2025屆上海市普通中學三校聯(lián)考高一數學第二學期期末質量檢測試題含解析

2025屆上海市普通中學三校聯(lián)考高一數學第二學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中國古代數學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還”.其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，則該人第五天走的路程為（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里2．已知，且，則（）A． B． C． D．3．中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”合稱“六藝”.某校國學社團準備于周六上午9點分別在6個教室開展這六門課程講座，每位同學只能選擇一門課程，則甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是（）A． B． C． D．4．若實數，滿足約束條件則的取值范圍為()A． B． C． D．5．長方體中，已知，，棱在平面內，則長方體在平面內的射影所構成的圖形面積的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．7．中，下列結論：①若，則，②，③，④若是銳角三角形，則，其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．48．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．4559．在區(qū)間上隨機取一個數x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．10．將正整數排列如下：則圖中數2020出現(xiàn)在（）A．第64行第3列 B．第64行4列 C．第65行3列 D．第65行4列二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線與圓有公共點，則實數的取值范圍是__________．12．某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200,400,300,100件，為檢驗產品的質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取________件.13．已知數列的通項公式，，前項和達到最大值時，的值為______.14．直線的傾斜角為______．15．直線與直線的交點為，則________.16．把“五進制”數轉化為“十進制”數是_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O為AD中點．（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）線段AD上是否存在點，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．18．設是正項等比數列的前項和，已知，（1）求數列的通項公式;（2）令，求數列的前項和.19．現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．（1）求被選中的概率；（2）求和不全被選中的概率．20．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點.（1）求證：平面PCD；（2）求證：.21．某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力（生產能力指一天加工的零件數）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如下表1和表2：表1：生產能力分組人數48x53表2：生產能力分組人數6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更??？（不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論）②分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人和生產能力的平均數（同一組中的數據用該區(qū)間的中點值作代表）圖1A類工人生產能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產能力的頻率分布直方圖

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據等比數列前項和公式列方程，求得首項的值，進而求得的值.【詳解】設第一天走，公比，所以，解得，所以.故選C.【點睛】本小題主要考查等比數列前項和的基本量計算，考查等比數列的通項公式，考查中國古典數學文化，屬于基礎題.2、D【解析】

根據不等式的性質,一一分析選擇正誤即可.【詳解】根據不等式的性質,當時,對于A,若,則,故A錯誤;對于B,若,則,故B錯誤;對于C,若,則,故C錯誤;對于D,當時,總有成立,故D正確;故選:D.【點睛】本題考查不等式的基本性質,屬于基礎題.3、D【解析】

甲乙兩人至少有人選擇“禮”的對立事件是甲乙兩人都不選擇“禮”，求出后者的概率即可【詳解】由題意，甲和乙不選擇“禮”的概率是，且相互獨立所以甲乙兩人都不選擇“禮”的概率是所以甲乙兩人至少有人選擇“禮”的概率是故選：D【點睛】當遇到“至多”“至少”型題目時，一般用間接法求會比較簡單，即先求出此事件的對立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.4、A【解析】

的幾何意義為點與點所在直線的斜率，根據不等式表示的可行域，可得出取值范圍.【詳解】的幾何意義為點與點所在直線的斜率．畫出如圖的可行域，當直線經過點時，；當直線經過點時，．的取值范圍為,故選A.【點睛】本題考查了不等式表示的可行域的畫法，以及目標函數為分式時求取值范圍的方法.5、A【解析】

本題等價于求過BC直線的平面截長方體的面積的取值范圍。【詳解】長方體在平面內的射影所構成的圖形面積的取值范圍等價于，求過BC直線的平面截長方體的面積的取值范圍。由圖形知,，故選A.【點睛】將問題等價轉換為可視的問題。6、D【解析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數量積的運算，即可求解結果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點睛：本題主要考查了向量的數量積的運算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數量積的運算公式和向量模的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、C【解析】

