《理論力學教案》

理論力學教案《理論力學》課程基本信息（一）課程名稱：理論力學（二）學時學分：每周4學時，學分4（三）予修課程：力學、高等數(shù)學（四）使用教材：金尚年、馬永力編著《理論力學》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世紀課程教材。（五）教學參考書：1.周衍柏《理論力學教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。2.郭士望《理論力學》上、下冊，北京：高等教育出版社，1982。3.梁昆森《力學》上、下冊，北京：人民教育出版社，1979。（六）教學方法：課堂講授，啟發(fā)式教學（七）教學手段：傳統(tǒng)講授與多媒體教學相結(jié)合（八）考核方式：閉卷考試占總成績70%，平時作業(yè)成績占30%（九）學生創(chuàng)新精神與實踐能力的培養(yǎng)方法：在課程講授過程中注意采用啟發(fā)式教學手段，將基本的概念和規(guī)律講清、講透，而將一些具有推廣性的問題留給學生思考，以此來提高學生分析問題、解決問題的能力。并且在課堂講授時多聯(lián)系實際的力學問題，以此來提高學生解決實際問題的能力。（十）其他要求：每堂課后布置適量的課后作業(yè)并定期批改、檢查和給出成績，這部分成績將占期末總成績的30%。緒論一：《理論力學》課程的內(nèi)容：該課程是以牛頓力學和分析力學為主要內(nèi)容的力學理論，是理論物理的第一門課程。是從物理學的基本經(jīng)驗規(guī)律出發(fā)，借助于微積分等數(shù)學工具，推導(dǎo)出關(guān)于物體機械運動時所滿足的整體規(guī)律的一門課程。二：《理論力學》與《力學》的區(qū)別和聯(lián)系1.內(nèi)容：《理論力學》包括牛頓力學和分析力學，是《力學》課程的深入和提高；而《力學》課程僅講授牛頓力學，且研究的深度不及《理論力學》。2.研究手段：《力學》是從物理現(xiàn)象出發(fā)，通過歸納總結(jié)出物質(zhì)運動的規(guī)律?！独碚摿W》是從經(jīng)驗規(guī)律出發(fā)，借助于數(shù)學工具，推導(dǎo)出物質(zhì)運動所滿足的規(guī)律，并通過實踐來檢驗該規(guī)律的真?zhèn)?，著重培養(yǎng)學生理性思維的能力。三：本教材的特點：將牛頓力學和分析力學穿插在一起講解，可對比二者在處理力學問題時各自的優(yōu)缺點，并適當增加了分析力學在這門課中的比重。第一章牛頓動力學方程教學目的和基本要求：要求學生了解牛頓運動定律的歷史地位，掌握牛頓第二定律在常用坐標系中的表達式和使用方法；熟練掌握運用運動微分方程求解并討論力學問題的方法；理解質(zhì)點系、質(zhì)心、動量、角動量和能量的概念；熟練掌握三個基本定理、三個守恒定律的內(nèi)容和它們的適用條件，以及應(yīng)用它們求解問題的方法步驟；了解研究變質(zhì)量物體運動的指導(dǎo)思想和處理方法。教學重點：熟練掌握牛頓運動定律，動量、角動量、能量定理以及運用這些定理解決力學問題的方法。教學難點：如何講清牛頓第二定律、三個守恒定律在具體力學問題中的應(yīng)用方法?！?.1牛頓的《原理》奠定了經(jīng)典力學的理論基礎(chǔ)一：經(jīng)典力學的理論基礎(chǔ)——牛頓于1687年發(fā)表的《自然哲學的數(shù)學原理》，簡稱《原理》，是牛頓在總結(jié)伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛頓提出了著名的力學三定律和萬有引力定律，并闡述了關(guān)于時間、空間的基本概念和區(qū)別相對運動和絕對運動的思想。在物理學中將以《原理》為依據(jù)的力學稱為經(jīng)典力學或牛頓力學。二：經(jīng)典力學的物質(zhì)觀、時空觀及運動觀。1.物質(zhì)觀、時空觀及運動觀在力學中的重要性。力學研究的是物體的空間位形隨時間的變化規(guī)律，因此要建立力學的理論體系首先就要對什么是物質(zhì)、時間、空間和運動有科學的認識和明確的規(guī)定。2.物質(zhì)觀、時空觀及運動觀的發(fā)展歷史：亞里士多德，笛卡爾等。3.牛頓力學的物質(zhì)觀、時空觀及運動觀。（1）物質(zhì)觀：以古希臘原子論為基礎(chǔ)，認為世界是由原子構(gòu)成，原子間的作用力構(gòu)成萬物的運動。（2）時空觀：“絕對的、真正的、數(shù)學的時間自身在流逝著，而且由于其本性而在均勻地，與其他任何事物無關(guān)地流逝著”，即時間是一維的、均勻的、無限的，與空間和物質(zhì)無關(guān)。牛頓還認為在宇宙中存在著絕對的、三維的、均勻的和各向同性的絕對空間。在絕對空間中可取這樣的坐標系：原點靜止于絕對空間中，坐標軸的方向一經(jīng)選定就不再改變，那么這個坐標系就代表了絕對空間。物體相對于該坐標系的運動即為絕對運動。一切相對于絕對空間做勻速直線運動的參考系慣性參考系。（3）運動觀：牛頓第三定律和力學相對性原理，它們可以看成是力學的最高原理。另外還包括萬有引力定律。此外在《原理》一書中牛頓還明確定義了動力學理論所必需的一系列完整的輔助概念，發(fā)明了微積分，將力學原理與數(shù)學結(jié)合起來，使力學成為了嚴密的科學理論。三：牛頓運動三定律1：運動三定律：第一定律：一個物體，若沒有外力影響使其改變狀態(tài)，則該物體仍保持其原來靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)。第二定律：運動的變化，與所加的力成正比，其方向為力作用的方向。第三定律：作用恒與其反作用相等，方向則相反。其中最重要的是第二定律，其原始的數(shù)學表達式為（1.1）如果將物體質(zhì)量m看成常量，上式可改寫為或（1.2）2：力學相對性原理：在一個系統(tǒng)內(nèi)部的任何力學實驗，都不能決定這一系統(tǒng)是靜止的還是在作勻速直線運動。意義：根據(jù)這一原理，相對于絕對空間做勻速直線運動或靜止的參考系力學規(guī)律完全相同，這樣將牛頓定律的適用范圍從絕對空間推廣到慣性系。因牛頓設(shè)想的絕對空間實際上是不存在的，這樣就為牛頓力學的使用找到了一個理論依據(jù)。3：伽利略變換。設(shè)參考系S和S’均為慣性系且S’相對于S以勻速u運動，那么這兩個參考系之間的時空坐標的變換關(guān)系為：（1.3）將上式代入（1.2）式可見牛頓第二定律在伽利略變換下保持不變，因此力學相對性原理又可表述為：力學定律對于伽利略變換保持不變。四：牛頓運動三定律的局限性：適用于低速宏觀物體。五：牛頓的認識論、方法論簡介：簡單性，因果性，同一性和真理性。簡單性：科學上正確的東西都是簡單的，如果同一個問題可用簡繁不同的方法得到相同的結(jié)論，應(yīng)該選用簡單的方法。因果性（決定論）：就是由一定的前因按照自然規(guī)律必然可確定唯一的結(jié)果，反之由一定結(jié)果必然可確定唯一的原因。這在量子力學出現(xiàn)之前一直是物理學最牢固的一個信條。統(tǒng)一性：指《原理》中所闡述的定律和物質(zhì)觀等在沒有證明它的局限性和錯誤性之前應(yīng)該認為它對整個自然界都是普遍適用的。真理性：就是承認的相對性和絕對性。六：本節(jié)重點：了解力學的發(fā)展歷史，掌握牛頓運動三定律?！?.2牛頓第二定律在常用坐標系中的表達式牛頓運動定律的核心是第二定律，本節(jié)將就其數(shù)學表達式做深入探討。一：牛頓第二定律：（2.1）在經(jīng)典力學中物體的m為常數(shù)，牛頓定律變?yōu)椋?。一般情況下F為坐標、速度和時間的函數(shù)，即（2.2），所以牛頓第二定律可進一步表示為：（2.3）此式為二階微分方程，在具體求解力學問題時，需要將其轉(zhuǎn)化為標量方程。根據(jù)坐標系的不同，牛頓第二定律有以下表達式。二：牛頓第二定律在常用坐標系中的表達式：1.直角坐標系：空間任一點P位置可用x、y、z三個參數(shù)來表示，用i、j、k分別表示沿x軸、y軸、z軸的單位矢量，則空間任一點P的位置矢量可表示為：（2.4）進一步可得及（2.5）牛頓第二定律的可表示為：（2.6）2.平面極坐標系：平面上任一點P的位置可用參數(shù)r、θ來表示。