七年級(jí)數(shù)學(xué)數(shù)形思想之平行線及其判定常考點(diǎn)訓(xùn)練

數(shù)形思想之平行線及其判定?？键c(diǎn)專題練習(xí)

一、單選題

1.（2021.福建寧德.七年級(jí)期末）如圖，由兩個(gè)完全相同的三角板拼成一個(gè)四邊形，則下列條件能直接判

斷AD//3C的是（）

A.ZADB=ZCBDB.ZABD=NCDB

C.ZBAD=ZDCBD.ZBAD+ZCDA=18Q°

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【思路指引】

根據(jù)平行線的判定對(duì)每一項(xiàng)分別進(jìn)行分析即可得出答案.

【詳解詳析】

解：-.ZADB=ZCBD,:.AD//BC,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

Bs-.ZABD=ZCDB,:.AB//CD,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、由ZS4D=ZDCB,無法得到AD/ZBC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D,■.-ABAD+Z.CDA=IW,:.AB//CD,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選A.

【名師指路】

本題主要考查直線平行的判定方法，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行線的判定.

2.（2021.安徽和縣.七年級(jí)期末）如圖，下列條件：①N1=N2,②N3+N4=180。，③N5+N6=180。,

?Z7+Z4-Zl=180°,⑤/7=N2+/3,⑥N2=N3中能判斷直線。〃人的有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.依據(jù)平行線的判定方

法即可得出結(jié)論.

【詳解詳析】

解：①根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知由N1=N2,可得a//b;

②根據(jù)旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可知由N3+N4=180。，可得a//b;

③由N5+N6=180。，Z3+Z6=180°,可得N5=N3,即可得到a//b;

④由N7+N4-Nl=180。，Z7=Z1+Z3,可得N3+/4=180。，即可得到a〃6;

⑤由/7=/2+N3,N7=/l+/3可得/1=/2,即可得到a//b;

⑥由N2=/3,不能得到a〃匕；

故能判斷直線的有5個(gè).

故選：C.

【名師指路】

本題考查了行線的判定方法，熟練掌握平行線的行線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.平行線的判定方法：

①兩同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

3.（2021.四川岳池.七年級(jí)期中）如圖，C為ZAOB的邊OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作0/03交NAOB的平分

線0E于點(diǎn)％作SLOB交B0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，若NEFD=a,現(xiàn)有以下結(jié)論：①NCOF=a；②

ZAOW=180°-2?;③CH工CD;@ZOCH=2a-90°.結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZEOS=4郎=夕，結(jié)合角平分線的定義可判斷①；再由平角的定義可判斷②；由

平行線的性質(zhì)可判斷③；由余角及補(bǔ)角的定義可判斷④.

【詳解詳析】

解：-.-CD//OB,ZEFD=a,

Z.EOB=Z.EFD=a,

平分ZAOB,

:.ACOF=ZEOB=a,故①正確；

ZAOB=la,

■.■ZAOB+ZAOH=180°,

:.ZAOH=180°-2a,故②正確；

■：CD//OB,CHLOB,

:.CHLCD,故③正確；

:.ZHCO+ZHOC=90°,ZAOB+ZHOC=ISO°,

:.ZOCH=2a-90°,故④正確.

正確為①②③④，

故選:D.

【名師指路】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖南龍山?七年級(jí)期末）①a,b,c是直線，若a〃6,b//c,則?！╟;②a,6,c是直線，若a

Lb,b±c,則③如果/1=/2,Z2=Z3,那么/1=/3;④互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角相等.以上四

個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①③

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

根據(jù)平行公理及推論，平行線的判定，鄰補(bǔ)角的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解詳析】

解：b,c是直線，a//b,b//c,

：.a//c,故①正確；

當(dāng)a、b、c在同一平面內(nèi)時(shí)，如下圖：

a

b

若a_L6,b±c,則。〃c;故②錯(cuò)誤；

VZ1=Z2,Z2=Z3,

.*.Z1=Z3,故③正確；

如果N1和N2互為鄰補(bǔ)角，當(dāng)Nl=30。，N2=150。也符合,

即互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角不一定相等，故④錯(cuò)誤；

即正確的是①③，

故選：D.

【名師指路】

本題考查了平行公理及推論，平行線的判定，垂直的定義，鄰補(bǔ)角定義等知識(shí)點(diǎn)，能熟記平行公理及推論、

平行線的判定、垂直的定義、鄰補(bǔ)角定義是解此題的關(guān)鍵.

5.（2021.云南紅塔.七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A,星E在同一條直線上，不能判定AO//BC的條件是（）

A.ZA=ZCBEB.ZC+ZD=180°

C.ZC=ZCBED.ZA+ZABC=180°

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

根據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平

行分別進(jìn)行分析即可.

