高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專(zhuān)題36講12.解三角形范圍問(wèn)題

解三角形范圍問(wèn)題第1講：消角構(gòu)造三角函數(shù)例1.（2024浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（2）結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.第2講.對(duì)邊對(duì)角模型對(duì)邊對(duì)角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘如知道隨意一邊與該邊所對(duì)角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關(guān)范圍.例2.（2024年全國(guó)2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2），即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.小結(jié)1.結(jié)合余弦定理：變式可得：此公式在已知的狀況下，可得到和的等式，協(xié)作均值不等式，這樣就可實(shí)現(xiàn)周長(zhǎng)或者面積的最值.第3講.正弦定理邊角轉(zhuǎn)化在正弦定理中：此時(shí)，我們并非確定須要對(duì)邊對(duì)角，事實(shí)上，只要知道隨意一邊和一角，即可結(jié)合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關(guān)系，下面我通過(guò)例題予以分析.例2.（2024全國(guó)3卷）的內(nèi)角對(duì)邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解析：(1)依據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而依?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是第4講.齊次邊型分式結(jié)構(gòu)在這一部分中，我們常常會(huì)看到諸如：等結(jié)構(gòu)，這種類(lèi)型當(dāng)然還可利用正弦定理轉(zhuǎn)化為純角結(jié)構(gòu)，所以，我們只須要做的就是消元，把三個(gè)角消成一個(gè)角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.例3.（2024新高考1卷）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．解析：（1）由已知條件得：所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．例4．在銳角中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．在銳角中，，因?yàn)椋?所以，，解得，所以，，而，所以，所以由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A.第5講.余弦定理求角的最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結(jié)構(gòu)，同時(shí)，在上的嚴(yán)格單調(diào)性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來(lái)找到角的最值.若，倘如再能找到這樣一個(gè)約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個(gè)均值結(jié)構(gòu)，利用均值不等式即可求得最值，下面通過(guò)例題予以分析.例5.已知中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．解：∵，∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.例6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)?，所以，進(jìn)而可得因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以又因?yàn)?，所以角A的最大值為第6講.秦九韶公式秦九韶公式求范圍是近年來(lái)解三角形?？荚囶}中熱門(mén)考察方向之一，相關(guān)內(nèi)容是人教版新教材的閱讀內(nèi)容，將來(lái)完全有可能出現(xiàn)在高考試題中.例7.秦九韶是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書(shū)九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)．秦九韶把已知三邊長(zhǎng)求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．解析：由得，，即，所以，，所以，即時(shí)，．故選：A．例8.已知，，是的內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．解：中，因?yàn)?，所以，則，即，又，則，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值為，故選：A第7講.爪型三角形與等面積方法如圖，設(shè)為的平分線，則設(shè)，那么有等面積可得：，進(jìn)一步可得：，于是可以看到，倘如我們知道角與角平分線的長(zhǎng)度，則可得到的轉(zhuǎn)化關(guān)系，協(xié)作均值不等式就可得到一些范圍問(wèn)題.例9.（2024成都一診）在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，AD=2.則AB+2AC的最小值為_(kāi)__________.解析：，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡(jiǎn)得，，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：第8講.斯特瓦爾特定理與均值不等式基本結(jié)論：如圖：當(dāng)設(shè)為的邊中點(diǎn)時(shí)，.注：該結(jié)論還可由證得.更一般的情形即斯特瓦爾特定理，此處不再贅述，我們通過(guò)例題展示例10.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿(mǎn)意.（1）求角的大?。唬?）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡(jiǎn)得，.又，因此，.（2）由，又為的中點(diǎn)，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，的面積最大值為.例11．內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）是邊上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.解析：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，因?yàn)?，所以，則，又，所以，因?yàn)?，所以；?）依據(jù)題意可得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立所以，面積的最大值為.第9講.恒等變換型目標(biāo)函數(shù)這類(lèi)最值問(wèn)題的特點(diǎn)是利用恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，它們的目標(biāo)函數(shù)往往不是上面的類(lèi)型，而且有點(diǎn)“丑”，你須要做的就是耐性美化目標(biāo)函數(shù)，直到找到可以入手的結(jié)構(gòu)！例12．已知在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿(mǎn)意，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由，知，，，，因?yàn)椤?，則，，因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，，則，因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，則，，故選：A.例13．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C．第10講：構(gòu)造軌跡找范圍常見(jiàn)的軌跡有阿波羅尼斯圓，焦點(diǎn)三角形等，這些問(wèn)題，實(shí)質(zhì)須要找到背后那個(gè)隱藏的軌跡.定義：已知平面上兩點(diǎn)，則全部滿(mǎn)意的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓.若,則圓的