er和eθ分別表示矢徑r增加方向和極角θ增加方向的單位矢量(如圖1.1），它們的方向隨著P點的運動而改變，則位矢（2.9）。由圖1.1可將er和eθ化為i、j的函數(shù)：，，進一步得（2.7），（2.8）接著可求出（2.10），（2.11），牛頓第二定律的可表示為：（2.12）3.球坐標：空間任一點P的位置可用參數(shù)r、θ、φ來表示，er、eθ、eφ分別表示r、θ、φ三個參數(shù)增加方向的單位矢量(如圖1.2），它們的方向隨著P點的運動而改變。將er、eθ和eφ化為i、j、k的函數(shù)，如，，進一步可求出，結(jié)合可得牛頓第二定律的可表示為：（2.21）4.柱坐標：空間任一點P的位置可用參數(shù)R、φ、z來表示，eR、eφ、k分別表示相應(yīng)的單位矢量(如圖1.3）。eR、eφ的方向隨著P點的運動而改變，而k的大小方向均不變，參考平面極坐標可得：（2.23）（2.24）牛頓第二定律的表達式為：（2.25）5.自然坐標和內(nèi)稟方程：以上坐標系中其單位矢量或者與運動無關(guān)，或者僅與質(zhì)點的位置有關(guān)，而與質(zhì)點的速度（方向）均無關(guān)。還有一種自然坐標，其單位矢量的方向由任一時刻速度的方向決定，相應(yīng)的牛頓動力學方程被稱為本性方程或內(nèi)稟方程。（1）平面自然坐標：用et、en分別表示質(zhì)點運動軌道的切線和法線方向的單位矢量(如圖1.4），即et與任一時刻速度V同向，顯然et、en二者為變矢量，有（2.26）另由及可得（2.27）進一步可得牛頓第二定律的表達式為：（2.28）（2）空間自然坐標：①基本概念：密切面：PP1與PP2所構(gòu)成的極限平面。et：在密切面內(nèi)沿軌道曲線切線方向的單位矢量，其方向沿質(zhì)點運動方向。en：在密切面內(nèi)與et垂直的單位矢量，其方向指向曲線的凹側(cè)。主法線：與en同向的法線。eb：由et×en決定的單位矢量。次法線：與eb同向的法線。法平面：由en、eb構(gòu)成的平面。直切平面：由et、en構(gòu)成的平面。②用et、en、eb分別表示質(zhì)點運動軌道的切線、主法線和次法線方向的單位矢量，et與任一時刻速度V同向，顯然et、en、eb三者均為變矢量。類似于平面自然坐標，利用得牛頓第二定律的表達式為：（2.29）（3）適用范圍：適用于運動軌道已知的質(zhì)點運動，或用于介質(zhì)阻力不能忽略的運動。三：本節(jié)重點：掌握直角坐標系、平面極坐標系、柱坐標系、平面曲線自然坐標系中牛頓第二定律的分量表達式。§1.3質(zhì)點系牛頓運動定律是針對質(zhì)點提出的，對于不能看成質(zhì)點的力學體系，則必須重新分析討論。一：質(zhì)點系：（1）定義：由兩個或兩個以上相互聯(lián)系的質(zhì)點所組成的力學體系為質(zhì)點系，質(zhì)點間的聯(lián)系體現(xiàn)在質(zhì)點間的相互作用對發(fā)生作用的每個質(zhì)點的運動均有影響。（2）實例：A：太陽——九大行星B：m、m’通過輕繩聯(lián)系在一起，如圖1.5。前者是九個單質(zhì)點的力學問題，后者是兩質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系。（3）結(jié)論：A：不能以質(zhì)點個數(shù)的多少來推斷是否為質(zhì)點系，而應(yīng)該看質(zhì)點之間的作用力是否對發(fā)生作用的質(zhì)點的運動均有影響。B：內(nèi)力和外力的區(qū)分。二：質(zhì)點系的運動方程1.一般方法：設(shè)有n個質(zhì)點構(gòu)成一質(zhì)點系，由牛頓第二定律可得：2...n2...n（3.1），共3n個標量方程。若質(zhì)點系受內(nèi)部或外界的約束共k個，則Fi中會含由k個未知的約束力Fni，則可得k個約束方程：，j2...k2...k（3.2）聯(lián)立以上共3n+k個方程可求出3n+k個未知數(shù)。2.一般方法的困難性和解決方法：以上方法需求解的方程個數(shù)太多，可借助于動量、角動量、能量定理簡化求解過程。三：本節(jié)重點：正確理解質(zhì)點系的概念和力學問題的處理方法?！?.4動量定理一：動量及動量定理1.質(zhì)點：定義動量為P=mv，由牛頓第二定律可得動量定理為，若F=0，則質(zhì)點的動量P=C，即動量守恒。注：雖然這里由牛頓第二定律推出動量定理，但后者的適用范圍超過前者，所以有些場合將牛頓第二定律看成動量定理的推論。2.質(zhì)點系：（1）動量：定義質(zhì)點系的動量為（2）動量定理：對每一個質(zhì)點應(yīng)用動量定理可得：，i=1，2…n.（4.3）其中表示質(zhì)點所受的合外力，表示質(zhì)點所受的內(nèi)力的合力，且，將（4.3）式共n個方程相加在一起，可得：（4.4）考慮到，所以上式中，這樣（4.4）可簡化為（4.6）上式即為質(zhì)點系的動量定理，它表示質(zhì)點系動量的變化率等于體系所受的的合外力，與內(nèi)力無關(guān)。二：質(zhì)點系的動量守恒：在動量定理（4.6）式中如果，則可得，即質(zhì)點系的總動量守恒。當?shù)?，即動量在某一方向上（如x方向）的分量守恒，如發(fā)射炮彈的問題。當時，則可得，如碰撞問題。三：質(zhì)心運動定理：1.質(zhì)心：定義質(zhì)心的位矢rc為（4.9）則有（4.10）即質(zhì)點系的動量可看成將質(zhì)量集中在質(zhì)心上并以質(zhì)心的速度運動的質(zhì)點所具有的動量。2.質(zhì)心運動定理：將代入動量定理可得（4.11）上式即為質(zhì)心運動定理，它說明質(zhì)心的運動就象一個質(zhì)點的運動一樣，此質(zhì)點的質(zhì)量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量，作用在此質(zhì)點上的力等于質(zhì)點系所受的合外力。四：本節(jié)重點：掌握質(zhì)點系的動量定理、動量守恒定律和質(zhì)心運動定理。§1.5角動量定理一：.質(zhì)點的角動量和角動量定理1.角動量定義質(zhì)點的角動量（動量矩）L為位矢r與動量的矢量積，即（5.1）2.角動量定理：，即質(zhì)點角動量對時間的變化率等于質(zhì)點所受的力矩。推導(dǎo)：由角動量的定義式L=r×p，兩邊對時間求導(dǎo)可得：，因，又定義力矩，最終可得角動量定理（5.2）3.角動量守恒：如果質(zhì)點所受的力矩M=0，則可得L=C，即如果質(zhì)點所受的力矩為零，則其角動量守恒。注：M、L必須是針對坐標原點或慣性系的同一點而言。4.應(yīng)用：當質(zhì)點受有心力的作用時，易得，，則有二：.質(zhì)點系的角動量和角動量定理1.角動量：定義質(zhì)點系的角動量L為各質(zhì)點角動量Li的矢量和，即。2.角動量定理：，即質(zhì)點系角動量對時間的變化率等于質(zhì)點系所受的外力矩之和，與內(nèi)力矩無關(guān)。推導(dǎo)：由動量的定義式，兩邊對時間求導(dǎo)可得：，考慮到上式中，最終可得角動量定理（5.5）3.角動量守恒：同質(zhì)點的角動量守恒一致，當時，有，即角動量守恒。以上討論的均是相對于慣性系的坐標原點而言，但在處理實際的力學問題時，往往選取相對于某一點P的L、M比選取相對于坐標原點的更方便，下面我們就專門討論這種情況。4.相對于慣性系中任一點P的角動量定理定義，，參考圖1.6利用，同理可得，將代入角動量定理可得：或（5.6）討論：A：當Vp=0時，P為慣性系中的定點，角動量的形式不變，。B：Vp≠0，但Vp與Vc同向，角動量的形式不變，。C：，角動量的形式不變，。三：質(zhì)心系中的角動量定理1.質(zhì)心系：以質(zhì)心為坐標原點且相對于慣性系做平動的參考系為質(zhì)心系，其坐標軸始終平行與慣性系中相應(yīng)坐標系的坐標軸，多為理論工作者使用。2.實驗室系：以慣性系為運動參考的參考系，以前我們所討論的問題均是在實驗室系中討論的，多為實驗工作者使用。3.質(zhì)心系中的角動量定理：首先定義分別代表質(zhì)心系中的位置矢量，速度，角動量，力矩,且有（嚴格來說應(yīng)為，詳見第五章），，。