【詳解詳析】

解：A、可利用同位角相等，兩直線平行判定AD//BC,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、NC+NO=180?？衫猛詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定AD//BC,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、可利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定CD//不能判定AD//BC,故此選項(xiàng)符合題意；

D、/A+/ABC=180?？衫猛詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定AD〃BC,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【名師指路】

此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理.

6.（2021?河南召陵?七年級(jí)期中）下列命題是真命題的有（）

①同位角相等；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③短的平方根是；④已知點(diǎn)A（私小與點(diǎn)

,m、〃均不為0,則直線平行于x軸；⑤已知點(diǎn)A（2,-3）,軸，且43=5,則點(diǎn)8的

坐標(biāo)為（2,2）;⑥直線a外一點(diǎn)A與直線a上各點(diǎn)連接而成的所有線段中最短線段的長(zhǎng)是8cm,則點(diǎn)A到直

線。的距離是8cm.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理、平方根的定義、坐標(biāo)與圖形，垂線段最短，分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即

可得到答案.

【詳解詳析】

解：兩直線平行，同位角相等；則①錯(cuò)誤；

過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；則②錯(cuò)誤；

夙的平方根是±3；則③錯(cuò)誤；

已知點(diǎn)A（%"）與點(diǎn)3（-辦"），m、w均不為0,則直線AB平行于％軸；則④正確；

已知點(diǎn)4（2,—3）,軸，且AB=5,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為（2,2）或（2,-8）；則⑤錯(cuò)誤;

直線。外一點(diǎn)A與直線。上各點(diǎn)連接而成的所有線段中最短線段的長(zhǎng)是8cm,則點(diǎn)A到直線。的距離是

8cm.則⑥正確;

???真命題有④⑥，共兩個(gè)；

故選：B.

【名師指路】

本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理、平方根的定義、坐標(biāo)與圖形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟

記所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行判斷.

7.（2021.山東萊陽.七年級(jí)期中）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

4

15

A.VZ1=Z2,?.IJIk

B.VZ2+Z5=18O°,：.IJL

C."/Z1=Z3,a/

D.VZ1=Z4)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

根據(jù)三線八角以及平行線的判定定理對(duì)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解詳析】

解：A:「Nl和N2是直線〃與。被直線心所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出/3〃"；

B:和/5是直線人與〃被直線加所截形成的同旁內(nèi)角，且/2+/5=180。，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

線平行，得出13//U-,

C：/I和N3不符合“三線八角”不能構(gòu)成平行的條件，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

D:???/：!和N4是直線乙與/2被直線3所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得出//〃以

【名師指路】

本題考查了三線八角以及平行線的判定定理，正確識(shí)另IJ“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確

答題的關(guān)鍵.

8.（2021.安徽馬鞍山.七年級(jí)期末）如圖，若OE〃AC,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.ZEDC=ZEFCB.ZAFE^ZACD

C.N3=N4D.Z1=Z2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

可以從直線DE、AC的截線所組成的“三線八角”圖形入手進(jìn)行判斷.

【詳解詳析】

A./EDC=NEFC不是兩直線被第三條直線所截得到的，因而不能判定兩直線平行，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.ZAFE=ZACD,是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定E尸〃BC,但不能判定。E〃AC,故本

選項(xiàng)不符合題意；

C.N3=N4這兩個(gè)角是AC與OE被EC所截得到的內(nèi)錯(cuò)角，可以判定OE〃AC,符合題意；

D./l=/2是斯和2c被EC所截得到的同位角和內(nèi)錯(cuò)角，可以判定EF〃BC,但不能判定DE〃AC,故

本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【名師指路】

正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就

誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行.

9.（2021?山東萊西?七年級(jí)期末）如圖，尸，。分別是8C,AC上的點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)R,作尸S,AC

于點(diǎn)S,若入。=丹2,PR=PS,則下面三個(gè)結(jié)論：①AS=A7?；②QP//AR;③ABRP*CSP,正確的

是（）

A.①③B.②③

C.①②D.①②③

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

根據(jù)角平分線的判定，先證"是㈤c的平分線，再證=可證得AS=4?,QP〃山?成立.

【詳解詳析】

解：如圖示，連接AP,

-.PR=PS,

尸是ZBAC的平分線，

:.MPR=MPS（HL）

AS=AR,①正確.

■：AQ=PQ

ZBAP=ZQAP=ZQPA

：.QP//AR,②正確.

BC只是過點(diǎn)P,并沒有固定，明顯AB/廿三ACSP③不成立.

故選：C.

