益）的最大值及相應(yīng)的x值.

JT

11.設(shè)函數(shù)./U）=sin（2x+3）（一九V8V0），y=/U）圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=g，

⑴求Q

（2）求函數(shù)y=段）的單調(diào)增區(qū)間.

12.（2013?濰坊模擬）向量a=（Asincux,Acoscox）,5=（cos仇sinff）,flx）=ab+lf其中A

>0,。>0,。為銳角.人?的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離為:，且當(dāng)x=去時(shí)，式x）取得

最大值3.

（1）求加）的解析式；

（2）將Hx）的圖象先向下平移1個(gè)單位，再向左平移9儂>0）個(gè)單位得g（x）的圖象，假設(shè)

g（x）為奇函數(shù)，求（p的最小值.

第四節(jié)函數(shù)y=4sin（3x+q）的圖象及三角函數(shù)應(yīng)用

考點(diǎn)梳理：

1.y=AsinQx+9）的有關(guān)概念

y=4sin（5+9）（A振幅周期頻率相位初相

>0,①>0）,無￡

T2兀

[0,+8）表示一個(gè)AT=-CDX+(P

(D9

振動(dòng)量時(shí)

2.用五點(diǎn)法畫y=Asin（0x+p）一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖

3.由尸sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（s+8）（其中A>0,幻>0）的圖象

思考：

1.五點(diǎn)作法作y=Asin（5+p）的圖象，首先確定哪些數(shù)據(jù)

【提示】先確定5：+9，即先使①工+0等于0,71,蕓2兀，然后求出X的值.

2.在圖象變換時(shí)運(yùn)用“先平移后伸縮〃與“先伸縮后平移〃兩種途徑，向左或向右平

移的單位個(gè)數(shù)為什么不一樣

學(xué)情自測(cè)：

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)於）=2sin生+8）（3〈分的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1），則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期7

和初相（P分別為（)

兀兀兀71

A.7=6,0=dB.7=6,9=券.T=6兀,T=6n,（p=q

2.的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)=sins的圖象，則。的值為

（）A.IB.4C.］D.2

3.將函數(shù)y=sin光的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖

象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)合個(gè)單位，得到圖象的函數(shù)解析式為（）

A.y=sin（2龍一%）B.y=sin（2x一言）C?y=sin（%一聆）D.y=sin（%一京）

TT

4.函數(shù)y=Asin（s+9）（G>0,I9IV5）的局部圖象如圖3—4—1所示，則（）

圖3—4—1

?兀八.兀一八兀--兀

A.co=l,3=%B.U）=\,p=_gC.co=2,0=%D.co=29（p=-《

5.（2012?安徽高考）要得到函數(shù)〉=8$（2；1+1）的圖象，只要將函數(shù)y=cos2x的圖象（）

A,向左平移1個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位

C.向左平移3個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位

典例探究：

例1（函數(shù)y=Asin（?we+°）的圖象變換）

（1）（2012?浙江高考）把函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)

不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是（）

（2）（2013?大連模擬）設(shè)”>0,函數(shù)y=sin（wc+$+2的圖象向右平移專個(gè)單位后與原圖象重

合，則。的最小值是（）

243

A.1B5C.1D.3

變式訓(xùn)練1：

（1）（2013?濟(jì)南模擬）要得到函數(shù)產(chǎn)sin（2x一6的圖象，只需將函數(shù)產(chǎn)sin左的圖象（）

A.向左平移自個(gè)單位B.向右平移自個(gè)單位

C.向左平移,個(gè)單位D.向右平移袁個(gè)單位

⑵（2013?青島質(zhì)檢）將函數(shù)y=sin（x一令的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不

變），再將所得圖象向左平移m個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為（）

17r7t11Jt

A.y=sin（g-1）B.y=sin（2x—j）C.y=sin/D.y=sin（那一不）

例2（作函數(shù)尸AsinQx+p）的圖象）

函數(shù)/（x）=cos2%—2sinxcosx—sin2x.

圖3—412

⑴將外）化為y=Acos（ftzx+e）的形式；

⑵用“五點(diǎn)法〃在給定的坐標(biāo)中，作出函數(shù)人x）在［0,川上的圖象.

7T

變式訓(xùn)練2：函數(shù)危）=sin（2x+,）.

（1）求函數(shù)y=於）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）畫出函數(shù)卜=於）在區(qū)間［0,IT］上的圖象.