注：與是不同的兩概念，，與是不同的速度，前者是質(zhì)點在慣性系中的速度，而后者是質(zhì)點在質(zhì)心系中的速度。但是可以證明L’、LC二者相等。證明：因，所以有（5.10）（5.11），所以，接著將中的、用，替換掉，最終可得。四本節(jié)重點：重點掌握慣性系中的角動量定理?！?.6能量定理一：質(zhì)點的動能定理1.質(zhì)點的動能：或（6.1）2.質(zhì)點的動能定理：（6.2），即作用在質(zhì)點上的力所做的元功等于質(zhì)點動能的增量。證明：由等式兩邊求微分可得一段過程：二：質(zhì)點系的動能定理1.質(zhì)點系的動能：質(zhì)點系的動能為所有質(zhì)點的動能之和，即，（6.3）2.質(zhì)點系的動能定理：將動能表達式兩邊取微分（6.4）即質(zhì)點系動能的增量等于外力和內(nèi)力所做的元功之和，注：動能的增量與體系的內(nèi)力有關(guān)，這一點與質(zhì)點系的動量、角動量定理有明顯的區(qū)別。以上我們只證明了動能定理對慣性系成立，對于質(zhì)心系是否成立需證明。3.寇尼希定理質(zhì)點系的動能等于質(zhì)點系全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心的速度運動的動能，再加上各質(zhì)點相對于質(zhì)心系運動的動能，即（6.5），其中（6.6）證明：由及可得，其中用到。4.質(zhì)心系中的動能定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的外力和內(nèi)力在質(zhì)心系中所做的元功之和，即（6.7）由兩邊取微分可得①另由②聯(lián)立①②且由質(zhì)心運動定理，可得三：保守力和勢能在動能定理中有，因，因此W一般很難直接求出，但可以證明當為某一類特殊的力時，W可方便的求出。1.保守力：當為某一位置函數(shù)的梯度即時，該被稱為保守力，此時做功與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。證明：由，將上式代入可得，即，兩邊積分可得（6.11）說明：①可見保守力做功只與始末位置、有關(guān)，與運動的具體路徑無關(guān)。②可證明保守力滿足。③常見的保守力：重力、彈力、萬有引力、庫侖力等。2.勢能：當某位置函數(shù)滿足（6.9），該函數(shù)被稱為勢能。它由發(fā)生相互作用的物體共有，且勢能為相對量，當給出它的具體數(shù)值時必須指出勢能的參考零點。由，可得，3.機械能守恒：定義動能T與勢能V之和為機械能E，當體系僅受保守力作用時，可證明此時機械能守恒。證明：由（6.13），即機械能守恒。4.質(zhì)點系勢能：因勢能為標量，所以質(zhì)點系的勢能為所有質(zhì)點的勢能之和，即，當質(zhì)點系所受內(nèi)、外力均為保守力時，（6.14）5.例：計算受中心力的兩質(zhì)點的勢能（從略）四：本節(jié)重點：重點掌握慣性系中質(zhì)點系動能定理和寇尼希定理以及保守力、勢能的概念?！?.7變質(zhì)量運動方程一：變質(zhì)量力學問題分類1.質(zhì)量隨t增加而增加：，例：雨滴2.質(zhì)量隨t增加而減?。海夯鸺陨蟽深悊栴}均可用動量定理推導(dǎo)出的變質(zhì)量運動方程求解。二：變質(zhì)量運動方程1.運動方程：2.推導(dǎo)：t時刻：m， ， t+Δt：m-Δm、；Δm、；,由牛頓第二定律，最終可得（7.1）即變質(zhì)量運動方程。注：均是相對于慣性系的速度，即絕對速度。3.密斯爾斯基方程：（7.3）在上述方程的基礎(chǔ)上，令為廢氣相對于火箭的速度，它與反向。設(shè)為火箭前進方向上的單位矢量，即與同向，則有：，將上式代入變質(zhì)量運動方程可得：或，其中，為推進力。結(jié)論：要提高火箭的，需設(shè)法提高，即提高和。三：實例：設(shè)，火箭做直線運動且=C，則有，設(shè)，則有，令t=0時，，可得：。如令，為空火箭的質(zhì)量，為燃料的質(zhì)量，則有。結(jié)論：（1）與成正比（2）與成正變關(guān)系，且增大比增大的效果好。四：本節(jié)重點：了解變質(zhì)量運動方程，掌握、對提高火箭的影響?！?.8綜合例題（從略）掌握例1、例2、例4，了解例3。本章習題：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。第二章拉格朗日方程教學目的和基本要求：正確理解各種約束的物理意義，掌握判斷力學體系自由度的方法和選擇廣義坐標的基本原則；能應(yīng)用虛功原理求解處于靜平衡的力學體系的各類問題；掌握運用廣義坐標、廣義速度和時間來表示拉格朗日函數(shù)的方法；能熟練地用理想、完整體系拉格朗日方程建立力學體系的運動微分方程。教學重點：在理解各種約束、自由度的物理意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握應(yīng)用拉格朗日方程求解力學問題的方法。教學難點：約束、自由度的物理意義及拉格朗日方程在力學問題中的應(yīng)用?！?.1理想約束、達朗貝爾方程一：牛頓動力學方程的一般解法1.一般解法：設(shè)有n個質(zhì)點，受到k個約束的質(zhì)點系，則有3n個未知的坐標（）和k個未知約束力，為求解這3n個未知的坐標，解方程的一般步驟如下：牛頓第二定律3n個運動微分方程+k個約束方程3n個微分方程（3n-k）個微分方程解出個未知的（3n-k）獨立坐標解出全部3n個未知坐標和k個未知約束力。2.實例：以圖1.7的力學問題為例（從略）3.局限性：當n、k的個數(shù)較大時，求解方程將十分困難甚至無法完成。因此當n較大時如果我們能直接寫出（3n+k）個不含未知約束力和非獨立坐標的方程，求解方程的過程將大大簡化，。這種方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意義還超出了力學的范疇而擴展到物理學別的領(lǐng)域。二：虛位移、約束和虛功1.實位移和虛位移實位移：質(zhì)點按力學規(guī)律運動時，在時間內(nèi)實際所發(fā)生的位移，用表示。以前我們所討論的位移均為實位移。虛位移：想象在某一時刻t，質(zhì)點所發(fā)生的約束所允許的無限小的位移為虛位移，用表示。它不是質(zhì)點實際運動所產(chǎn)生的位移，因而不需要時間，只要滿足約束條件即可。δ的運算法則：δ被稱為變分符號，它作用在坐標和函數(shù)上時與微分符號d完全相同，如：，。但作用于時間時為零即，這一點與d不同。2.約束：力學體系在運動時所滿足的某些規(guī)律，約束在物理上均可用約束方程的形式確切地表達出來。例：z=0，限制質(zhì)點在xy平面上運動；z=0且x2+y2=0，限制質(zhì)點在xy平面上做圓周運動。3.實位移和虛位移地關(guān)系體系受穩(wěn)定約束（約束條件不隨時間而變化，約束方程中不含時間t）時，實位移是眾多虛位移中的一個。體系受不穩(wěn)定約束（約束方程中含時間t）時，實位移與虛位移無直接關(guān)系。三：虛功：（想象的）力在質(zhì)點的虛位移上所做的功為虛功，（1.1）四：理想約束：1.定義：所有約束力（內(nèi)，外約束力）在體系的任意虛位移上所做的虛功之和為零，則這種約束為理想約束?？捎孟率奖磉_該約束的特點：（1.2）表示第i個質(zhì)點所受的內(nèi)、外約束力之和。2.常見的理想約束：（1）質(zhì)點沿光滑曲面（曲線）運動時所受的約束。因沿曲面法線方向而沿曲面切線方向即有，所以。（2）質(zhì)量可忽略的剛性桿所連接的兩質(zhì)點。如圖2.3所示，為作用在P1、P2上的約束力，其方向在P1P2的連線方向上，由牛頓第三定律可得，因此，。對于剛性桿因為常數(shù)，所以，最終可得（3）兩個剛體以光滑表面相接觸。用表示兩個剛體相互之間的作用力和反作用力，則。由于兩個剛體之間有相對滑動，因此但可以證明在接觸點的公切面內(nèi)，而垂直于公切面，因此。（4）兩剛體以完全粗糙的表面相接觸。因剛體在這種約束下只能做純滾動，即，約束條件為，因此有（5）兩個質(zhì)點以柔軟不可伸長的繩子相連接?？