【名師指路】

本題主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分線的判定和平行線的判定,熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2021.福建漳平.七年級(jí)期中）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①同位角相等；②a,b,c是三條直線，若2_11?,b_Lc,則a_Lc;③a,b,c是三條直線，若2〃1?,b〃c,

則2〃。④過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【詳解詳析】

解：兩直線平行，同位角相等，故①是假命題；

在同一平面內(nèi)，a,b,c是三條直線，若2_1'b±c,則2〃<:,故②是假命題；

a,b,c是三條直線，若2〃優(yōu)b//c,則2〃<:,故③是真命題；

在平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故④是假命題.

故選A.

二、填空題

11.（2021.廣東廣寧.七年級(jí)期末）如圖，若滿足條件，則有AB//CD.（要求：不再添加輔助

線，只需填一個(gè)答案即可）

【標(biāo)準(zhǔn)答案】/A=/3（答案不唯一）

【思路指引】

根據(jù)同位角相等，兩直線平行可知NA=/3時(shí)，AB//CD;也可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行添加條件N

A=Z1；也可根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行添加條件/A+/4=180。.

【詳解詳析】

ZA=Z3,

.?.AB//CD（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為/A=/3（答案不唯一）.

【名師指路】

此題考查平行線的判定，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵.

12.（2021.黑龍江佳木斯.七年級(jí)期中）如圖所示，用直尺和三角尺作直線A3,CD,從圖中可知，直線

與直線CD的位置關(guān)系為.

C_.\ED

AB

'F

【標(biāo)準(zhǔn)答案】平行

【思路指引】

先觀察直線AB與直線8的特點(diǎn)，可以得出這兩條直線平行，用平行的判定即可證明.

【詳解詳析】

解:設(shè)點(diǎn)O如下圖所示，即下方三角尺的銳角與直尺的交點(diǎn)

D

:直尺和三角尺作直線AB,CD,

.\ZDEF=ZBOF,

.?.AB〃CD（同位角相等，兩直線平行），

故答案為平行.

【名師指路】

本題主要考查了兩平行線的判定：

同位角相等，兩直線平行；

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

13.（2021.黑龍江海倫.七年級(jí)期末）如圖，請(qǐng)你添加二個(gè)條件使得AO〃BC,所添的條件是

【標(biāo)準(zhǔn)答案】或

【詳解詳析】

當(dāng)NEAD=NB時(shí)，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得AD//BC;

當(dāng)NDAC=/C時(shí)，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得AD//BC;

當(dāng)/DAB+/B=180。時(shí)，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可得AD//BC,

故答案是：/EAD=/B或/DAC=/C或/DAB+/B=180。（答案不唯一）.

14.（2021.山東慶云.七年級(jí)期末）如圖，AB〃CD,EM是NAMF的平分線，NF是NCNE的平分線，EN,

心交于點(diǎn)。.若/￡+60。=2//，則/AMP的大小是—.

D

【標(biāo)準(zhǔn)答案】400

【思路指引】

作EH//AB,則N1=ZAA1E,Z2=ACNE,而ZAME=；/AMF,所以/MEN=；/AMF+NCNE,同

理可得NF=/AMF+g/CNE,變形得到2NF=2ZAMF+NCNE,利用等式的性質(zhì)得

33

2ZF-ZE=-ZAMF,加上已給條件4^+60。=2//，于是得到/NAMF=60。，易得NAMF的度數(shù).

【詳解詳析】

解：作如圖，

?.ABIICD,

\EH//CD,

:.ZL=ZAME,Z2=ZCNE,

?「EM是ZAMF的平分線，

:.ZAME=-ZAMF,

2

vZA/EV=Zl+Z2,

/MEN=-ZAMF+ACNE,

2

同理可得，

NF=ZAMF+-ZCNE,

2

/.2ZF=2ZAMF+/CNE,

3

/.2ZF-/MEN=-ZAMF,

2

vZMEV+60°=2ZF,2ZF-ZMEN=60°7

3

-ZAMF=60°,

2

:.ZAMF=40°,

故答案為：40°.

【名師指路】

本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，合理作輔助線和把一般結(jié)論推廣是解決問題的關(guān)鍵.

15.（2021.山東牡丹.七年級(jí)期末）如圖，EF//AD,N1=N2,/班C=70。，則ZAGD的度數(shù)為

【標(biāo)準(zhǔn)答案】110°

【思路指引】

根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求出答案.

【詳解詳析】

解：-JEF/ZAD,

.*.Z2=Z3,

VZ1=Z2,

.*.Z1=Z3

J.DG//AB,

：.ZBAC+ZAGD=180°,

ZAGD=110°

故答案為：110°.

【名師指路】

本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎(chǔ)題型.