例3(求函數(shù)y=4sin(“x+9)的解析式)

(1)(2013?無錫模擬)函數(shù)/)=Asin(tox+e)(A,(o,「為常數(shù)，A>0,。>0)的局部圖象如圖3

—4—3所示，則10)的值是.

圖3-4-3

(2)(2013?廈門模擬)函數(shù)人￥)=小m(m+9)(4>0,0<8<5)的局部圖象如圖3—4—4所示，P、

Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,A),點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,0).假設(shè)NPRQ

=號(hào)，則y=/(x)的最大值及9的值分別是()

圖3—4—4

A.2小,巾,jC.y/3,*D.2小,全

變式訓(xùn)練3：

如圖3—4—5是函數(shù)y=Asin(ox+0)+2(4>0,。>0)的圖象的一局部，它的振幅、周

期、初相各是()

圖3—4—5

A.A—3,7=冬0=—A=l,T=與，夕=芋

C.A=l,T=與，9=一乎D.A=1,T=與，夕=一：

3"45r0

例4(三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用)

如圖3-4-6為一個(gè)纜車示意圖,該纜車半徑為4.8m,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m,60

秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。角到。8,設(shè)B點(diǎn)與地面

間的距離為

(1)求〃與。間關(guān)系的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)從OA開場(chǎng)轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過f秒后到達(dá)08,求/?與f之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到

達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少

圖3—4—6

變式訓(xùn)練4：

以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店的銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出

廠價(jià)格是在6元根基上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠

價(jià)格最低為4元，而該商品在商店的銷售價(jià)格是在8元根基上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，并

且5月份銷售價(jià)最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元，假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m

件，且當(dāng)月售完，請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月盈利最大并說明理由.

小結(jié)：

一種方法

M■—/?7

在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，假設(shè)最大值為M,最小值為m,則A=-^,

27r

3由周期T確定，即由石'=7求出，p由特殊點(diǎn)確定.

一個(gè)區(qū)別

由y=sior的圖象變換到y(tǒng)=Asin(3x+9)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期

變換(伸縮變換)，平移的量是陽個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是日

(。>0)個(gè)單位.原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的.

課后作業(yè)(十九)函數(shù)y=Asin(“x+9)的圖象及三角函數(shù)模型的應(yīng)用

一、選擇題

1.(2013?珠海模擬)要得到函數(shù)產(chǎn)sin(x一奇的圖象可將函數(shù)產(chǎn)sin(x+奇的圖象上的所

有點(diǎn)()

A.向右平移袁個(gè)長(zhǎng)度單位B.向左平移專個(gè)長(zhǎng)度單位

C.向右平移g個(gè)長(zhǎng)度單位D.向左平移W個(gè)長(zhǎng)度單位

圖3—4—7

2.函數(shù)/U）=Asin（2x+9）（A,°￡R）的局部圖象如圖3—4—7所示，那么|0）=（）

A.—^B.—1C.一申D.—y［3

jr

3.（2013?威海質(zhì)檢）函數(shù)火x）=4sin@x+9）（其中4>0,MIC］）的圖象如圖3-4-8所示，

為了得到函數(shù)g（x）=cos2x的圖象，則只要將函數(shù)的圖象（）

圖3—4—8

A.向右平移點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移盍個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移吊個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移自個(gè)單位長(zhǎng)度

4.（2013?青島模擬）函數(shù)火X）=ACOS（5+0）（A>0,3>0,0<p<7t）為奇函數(shù)，該函數(shù)的

局部圖象如圖3—4—9所示，△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則,次1）的值為（）

圖3—4一9

A.一坐B.一坐C.小D.—

7FJT

5.（2013?吉安模擬）函數(shù),*x）=2sin（ox+@（①>0）與函數(shù)g（x）=cos（2x+9）（l9|V/）的對(duì)稱

軸完全一樣，則9的值為（）

A.；B.—久扣.甘

圖3—4—10

6.函數(shù)yU）=Atan（Gx+3）（G>。，1初芍），>=段）的局部圖象如圖3—4—10,則人為）

=（）

A.2+小B.小C坐D.2一小

二、填空題

7.函數(shù),/W—an?。〉。）的圖象的相鄰兩支截直線y=浙得線段長(zhǎng)為:，則巧=

JTTTJT

8.（2013?荊州模擬次X）=COS（2X+9）,其中0引0,2兀），假設(shè)式不）=/卬，且7U）在區(qū)間行

會(huì)上有最小值，無最大值，則9=.

