廣雅中學(xué)佛山一中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷 理（含解析）-人教版高二數(shù)學(xué)試題

-學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、佛山一中聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|3x2+2x﹣8≤0}，則A∪B=（）A．[0，] B．[﹣2，] C．[0，6] D．[﹣2，6]2．若z=1+2i，則=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），則c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知實(shí)數(shù)x，y滿足1＜ax＜ay（0≤a≤1），則下列關(guān)系式恒成立的是（）A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x2＞y25．將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張．如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是（）A．24 B．96 C．144 D．2106．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，，2a2成等差數(shù)列，則=（）A．1+ B．1﹣ C．3+2 D．3﹣27．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（）A．16 B．17 C．14 D．158．已知函數(shù)f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，又f（x）dx=0，則函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸是（）A．x= B．x= C．x= D．x=9．已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為（）m3．A．4 B． C．3 D．210．設(shè)圖F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．311．如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S（t）（S（0）=0），則導(dǎo)函數(shù)y=S′（t）的圖象大致為（）A． B． C． D．12．設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）=圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量夾角為45°，且，則=．14．（x﹣y）2（x+y）7的展開式中x3y6的系數(shù)為（用數(shù)字作答）15．記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈．若直線y=a（x+1）與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．16．在平面內(nèi)，定點(diǎn)A、B、C、D滿足：||=||=||，?==?=﹣2，動(dòng)點(diǎn)P、M滿足：||=1，=，則||的最大值是．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大??；（2）若b=，c=1，求△ABC的面積．18．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn．19．為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，我校從男生中隨機(jī)抽取了60人，從女生中隨機(jī)抽取了50人參加環(huán)保知識(shí)測試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生402060女生203050總計(jì)6050110（Ⅰ）試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（Ⅱ）為參加市里舉辦的環(huán)保知識(shí)競賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為，現(xiàn)在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，若隨機(jī)變量X表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：K2=P（K2≥k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.82820．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求證：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值．21．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)S（，0）的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2，a∈R，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若x≥1時(shí)，f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）為曲線y=f（x）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足0＜x1＜x2，且?x3∈（x1，x2），使得曲線y=f（x）在x=x3處的切線與直線AB平行，求證：x3＜．

-學(xué)年廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、廣雅中學(xué)、佛山一中聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合A={x|0≤x≤6}，集合B={x|3x2+2x﹣8≤0}，則A∪B=（）A．[0，] B．[﹣2，] C．[0，6] D．[﹣2，6]【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【分析】求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：集合A={x|0≤x≤6}=[0，6]，B={x|3x2+2x﹣8≤0}=（x|﹣2≤x≤}=[﹣2，]，∴A∪B=[﹣2，6]，故選：D．2．若z=1+2i，則=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，化簡求解即可．【解答】解：z=1+2i，則===i．故選：C．3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），則c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），得到曲線關(guān)于x=2對稱，根據(jù)P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），結(jié)合曲線的對稱性得到點(diǎn)c與點(diǎn)c﹣2關(guān)于點(diǎn)2對稱的，從而做出常數(shù)c的值得到結(jié)果．【解答】解：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），∴曲線關(guān)于x=2對稱，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故選：C．4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足1＜ax＜ay（0≤a≤1），則下列關(guān)系式恒成立的是（）A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x2＞y2【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】實(shí)數(shù)x，y滿足1＜ax＜ay（0＜a＜1），得到y(tǒng)＜x＜0，對于B．C．D分別舉反例即可否定，對于A：由于y=x2在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，即可判斷出正誤【解答】解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足1＜ax＜ay（0＜a＜1），∴y＜x＜0，A．若＞，則等價(jià)為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，恒成立B．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），則等價(jià)為x2＞y2成立，當(dāng)x=﹣1，y=﹣2，滿足x＞y時(shí)，但x2＞y2，不成立，C．當(dāng)x=﹣π，y=﹣π時(shí)，滿足x＞y，但sinx＞siny不成立．D．當(dāng)x=﹣1，y=﹣2，滿足x＞y時(shí)，但x2＞y2，不成立，故選：A5．將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張．如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是（）A．24 B．96 C．144 D．