16.（2021?四川青羊七年級(jí)期末）如圖B尸平分NABC,反向延長(zhǎng)射線與NEOC的平分線

DG相交于點(diǎn)尸，若/BPD=44。,則/C=—.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】920

【思路指引】

延長(zhǎng)A3交PD與點(diǎn)過點(diǎn)。作CN//A8,根據(jù)角平分線可設(shè)NA3/=/4。=冗，ZCDP=ZEDP=y,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAMD=N￡DP=y,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得y—x=44。，根據(jù)平行線的性質(zhì)

可得NNCD=180。-2y,ZNCB=2x,最后根據(jù)N8CD=NNC0+NNC8即可求得答案.

【詳解詳析】

解：如圖，延長(zhǎng)A3交尸。與點(diǎn)M,過點(diǎn)。作CN//A3,

?.,5尸平分NA3C,DG平分/EDC,

：.^ZABF=ZFBC=x,ZCDP=ZEDP=y,

：.ZMBP=ZABF=x,

■:ABIIDE,

：.ZAMD=ZEDP=y,

VZAMD=ZBPD+ZMBP,ZBPD=44°,

???y=440+x,

Ay-x=44°,

?：AB〃DE,CN//AB,

：.CN//DE,

：.ZCDE+ZNCD=180°,

???ZNCD=180°-ZCDE=180°—2y,

VCN//AB,

???ZNCB=ZABC=2x,

：.ZBCD=ZNCD+NNCB

180°-2y+2x

180°-2(y-x)

=180°-2x440

=92°,

故答案為：92°.

【名師指路】

本題考查了平行線的性質(zhì)及平行公理的推理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線并熟

練掌握平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

17.（2021.湖南永定.七年級(jí)期末）把下面的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)填上理由.

已知：B,C,E三點(diǎn)在一條直線上，Z3=ZE,Z4+Z2=180°.試說明：ZBCF=ZE+ZF.

解：（已知）

：.EF//（）,

VZ4+Z2=180°（已知），

:.CDn,

：.CDH（）,

Zl=ZF,Z2=,

VZBCF=Z1+Z2（已知）

：.ZBCF=ZE+ZF（等量代換）.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】AB-內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB-EF-平行于同一條直線的兩條直線互相平行；/E

【思路指引】

根據(jù)推理過程依次填空即可.

【詳解詳析】

（已知），

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）,

/4+/2=180。（已知），

C.CD//AB,

（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）,

.-.Z1=ZF,Z2=ZE,

?../BCF=/1+N2（已知），

ZBCF=/E+/P（等量代換）.

【名師指路】

本題考查了平行線的性質(zhì)與判定.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

18.（2021?福建?廈門市第H"一中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，所示已知。E〃BC,NABC=100。，點(diǎn)b在射線54

上，且N￡2M=n8。，則NDFB的度數(shù)為.

A

【標(biāo)準(zhǔn)答案】18?；?42。

【思路指引】

分兩種情況討論，畫出圖形，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到/DEB的度數(shù).

【詳解詳析】

解：分兩種情況：

①如圖，延長(zhǎng)ED交AB于G,

-,-DE//BC,

.-.ZFGD=ZB=100°,

又?.?NED尸=118。，

:.ZDFB=ZEDF-ZFGD=118°-100°=18°；

②如圖，過尸作RS〃3C,

A

DE

F\G

BC

■.■DE//BC,

:.FG//DE,

:.ZD+ZDFG=1SO°,ZB+ZBFG=180°,

X-.-ZABC=100°,NED產(chǎn)=118°,

ZBFG=80°,ZDFG=62°,

ZDFB=ZDFG+ZBFG=142°,

故答案為：18。或142。.

【名師指路】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)、平行公理的推理以及三角形的外角性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同位

角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

19.（2021.遼寧建昌七年級(jí)期末）一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點(diǎn)&D重合，若固定三角形

AOB,改變?nèi)前錋CO的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），下列條件①NBAO=30。；②NB4D=60。；③

ZBAZ）=120°;④/84。=150。中，能得到的CZ）〃A2的有.（填序號(hào)）

【標(biāo)準(zhǔn)答案】①④

【思路指引】

分兩種情況，根據(jù)利用平行線的性質(zhì)，即可得到/瓦⑦的度數(shù).

【詳解詳析】

解：如圖所示：當(dāng)CD〃A3時(shí)，ZBAD=ZD=30°;

A

如圖所示，當(dāng)時(shí)，ZC=ZBAC=60°,

：.ZBAD=60o+90°=150°;

D

：.ZBAD=15Q°^ZBAD=30°.

故答案為：①④.