捎妙愃朴冢?）的方法證明。實際的力學體系可看成由剛體和質(zhì)點構(gòu)成，只要相互之間的聯(lián)結(jié)是剛性的，接觸面是光滑或絕對粗糙的，那么該體系所受的約束都可看成理想約束。如果存在摩擦力Ff，可將其看成主動力，則力學體系所受的約束仍為理想約束。五：達朗貝爾方程：（1.4）證明：設(shè)體系由n個質(zhì)點構(gòu)成，為主動力，為約束力。由牛頓第二定律：i=1，2，…，n將n個方程分別乘以后相加、移項可得。最后一步用到了理想約束的特點，在該方程中約束力不再出現(xiàn)。六：例：用達朗貝爾方程寫出圖1.7所示力學體系的運動方程（從略）七：本節(jié)重點：重點掌握虛位移、虛功、理想約束等物理概念，掌握用達朗貝爾方程求解簡單力學體系的運動方程的方法?！?.2完整約束廣義坐標達朗貝爾方程中雖然不含，但仍有非獨立坐標，對于一種完整約束，可在達朗貝爾方程的基礎(chǔ)上直接寫出不含、非獨立坐標的動力學方程。一：完整約束1.定義：約束條件只和體系中各質(zhì)點的坐標有關(guān)，即約束方程中只含和t，不含，約束方程為（2.1）例：繞O點轉(zhuǎn)動的細管中的質(zhì)點，雙單擺2.性質(zhì)：理論上可證明，凡是完整約束都可以通過約束方程用代數(shù)的方法將非獨立坐標消去，每一個約束方程可以消去一個獨立坐標。如果n個質(zhì)點構(gòu)成的力學體系受到k個完整約束，約束方程為j=1，2…，k，（2.2）獨立坐標的個數(shù)為s=3n-k（2.3）3.自由度：力學體系中獨立坐標的個數(shù)s被稱為體系的自由度。二：非完整約束1.定義：如果體系所受的約束不能由約束方程直接消去非獨立坐標，該約束為非完整約束。2.分類：非完整約束包括運動約束（微分約束）和可解約束兩類。（1）運動約束：約束方程中除了含有和t外還含有關(guān)于時間t的一次或高次導(dǎo)數(shù)、等，約束方程為。在動力學方程未解出之前，無法通過約束方程將非獨立坐標消去。如圖2.7輪子在xy平面上做曲線純滾動，確定輪子在空間的位置需要x、y、θ和自轉(zhuǎn)角φ，但由于受到純滾動的約束輪心的速度和自轉(zhuǎn)角速度之間存在約束。另由圖2.8可得，將約束方程代入以上兩式可得（2.4）上式表明4個坐標中獨立的坐標只有兩個，但在動力學方程未解出之前，我們無法通過積分的方法利用（2.4）式將不獨立的坐標消去。但可證明如果輪子做直線滾動即θ為常數(shù)則可以將不獨立坐標消去。（2）可解約束（單面約束）：約束方程中雖不含的微分項，但方程中含有不等式。顯然由于方程中存在不等式，所以也無法用代數(shù)法通過約束方程消去非獨立坐標，例：用長為L的繩子將質(zhì)點懸掛于固定點，x2+y2+z2≤L2。這種約束通常將其分為兩種約束，增加一個獨立坐標，這樣可解約束將變?yōu)椴豢山饧s束，也就是成為了完整約束。綜上所述，非完整約束一般專指微分約束。此外，約束還可根據(jù)約束方程中是否含有時間t將約束分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定約束。三：廣義坐標：1.定義：建立一個力學體系的動力學方程所需要的獨立坐標被稱為廣義坐標。一個力學體系的廣義坐標一旦確定了，其在空間的位形也就確定下來。廣義坐標與自由度的關(guān)系：完整約束其廣義坐標的個數(shù)與自由度個數(shù)相等。非完整約束其廣義坐標的個數(shù)可大于自由度個數(shù)?？珊唵蔚卣J為自由度比廣義坐標的獨立性更強，獨立的也更徹底。在本書以后的討論中均限于完整約束，所以可認為廣義坐標的個數(shù)等于自由度個數(shù)。2.選取：從理論上講，可選取任意能反映力學體系位形的相互獨立的s個變量作為廣義坐標，不僅僅局限于傳統(tǒng)意義上的反映位置的長度坐標和角度等，如能量E，動量P等。3.位形空間：由s個廣義坐標所構(gòu)成的一個抽象的s維空間，此空間的任一點代表力學體系的一種可能的位形。四：總結(jié)：掌握完整約束和自由度、廣義坐標的物理意義?！?.3理想、完整約束體系的拉格朗日方程對于理想、完整約束體系，在選取合適的廣義坐標后可直接由廣義坐標寫出體系的動力學方程—拉格朗日方程，該方程中是不含、非獨立坐標的動力學方程。一：理想、完整約束拉格朗日方程：1.推導(dǎo)過程：設(shè)有n個質(zhì)點構(gòu)成的受k個約束的力學體系，如所受約束為理想、完整約束，則廣義坐標的個數(shù)為s=3n-k。取q1，q2…qs為廣義坐標，則有，將其代入達朗貝爾方程消去化簡后可得：，因上式中的相互獨立，要使該式恒成立必有：，或者寫成，（3.3）其中，（3.4），被稱為廣義力，與廣義坐標相對應(yīng)。方程（3.3）左邊可變成：（3.5）另由可得：，又因可得（3.8）另有（3.9）將（3.8）、（3.9）代回（3.5）式消去可得：，再將結(jié)果代入（3.3）可得理想、完整約束拉格朗日方程。2.結(jié)論：，（3.10）該方程是由s個二階微分方程構(gòu)成的微分方程組。二保守體系的拉格朗日方程：1.方程：對于保守體系，可進一步化簡如下：，（3.11）將上式代入理想、完整約束拉格朗日方程（3.10）式可得：，令（3.13）L稱為拉格朗日函數(shù)，則上式可進一步化簡為：，（3.12）（3.12）為保守體系的拉格朗日方程，有些教材將其稱為第二類拉格朗日方程，它在力學中的應(yīng)用非常廣泛，在分析力學中占有重要的地位。2.討論：（1）方程中的L、T、V為廣義坐標和廣義速度的函數(shù)，在應(yīng)用方程時，首先需將L、T、V化成、的函數(shù)。（2）該方程只適用于理想、完整約束的保守體系。（3）保守體系：傳統(tǒng)定義—所有內(nèi)力與外力均為保守力，或內(nèi)力雖不是保守力，但所有內(nèi)力所做的功的和為零。分析力學的定義—理想、完整約束下，只要主動力為保守力，這樣的體系均為保守體系。從兩種定義的比較可知，后者是對傳統(tǒng)定義的擴展。對于理想、完整體系而言其約束力可能是非保守力，在受不穩(wěn)定約束時雖然約束力的實功之和不為零，但約束力的虛功之和仍為零，保守體系的拉格朗日方程仍成立，所以這樣的力學體系在分析力學中也被成為保守體系。（4）非保守體系：將非保守力部分用表示，而將保守力部分仍用表示，理想、完整約束拉格朗日方程（3.10）式可表達為：，（3.14）三：拉格朗日方程與牛頓方程的區(qū)別與聯(lián)系1.拉格朗日方程用廣義坐標列出s=3n-k個動力學方程，較牛頓方程列出的3n+k個方程更為簡捷。2.拉格朗日方程從能量的角度分析力學問題，而牛頓方程從受力的角度分析問題，顯然能量的數(shù)學處理比力F的處理簡單，更重要的是能量的概念貫穿與物理學的所有領(lǐng)域，因此拉格朗日方程的應(yīng)用也得以推廣。3.對簡單的力學問題而言，用牛頓方程比用拉格朗日方程更簡單、直接。四：解題步驟：1.解題之前要正確劃分體系與外界，進而判定所研究的體系是否為理想、完整保守體系。2.根據(jù)體系所含質(zhì)點數(shù)n和所受約束的個數(shù)k來判定自由度的個數(shù)s=3n-k，也可由經(jīng)驗直接判定自由度的個數(shù)，然后選取合適的廣義坐標。3.將動能T、勢能V或拉格朗日函數(shù)L表示成廣義坐標的函數(shù)后代入拉格朗日方程，可得s個動力學方程。4.求解這s個動力學方程可確定所有的廣義坐標。五：例題（從略）六：本節(jié)重點：掌握理想、完整約束保守體系拉格朗日方程及其適用條件，會用該方程求解一般的力學問題。§2.4拉格朗日方程對平衡問題的應(yīng)用一：靜力學問題：當力學體系相對于慣性系靜止時，我們就說該體系處于力學平衡，這類問題為靜力學問題，主要分為兩類。1.已知主動力，求體系平衡時的位置。2.已知體系的平衡位置，求體系各部分之間的約束力FN。上述第一類問題用拉格朗日方程求解很方便，第二類問題可結(jié)合拉格朗日方程、牛頓方程求解。二：拉格朗日平衡方程：當體系平衡時其動能T恒為零，則，均為零。根據(jù)理想、完整約束拉格朗日方程（3.10）式可得：，（4.1）對于保守體系則有：，（4.2）三：例題（從略）四：重點掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力學平衡問題的一般方法?！?.7對稱性和守恒定律一：力學中的守恒定律：1.