210【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】求出5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號的組數(shù)，然后分給4人排列即可．【解答】解：5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其它號碼各為一組，分給4人，共有4×A44=96種．故選：B．6．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，，2a2成等差數(shù)列，則=（）A．1+ B．1﹣ C．3+2 D．3﹣2【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知得2×（）=a1+2a2，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依題意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各項(xiàng)都是正數(shù)∴q＞0，q=1+∴==3+2故選C7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（）A．16 B．17 C．14 D．15【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】通過分析循環(huán)，推出循環(huán)規(guī)律，利用循環(huán)的次數(shù)，求出輸出結(jié)果．【解答】解：第一次循環(huán)：S=log2，n=2；第二次循環(huán)：S=log2+log2，n=3；第三次循環(huán)：S=log2+log2+log2，n=4；…第n次循環(huán)：S=log2+log2+log2+…+log2=log2，n=n+1；令log2＜﹣3，解得n＞15．∴輸出的結(jié)果是n+1=16．故選：A．8．已知函數(shù)f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，又f（x）dx=0，則函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸是（）A．x= B．x= C．x= D．x=【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用f（x）dx=0求出φ值，然后找出使三角函數(shù)f（x）取得最值的x即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（x﹣φ）且|φ|＜，所以f（x）dx=sin（x﹣φ）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）+cosφ=0，所以tanφ=，解得φ=+kπ，k∈Z；又|φ|≤，∴φ=；所以f（x）=sin（x﹣）；所以函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是x﹣=kπ+，k∈Z；即x=kπ+，k∈Z；所以f（x）其中一條對稱軸為x=．故選：A．9．已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為（）m3．A．4 B． C．3 D．2【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該四棱錐的底面是底邊為2，高為1的平行四邊形，四棱錐的高為3．利用體積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：由三視圖可知：該四棱錐的底面是底邊為2，高為1的平行四邊形，四棱錐的高為3．∴該四棱錐的體積V=×3=2m3．故選：D．10．設(shè)圖F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】要求離心率，即求系數(shù)a，c間的關(guān)系，因此只需用系數(shù)將題目已知的條件表示出來即可．本題涉及到了焦點(diǎn)弦問題，因此注意結(jié)合定義求解．【解答】解：由雙曲線的定義得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨設(shè)該點(diǎn)在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，兩式相乘得．結(jié)合c2=a2+b2得．故e=．故選B11．如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S（t）（S（0）=0），則導(dǎo)函數(shù)y=S′（t）的圖象大致為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】本題利用逐一排除的方法進(jìn)行判斷，結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，以及總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷進(jìn)行判定即可．【解答】解：最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，選擇A．故選A．12．設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）=圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)出點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)，求出原分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到直線l1與l2的斜率，由兩直線垂直求得P1，P2的橫坐標(biāo)的乘積為1，再分別寫出兩直線的點(diǎn)斜式方程，求得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到|AB|，聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標(biāo)，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍．【解答】解：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）=，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）=，∴l(xiāng)1的斜率，l2的斜率，∵l1與l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直線l1：，l2：．取x=0分別得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=，∴|AB|?|xP|==．∵函數(shù)y=x+在（0，1）上為減函數(shù)，且0＜x1＜1，∴，則，∴．∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量夾角為45°，且，則=3．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案為：314．（x﹣y）2（x+y）7的展開式中x3y6的系數(shù)為0（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意依次求出（x+y）7中xy6，x2y5，x3y4項(xiàng)的系數(shù)，求和即可．【解答】解：多項(xiàng)式（x﹣y）2（x+y）7=（x2﹣2xy+y2）（x+y）7，設(shè)（x+y）7的通項(xiàng)公式為Tr+1=C7rx7﹣ryr，令r=6，則T7=C76xy6=7xy6，令r=5，則T6=C75x2y5=21x2y5，令r=4，則T5=C74x3y4=35x3y4．∴（x﹣y）2（x+y）7的展開式中x3y6的系數(shù)為：1×7﹣2×21+1×35=0，故答案為：0．15．記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈．若直線y=a（x+1）與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是[，4]．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個(gè)角點(diǎn)，然后將其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）對應(yīng)的a的端點(diǎn)值即可．【解答】解：滿足約束條件的平面區(qū)域如圖示：因?yàn)閥=a（x+1）過定點(diǎn)（﹣1，0）．所以當(dāng)y=a（x+1）過點(diǎn)B（0，4）時(shí)，得到a=4，當(dāng)y=a（x+1）過點(diǎn)A（1，1）時(shí)，對應(yīng)a=．又因?yàn)橹本€y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)．所以≤a≤4．故答案為：[，4]16．在平面內(nèi)，定點(diǎn)A、B、C、D滿足：||=||=||，?==?=﹣2，動(dòng)點(diǎn)P、M滿足：||=1，=，則||的最大值是．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)條件可知A，B，C三點(diǎn)共圓，M為PC的中點(diǎn)，于是=（）．建立平面直角坐標(biāo)系得出的坐標(biāo)，計(jì)算得出模長關(guān)于α的函數(shù)，利用三角函數(shù)的恒等變換得出模長的最大值．