9.（2013?長(zhǎng)沙模擬）假設(shè)將函數(shù)產(chǎn)sinax+卷（勿>0）的圖象向右平移全個(gè)單位長(zhǎng)度后，

TT

與函數(shù)y=sin（?w+R的圖象重合，則a>的最小值為.

三、解答題

10.函數(shù)y（x）=2cos2x+2小sinxcosx-1.

（1）求7U）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）說明7U）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過若何變化得到.

jr

11.（2013?杭州模擬）設(shè)函數(shù)/（x）=cos（Gx+8）（①>0,—/V8V0）的最小正周期

為兀，且心=坐

圖3—4—11

（1）求口和9的值；

（2）在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)y（x）在［0,川上的圖象；

(3)假設(shè)乎，求X的取值范圍.

12.函數(shù)_/(x)=q5sin(<wx+p)—cos((ox+9)(0<9<n，。>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=/(x)圖

象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為看

⑴求感)的值;

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移看個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原

來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)、=8任)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

考點(diǎn)梳理：

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

2.形如asiru+bcosx的式子化簡(jiǎn)

4siii￥+bcosx=7片+〃sin(x+()(其中sin。=^吊c*

yja2+h^

思考：

假設(shè)since+cosyS=A?bcosa+sin夕=〃，你能用相、〃表示sin(a+￡)嗎

【提示】由sina+cos夕=//得sin2a+cos2/?+2sinacosA=m2,

由cosa+sin^=77得cos2a+sin2^+2cosasin^=rr,

/.2+2sin(a+份=nr+z?2,sin(a+￡)=^(nr+n2-2).

學(xué)情自測(cè)：

1.sin340sin26。一cos340cos26。的值是()

A.^B.-^C.—^D.-2

2.cos28°cos730+cos62°cos17。的值是()

A._吳隼冬坐

3.tan(a+4)=3,tan(a一份=5,則tan2a=()

4TT

4.假設(shè)cosa=—,,a是第三象限角，則sin(a+R=()

A.1010^,1()510

.____e、rsina+cosa1…

5.(2012?江西昌考)假設(shè)---------=5，則tan2a=()

Sina—cosa2

3344

A-B-c-D-

-44-33

噬例探窮?

例1(三角?函數(shù)式的化簡(jiǎn))

化簡(jiǎn)：(l)sin5O0(l+V3tanlO°)；

g￡

2

(1+sin0+cos0)(sincos

⑵----------------------(OVJV兀).

?\/2+2cose

變式訓(xùn)練1;_____________

化簡(jiǎn)：(1內(nèi)2+2cos8+2yj1—si、8；

2COS4X_2COS2X+2

(2)

2tan(^—x)sin2(x+^)

例2（三角函數(shù)的給值求值）

（1）（2012?江蘇高考）設(shè)a為銳角，假設(shè)cos（a+67T=亍4則sinQa+五7T）的值為.

⑵（2013?煙臺(tái)模擬）cos（a—6+sina=￥^,則sin（a+卷）=.

【答案】⑴喀（2）-1

變式訓(xùn)練2：

jr37r7T337r5

0<P<2<a<~^,cos1—a）=W，sin（^~+/?）—求sin（a+￡）的值.

例3（三角函數(shù)的給值求角）

兀a1也

0<a<2<^<?c>tan^—2>cos（^—a）=JQ.

（1）求sina的值；（2）求￡的值.

變式訓(xùn)練3：

cosa=1,cos（a—份且0V夕Va<],試求角力的值.

小結(jié)：

一點(diǎn)注意

三角函數(shù)是定義域到值域的多對(duì)一的映射，時(shí)刻關(guān)注南的范圍是防止增解的有效措施.

兩個(gè)技巧

1.拆角、拼角技巧：2a=（a+夕）+（a一夕），a=（a+4）一夕，?:=（0：+亨

冶+夕）.

2.化簡(jiǎn)技巧：切化弦，“1”的代換等.

三種變化

1.變角：設(shè)法溝通所求角與角之間的關(guān)系.

2.變名：盡可能減少函數(shù)名稱，其方法是“弦切互化”、"升寂與降幕”等.

3.變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.

