2025屆甘肅省蘭州市二十七中數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2025屆甘肅省蘭州市二十七中數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．圓錐的高和底面半徑之比，且圓錐的體積，則圓錐的表面積為（）A． B． C． D．2．若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A．1 B．5 C．9 D．43．甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排，乙站在中間的概率是（）A． B． C． D．4．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知是兩條不重合的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，是異面直線，那么與相交B．若//,，則C．若，則//D．若//，則6．函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B．或 C．或 D．7．已知圓與圓有3條公切線，則（）A． B．或 C． D．或8．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣9．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，則圓的半徑長為()A． B． C．3 D．10．已知向量，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．_____________.12．已知，是第三象限角，則.13．已知，，，若，則__________．14．已知函數(shù)，，則的最大值是__________．15．已知圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，則半徑的取值范圍是________16．已知與的夾角為求=_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某工廠共有200名工人，已知這200名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成14萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成5組，第1組、第2組第3組、第4組、第5組對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）選取合適的抽樣方法從這200名工人中抽取容量為25的樣本，求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）現(xiàn)從（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機(jī)選取2名傳授經(jīng)驗(yàn)，求選取的2名工人在同一組的概率.18．已知函數(shù)，且，.（1）求，的值及的定義域；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知點(diǎn)是重心，.（1）用和表示；（2）用和表示.20．某商品監(jiān)督部門對某廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行抽查檢測估分，監(jiān)督部門在所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品檢測評分，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該廠家產(chǎn)品檢測評分的平均值；（2）該廠決定從評分值超過90的產(chǎn)品中取出5件產(chǎn)品，選擇2件參加優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品評選，若已知5件產(chǎn)品中有3件來自車間，有2件產(chǎn)品來自車間，試求這2件產(chǎn)品中含車間產(chǎn)品的概率.21．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點(diǎn)A為圓心,r=2為半徑作一個(gè)圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)圓錐的體積求出底面圓的半徑和高,求出母線長，即可計(jì)算圓錐的表面積．【詳解】圓錐的高和底面半徑之比，∴，又圓錐的體積，即，解得；∴，母線長為，則圓錐的表面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積和表面積公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析：由韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，必為等比中項(xiàng)，故，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，，綜上所述，，所以．考點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．3、B【解析】

先求出甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出乙站在中間的基本事件的個(gè)數(shù)，再求概率即可.【詳解】解：三個(gè)人排成一排的所有情況有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6種，乙在中間有2種，所以乙在中間的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】由題意，PA⊥面ABC，則為直角三角形，PA=3,AB=4，所以PB=5，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC=90°,AB=4，AC=5所以BC=3,因?yàn)闉橹苯侨切?，?jīng)分析只能，故，三棱錐的外接球的圓心為PC的中點(diǎn)，所以則球的表面積為.故選C.5、D【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，結(jié)合線面以及線線之間的位置關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】若，是異面直線,與也可平行，故A錯(cuò)若//，，也可以在內(nèi)，故B錯(cuò)若也可以在內(nèi)，故C錯(cuò)若//，則，故D對故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查線面以及線線之間的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由題意可得，的圖象（紅色部分）和直線有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得的范圍．【詳解】由題意可得的圖象(紅色部分)和直線有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：故有或，故選：B.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.7、B【解析】

由兩圓有3條公切線，可知兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和，求解即可.【詳解】由題意，圓與圓外切，所以，即，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓外切的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點(diǎn)：分層抽樣．9、A【解析】

根據(jù)題干畫出簡圖，在直角中，通過弦心距和半徑關(guān)系通過勾股定理求解即可?！驹斀狻繄A的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，，設(shè)圓的半徑為，如下圖，圓心到直線的距離為：，，【點(diǎn)睛】直線和圓相交問題一般兩種方法：第一，通過弦心距d和半徑r的關(guān)系，通過勾股定理求解即可。第二，直線方程和圓的方程聯(lián)立，則。兩種思路，此題屬于中檔題型。10、D【解析】

直接由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】,故填.12、.【解析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知，，化簡整理得①，又因?yàn)棰?，?lián)立方程①②即可解得：，，又因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，?考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.13、-3【解析】由可知，解得，14、3【解析】函數(shù)在上為減函數(shù)，故最大值為.15、【解析】

由圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，先求出圓心到直線的距離，得到不等關(guān)系式，即可求解．【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，又因?yàn)閳A上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，則，解得，即圓的半徑的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用圓心到直線的距離，結(jié)合圖象得到半徑的不等關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．16、【解析】

由題意可得：，結(jié)合向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式可得的值.【詳解】由題意可得：，則：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的求解，向量的運(yùn)算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）第1組：2；第2組：8,；第3組：9；第4組：3；第5組：3（2）【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為列方程，解方程求得的值.然后根據(jù)分層抽樣的計(jì)算方法，計(jì)算出每組抽取的人數(shù).（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）：，.用分層抽樣比較合適.第1組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第2組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第3組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第4組應(yīng)抽取的人數(shù)為，第5組應(yīng)抽取的人數(shù)為.（2）（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中，第4組有3人，記這3人分別為，第5組有3人，記這3人分別為.從這6人中隨機(jī)選取2名，所有的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，，共有15個(gè)基本事件.選取的2名工人在同一組的基本事件有，，，，，共6個(gè)，故選取的2名工人在同一組的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)全頻率分布，考查分層抽樣，考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18、（1），，定義域；（2）【解析】

（1）由已知得，可求出、，由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，求出的范圍，即可得到的定義域；（2）設(shè)，可得，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得在上的單調(diào)性，從而可得時(shí)，的最大值，令，解不等式即可得到答案.【詳解】（1）由已知得，即，解得，，由得，所以，即，所以定義域?yàn)?（2），設(shè)，由時(shí)，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，的最大值為，由題意，，即，即，因?yàn)椋?，?故時(shí)，存在，使得成立.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，考查存在性問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）.【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，可得出，利用重心性質(zhì)得出，由此可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）由，得出，再由，可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，為的重心，因此，；（2），，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利基底表示向量，應(yīng)充分利用平面幾何中一些性質(zhì)，將問題中所涉及的向量利用基底表示，并結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用平均數(shù)=每個(gè)小矩形面積小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，即可求解.（2）設(shè)這5件產(chǎn)品分別為，其中1，2為車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，利用列舉法求出基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】解：（1）依題意，該廠產(chǎn)品檢測的平均值.（2）設(shè)這5件產(chǎn)品分別為，其中1，2為車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，從5人中選出2人，所有的可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中含有車間產(chǎn)品的基本事件有：，，，，，，，共7個(gè)，所以取出的2件產(chǎn)品中含車間產(chǎn)品的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、分類與整合思想等.21、（1）；（2）22.【解析】

利用向量的三角形法