根據正弦定理與誘導公式，以及正弦函數的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】①在中，因為，所以，所以，故①正確；②，故②正確；③，故③錯誤；④若是銳角三角形，則，均為銳角，因為正弦函數在上單調遞增，所以，故④正確；故選C【點睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記正弦定理，誘導公式等即可，屬于常考題型.8、C【解析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據圓的弦長公式l=2r【詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【點睛】求圓的弦長有兩種方法：一是求出直線和圓的交點坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長構成的直角三角形中運用勾股定理求解，此時不要忘了求出的是半弦長．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運算、增強解題的直觀性．9、A【解析】因為,若,則,，故選A.10、B【解析】

根據題意，構造數列，利用數列求和推出的位置.【詳解】根據已知，第行有個數，設數列為行數的數列，則，即第行有個數，第行有個數，……，第行有個數，所以，第行到第行數的總個數，當時，數的總個數，所以，為時的數，即行的數為：，，，，……，所以，為行第列.故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，構造數列，利用數列知識求解很關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直線與圓有交點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即，圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有交點，則，解得,故實數的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，點到直線距離公式是常用方法.12、1【解析】應從丙種型號的產品中抽取件，故答案為1．點睛:在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數與該層所包含的個體數之比等于樣本容量與總體的個體數之比，即ni∶Ni＝n∶N．13、或【解析】

令，求出的取值范圍，即可得出達到最大值時對應的值.【詳解】令，解得，因此，當或時，前項和達到最大值.故答案為：或.【點睛】本題考查等差數列前項和最值的求解，可以利用關于的二次函數，由二次函數的基本性質求得，也可以利用等差數列所有非正項或非負項相加即得，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.【詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【點睛】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.15、【解析】

（2,2）為直線和直線的交點，即點（2,2）在兩條直線上，分別代入直線方程，即可求出a，b的值，進而得a+b的值?！驹斀狻恳驗橹本€與直線的交點為，所以，，即，，故.【點睛】本題考查求直線方程中的參數，屬于基礎題。16、194【解析】由.故答案為：194.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）只需證明，又由面面垂直的性質定理知平面；（Ⅱ）連接、，假設存在點，使得它到平面的距離為，設，由，求得的值即可．試題解析：（Ⅰ）證明：在中，為中點，所以．又側面底面，平面平面，平面，所以平面．（Ⅱ）連接、假設存在點，使得它到平面的距離為．設，則因為，為的中點，所以，且所以因為，且所以在中，所以所以由，即解得所以存在點滿足題意，此時．考點：1．平面與平面垂直的性質；2．幾何體的體積．18、(1)；(2)【解析】

（1）設正項等比數列的公比為，當時，可驗證出，可知；根據可構造方程求得，進而根據等比數列通項公式可求得結果；（2）由（1）可得，采用錯位相減法即可求得結果.【詳解】（1）設正項等比數列的公比為當時，，解得：，不合題意由得：，又整理得：，即，解得：（2）由（1）得：…①則…②①②得：【點睛】本題考查等比數列通項公式的求解、錯位相減法求解數列的前項和；關鍵是能夠得到數列的通項公式后，根據等差乘以等比的形式確定采用錯位相減法求得結果，對學生的計算和求解能力有一定要求.19、（1）;（2）.【解析】

（1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件空間{，，，，，，，，}由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用表示“恰被選中”這一事件，則{，}事件由6個基本事件組成，因而．（2）用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，由于{}，事件有3個基本事件組成，所以，由對立事件的概率公式得．20、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）取的中點，證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.（2）利用線面垂直的判定定理可證出平面，再根據線面垂直的定義即可證出.【詳解】如圖，取的中點，連接，E為PB中點，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因為，，所以，，平面，又平面，.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異面直線垂直，可先證線面垂直，此題屬于基礎題.21、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見解析，B類②123，133.8，131.1【解析】

（1）先計算抽樣比為，進而可得各層抽取人數（2）①類、類工人人數之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直