牛頓力學：利用動量、角動量、能量守恒定律來取代牛頓動力學方程的全部或其中的一部分，可直接得到一階的微分方程，而牛頓動力學方程為二階微分方程。例：質(zhì)點在有心力、萬有引力作用下的力學問題。2.分析力學中的守恒量—運動積分eq\o\ac(○,1)運動積分：具有s個自由度的力學體系，如果，的某個函數(shù)在力學體系的運動過程中保持不變，則該函數(shù)被稱為運動積分。理論上可用這些運動積分取代拉格朗日方程的全部或其中的一部分，類似于牛頓力學中用動量、角動量、能量守恒定律來取代牛頓動力學方程。eq\o\ac(○,2)s個自由度的力學體系最多具有（2s-1）個運動積分。證明：任一時刻體系的拉格朗日函數(shù)為，所以體系的狀態(tài)可由2s個變量決定，一般情況下有（7.1），為積分常數(shù)共2s個。在上式中消去時間t后可得到（2s-1）個方程構(gòu)成的方程組，因此最多可解出（2s-1）個相互獨立的（7.2）它們在運動中均為常數(shù)，也就是說它們?yōu)轶w系運動過程中的守恒量，被稱為運動積分。下面就介紹常見的兩種運動積分：廣義動量、廣義能量。二：廣義動量與廣義能量1.廣義動量：（1）循環(huán)坐標（可遺坐標）：拉格朗日函數(shù)L中不顯含某個廣義坐標，則該坐標被稱為循環(huán)坐標。（2）廣義動量：定義為與相對應(yīng)廣義動量。（3）廣義動量守恒：當為循環(huán)坐標時，則與其對應(yīng)的廣義動量守恒。證明：當為循環(huán)坐標時由于L中不顯含，所以，則由（7.3）即廣義動量守恒。（4）意義：①從量綱上來看，具有動量的量綱，所以被稱為廣義動量，同理被稱為廣義速度。②當代表不同的坐標時，就代表不同的動量。如取x，y，z，時，x，y為循環(huán)坐標，對應(yīng)的、為x，y方向上的動量。又如取r，θ，時，θ為循環(huán)坐標，對應(yīng)的為角動量。eq\o\ac(○,3)可直接有L的表達式中是否含有循環(huán)坐標拉判定相應(yīng)的是否守恒。2.廣義能量H（1）定義：具有s個自由度的力學體系，定義為廣義動量。（2）廣義能量H守恒：如果L中不顯含時間t，即，可證明H守恒即H=C。證明：設(shè)，由拉格朗日方程可得，所以（7.5）即廣義動量受恒。3.H的物理意義—廣義能量由及可得（7.6）其中，為的零次齊次式；，為的二次齊次式；，為的一次齊次式。由m次齊次函數(shù)的歐拉公式，可得，代入（7.7），即H與能量的量綱相同，所以H被成為廣義能量。4.特例：當體系受穩(wěn)定約束時，，可得T1=T0=0，（7.8），此時廣義能量與能量相同，廣義能量守恒即為能量守恒。三：守恒定律與時空特性的關(guān)系。1.運動積分的分類：（1）守恒量：如果體系總的運動積分為各部分運動積分之和，即具有可加性，這樣的運動積分為守恒量，如動量、角動量、能量。（2）非可加性運動積分：如（7.1）中積分常數(shù)等。較有意義的運動積分是守恒量，力學體系的守恒量是由體系所處的時空的特性決定的。2.空間的均勻性、各向同性的數(shù)學表述?？臻g的均勻性和各向同性意味著坐標軸的原點和方向可任意選取而不會改變力學體系的性質(zhì)，或者說當空間平移或轉(zhuǎn)動時，力學體系的（7.11）由及，另由（見3.8式），代回可得，（7.13）上式為空間的均勻性、各向同性的數(shù)學表達式。3.空間的均勻性導(dǎo)致動量守恒空間的均勻性要求當時，，將代入（7.13）式可得，由的任意性可得，即動量守恒。4.空間的各向同性導(dǎo)致角動量守恒各向同性要求當坐標軸轉(zhuǎn)動時，將代入（7.13）式可得：，由的任意性可得，即角動量守恒。5.外場對空間性質(zhì)的影響總結(jié)3、4的結(jié)果可知，如果質(zhì)點處在外力場中，空間的均勻性和各向同性會被破壞。當坐標軸由位移或時，一般外場對質(zhì)點的作用會有所改變，因而和不會守恒。但如果外場的作用與某坐標無關(guān)，當坐標軸沿該方向移動時，外場的作用不會改變，因而在該方向上動量守恒。6.時間的均勻性導(dǎo)致能量守恒.時間的均勻性要求當時間平移變化時，體系的拉格朗日函數(shù)L不改變，顯然只有L中不顯含時間t即時才能滿足上述條件。在介紹廣義能量守恒時我們已證明，當且約束為穩(wěn)定約束時時，廣義能量保持不變。即當L、約束與時間無關(guān)，或者說時間是均勻的時，時間的變化不會引起能量的變化，即能量守恒。7.總結(jié)：在求解力學問題時可通過判定L中是否含有循環(huán)坐標或時間t來直接判定動量或能量是否守恒，進而可直接寫出守恒方程從而簡化了動力學方程的求解。四：本節(jié)重點：掌握在求解力學問題時可通過判定L中是否含有循環(huán)坐標或t來直接判定動量、能量是否守恒，進而可直接寫出守恒方程，從而簡化動力學方程。五：例題（從略）本章習題：2.1，2.6，2.8，2.10，2.14，2.18。第三章兩體問題教學目的和基本要求：正確理解兩體問題的物理意義，掌握將兩體問題化為單粒子問題的方法；能夠運用有效勢分析并熟練掌握單粒子在中心勢場中的運動規(guī)律，了解中心勢場中粒子運動軌道的穩(wěn)定性、彈性碰撞、散射截面等物理規(guī)律和概念。教學重點：在理解兩體問題意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握單粒子在中心勢場中的運動規(guī)律。教學難點：在中心勢場中單粒子的運動規(guī)律的分析討論?！?.1兩體問題化為單粒子問題一：兩體問題：1.定義：兩個相互作用著的粒子所組成的力學體系的力學問題為兩體問題，可分為三類。2.分類：兩體問題可分為三類。（1）束縛態(tài)問題：兩體之間保持有限的距離。入電子繞原子核運動，行星繞太陽運動。（2）散射或碰撞問題：兩粒子從無窮遠處逐漸接近，經(jīng)過短暫的相互作用后各自改變運動狀態(tài)后相互分離至無窮遠處。（3）俘獲或衰變問題：作用前后粒子數(shù)從2變?yōu)?或從1變?yōu)?。二：兩體問題的處理方法1.一般過程：兩體問題中粒子的運動可分為隨質(zhì)心的運動和兩粒子相對于質(zhì)心的運動。每個粒子的絕對運動可看成是兩種運動的合成。相對于質(zhì)心的運動隨質(zhì)心的運動相對于質(zhì)心的運動隨質(zhì)心的運動由質(zhì)心運動定理決定先將兩粒子間相對運動約化為一個單粒子的運動由單粒子的運動求出兩粒子相對于質(zhì)心的運動兩體問題2.將兩體問題分解為質(zhì)心的運動和單粒子的運動：eq\o\ac(○,1)分解過程：首先約定用表示兩粒子間相對位置矢量，用表示粒子在慣性系中位置，如圖3.1所示。代表兩粒子在慣性系中的位矢和相對位矢。則有：（1.1），（1.4），是兩粒子處在外場中的勢能，僅與有關(guān)；是兩粒子相互作用的勢能，僅與（1.3）有關(guān)。因兩粒子的自由度為6，可取、為廣義坐標，則有：，（1.5）。將兩式代入動能T的表達式后再代入拉格朗日函數(shù)L=T-V，化簡后可得：（1.6）其中，稱為折合質(zhì)量；，（1.7）（1.8）eq\o\ac(○,2)結(jié)論：從可看出，兩體問題中兩粒子的運動可分解為反映質(zhì)心運動的及反映兩粒子間相對運動的兩個相互獨立的部分。這樣兩體問題實際上分解為質(zhì)心的運動和質(zhì)量為mr的單粒子的運動，后者就間接反映了粒子間的相對運動。當確定、后，可簡單地由、確定每一個粒子的運動。3：主要問題在上述關(guān)于勢能及的假設(shè)中，后者一般情況下都成立，而前者未必。所以在求時會很復(fù)雜。但我們所遇到的主要力學問題為：（1），外場很弱（相比與內(nèi)場），質(zhì)心做慣性運動。（2），即中心勢場。以后如果不特殊說明，則討論的問題均指同時滿足以上兩條件的力學問題。4：相對運動——單粒子的運動轉(zhuǎn)化為兩粒子相對于質(zhì)心的運動將相對運動轉(zhuǎn)變?yōu)閱瘟Ｗ拥倪\動后，除可用來描述兩粒子之間的運動外，還可用兩粒子相對于質(zhì)心的運動來描述。因質(zhì)心的運動可由質(zhì)心運動定理確定，所以這種描述更可行。