【解答】解：∵||=||=||，∴A，B，C在以D為圓心的圓D上，∵?==?=﹣2，∴兩兩夾角相等均為120°，∴|DA|=2，以D為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），則B（﹣1，﹣），C（﹣1，），∴=（0，2）．∵||=1，∴P在以A為圓心，以1為半徑的圓A上，∵=，∴M為PC的中點(diǎn)，∴=（）．設(shè)P（2+cosα，sinα），則=（3+cosα，sinα+），∴=（cosα+，sinα+），∴=（cosα+）2+（sinα+）2=+sinα+=3sin（α+）+，∴||的最大值為=．故答案為：．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大??；（2）若b=，c=1，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式、商的關(guān)系化簡已知的式子，根據(jù)內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B的值；（2）由條件和余弦定理列出方程求出a的值，由三角形的面積公式求出△ABC的面積．【解答】解：（1）在△ABC中，∵C=π﹣（A+B），cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0﹣﹣即sinAsinB﹣sinAcosB=0﹣﹣∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，﹣﹣∵0＜B＜π，∴﹣﹣（2）由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2ac?cosB，把b=，c=1代入得，3=a2+1﹣a，﹣﹣即a2﹣a﹣2=0，解得a=2﹣﹣∴﹣﹣18．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）因式分解可得（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，從而求得Sn=n2+n，從而判斷出{an}為等差數(shù)列，從而解得；（2）裂項(xiàng)bn==（﹣），從而求其前n項(xiàng)和前證明不等式即可．【解答】解：（1）∵Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0，∴（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，∴Sn=n2+n，或Sn=﹣1（舍去），故正項(xiàng)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中a1=1+1=2，a2=S2﹣S1=4，故an=2+2（n﹣1）=2n；（2）∵bn==（﹣），∴Tn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+）；故Tn＜．19．為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，我校從男生中隨機(jī)抽取了60人，從女生中隨機(jī)抽取了50人參加環(huán)保知識(shí)測試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生402060女生203050總計(jì)6050110（Ⅰ）試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（Ⅱ）為參加市里舉辦的環(huán)保知識(shí)競賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為，現(xiàn)在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，若隨機(jī)變量X表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：K2=P（K2≥k）0.5000.4000.1000.0100.001k0.4550.7082.7066.63510.828【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（Ⅰ）由題意求出K2，由此得到有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．（II）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（I）由題意：K2≈7.822K2≈7.822＞6.635，∴有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．（II）由題意X的可能取值為0，1，2，3，，，，，∴X的分布列為：X0123PE（X）==2．20．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求證：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接AC，交BD于O，推導(dǎo)出AC⊥BD，從而AC⊥平面BDEF，進(jìn)而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能證明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分別以O(shè)A，OB，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）連接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交線為BD，且AC?平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE?平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中點(diǎn)，∴ODEF是平行四邊形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分別以O(shè)A，OB，OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F(xiàn)（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），設(shè)平面AEF的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，0，1），…設(shè)平面CEF的法向量，則，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF與平面CEF所成的銳二面角的余弦值為．…21．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，且其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)S（，0）的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c，進(jìn)而求得a，則b可得，進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）2+y2=．聯(lián)立兩個(gè)圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo)，推斷兩圓相切，進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是這個(gè)切點(diǎn)．證明時(shí)先看直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，代入?的表達(dá)式中，求得?=0，進(jìn)而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點(diǎn)為（0，1），所以，橢圓C的方程是x2+=1（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+）2+y2=．由解得即兩圓相切于點(diǎn)（1，0）．因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（1，0）．事實(shí)上，點(diǎn)T（1，0）就是所求的點(diǎn)．證明如下：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k（x+）．由即（k2+2）x2+k2x+k2﹣2=0．記點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則又因?yàn)?（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），?=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+）（x2+）=（k2+1）x1x2+（k2﹣1）（x1+x2）+k2+1=（k2+1）+（k2﹣1）++1=0，所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（1，0）滿足條件22．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2，a∈R，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若x≥1時(shí)，f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）為曲線y=f（x）上的兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足0＜x1＜x2，且?