2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第八章平面解析幾何8.4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系例1（1）[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]【多選題】已知直線l:ax+by-r2A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切解：對于A，因為點(diǎn)A在圓C上，所以a2+b2=r2.圓心C0,0到直線對于B，因為點(diǎn)A在圓C內(nèi)，所以a2+b2<r2.圓心C0,0到直線對于C，因為點(diǎn)A在圓C外，所以a2+b2>r2.圓心C0,0到直線對于D，因為點(diǎn)A在直線l上，所以a2+b2=r2.圓心C0,0到直線l的距離d=（2）若過點(diǎn)A4,0的直線l與圓x-2A.(-3,3) B.[-3,3] C.(-解：明顯直線l的斜率存在.（方法一）設(shè)直線l的方程為y=kx-4.聯(lián)立x-22+（方法二）設(shè)直線l的方程為y=kx-4.直線l與圓有公共點(diǎn)，則圓心2,0到直線l:kx【點(diǎn)撥】推斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法.①幾何法：利用d與r的關(guān)系.②代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用Δ推斷.③點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可推斷直線與圓相交；若點(diǎn)在圓上，直線與圓可能相切，也可能相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法更適用于動直線問題.變式1（1）直線l:kx-y+A.0 B.1 C.2 D.1或2解：將直線l的方程變形為kx+2+1-y=0，x+2=0,1-y=0,可得（2）[2024年浙江卷]已知直線y=kx+bk>0與圓x2+y2解：由題意，兩圓圓心C1,C2到直線y=kx+b的距離都等于半徑，即bk2+12=4k+bk考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系例2（1）當(dāng)實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x解：將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1：x+22+y-圓C2的圓心為C21,7從而C1當(dāng)50-k-即14<當(dāng)1+50-當(dāng)50-k-所以當(dāng)k=14或當(dāng)50-k+（2）圓C1:x2+y2-2x+10y解：聯(lián)立x2+y設(shè)兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組x-2y+4=0,x2+y2+【點(diǎn)撥】①推斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不接受代數(shù)法.②若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y變式2（1）【多選題】已知圓C：x2+y2-A.-3 B.3 C.2 D.解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-a2+y2=1，圓心為a,依題意,兩圓的圓心距d滿足r1-r2<d<故選CD.（2）若圓x2+y2=a2與圓xA.2 B.±2 C.1 D.解：兩圓的方程作差，可得公共弦所在的直線方程為a2+ay-6=0.原點(diǎn)O到直線a2+ay考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系的綜合問題命題角度1圓的弦長問題例3【多選題】已知圓C:x-12A.直線l恒過定點(diǎn)2B.圓C被y軸截得的弦長為2C.直線l被圓C截得的弦長存在最大值，此時直線l的方程為2xD.直線l被圓C截得的弦長存在最小值，此時直線l的方程為x解：對于A，將直線l的方程整理為m2x+y-3+-x-y+對于B，將x=0代入圓C的方程，得y-12=15，解得y=1對于C，圓心1,1到直線l的距離d=12m-1對于D，當(dāng)截得的弦長最短時，直線l垂直于圓心C與定點(diǎn)M的連線.kCM=1+11-2=-2,則直線l的斜率為12，此時直線【點(diǎn)撥】弦長的兩種求法.①代數(shù)法.將直線和圓的方程聯(lián)立，消元后得到一個一元二次方程.在判別式Δ>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，依據(jù)弦長公式求弦長.②幾何法.若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l變式3（1）已知直線l:x+my-1=0與圓x-22A.-3 B.-解：圓x-22+y+12=4的圓心為C2,-1（2）[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]已知直線l:x-my+1=0與⊙C:x-12+y2=4交于A，B解：設(shè)點(diǎn)C1,0到直線AB的距離為d，由弦長公式,得AB=24-d2.所以S△ABC=12×d×24-d2=85，解得d=455命題角度2圓的切線問題例4已知圓C：（1）與直線l：解：設(shè)切線方程為2x+y+m=0，則（2）過點(diǎn)A4[答案]可知點(diǎn)A4,-1在圓上，故其為切點(diǎn).因為kAC=-2+1【點(diǎn)撥】①求過定點(diǎn)的圓的切線方程時，首先要推斷定點(diǎn)在圓上還是在圓外，若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線僅有一條；若在圓外，切線應(yīng)當(dāng)有兩條.②若能熟記本節(jié)常用結(jié)論,往往能更快速求解,如例4第（2）問,干脆用x-變式4（1）已知直線l:x+2y-1=0及圓C:x+12+yA.455 B.255解：依據(jù)題意，知圓C的圓心C-1,-2，半徑當(dāng)PC取得最小值時，PA取得最小值.又PC的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離d=-1+2×-2-（2）[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]寫出與圓x2+y2=1解：圓x2+y2=1的圓心為O0如圖，當(dāng)切線為l時，因為kOO1設(shè)l的方程為y=-34x+tt>0,則點(diǎn)O到l當(dāng)切線為m時，設(shè)m的方程為kx+y+p=由題意,得∣p∣1所以y=當(dāng)切線為n時，易知n的方程為x=-故填x=-課外閱讀·“隱形圓”問題在解析幾何問題中，有些問題的條件并沒有干脆給出圓的信息，而是隱藏在題目中，須要分析、轉(zhuǎn)化發(fā)覺“隱形圓”，進(jìn)而求解，這是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn).常見確定“隱形圓”的方法如下：①利用圓的定義或者垂直關(guān)系（動點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的夾角為直角等）確定“隱形圓”；②利用圓的性質(zhì)（圓周角的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等）確定“隱形圓”；③利用代數(shù)關(guān)系式確定“隱形圓”，如對于兩定點(diǎn)A，B，動點(diǎn)P滿足PA=λPB（阿波羅尼斯圓）、PA?PB1.已知原點(diǎn)到直線l的距離為1,圓x-22+y-5A.1條 B.2條 C.3條 D.4條