取實驗室系和質(zhì)心系，用表示粒子間的位矢，表示在質(zhì)心系中兩粒子的位矢，則有，（1.12），即與之間只差一個比例常數(shù)。并且可進一步證明相對運動的動能，即相對運動的動能可看成是兩粒子相對于質(zhì)心運動動能的和。所以以后說到相對運動，不再區(qū)分是粒子間的相對運動還是兩粒子相對于質(zhì)心的運動。三：本節(jié)重點：掌握兩體問題處理的一般方法和結(jié)論?！?.2在中心勢場中單粒子運動的有效勢能一：中心勢場中的守恒量當粒子處在中心勢場中時，由（2.1），即力的大小僅與r有關(guān)，方向沿的方向（包括同向和反向）。接下來可證明粒子的角動量和能量E守恒。1.角動量守恒：由及可得，所以守恒且粒子只在做平面曲線運動。選取平面極坐標系來描述粒子的運動，以r、θ為廣義坐標，則有：拉格朗日函數(shù)（2.2）2.能量E守恒：因拉格朗日函數(shù)L拉中不含時間t，所以廣義能量即能量E守恒，即（2.3）又因拉格朗日函數(shù)L拉中不含時間θ，所以與θ對應(yīng)的廣義動量—角動量（以下簡寫為L）守恒，即（2.4）將（2.4）代入（2.3）可得：（2.5）二：粒子在中心勢場中運動方程的解.1.的變化規(guī)律：聯(lián)立（2.3）、（2.4），以、E為已知量消去可得：，移項后兩端積分可得（2.7），算出積分后可得，即粒子運動時矢徑的大小隨時間的變化規(guī)律可確定。算出后代回（2.4）式可得（2.8），算出積分即可得。至此粒子的均可從理論上求出，所以粒子運動的規(guī)律可完全確定。2.粒子運動的軌道方程聯(lián)立消去t后可得即軌道方程，也可由及消去后可得：（2.9）計算出積分后可得或即粒子運動的軌道方程。三：運動規(guī)律的定性討論有效勢能1.的變化規(guī)律：由，由上式可見與成反比，即r增加時減??；即r減小時增加。2.有效勢能：（2.10）由，令，可得由E的表達式可以看出粒子在中心勢場中的運動可等效成粒子在有效勢場中的一維運動，類似于粒子在中的運動。3.r的變化規(guī)律：求出r的極值點就可以初步確定r的變化規(guī)律。因r的極值點處，所以由，令，在E和已知的情況下，由上式可解出r的值。r的解可分為以下2中常見情況。（1），r有一個極值點，粒子可在（0~r1）或（r1~∞）的范圍內(nèi)運動。（2），r有兩個極值點，粒子可在（）、（0~r1）或（r2~∞）之間運動，具體情況與的表達式有關(guān)。注：當粒子在（）的范圍內(nèi)運動時，粒子的軌道不一定是閉合軌道。只有滿足下式（2.12）時，粒子運動才可能形成閉合軌道?？勺C明當或時所形成的軌道閉合。四：例2、例3（從略）五：本節(jié)重點：掌握中心勢場角動量L、能量E守恒和利用有效勢能討論粒子運動規(guī)律的方法?！?.3與距離成反比的中心勢場與距離成反比的中心勢場為，這種勢場在理論上可獲得嚴格的解析解。又因這種勢場是自然界最常見的勢場，如萬有引力勢場、庫侖勢場等，因此我們專門來討論這種勢場。一：吸引勢的一般規(guī)律.這種可獲得嚴格的解析解，但可先用有效勢能定性討論粒子運動的一般規(guī)律，最后再與解析解的結(jié)果相比較。1.有效勢能曲線：由（3.2）可見該曲線應(yīng)有以下規(guī)律：（1）；。（2）令，在處有極小值。（3）令，在處等于零。綜合（1）（2）（3）可大致繪出的曲線如右圖3.52.討論：（1）當，因的要求，所以E=C與曲線有兩個交點。設(shè)兩交點處r分別為（近日點、遠日點），則粒子被限制在內(nèi)運動。（2）當時，E=C與曲線只有一個交點，設(shè)交點處r為，即近日點仍存在，粒子在內(nèi)運動。二：軌道方程1.方程：將代入（2.9）式積分后可得：，可適當?shù)剡x取θ的起點使常數(shù)等于零。接著引入、（3.4）則軌道方程可化簡為（3.5）2.討論：（1）方程的幾何意義。由解析幾何的知識可判定，該方程代表了一組圓錐曲線，其焦點位于極坐標的原點，p為半通徑，e為偏心率（如圖3.7）。當θ=0時，，所以該圓錐曲線的極坐標的極角起始位置正好就是近日點的矢徑位置。（2）曲線的分類：由解析幾何可知，根據(jù)e的不同可將圓錐曲線分為三類（如圖3.6）。eq\o\ac(○,1)當e<1即E<0時，曲線代表橢圓。eq\o\ac(○,2)當e=1即E=0時，曲線代表拋物線。eq\o\ac(○,3)當e>1即E>0時，曲線代表雙曲線的一支。3.橢圓軌道：因橢圓軌道是最具有代表性，因此單獨討論它。（1）橢圓的幾何參數(shù)a、b與動力學參數(shù)L、E的關(guān)系：橢圓的半長軸a、半短軸b（如圖3.7）確定以后，橢圓的幾何形狀也就可確定下來。又因粒子做橢圓運動時與它的動力學參數(shù)L、E有密切關(guān)系，所以a、b與L、E之間也因有一定的關(guān)系存在，下面我們可推導(dǎo)出它們之間的關(guān)系。由，（3.6）將、代入上式可得：（3.7）由（3.8）討論：由（3.7）可知，粒子的E只與a有關(guān)系，與橢圓的形狀或者說與b、c無關(guān)。只要粒子的橢圓運動軌跡的a一樣，那么這些粒子的能量均一樣，這一點在原子物理中有應(yīng)用。（2）運動周期T與能量E的關(guān)系：由，其中用到，將（3.8）代入上式消去b可得：（3.9）討論：上式說明周期T的平方和能量E絕對值的三次方成反比，或者說與半長軸的三次方成正比，這正是開普勒的第三定律的內(nèi)容，也是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力的依據(jù)。三：粒子的運動方程：以上討論的是軌道方程，較為簡明。而粒子的運動方程則較復(fù)雜，只能用參數(shù)式表達。利用（3.4）、（3.6）兩式可將（2.7）表示為：，令可得，取時，則有（3.10）利用極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得（3.11）以上兩式分別為橢圓軌跡在極坐標、直角坐標中的參數(shù)表達式，也就是粒子在與距離成反比的中心勢場中做橢圓運動時的運動參數(shù)方程。雙曲線的參數(shù)表達式可用類似的方法得到，此處從略。四：排斥勢中粒子運動的一般規(guī)律。當時，有，由上式（1）可見；。（2）由可知為的單調(diào)減函數(shù)且。（3）由。綜合（1）（2）（3）可得：當粒子處在排斥勢中時，其能量E>0。E=C直線與曲線只有一個交點，即只有一個近日點，無論粒子開始向哪個方向運動，它最終將飛向無窮遠處，不可能成為束縛態(tài)。同理對于，引入p、e后可得其軌道方程為（3.16）由解析幾何可知其為雙曲線的一支。五：本節(jié)重點：掌握吸引勢中粒子的運動規(guī)律及（3.5）式，并可由E的值來判定運動曲線的類型。了解排斥勢中粒子的運動規(guī)律?！?.4中心勢場中粒子運動軌道的穩(wěn)定性我們在研究粒子在中心勢場中的運動時，最希望能求出或的表達式，但大多數(shù)情況下并不能求出，此時可利用來定性地分析粒子的運動規(guī)律。另外我們還關(guān)心一種軌跡的穩(wěn)定性問題，下面將詳細討論。一：軌道的穩(wěn)定性1.軌道穩(wěn)定性與軌道閉合的關(guān)系：軌道的穩(wěn)定性與閉合是兩個不同的概念，二者之間沒有必然的聯(lián)系。簡單地說，就是閉合的軌道不一定是穩(wěn)定的。如§3.2中，當做圓周運動時，軌道雖然閉合卻并不穩(wěn)定。相反不閉合的軌道也可能是穩(wěn)定的，如行星繞太陽、電子繞原子核運動，實際上都不是閉合軌道，但卻非常穩(wěn)定。2.穩(wěn)定性定義：設(shè)在一定的初始條件下，粒子在中心勢場中運動的軌道方程為。若粒子受到一個擾動后偏離原來的運動軌道而成為，如果能保持在附近做微振動，則我們說軌道是穩(wěn)定的；反之，若r偏離r0越來越大，則軌道不穩(wěn)定。二：軌道穩(wěn)定性的條件：當粒子在中心勢場中運動時，為了分析穩(wěn)定性條件，我們先求出粒子軌道的微分方程——比耐方程。1.比耐方程：，（4.1）首先令，由eq\o\ac(○,1)另由，結(jié)合可得eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,2)兩邊對時間t求導(dǎo)可得： eq\o\ac(○,3)將eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,3)代入牛頓第二定律消去化簡后可得比耐方程（4.1）式。