課后作業(yè)（二十）和角公式

一、選擇題

、'士一士,、,3—sin70°

1.（2013?濟(jì)南模擬甲_?os?[0。=（）

2.在△ABC中，tanA+tanB+A/3=y[?>tanAtanB,則C等于（）

.兀-2兀一兀-n

AjB.yC.^D,?

3.（2013?溫州模擬）設(shè)a=gcos6°一當(dāng)sin6°,b=2sinl3°cosl3°,11-cos50°

則

有（）

A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

47T

4.假設(shè)sin?一夕）sin//—cos（a—夕）COS￡=5，且。是第二象限角，貝ijtanq+a）等于（）

A.7B.-7C.^D.一：

5.（2013?煙臺(tái)模擬）a為銳角，cosa=9，貝|1@n（：+26（）=（）

A.-3B.—^C.一卻.-7

6.(2013.嘉興模擬)假設(shè)OVaV^,—*￡<0,cos(；+a)=/cos(：—，=^,則cos?

+多=()

A也B-0蛀D-亞

二、填空題

7.(2013?南京模擬)tan(x+/)=2,則黯的值為.

ILdl

1-tan2xI14

=-^―=2(1—

8.sin(0+^)=|,。金哈，|TI),則COS6=.

i3

9.(2013?蘇北四市模擬)假設(shè)cos(a+夕)=§,COS(Q—0=;，則tana?tanQ=.

【三、解答題

1兀

10.函數(shù)危)=2sinqx—5)，x￡R.

⑴求娼5jr5的值；

(2)設(shè)匿:￡[0,與，火3。+)=*,犬3在+2兀)=?,求cos(a+夕)的值.

11.(2013?黃岡模擬)函數(shù)J(x)=sin(①式+。)(①>0,OWOWTC)為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的

兩個(gè)最低點(diǎn)間的距離為2TL

(1)求/U)的解析式；

(2)假設(shè)a￡(—?$,%+節(jié)=g，求sin(2a+號(hào))的值.

7兀37r

12.函數(shù)?x)=sin(x+4)+cos(x-1),xeR.

(1)求./U)的最小正周期和最小值；

447r

(2)cos0—G)=§,cos伊+a)=—0<a<y?^2,

求證：昭)尸—2=0.

第六節(jié)倍角公式與半角公式

考點(diǎn)梳理：

中主_.這包.這

1.用cosa表示cos2，tanf

1—cosaoa1+cosa1—cosa

Sln-^^—,cos-=——,tan_=___

2.用sina,cosa表示tan.

asin-1-cosa

tan2-1+cosa-sina'

3.輔助角公式

asina+bcosa=-\/a2+/?2sin(a+9)(其中tang=g).

4.T的妙用

7t7T

sin2a+cos2a=1,cos2a+2sin2a=1,1=2cos2a—cos2a,sin/=cosO=tana=1.

tan4"；"詈一的推導(dǎo)過程嗎

21+cosa

學(xué)情自測(cè)：

1.假設(shè)sin76o=m,用含團(tuán)的式子表示8S7。為()

1+/H1—m/1+/H/1-\-m

A.2B.2C.土弋2D，2

2.對(duì)于函數(shù)/(x)=2sia￥cosx,以下選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是()

A.兀v)在。，方上是遞增的B.於)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.-)的最小正周期為2江).段)的最大值為2

3.化簡(jiǎn)M2+cos2—sin」的結(jié)果是()

A.—coslB.coslC.小coslD.—A/5cos1

4.(2012?山東高考)假設(shè)9W［：,與，sin26=平，則sin?=()

A.|B.|C.^D|

5.(2013?臺(tái)州模擬涵數(shù)上)=sin2(2x—力的最小正周期是

典例探究：

例1(三角函數(shù)式的化簡(jiǎn))

化簡(jiǎn)：(-41-cos2a

sin2a,

tang

變式訓(xùn)練1：

函數(shù)^.如果awg,71),則次cosa)+y(—COSG)可化簡(jiǎn)為

例2(三角函數(shù)式的求值)

工上sin47°-sinl7°cos30o

⑴(2012?重慶圖考)------向下------=()

A.一乎B.一.半

(2)(2013?合肥模擬)cos。-a)=Mc(￡(0,?),則一c?2a=________

sin(,+a)

【答案】(1)C(2)y1

變式訓(xùn)練2:

si苣-2cos]=0.(l)求taar的值；(2)求-----干"-----的值.

V2cos(^+x)-sinx

例