【名師指路】

本題主要考查了平行線的判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是

由直線的平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

20.（2021?湖南岳陽?七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板按如圖所示放置，ZCAB^ZDAE^90°,ZC=45°,

ZE=30°,S.AD<AC,則下列結(jié)論中：①/1=/3=45。；②若AD平分NC4B,則有8OME;③將三

角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)。落在線段AC上，則此時(shí)N4=15。；④若/3=2/2,則NC=N4.其中

結(jié)論正確的選項(xiàng)有.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

E

【標(biāo)準(zhǔn)答案】②③④

【思路指引】

①根據(jù)同角的余角相等得/1=/3,但不一定得45。；②都是根據(jù)角平分線的定義、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線

平行，可得結(jié)論；③根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角得和，可得結(jié)論；④根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理及同角的余角相等，可得結(jié)論.

【詳解詳析】

解：①如圖，

VZCAB=Z￡>AE=90°,

BPZ1+Z2=Z3+Z2+9O°,

AZ1=Z3^45°,

故①不正確；

②平分NCA8,

???N1=N2=45。，

?.?N1=N3,

???N3=45。，

又???NC=N3=45。，

：.Z3=ZB,

：.BC//AE,

故②正確；

③將三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)。落在線段AC上，

貝（jZ4=ZADE-ZACB=60°-45°=15°,

故③正確；

@VZ3=2Z2,Z1=Z3,

.*.Z1=2Z2,Zl+Z2=90°,

??-3/2=90。，

.\Z2=30°,

.,.Z3=60°,

又/E=30。,

設(shè)DE與A3交于點(diǎn)F,則ZAFE=9Q°,

VZB=45°,

Z4=45°,

AZC=Z4,

故④正確，

故答案為：②③④.

【名師指路】

本題主要考查了同角的余角相等、角平分線定義、平行線的判定的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握同角的余角

相等及平行線的判定.

三、解答題

21.(2021?吉林輝春.七年級(jí)期中)已知：如圖，EF//CD,Zl+Z2=180°.

(1)判斷GO與C4的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若CD平分ZACB,DG平分NCDB,且ZA=40。，求ZAC3的度數(shù).

【思路指引】

(1)根據(jù)￡F//CD可得Nl+ZACD=180。，再由Nl+/2=180?？傻肸ACD=N2由此即可證明;

(2)由平行線的性質(zhì)可得NBOG=ZA=40。，再由角平分線的定義可得/2=NBOG=40。，則

ZACD=Z2=40°,由此即可得到答案.

【詳解詳析】

解：⑴AC//DG.

理由：?.?EF//CD,

.-.Zl+ZACD=180o,

又?.,Nl+N2=180。，

ZACD=Z2,

:.AC//DG-,

(2)QAC//DG,

ZBDG=ZA=40°,

?rOG平分NCD2,

:.Z2=ZBDG=40°,

：.ZACD=N2=40°,

?.?CD平分ZACB,

ZACB=2ZACD=80°.

【名師指路】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì)與判

定條件以及角平分線的定義.

22.(2021?湖北?武漢市武珞路中學(xué)七年級(jí)期中)如圖AB//DE.試問，8、NE、/BCE有什么關(guān)系？

解：NB+NE=NBCE,理由如下：

過點(diǎn)C作CF//AB

貝l]ZB=()

又,：ABHDE,CF//AB

:.NE=()

/?ZB+ZE=Z1+Z2()

即NS+NE=____________

【標(biāo)準(zhǔn)答案】Z1；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；DE//CF-平行于同一條直線的兩直線平行；Z2;兩直線

平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；/BCE

【思路指引】

過點(diǎn)C作CF//AB,則4=/1,同理可以得到“=/2,由此即可求解.

【詳解詳析】

解：NB+NE=NBCE,理由如下：

過點(diǎn)C作CF//AB,

則々=/1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

又?:ABHDE,CF//AB,

:.DE〃CF(平行于同一條直線的兩直線平行)，

；.NE=N2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

/.ZB+ZE=Z1+Z2(等量代換)

故答案為：Z1;兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；DE//CF-平行于同一條直線的兩直線平行；Z2;兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；NBCE.

【名師指路】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

23.(2021.安徽臨泉.七年級(jí)期末)請(qǐng)補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù)：如圖，B、E分別是AC、DF上的點(diǎn)，Z

A+ZABF=1SQ°,ZA=ZF.求證：ZC=ZD

證明：因?yàn)?4+/4?尸=180。(),所以AE//BE(),

所以/A=(),又因?yàn)?)

所以/_______=/_____(),

所以//()

所以/C=/D()

【標(biāo)準(zhǔn)答案】已知；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；NCB廠;兩直線平行，同位角相等；已知；CBF,尸;等

量代換；AC;。尸;內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

【思路指引】

結(jié)合圖形，根據(jù)已知證明過程，寫出相關(guān)的依據(jù)即可.