2.穩(wěn)定性條件：（1）擾動方程：設(shè)粒子的初始運動軌道為，受到某擾動后軌道變?yōu)?，其中為一小量。如果隨時間的推移逐漸變大，則軌道不穩(wěn)定；如果隨時間的推移維持在一個小范圍內(nèi)振動，則軌道穩(wěn)定。將代入比耐方程（4.1）式可得：（4.3）將按泰勒級數(shù)展開后略去二階以上無窮小量并考慮，方程可化簡為，（4.4）其中（4.5）（4.4）式為關(guān)于的二階線形齊次方程，A取不同值時方程有不同類型的解，由這些解可判定軌道是否穩(wěn)定。（2）穩(wěn)定性條件：eq\o\ac(○,1)當A=0時，方程解為，代入初始條件，可得，方程解變?yōu)?，為（或時間t）的增函數(shù)，所以軌道也不穩(wěn)定。eq\o\ac(○,2)當A<0時，方程解為，代入初始條件，可得，方程解變?yōu)椋瑸椋ɑ驎r間t）的增函數(shù)，所以軌道也不穩(wěn)定。eq\o\ac(○,3)當A>0時，方程解為，代入初始條件，可得，方程解變?yōu)椋瑸椋ɑ驎r間t）的周期函數(shù)，所以軌道穩(wěn)定。綜上所述，當粒子處在某勢場中時，只有滿足A>0的條件時，粒子的運動軌道才穩(wěn)定。3.的穩(wěn)定性分析.首先將代入A，則穩(wěn)定性條件變?yōu)椋海?.6）或由將上式化簡為（4.7）（1）當時，將，代入（4.7）式可得A=1>0，軌道穩(wěn)定。（2）當時，求出，后代入（4.7）式可得。由>1可推斷只有當時才有A>0。（3）當時，求出，后代入（4.7）式可得>0,軌道穩(wěn)定。4.圓周軌道的穩(wěn)定性分析.當運動軌道為圓周時，穩(wěn)定性條件可直接由、即有效勢能在處是極小值來推斷軌道的穩(wěn)定性。將代入上兩式，化簡后可得圓周軌道的穩(wěn)定性條件為：（4.8）或（4.9）三.本節(jié)重點：正確理解穩(wěn)定性的概念，掌握比耐方程，能夠判定在幾種常見勢場中粒子運動的軌道是否穩(wěn)定。§3.5彈性碰撞一：彈性碰撞的定義和主要問題1.定義及特點定義：如果兩粒子在碰撞前后的內(nèi)部狀態(tài)不發(fā)生改變，那么這種碰撞為彈性碰撞，或稱為彈性散射。由于碰撞過程的時間短且內(nèi)力的作用遠大于外場的作用，所以動量守恒。另外由于粒子內(nèi)部狀態(tài)未發(fā)生改變，所以內(nèi)能不變，機械能守恒?？紤]到碰撞前后粒子間的作用勢能不變，所以動能守恒，這樣就可以得到彈性碰撞的另一種定義：動能、動量同時守恒的碰撞為彈性碰撞。特點：動能、動量同時守恒。2.主要力學問題：（1）不考慮碰撞的細節(jié)，根據(jù)守恒定律的要求，求出碰撞前后粒子運動所滿足的條件，此為碰撞的運動學問題。（2）已知相互作用，由碰撞前粒子狀態(tài)推斷碰撞后粒子的狀態(tài)；或者已知粒子碰撞后狀態(tài)，反推出粒子碰撞前的狀態(tài)；還有根據(jù)碰撞前后粒子運動狀態(tài)來推斷兩粒子間相互作用的具體形式，此為碰撞的動力學問題，或稱為散射問題。二：碰撞問題的理論計算：這個問題可分為在質(zhì)心系和慣性系兩種情況討論。1.質(zhì)心系：（1）理論推導(dǎo)：設(shè)分別表示質(zhì)心系中兩粒子碰撞前后的速度，代表碰撞前后粒子間的相對速度。由，同理可得（5.1）、（5.2）由動量守恒和以上表達式可得：（5.5）由動能守恒可得：（5.6）聯(lián)立以上兩式可得：（5.8）另外因，且方向相反，所以；同理可得。結(jié)合（5.8）式可得：，但。（2）結(jié)論：A：在質(zhì)心系中，兩粒子的彈性碰撞只改變各粒子的運動方向，不改變各粒子速度的大小，并且因碰撞不改變相對速度的大小。因此以后統(tǒng)一用表示相對速度的大小。B：如果用代表碰撞后粒子1的速度方向即的方向，則可將、、表示如下：，，（5.9）2.慣性系：（1）理論推導(dǎo)：以表示粒子在慣性系中的速度，由，結(jié)合（5.9）式可得：（5.10）（2）結(jié)論：（5.10）式即為粒子在慣性系中的碰撞后速度、與、及的關(guān)系，在該式中的需根據(jù)粒子間相互作用的具體形式來計算確定。如果已知的具體形式，那么可由碰撞前的速度求出碰撞后的速度，反之也成立。三.圖示法：我們可借助于圖形來形象地求出上述結(jié)果，同樣也分為在質(zhì)心系和慣性系兩種情況討論。1.碰撞的動量描述法：在討論之前，我們先把對粒子狀態(tài)的速度描述法換成動量描述法。首先由，同理可得，，。另由（5.13）即粒子碰撞后的動量等于隨質(zhì)心運動的動量和相對于質(zhì)心運動的動量之和，或者可理解為粒子碰撞后的動量等于隨質(zhì)心運動的牽連動量和相對于質(zhì)心運動的相對動量之和。即有：顯然這個結(jié)論也適合于粒子碰撞前動量的表示，即2.質(zhì)心系：以O(shè)為圓心，以為半徑做圓，取，則（見圖3.9a）。在圓上取一點C使與、的同向，那么的夾角θ就代表的夾角，則，。由右圖可看出，動量守恒（5.5）式在圖中表示為。當確定以后，C點的位置由θ決定，而θ最終由粒子間相互作用的具體形式?jīng)Q定。3.慣性系：（1）圖示的一般結(jié)果：取圓的半徑為，為慣性系中兩粒子的總動量，，為對以運動所具有的動量或稱為的牽連動量，同理有，為對以運動所具有的動量獻或稱為的牽連動量。另取，為碰撞后在質(zhì)心系中的動量或稱為的相對動量，同理，為碰撞后在質(zhì)心系中的動量或稱為的相對動量。（2）碰撞后粒子的絕對動量碰撞后在慣性系中的動量或稱為的絕對動量可表示為：。同理碰撞后的絕對動量可表示為：以上兩式正是（5.13）的結(jié)果，也就是（5.13）的圖示表示法。（3）碰撞前粒子的絕對動量同理可在圓周上找到另一點，用代表碰撞前的相對動量，代表碰撞前的相對動量。因此可得：，代表碰撞前的絕對動量；，代表碰撞前的絕對動量。（4）碰撞前后粒子m1的在質(zhì)心系中的偏轉(zhuǎn)角在（圖3.9b）中代表夾角的θ為的夾角，即。3.慣性系中的主要問題：從以上分析可看出，給出兩粒子的初始速度后，要確定粒子碰撞后的狀態(tài)θ是一個關(guān)鍵的物理量，而一般情況下θ很難求出。但當時此時可簡單地求出θ和在慣性系中地偏轉(zhuǎn)角，這也是碰撞的主要問題。（1）與B重合：當即靜止時，，所以與B重合，B點在圓周上，或由，也可得上述結(jié)論。（2）A點位置。由，可得，可見當A點在圓外；A點在圓內(nèi)。（3）：因代表夾角而，即三者同向看出，所以。（4）與的關(guān)系：在慣性系中，我們比較關(guān)心在碰撞后與的夾角，也就是的偏轉(zhuǎn)角。由圖3.10可知分別為與的夾角。結(jié)合圖3.11可知：，代入CD=OCsinθ=mrvsinθ，，OD=OCcosθ=mrvcosθ，可得（5.14）因OC=OB，所以（5.15）接下來利用余弦定理還可將求出，得：，（5.16）（5）特例：eq\o\ac(○,1)當碰撞后如果兩粒子在同一直線上運動，此時C與AB在同一直線上，即θ=π。當m1<m2時，反向；當m1>m2時，同向。將θ=π代入(5.16)式可得：。因，因此這時得到的為最大值，同樣這時得到的動能也為最大值，所以這種碰撞可使獲得最大的能量。另外，當m1<m2時，;而當m1>m2時，有最大值，它的最大位置為AC與圓周相切的位置，。eq\o\ac(○,2)如果m1=m2，可得。由于，因此兩粒子碰撞后速度的方向相互垂直。特別是當時，，兩粒子交換速度。四：本節(jié)重點：重點掌握（5.9）、（5.10）式，了解圖示法的原理和結(jié)論。§3.6散射截面一：粒子在中心勢場中的偏轉(zhuǎn)角上一節(jié)已經(jīng)指出，為了求出粒子的偏轉(zhuǎn)角，必須求出在質(zhì)心系中的偏轉(zhuǎn)角θ。而要求出θ必須給出一定的初始條件如能量E、角動量L和相互作用的勢能。根據(jù)這些條件就可借助于單粒子在中心勢場中的軌跡方程或mr在中心勢場中的軌道方程求出θ。1.θ與φ0的關(guān)系：如圖3.13，設(shè)粒子2固定于O點，粒子1由無窮遠處飛向粒子2，偏轉(zhuǎn)θ后飛向無窮遠處。