高三數(shù)學二輪培優(yōu)微專題36講08.隱零點代換與估計

隱零點代換與估計隱零點問題是函數(shù)零點中常見的問題之一，其源于含指對函數(shù)的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍（數(shù)值計算不再考察之列）.高考中曾多次考察隱零點代換與估計，所以本節(jié)我們做一個特地的分析與探討.一．基本原理1.解題步驟：第1步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，列出零點方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點的范圍；第2步：以零點為分界點，說明導函數(shù)的正負，進而得到的最值表達式；第3步：將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡：①要么消退最值式中的指對項②要么消退其中的參數(shù)項；從而得到最值式的估計.2.隱零點的同構(gòu)事實上，許多隱零點問題產(chǎn)生的緣由就是含有指對項，而這類問題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面我們看到的這兩個問題，它的隱零點代換則須要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.我們看下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點問題中的應(yīng)用：原理分析所以在解決形如，這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.二．典例分析1.隱零點代換例1．已知函數(shù).（1）當時，若曲線在處的切線方程為，證明：；（2）若，求的取值范圍.解析：（2）記，依題意，恒成立，求導得，令，則在上單調(diào)遞增，又，則，使得，即成立，則當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增，，由，得，于是得，當時，令，有在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當時，，不合題意；當且時，由（1）中知，，有，從而，由知，因此滿意，又在上單調(diào)遞增，則有，而，所以實數(shù)的取值范圍是.例2．已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，試推斷在上極值點的個數(shù)；（2）當時，求證：對隨意，．解析：（1）在上只有一個極值點，即唯一微小值點；（2）證明：由，設(shè)，則在上是增函數(shù)，當時，，因為，所以，所以存在，使得，當時，，則，即在上單調(diào)遞減，當時，，則，即在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的微小值點，也是最小值點，則，又因為，所以，即證：對隨意，，即證：對隨意，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，因為，所以，故，故對隨意，.例3.（2015四川卷）已知函數(shù).設(shè)為的導函數(shù)，摸索討的單調(diào)性；證明：存在，使得在區(qū)間恒成立，且在內(nèi)有唯一解.分析：第（1）問常規(guī)操作.此處分析第（2）問.對于其次問的分析尤為重要，因為這個題目用常規(guī)的恒成立與零點處理手法很難奏效，終歸的結(jié)構(gòu)是很困難的.若要在區(qū)間恒成立等價于，而同時在內(nèi)有唯一解，這就表現(xiàn)，這才是這個題目的突破點.既然要則在區(qū)間必定先減后增，于是函數(shù)的最小值不在端點處出現(xiàn)而是區(qū)間內(nèi)點，這就意味著最小值處導函數(shù)值為零.基于上面的分析，我們便可入手解題.解析：由，得．代入解析式，令,則，．故存在，使得．令，．由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．即．當時，有，．由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當時，，從而；當時，，從而．所以，當時，．綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立,且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．點評：通常我們處理隱零點的策略是代換掉指對項，但此解法利用隱零點代換掉參數(shù)，從而得到不含參數(shù)的表達式來解決，這個思想值得我們學習.例4.（2024新高考1卷）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；（2）若，求的取值范圍.解析：（1）切線方程為,故切線與坐標軸交點坐標分別為,所求三角形面積為.（2）由于,，且.設(shè),則即在上單調(diào)遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此,故恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.2.隱零點同構(gòu)例5.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，對隨意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：（1）有兩個零點關(guān)于的方程有兩個相異實根，由，知有兩個零點有兩個相異實根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又，當時，，當時，當時，，有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為；（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令

，，令，，則，在上單增，又，，使即①，當時，，當時，，即在遞減，在遞增，由①知，函數(shù)在單調(diào)遞增，即，，實數(shù)的取值范圍為.注：本題再次涉及隱零點同構(gòu)，否則的話，很難找到隱零點詳細的代換方向！例6.（2024成都一診理）已知函數(shù).（1）當，探討的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.解析：（2）由題意，當時，不等式恒成立.即恒成立，即恒成立.設(shè).則.設(shè)，則.當時，有.在上單調(diào)遞增，且，.函數(shù)有唯一的零點，且.當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增.即為在定義域內(nèi)的最小值..，得，.令，.方程等價于，.而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增.故等價于，.設(shè)函數(shù)，.易知單調(diào)遞增.又，，是函數(shù)的唯一零點.即，.故的最小值.實數(shù)b的取值范圍為.注：留意，這一步代換！3.隱零點的估計.例7.（2017新課標2卷）已知函數(shù)，且．（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點，且QUOTEe-2<f(x0)<2習題2.解析：（1）．（2）由（1）知，．設(shè)，則．當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，；當時，．因此，所以是的唯一極大值點．由得，故．由得，．因為是在的最大值點，由，得．所以．例8.（2016年全國2卷）（1）探討函數(shù)的單調(diào)性，并證明當時，；（2）證明：當時，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．解析（1）證明：∵當時，∴在上單調(diào)遞增∴時，∴（2），由（1）知，單調(diào)遞