【詳解詳析】

證明：因?yàn)镹A+NAB尸=180。（已知），所以A屈72尸（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

所以NA=ZCBF（兩直線平行，同位角相等），又因?yàn)镹A=/尸（已知）

所以

所以AC//DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

所以/C=/D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

【名師指路】

本題考查證明過程中每一步的依據(jù)，根據(jù)推理過程明白相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

24.（2021.寧夏鹽池.七年級(jí)期末）完成下列證明過程，并在括號(hào)內(nèi)填上依據(jù).

如圖，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在C。上，Z1=Z2,ZB=ZC,求證AB〃CD.

證明：=（已知），Z1=Z4

AZ2=（等量代換），

//BF（）,

；./3=N_______（）.

又,：NB=/C（已知），

：.AB//CD（）.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】Z4;CE-同位角相等，兩直線平行；C;兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線

平行

【思路指引】

根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

【詳解詳析】

解=（已知），Z1=Z4（對(duì)頂角相等），

??.Z2=Z4（等量代換），

：.CE//BF（同位角相等，兩直線平行），

/.Z3=ZC（兩直線平行，同位角相等）.

又?.?/B=NC（已知），

；.N3=/B（等量代換），

：.AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：對(duì)頂角相等；CE//BF-同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，

兩直線平行.

【名師指路】

此題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

25.（2021.江西石城.七年級(jí)期末）【閱讀理解】如圖1,已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB,AC,求

N54C+Zfi+NC的度數(shù).

解：過點(diǎn)A作匹〃3C,NC=NDAC.

又ZEAB+ZBAC+ZDAC=180°（平角定義）:.ZB+ZBAC+NC=180°

從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將ZBAC,DB,/C“湊”在一起，得出角

之間的關(guān)系，使問題得以解決.

【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖2,已知43〃即，則/3+/3CD+/O的度數(shù)為.

【拓展探究】⑵直線AB〃CD,直線交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,點(diǎn)G和點(diǎn)〃分別是直線AB和

CD上的動(dòng)點(diǎn)，作直線GH,￡/平分ZA￡F,HI平分NCHG,￡/與印交于點(diǎn)/.

①如圖3,點(diǎn)G在點(diǎn)E的左側(cè)，點(diǎn)”在點(diǎn)尸的右側(cè)，若NA￡F=70。，/CHG=60°,求/E/H的度數(shù).

②如圖4,點(diǎn)G在點(diǎn)E的右側(cè)，點(diǎn)H也在點(diǎn)F的右側(cè)，若ZAEF=a,NCHG=13,其他條件不變，求ZEIH

的度數(shù).

③如圖5,點(diǎn)G在點(diǎn)E的右側(cè)，點(diǎn)H也在點(diǎn)F的右側(cè)，NGWC的平分線HJ交ZKEG的平分線EJ于點(diǎn)J.其

【思路指引】

（1）如圖（2）過點(diǎn)C作由AB〃即，可得%18,利用平行線的性質(zhì)可得NABC=/

BCF,ZEDC=ZFCD,將/8+ZfiCD+ZD轉(zhuǎn)化為NBC尸+ZBCD+NDCF即可；

(2)①解：如圖1,過點(diǎn)/作ZM/MB,由E/平分NA￡F,HI平分NCHG,ZAEI=^ZAEF=35°,

NCHI=g/CHG=30°,由AB〃CD,IMIIAB,可得ZM//CD〃AB,可求

ZMIE=ZAEI=35°,=NCHZ=30°即可；

②解：如圖2,過點(diǎn)/作加〃AS,E/平分ZAEF,HI平分NCHG,可得/AE/=：ZA￡F=ga,

NCH1=；NCHG=],由AB//CD,IMIIAB,可得IM//CD"AB,利用平行線性質(zhì)可得

AMIE=ZAEI=Ia,=/CH/=即可；

③解：如圖3,過點(diǎn)/作MN//AB,,由對(duì)頂角性質(zhì)可得NKEB=NAEF=a,由E7平分NKEB,HJ平分

ZCHG,可得/JEG=g/KEB=；a,/J即=；/C〃G=；戶，由AB〃CD,MNIIAB,可得

MN//CD//AB,由平行線性質(zhì)可得/M7E=/JEG=；a,/N7"=/CH/=即可.