設(shè)OA=rmin，φ0為rmin與的夾角。由對稱性可知（6.2）另外根據(jù)（2.9）式（6.1），在已知E、L和時并不難求出φ0。注：由§3.5可知，為的夾角，而以上分析求出的應(yīng)為的夾角（因m2固定不動）。但因在質(zhì)心系中同向，同向，因此以上求出的θ即為的夾角。（當上式中m取mr時，求出的為的夾角）2.θ的求解：在散射問題中常以初始速度、瞄準距離b作為初始條件，它們與E、L的關(guān)系可由確定。將E、L的上述表達式代入（6.1）式可得：（6.4）其中可由（2.5）式中令得到，由該式可解出，因此結(jié)合（6.2）、（6.4）及可得出。二：散射截面：1.散射截面：在實際物理過程中，往往研究一束射向散射中心的具有相同速度的全同粒子所組成的整個離子束的散射情況。如圖3.14所示。不同的b將有不同的θ，定義dN表示單位時間內(nèi)散射角在θ~θ+dθ內(nèi)的粒子數(shù)，n為單位時間內(nèi)通過垂直于粒子束前進方向的單位截面上的粒子數(shù)。因正比于n，所以為了準確反映散射的特征，做如下定義：，與面積S的量綱相同并且能準確反映散射的特征，故稱為散射截面。2.與、的關(guān)系（1）與的關(guān)系：由圖3.14可看出與有關(guān)，且當很小時可認為與成正比，即（6.7）另外由，（6.8）利用（6.4）、（6.8）、（6.2）所計算出的b、θ的關(guān)系，可將（6.8）式化為：（6.9）對比（6.7）、（6.9）可得：。（2）與的關(guān)系及實驗驗證：A：與的關(guān)系：實際工作中為了驗證（6.4）、（6.9）的正確性，往往需要將換成，因為這樣才能在實驗中測量。由，代入（6.9）式可得：（6.11）B：實驗驗證：在實驗中可測出，當n已知時，可推出。將代入（6.11）由已知的可算出。這樣就可與利用、、和（6.2）、（6.4）算出的相比較，進而驗證以上關(guān)于碰撞的理論是否正確，或者在假定以上理論正確的基礎(chǔ)上推算未知的。如盧瑟福散射等。三：慣性系中的散射截面：以上所進行的討論都是在質(zhì)心系中進行的，如果要討論粒子在慣性系中的散射情況，只需將（6.9）式確定的與關(guān)系中的換成或即可。例如通過§3.5可知，由（5.14）和（5.15）式可確定、與的關(guān)系，將（6.9）式中的用替換，則可得：，則可得m1在慣性系中的散射關(guān)系。四：本節(jié)重點：重點掌握散射截面的定義及如何利用、、求出散射角和散射截面。本章習題：3.1、3.2、3.4、3.6、3.8第四章剛體教學目的和基本要求：理解剛體角速度、角加速度、轉(zhuǎn)動瞬心、剛體上任一點的線速度和線加速度，歐拉角等概念；掌握用剛體平面運動微分方程求解平面平行運動動力學問題；熟練掌握用基點法、瞬心法求平面平行運動剛體任一點的速度和加速度，以及剛體的角速度；掌握定點運動的剛體上任一點的速度、加速度的求法；理解轉(zhuǎn)動慣量、慣量張量，慣量橢球，慣量主軸以及運動剛體角動量和動能等概念；掌握剛體動量和動能的計算；了解歐勒動力學方程實質(zhì)以及如何運用該方程分析剛體定點轉(zhuǎn)動的力學問題。教學重點：在理解剛體角速度、角加速度等概念的基礎(chǔ)上，掌握用剛體平面運動微分方程求解平面平行運動動力學問題；熟練掌握用基點法、瞬心法求平面平行運動剛體一點的速度和加速度以及剛體的角速度。教學難點：運用剛體運動的動力學方程處理剛體的平面運動和定點轉(zhuǎn)動的力學問題?！?.1剛體運動的自由度和廣義坐標一：剛體及其運動的描述方法1.定義：剛體可以看成由多個或無窮個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系，其中任意兩質(zhì)點之間的相對位置或距離保持不變?；蛘吆唵蔚囟x為：在任何情況下都不會發(fā)生變形的質(zhì)點系。2.描述方法：（1）剛體的定義決定了我們只要確定剛體上任意不共線的三點，就確定了通過該3點的一個截面在空間的位形，剛體的位形就可以確定了。（2）自由度S=3x3（3個質(zhì)點的位置）-3（3個約束方程）=6。（3）通常用固連于剛體上的坐標系cxyz相對于固連在慣性系上的坐標系ox0y0z0的運動來描述剛體的運動，通常取t=0時cxyz和ox0y0z0重合。按此方法，剛體的運動可分為以下幾類。二：剛體運動的分類1.平動：運動過程中兩坐標系cxyz和ox0y0z0對應(yīng)坐標軸永遠保持平行，則此運動為平動?；蛘哒f剛體上任一直線在運動過程中都與原來的任一位置保持平行。特點及運動描述：剛體上任一點都具有相同的速度、加速度。因而可用任一點的運動來代表整個剛體的運動，S=3。注：剛體平動時不一定做直線運動。2.定軸轉(zhuǎn)動：剛體上各點繞剛體上或剛體以外的固定直線做圓周運動。當轉(zhuǎn)軸在剛體以外時，可將此轉(zhuǎn)軸理解為剛體體積的延伸。運動描述：將cxyz的cz軸取在轉(zhuǎn)軸上，這樣可用cxyz相對于ox0y0z0轉(zhuǎn)過的角度φ來描述剛體的運動，所以S=1。3.平面平行運動：剛體在運動過程中，剛體上任一點始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運動。由上述定義可知，我們只需研究任一和固定平面平行的截面的運動即可，即確定了這一截面的運動狀態(tài)就可確定剛體上任一點的運動狀態(tài)。運動描述：通常取ox0y0固定平面為面，剛體上的截面為cxy平面。研究cxy相對于ox0y0的運動需三個坐標，因此S=3。4.定點轉(zhuǎn)動：剛體運動過程中，剛體上各點到某一固定點的距離保持不變，或者說剛體上各點繞該固定點轉(zhuǎn)動，這樣的運動為定點轉(zhuǎn)動。特點及運動描述：通常取固定點（不一定在剛體上）為cxyz與ox0y0z0的公共原點，任一時刻剛體的運動狀態(tài)可由cxyz相對于的運動來描述?？勺C明剛體的任一運動狀態(tài)可由cxyz相對于ox0y0z0的三個獨立角度的變化來描述，這三個角度分別為φ、θ、ψ，即進動角、章動角和自轉(zhuǎn)角，統(tǒng)稱歐拉角，它們的變化范圍是，，。這三個角度的定義可由圖4.4說明，所以S=3。但需說明這種描述法并不是唯一的。5.一般運動：剛體做的一般任意運動均可分解為平動和定點轉(zhuǎn)動的合成。平動用C點的坐標（x0c，y0c，z0c）描述；定點轉(zhuǎn)動用歐拉角描述，所以自由度S=3+3=6。三：本節(jié)重點：剛體運動的分類，特別是平面運動和定點轉(zhuǎn)動的描述方法和特點。§4.2剛體的角速度剛體的平動與質(zhì)點的運動可看成滿足同樣的規(guī)律，因而不需要過多討論。剛體運動的特殊性在于它的轉(zhuǎn)動。為了描述剛體的轉(zhuǎn)動，我們可引入角位移和角速度及角加速度。一：定軸轉(zhuǎn)動：1.角位移：取oz0軸與cz軸重合，那么cxyz繞oz0轉(zhuǎn)過的角度可由角位移（2.1）表示，其中為沿oz0的單位矢量，為cx軸與ox0軸的夾角，轉(zhuǎn)過的角度與之間滿足右手螺旋法則。2.角速度：定義（2.2）另外因固定不變，所以及也可用代數(shù)量表示。二：定點轉(zhuǎn)動：1.有限角位移和無限小角位移：首先可證明，有限角位移并不是矢量，因它不遵守矢量的對易律，這從圖4.6中的例子可看出。下面證明無限小角位移為矢量，即滿足矢量的對易律。證明：如圖4.8所示，設(shè)剛體繞經(jīng)過O點的OM轉(zhuǎn)過一小角度，則由，、可得?？赏茝V為任一矢量繞某軸轉(zhuǎn)過的后，其增量。設(shè)剛體繞O點依次發(fā)生了兩次轉(zhuǎn)動和，則有可得（2.4）同理當剛體繞O點依次發(fā)生兩次轉(zhuǎn)動和，則有可得（2.5）比較（2.4）式、（2.5）式前三相相等，而第四相雖然不同，但當時，第四相可忽略。所以可認為（2.4）式、（2.5）式相等，即無限小的角位移與轉(zhuǎn)動的秩序無關(guān)而滿足對易律，這樣就證明了無限小角位移為矢量。2.角速度：（1）定義：角位移對時間的導(dǎo)數(shù)定義為角速度，即（2）角速度的分解與合成：因角速度為矢量所以可以進行分解與合成，當剛體做定點轉(zhuǎn)動，就可以看成其同時參與了繞幾個軸的轉(zhuǎn)動