【詳解詳析】

解：⑴如圖⑵過點(diǎn)C作C/01B,

,?AB//ED,

：.CF〃ED〃AB,

：.ZABC=ZBCF,ZEDC=ZFCD,

'：ZBCD+ZBCF+ZDCF=360°,

：.ZB+ZBCD+ZD=NBCF+NBCD+NDCF=360°,

故答案為：360。；

(2)①解：如圖1,過點(diǎn)/作ZM/MB,

?.?EI平分ZAEF,HI平分NCHG,ZAEF=r70°,NCHG=60。，

ZAEI=-ZAEF=35。，ACHI=-ZCHG=30。，,

22

■.■AB//CD,IM//AB,

:.IM//CD//AB,

:.ZMIE=ZAEI=35°,ZMIH=ZCHI=30°,

D

圖1

ZEIH=AMIE+ZMIH=35°+30°=65°;

②解：如圖2,過點(diǎn)/作2M//AB,

?;EI平分ZAEF,小平分NCHG,ZAEF=a,NCHG=/3,

ZAEI=-ZAEF=-a,ACHI=-ZCHG=-B,

2222

-.AB//CD,IM!/AB,

ZEIH=AMIE+ZMIH=11;

③解：如圖3,過點(diǎn)1/作

ZAEF=a,

,\ZKEB=ZAEF=a,

?:EJ平分/KEB,HJ平分NCHG,/KEB=a,/CHG=(3,

-ABIICD,MN//AB,

:.MN//CD//AB,

:.NMJE=NJEG=；a,ZNJH=ZCHJ=,

AEJH=180°-ZMJE-ZNJH=180。-坊.

22

【名師指路】

本題考查角分線定義，平行線性質(zhì)，周角，平角，角的和差，關(guān)鍵是用輔助線作出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵.

26.(2021.吉林雙陽.七年級(jí)期末)已知A3〃C。，點(diǎn)E在A3上，點(diǎn)P在。C上，點(diǎn)G為射線所上一點(diǎn).

【基礎(chǔ)問題】如圖1,試說明：ZAGD=ZA+ZD.(完成圖中的填空部分).

證明：過點(diǎn)G作直線為

又,：AB〃CD,

C.MN/7CD()

?；MN〃AB,

AZA=()()

,:MN〃CD,

AZD=()

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

【類比探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在線段EP延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出/AGD、ZA.三者之間的數(shù)量關(guān)系.

【應(yīng)用拓展】如圖3,AH平分NG4B,DH交AH于點(diǎn)H,且/GDH=2/HDC,ZHDC=22°,Z77=32°,

直接寫出/DGA的度數(shù).

【標(biāo)準(zhǔn)答案】基礎(chǔ)問題：平行于同一條直線的兩條直線平行；ZAGM-,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ZDGM,

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；類比探究：ZAGD=ZA-ZD-,應(yīng)用拓展：42。.

【思路指引】

基礎(chǔ)問題：由MN//AB,可得乙4=NAGM,由MN〃CD,可得則NAGZ)=NAGM+NOGM

=ZA+ZD;

類比探究：如圖所示，過點(diǎn)G作直線幺3,同理可得則/AGD=/AGM-

ZDGM=ZA-ZD.

應(yīng)用拓展：如圖所示，過點(diǎn)G作直線跖過點(diǎn)女作直線尸?！ˋ2,由PQ//AB,得到/

BAG=NAGM,ZBAH=ZAHP,由PQ//CD,得到/OG=/DGM,ZCDH=ZDHP,再由

ZGDH=2ZHDC,ZHDC=22°,NAffl）=32。，可得NGOH=44。，NOH尸二22。，則NC￡>G=66。，ZAHP=54°,

ZDGM=66°,NBAH=54。,再由A”平分N8AG,即可得到NAGM=108。，則NAGO=NAGM-NDGM=42。.

【詳解詳析】

解：基礎(chǔ)問題：過點(diǎn)G作直線MN〃A3,

又,；AB〃CD,

:.MN〃CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），

?:MN〃AB,

???NA=NAGM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

?：MN〃CD,

??.N0=NDGM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；ZAGM;兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；NDGM,兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

類比探究：如圖所示，過點(diǎn)G作直線MN〃AB,

又?：AB〃CD,

:?MN〃CD,

*：MN〃AB,

：.ZA=ZAGM,

■:MN〃CD,

：.ZD=ZDGM,

：.ZAGD=ZAGM-ZDGM=ZA-ZD.

應(yīng)用拓展：如圖所示，過點(diǎn)G作直線過點(diǎn)“作直線尸Q〃A3,

又.：AB〃CD,

???MN〃CD,PQ//CD

?：MN〃AB,PQ//AB,

：.ZBAG=ZAGM,ZBAH=ZAHP,

■:MN〃CD、PQ//CD,

：.ZCDG=ZDGM,ZCDH=ZDHP,

?：/GDH=2/HDC,ZHDC=22°,ZAHD=32°,

???NGDH=44。，ZDHP=22°,

???NC0G=66。，ZAHP=54°,

：.ZDGM=66°,ZBAH=54°,

VAH平分NE4G,

???ZBAG=2ZBAH=WS0,

：.ZAGM=108°,

：.ZAGD=ZAGM-ZDGM=42°.

【名師指路】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).

27.（2021.四川仁壽.七年級(jí)期末）閱讀并完成下列推理過程，在括號(hào)內(nèi)填寫理由.

B

已知：如圖，點(diǎn)。，E分別在線段45、5c上，AC//DE,平分㈤C,DF平分NBDE交BC于點(diǎn)E、

F.

求證：DF//AE.

證明：?JAE平分的C（已知），

:.Z1=Z2=-ZBAC（）.

2

;DF平分NBDE（已知），

，N3=N4=；（角平分線的定義），

-,-AC//DE（已知），

:.ZBDE=ZBAC（）.

Z2=Z3（）.

:.DF//AE（）.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】角平分線的定義；ZBDE；兩直線平行，同位角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行.

【思路指引】

根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)與判定即可證明.

【詳解詳析】

證明：?JAE平分ZBAC（已知），

.-.Z1=Z2=^ZBAC（角平分線的定義）.

?;DF平分ZBDE（已知），

.-.Z3=Z4=1zBr>￡（角平分線的定義），

■-AC//DE（已知），

:"BDE=NBAC（兩直線平行，同位角相等）.

;./2=/3（等量代換）.

：.DF//AE（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：角平分線的定義；ZBDE；兩直線平行，同位角相等；等量代換；同位角相等，兩直線平行.

【名師指路】

本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

28.（2021.安徽.銅陵市第十五中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知C為兩條相互平行的直線48,之間一點(diǎn),

ZABC和ZCDE的角平分線相交于F,NFDC+ZABC=180。.

￡

/R

(1)求證：AD!IBC；

3

(2)連結(jié)CP,當(dāng)CF//AB,且=時(shí)，求NBCD的度數(shù);

(3)若NDCF=NCPB時(shí),將線段BC沿直線AB方向平移，記平移后的線段為尸。(B,C分別對(duì)應(yīng)尸，

Q,當(dāng)NPQD-NQDC=20。時(shí)，請(qǐng)直接寫出ZDQP的度數(shù).

【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見解析；(2)ZBCD=108°;(3)70°

【思路指引】

(1)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出NEOF=/D4B,由角平線的定義得出NEOF=/EDC,最后根據(jù)

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行進(jìn)行求證；

(2)設(shè)ZDCF=x,則/CFB=1.5尤，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出/ABF=L5x,由角平分線的定義得

出NABC=3x,最后利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出關(guān)于x的方程，求解即可；

(3)畫出圖形，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出由角平分線的定義與已知條件可求

出/A2C與/即C,由平移的性質(zhì)與平行公理的推論得出〃尸。，最后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

列式求解.

【詳解詳析】

解：(1)證明：?.?A2〃DE,

ZEDF=ZDAB,

/平分NEDC,

JZEDF=ZFDC,

：.ZFDC=ZDAB,

丁ZF￡>C+ZABC=180°,

???ZDAB+ZABC=180°,

J.AD//BC;

3

(2)VZCFB=-ZDCF,設(shè)NDCF=x,則NCF3=1.5元,

VCF//AB,

???ZABF=ZCFB=1.5x,

〈BE平分NA3C,

???ZABC=2ZABF=3x,

?：AD//BC,

.\ZFDC+ZBCD=180°,

*.*ZF￡)C+ZABC=180°,

：.ZBCD=ZABC=3x,

：.ZBCF=2x,

?:CF〃AB,

：.ZABC+ZBCF=1SO°,

3x+2x=180°,

Ax=36°,

.'.ZBCD=3x36°=108°;

(3)如圖，:/DCF=NCFB,

：.BF//CD,

：.ZCDF+ZBFD=\S00,

U：AD//BC,

AZCBF+ZBFD=180°,

：.ZCDF=ZCBF,

VAD,3E分別平分NA5C,NCDE,

：.ZABC=2ZCBF,ZCDE=2ZFDC,

：.ZABC=ZCDE=2ZFDC,

VZFDC+ZABC=180°,

AZABC=120°,ZFDC=60°,

:線段2c沿直線口方向平移得到線段尸。，

J.BC//PQ,

,JAD//BC,

：.AD//PQ,

?：ZPQD-ZQDC=20°,

：.ZQDC=ZPQD-20°,

：.ZFDC+ZQDC+ZPQD=60°+ZPQD-20°+ZPQD=180°,

：.ZPQD=1Q°,即/。QP=70°.

故答案為：70。.

【名師指路】

本題考查平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，平移的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

29.(2021.四川邛睞七年級(jí)期中)如圖，直線AB〃CD,點(diǎn)E、F分別是AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F

的右側(cè))；點(diǎn)M為線段EF上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為射線FD上的一點(diǎn)，連接MN;

(1)如圖1,若NBEF=150°,MNA.EF,則;

(2)作的角